精品解析：山西省2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

2024～2025学年高一1月期末质量检测卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册. —、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用含有一个量词的否定方法求解即可； 【详解】含量词的命题的否定是换量词，否定结论，故其否定为． 故选：D． 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合，再根据集合交集的概念求解即可. 【详解】由解得， 所以，所以， 故选：C 3. 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】由弧度制定义，该扇形的半径为， 所以该扇形的面积为. 故选：B 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由，解得，所以“”不是“”的充分条件； 若，则，故“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 5. 已知函数，若，则（ ） A. －3 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】设，则，所以为奇函数， 因为，所以，解得， 所以， ， 故选：B 6. 已知为锐角，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系和两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为为锐角，所以，又， 所以， 所以， 故选：A 7. 已知函数若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和指数函数的单调性列不等式组求解即可. 【详解】因为在上单调递减，所以，解得， 故选：A 8. 某同学在查阅资料时发现一个不等式“，当且仅当时等号成立”．借助该不等式，解答问题：对恒成立，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将所求不等式两边同时取对数后变为恒成立问题，再结合已知不等式和对数的取值范围求出即可； 【详解】因为对恒成立，所以对，恒成立， 所以，又，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，所以，所以． 即正数的取值范围为． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由不等式的性质结合已知可得A正确、B正确；作差可得C错误；举反例可得D错误； 【详解】对于A，因为，两边同乘以，因为，所以由不等式的性质，得，故A正确； 对于B，因为，所以，又，由不等式的性质，得，所以，故B正确； 对于C，，由题意知，且，所以，所以，故C错误； 对于D，取，此时，故D错误． 故选：AB． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于点对称 C. 关于的方程在上有2个相异实根 D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据函数图象的最值、周期和图象上的点求出的解析式，再根据余弦函数的单调性、对称性和值域判断ABC，根据平移变换判断D. 【详解】由的图象得，，， 所以，故， 由，得，即的单调递增区间为， 令，得，又，故A正确； 因为，所以的图象关于直线对称，故B错误； 因为，所以由图象知，当时，在上有两个不相等的实根，故C正确； 将的图象向左平移个单位长度，得的图象， 显然为奇函数，故D正确． 故选：ACD 11. 狄利克雷函数是德国数学家狄利克雷给出的一个函数，下列关于该函数的论述正确的是（ ） A. B. 方程有无数个实数解 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数新定义分和代入求解可得A错误；由函数新定义可得B正确；由函数新定义分和若，则代入讨论即可；由函数新定义分和，再结合特殊正余弦函数值求解可得D正确； 【详解】对于A，若，所以， 若，所以，所以，故A错误； 对于B，若，所以任意有理数皆为方程的解，故B正确； 对于C，若，则， 若，则， 所以，所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，若，则，所以，所以，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数为偶函数，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的性质令代入求解即可； 【详解】因为为偶函数，所以，即， 所以，所以． 故答案为：. 13. 若函数的定义域为，则的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数、余弦函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，所以在上单调递增， 又函数在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，所以的值域为， 故答案为： 14. 如图，在矩形中，为边的中点，为边上一点，交边于点，若，则周长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据三角函数的定义和勾股定理用分别表示三边，再换元令，求周长的最小值即可. 【详解】设， 由题意知， 当与重合时，由，得， 当与重合时，同理可得， 所以， 因为， 所以的周长， 令，因为，所以， 又， 所以，且， 所以，所以当时，取得最小值，且， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正切的二倍角公式和两角差的正切公式求解即可； （2）先利用诱导公式化简，再根据平方关系和商数关系构建齐次式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 . 16. 已知函数的单调递减区间为开区间，集合． （1）求； （2）若区间，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由对数函数的性质结合一元二次不等式求出复合函数的定义域，再由对数型复合函数的单调性结合集合的运算求解即可； （2）利用集合间的包含关系列不等式组求解即可； 【小问1详解】 由，得，所以的定义域为， 因为函数的单调递减区间为，且在上单调递增， 所以的单调递减区间为，即． 因为，所以， 由，得，所以， 所以. 【小问2详解】 因为区间，所以 解得，即实数a的取值范围为． 17. 2024年新能源汽车的渗透率已超过，为解决新能源汽车的充电问题，某新能源公司投资300万元用于充电桩项目，调研发现且年内该项目的总维护费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设第且年年底，该项目的纯利润（纯利润＝累计收入－累计维护费用－投资成本）为万元．已知到第3年年底，该项目的纯利润为99万元． （1）求的解析式； （2）到第几年年底，该项目的年平均利润（平均利润纯利润年数）最大？并求出最大值． 【答案】（1）且 （2）到第6年年底，该项目的平均利润最大，最大值为56万元 【解析】 【分析】（1）根据纯利润的计算公式列出，将代入解出即可求解； （2）根据年平均利润的计算公式，结合对勾函数的图象和性质求最大值即可. 【小问1详解】 由题意得， 当时，，所以， 所以且． 【小问2详解】 设平均利润为万元， 则且， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 因为，且当时，，当时，， 所以到第6年年底，该项目的平均利润最大，最大值为56万元. 18. 已知函数． （1）当时，解方程； （2）若对，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可； （2）根据复合型对数函数的定义域和单调性，列不等式组求解即可. 【小问1详解】 当时，， 所以， 所以可化为， 即，所以，或， 所以，或， 即方程的解为或． 【小问2详解】 因为对在上总有意义， 所以对在上恒成立． 令，则， 因为，所以在上单调递减，所以， 所以恒成立，即，所以， 因为在上单调递减，所以在上单调递减， 所以， 由题意知， 即， 所以，即， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 故实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：对于恒（能）成立问题，常常结合最值分析处理，而最值又结合函数的单调性，所以对于函数的单调性要灵活熟练应用. 19. 双曲函数是一种重要的函数，在物理学，工程学以及数学的其他领域中都有广泛应用.例如，在描述悬链线的形状，解决某些类型的微分方程时，都会用到双曲函数．最基本的双曲函数有双曲正弦函数：和双曲余弦函数：． （1）求证：； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若对，关于的方程有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） 由题意可得 . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲正弦函数、双曲余弦函数的定义，结合指数的运算性质证明即可； （2）根据双曲正弦函数的奇偶性和单调性，可转化为恒成立，求的最小值即可； （3）关于的方程，即有解，利用基本不等式可得，所以恒成立，再结合的单调性求实数的取值范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数的定义域为，且， 所以为奇函数， 又， 所以， 因为函数在上均为单调递增函数，所以在上单调递增， 所以，即， 故原问题转化为恒成立， 所以， 因为，所以当时，， 所以，即实数的取值范围为． 【小问3详解】 因为，当且仅当时等号成立， 由于，所以， 因为关于的方程，即有解， 所以，即恒成立， 由（2）知在上单调递增，所以当， 所以，即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年高一1月期末质量检测卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册. —、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知函数，若，则（ ） A. －3 B. C. D. 2 6. 已知为锐角，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 某同学在查阅资料时发现一个不等式“，当且仅当时等号成立”．借助该不等式，解答问题：对恒成立，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于点对称 C. 关于的方程在上有2个相异实根 D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数 11. 狄利克雷函数是德国数学家狄利克雷给出的一个函数，下列关于该函数的论述正确的是（ ） A. B. 方程有无数个实数解 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数为偶函数，则实数________． 13. 若函数的定义域为，则的值域为________． 14. 如图，在矩形中，为边的中点，为边上一点，交边于点，若，则周长的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求； （2）求． 16. 已知函数的单调递减区间为开区间，集合． （1）求； （2）若区间，求实数的取值范围． 17. 2024年新能源汽车的渗透率已超过，为解决新能源汽车的充电问题，某新能源公司投资300万元用于充电桩项目，调研发现且年内该项目的总维护费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设第且年年底，该项目的纯利润（纯利润＝累计收入－累计维护费用－投资成本）为万元．已知到第3年年底，该项目的纯利润为99万元． （1）求的解析式； （2）到第几年年底，该项目的年平均利润（平均利润纯利润年数）最大？并求出最大值． 18. 已知函数． （1）当时，解方程； （2）若对，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围． 19. 双曲函数是一种重要的函数，在物理学，工程学以及数学的其他领域中都有广泛应用.例如，在描述悬链线的形状，解决某些类型的微分方程时，都会用到双曲函数．最基本的双曲函数有双曲正弦函数：和双曲余弦函数：． （1）求证：； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若对，关于的方程有解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $