精品解析：陕西省榆林市榆阳区2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值以及相反数的定义即可求解． 【详解】解：， ∵的相反数是， ∴的相反数是， 故选：B． 2. 公园广场上有一处供游客休息的石凳如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，解题关键是理解俯视图就是从上面看物体所得到的图形．根据俯视图的定义和画法进行判断即可． 【详解】解：从上面看，可得俯视图为： 故选：D． 3. 已知不透明的袋中装有4个白球和若干黑球，这些球除颜色不同外其他都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后放回袋中并摇匀，经过大量重复试验后发现摸出黑球的频率稳定在0.6，则估计袋中黑球的个数为（ ） A. 4个 B. 6个 C. 10个 D. 8个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，分式方程，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则摸出黑球的概率为0.6，再由概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设袋中黑球的个数为x， 随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.6附近， ∴摸出黑球的概率为0.6， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故选：B． 4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△，使它与△ABO位似，且相似比为，则点A的对应点的坐标为（　　） A. （4，2） B. （1，1） C. （﹣4，2） D. （4，﹣2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案． 【详解】解：∵△ABO与的相似比为，且在第四象限， ∴点A的对应点的坐标为，即(4，-2)， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 5. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的图象位于第一、三象限，可得，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴， ∴n的取值可以是， 故选：C． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；根据题意可得，且，计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：且， 故选：A． 7. 如图，矩形的对角线与交于点O，过点O作的垂线交，于E、F两点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．先根据矩形的性质，推理得到，再根据求得的长，即可得到的长． 【详解】解：，， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 又中，， ， ， 故选：D 8. 已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得二次函数的对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别利用二次函数的性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，该二次函数有最小值2， ∴当时，当时，， ∴， 解得：； 当时，对称轴为直线， 故当时，取得最小值为， ∴， 解得：； 综上所述，的值为1或， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 舞台上的演员在灯下所形成的影子属于________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【解析】 【分析】根据光线发出的形式，由一点发出的光线，形成的投影是中心投影． 【详解】解：由于光源是由一点发出的，因此舞台上的演员在灯下所形成的影子属于中心投影， 故答案为：中心． 【点睛】本题考查投影，投影分为平行投影和中心投影，区别的关键是看光线是由一点发出的，还是平行的．熟练掌握由一点发出的光线，形成的投影是中心投影；由平行发出的光线，形成的投影是平行投影是解题的关键． 10. 将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键． 根据左加右减，上加下减求解作答即可． 【详解】解：由题意知，抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到抛物线的解析式是， 故答案为：． 11. 如图所示，在中，，，于点．若，则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，含30度角的直角三角形．由，得到，求出，，由含30度角的直角三角形的性质推出． 【详解】解：， ， 于， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12. 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为__________． 【答案】9 【解析】 【详解】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4）， ∴D（﹣3，2）， ∵双曲线y=经过点D， ∴k=﹣3×2=﹣6， ∴的面积=|k|=3． 又∵的面积=×6×4=12， ∴的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9． 故答案为：9． 13. 如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足，点P是BC的中点，连接AN、PM，若，则当的值最小时，线段AN的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N，过P作PM∥AE交BD于M，此时，AN+PM的值最小，根据三角形的中位线的性质得到PE=BD，根据平行四边形的性质得到EN=PM，根据勾股定理得到AE=，根据相似三角形的性质即可得到结论. 【详解】解： 过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N，过P作PM∥AE交BD于M，此时，AN+PM的值最小 ∵P为BC的中点 ∴E为CD的中点 ∴PE=BD ∵AB=BD，AB=MN ∴MN=BD ∴PE=MN ∴四边形PEMN是平行四边形 ∴EN=PM ∵AE= ∴AB∥CD ∴△ABN∽△EDN ∴ ∴AN= 故答案为. 【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题、正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，题目综合性很强，属于较难题目. 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； 原方程整理为一般形式，再用因式分解法求解即可． 【详解】解：原方程整理得：， 因式分解得：， ∴或， ． 15. 已知抛物线经过点，求该抛物线的顶点坐标． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的顶点式； 利用待定系数法求出抛物线解析式，再将一般式化为顶点式即可得出该抛物线的顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线经过点， ， ， ∴抛物线的表达式为， ， ∴该抛物线的顶点坐标为． 16. 如图，已知等边三角形，点M为边的中点，连接．请用尺规作图法，在边上找一点P，使得（保留作图痕迹，不写做法） 【答案】 所作图形如下所示： 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定即可画图． 【详解】解：所作图形如下所示： ∠C等于60°，所以取即可知为等边三角形 再由三线合一可知中垂线就是高所在直线 ，又 ∴ 【点睛】本题主要结合相似三角形的判定方法考查尺规作图，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键 17. 如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：． 【答案】 证明：四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，由菱形得到，利用“”即可证明，进而得到，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】略 18. 在“庆元旦、迎新年”班级活动中，同学们准备了四个节目：A唱歌、B跳舞、C说相声、D弹古筝，并通过抽签的方式决定这四个节目的表演顺序．现将正面写有四个节目内容的卡片背面切上放在桌面上，四张卡片除正面所写的内容不同外，其他都相同． （1）乐乐随机从四张卡片中抽取一张作为第一个节目，则他抽取的节目是“C说相声”的概率是______； （2）乐乐先从四张卡片中随机抽取一张，不放回，作为第一个节目，接着再从剩下的三张卡片中随机抽取一张作为第二个节目，请用列表或画树状图的方法求第二个节目是“D弹古筝”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：乐乐随机从四张卡片中抽取一张作为第一个节目，则他抽取的节目是“C说相声”的概率是； 【小问2详解】 解：列表得： 第一次 第二次 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中第二个节目是“D弹古筝”的情况有种， ∴第二个节目是“D弹古筝”的概率为． 19. 美化城市、改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．我市近几年来，通过拆迁旧房植草、栽树、修公园等措施，使城区绿地面积不断增加．我市某城区2023年底时绿化面积约为10万亩，计划到2025年底时绿化面积达到万亩．若绿化面积每年的年平均增长率相同，求该城区绿化面积的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程与增长率的运用，理解数目中数量关系，掌握一元二次方程解实际问题的方法是解题的关键． 根据题意，设该城区绿化面积的年平均增长率为，由此列方程求解即可． 【详解】解：设该城区绿化面积的年平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该城区绿化面积的年平均增长率为． 20. 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域，预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点，分别在，上，点，在上，求汽车盲区的长度． 【答案】汽车盲区的长度为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 首先过作于点，交于点，则，，由四边形是矩形，，，从而证明四边形是矩形，故有，通过线段和差得出，然后证明，最后由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴汽车盲区的长度为． 21. 某校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务的时间是参加植树人数n（人）的反比例函数，已知当时，． （1）求完成任务的时间t关于参加植树人数n的反比例函数关系式； （2）为了能在内完成任务，至少需要多少人参加植树． 【答案】（1） （2）至少需要人参加植树 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用、一元一次不等式的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，解不等式即可得解． 【小问1详解】 解：∵完成任务的时间是参加植树人数n（人）的反比例函数， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴完成任务的时间t关于参加植树人数n的反比例函数关系式为 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：， ∴至少需要人参加植树． 22. 如图，一扇窗户打开后可以用窗钩将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边上，且，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽上移动，、、构成一个三角形．当窗钩端点与点之间的距离是的位置时（如图，即），窗户打开的的度数为．（参考数据：，，） （1）求点到的距离的长； （2）求窗钩的长度． 【答案】（1）点到的距离的长为； （2）窗钩的长度约等于． 【解析】 【分析】（）在中, 根据即可求得； （）在中，根据，再根据，求出，然后根据勾股定理即可求出； 本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 【小问1详解】 解：根据题意，可知，，，， 在中，， ∴点到的距离的长为； 【小问2详解】 解：在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴窗钩的长度约等于． 23. 如图，平分，D为的中点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可； （2）根据相似三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 24. 为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置高2米，点处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与的水平距离为1米处时，喷出的水柱可以达到最大高度3米． （1）求出该抛物线的函数表达式； （2）为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离，则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理？ 【答案】（1）； （2）该圆形喷水池的半径至少设计为米合理． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的应用． （1）设水流所在抛物线解析式为：，把代入解析式，求出的值即可得到答案； （2）令，得到，求出的值即可． 【小问1详解】 解：喷出的水流距柱子1米处时达到最大高度3米， 抛物线的顶点坐标为， 设水流所在抛物线解析式为：， 米， ， 将代入得：， 解得：， 水流所在抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：该圆形喷水池的半径至少设计为米合理． 25. 【问题初探】 （1）如图1，和按如图位置放置，．连接，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，有一块边长为的正方形商业区，在正方形商业区内部有一块三角形果蔬区区域是以为斜边的等腰直角三角形，，时令水果店E在边上，为方便周围居民生活，现沿着修两条人形步道，根据实际设计思路已知，求时令水果店E到商业区的出口B的距离． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据等角的余弦值相等可得，然后证明，即可得出答案； （2）分别过点F作于点于点H，证明，可得，四边形是正方形，然后再证，得出，进一步求得，然后在中，利用勾股定理求出，进而可得． 【详解】解：（1）在和中，， ， ∴，， ∴， ， ， ． （2）如图，分别过点F作于点于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ∴四边形是正方形， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵在中，， ， 或（不合题意，舍去）， ， ∴时令水果店E到商业街的出口B的距离为． 【点睛】本题考查了三角函数，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 公园广场上有一处供游客休息的石凳如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知不透明的袋中装有4个白球和若干黑球，这些球除颜色不同外其他都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后放回袋中并摇匀，经过大量重复试验后发现摸出黑球的频率稳定在0.6，则估计袋中黑球的个数为（ ） A. 4个 B. 6个 C. 10个 D. 8个 4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△，使它与△ABO位似，且相似比为，则点A的对应点的坐标为（　　） A. （4，2） B. （1，1） C. （﹣4，2） D. （4，﹣2） 5. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 0 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 7. 如图，矩形的对角线与交于点O，过点O作的垂线交，于E、F两点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 1或 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 舞台上的演员在灯下所形成的影子属于________投影．（填“平行”或“中心”） 10. 将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到抛物线的解析式是______． 11. 如图所示，在中，，，于点．若，则的长是_________． 12. 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为__________． 13. 如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足，点P是BC的中点，连接AN、PM，若，则当的值最小时，线段AN的长度为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 已知抛物线经过点，求该抛物线的顶点坐标． 16. 如图，已知等边三角形，点M为边的中点，连接．请用尺规作图法，在边上找一点P，使得（保留作图痕迹，不写做法） 17. 如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：． 18. 在“庆元旦、迎新年”班级活动中，同学们准备了四个节目：A唱歌、B跳舞、C说相声、D弹古筝，并通过抽签的方式决定这四个节目的表演顺序．现将正面写有四个节目内容的卡片背面切上放在桌面上，四张卡片除正面所写的内容不同外，其他都相同． （1）乐乐随机从四张卡片中抽取一张作为第一个节目，则他抽取的节目是“C说相声”的概率是______； （2）乐乐先从四张卡片中随机抽取一张，不放回，作为第一个节目，接着再从剩下的三张卡片中随机抽取一张作为第二个节目，请用列表或画树状图的方法求第二个节目是“D弹古筝”的概率． 19. 美化城市、改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．我市近几年来，通过拆迁旧房植草、栽树、修公园等措施，使城区绿地面积不断增加．我市某城区2023年底时绿化面积约为10万亩，计划到2025年底时绿化面积达到万亩．若绿化面积每年的年平均增长率相同，求该城区绿化面积的年平均增长率． 20. 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域，预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点，分别在，上，点，在上，求汽车盲区的长度． 21. 某校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务的时间是参加植树人数n（人）的反比例函数，已知当时，． （1）求完成任务的时间t关于参加植树人数n的反比例函数关系式； （2）为了能在内完成任务，至少需要多少人参加植树． 22. 如图，一扇窗户打开后可以用窗钩将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边上，且，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽上移动，、、构成一个三角形．当窗钩端点与点之间的距离是的位置时（如图，即），窗户打开的的度数为．（参考数据：，，） （1）求点到的距离的长； （2）求窗钩的长度． 23. 如图，平分，D为的中点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 24. 为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置高2米，点处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与的水平距离为1米处时，喷出的水柱可以达到最大高度3米． （1）求出该抛物线的函数表达式； （2）为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离，则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理？ 25. 【问题初探】 （1）如图1，和按如图位置放置，．连接，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，有一块边长为的正方形商业区，在正方形商业区内部有一块三角形果蔬区区域是以为斜边的等腰直角三角形，，时令水果店E在边上，为方便周围居民生活，现沿着修两条人形步道，根据实际设计思路已知，求时令水果店E到商业区的出口B的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $