精品解析：辽宁省锦州市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

2024～2025学年度第一学期期末考试 高一数学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. ，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 下列命题中真命题是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “方程有两个不相等的正实根”是“”的充要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. “”是“”的充分条件 4. 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“影弄花枝花弄影”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有共9个，若从三位数的回文数中任取一个数，则取出的数是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度（单位：）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（ ） A. 1h B. 2h C. 3h D. 4h 6. 已知函数，且在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校为了鼓励同学们利用课余时间阅读，开展了读书周活动．如图是某班甲，乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A. 乙同学阅读时间更加稳定 B. 甲同学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间 C. 乙同学阅读时间的极差为20 D. 甲同学阅读时间的分位数为25 10. 已知且，则函数的图像必经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11. 已知与夹角为，若且，，则的可能值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，不平行，向量与平行，则实数_________． 13. 写出一个同时满足下列三个性质的函数_________． ①的图象在轴右侧； ②若，，则； ③、且，． 14. 已知函数是定义域为的奇函数，函数是奇函数，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 关于的方程的解集为． （1）求； （2）求关于的不等式的解集； （3）求关于的不等式的解集． 16. 某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： （1）根据频率分布直方图计算该样本的中位数； （2）现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； （3）某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售． 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购． 假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 17. 已知定义域为R的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断的单调性，并用单调性的定义证明； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 18. 象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙丙丁4名同学所在小组的赛程如表： 第一轮 甲－乙 丙－丁 第二轮 甲－丙 乙－丁 第三轮 甲－丁 乙－丙 规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜负平的概率均为，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜，负，平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立. （1）求丁同学的总分为5分的概率； （2）已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率. 19. 若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”． （1）若，求证：为上的“4类函数”； （2）已知为上的“2类函数”，且，若时，，都有，求实数的取值范围； （3）若为上的“2类函数”，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期末考试 高一数学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. ，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的坐标求得向量的坐标，由向量平行的坐标关系建立方程，求得的值. 【详解】由得， ∵，，∴，解得. 故选：A. 3. 下列命题中真命题是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “方程有两个不相等的正实根”是“”的充要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合对数函数的性质及绝对值不等式的解法，利用必要不充分条件的概念判断A；结合二次方程根的分布，利用充要条件的概念判断B；结合二次方程根，利用充分不必要条件的概念判断C；结合不等式性质，根据充分条件的概念判断D. 【详解】对于A，当时，，由可得， 由“”能得出“”，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，错误； 对于B，有两个不相等的正实根， 所以由“”能得出“”，反之不成立， 故“方程有两个不相等的正实根”是“”的充分不必要条件，错误； 对于C，由可得或， 所以是的充分不必要条件，正确； 对于D，当，时，满足，但，故充分性不成立，错误． 故选：C. 4. 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“影弄花枝花弄影”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有共9个，若从三位数的回文数中任取一个数，则取出的数是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理，结合古典概型，可得答案. 【详解】由题意三位的回文数中个位与百位的数字相同，十位与个位的数字不同， 由于三位数字首位即百位不能为0，故个位与百位相同且不为0，十位数字可以为0，但不能与个位（百位)相同. 若满足三位的回文数是奇数，则个位能选择的数字有，共种不同选择， 十位上的数字在个位数字确定之后只能从剩余的数字和0共9个数字中选择，就只有中选择， 根据乘法计数原理，是奇数的三位回文数共有个数字； 三位的回文数个位和百位相等不能为0，共有9种不同取法， 取定后，十位必须从其它的数字(包括0在内)任取一个，有9种不同的取法， 根据乘法计数原理，三位回文数共有个， 所以从三位数的回文数中任取一个数，取出的数为奇数的概率为. 故选：D. 【点睛】 5. 某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度（单位：）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（ ） A. 1h B. 2h C. 3h D. 4h 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式求解最值可得． 【详解】依题意，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h． 故选：C 6. 已知函数，且在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为减函数，结合对数函数、二次函数的单调性及端点值的大小列不等式组，求解即可. 【详解】由，且在上单调递减， 得，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 7. 在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合图象，利用作为基底，表示，根据共线定理的推论，建立方程，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 由，则， 所以， 由共线，则，由，则， 所以，整理可得， 由共线，则，解得，即， 由， 则，所以. 故选：B. 8. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设，，根据当时，判断两个函数的符号关系得到必需过点点，建立，的关系，根据图象和一元二次函数根的关系，列出不等式求解即可． 【详解】设，，则在上为增函数，且， 若当时，则满足当时，，当时，， 即必需过点点，则，即， 此时函数与满足如图所示： 此时， 则满足函数，所以，即a的最小值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数转化为两个函数的符号相反，利用数形结合是解决本题的关键． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校为了鼓励同学们利用课余时间阅读，开展了读书周活动．如图是某班甲，乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A. 乙同学阅读时间更加稳定 B. 甲同学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间 C. 乙同学阅读时间的极差为20 D. 甲同学阅读时间的分位数为25 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定折线图，计算百分位数、极差、平均数、方差即可判断作答. 【详解】对于B，甲同学在一周内每天阅读时间依次为， 则甲同学阅读时间的平均数为， 乙同学在一周内每天阅读时间依次为， 则乙同学阅读时间的平均数为， 则甲同学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间，故B正确； 对于A，甲同学阅读时间的方差为 ， 乙同学阅读时间的方差为 ， 则甲同学阅读时间的方差大于乙同学阅读时间的方差，故乙同学阅读时间更加稳定，故A正确； 对于C，乙同学阅读时间的极差为，故C错误； 对于D，将甲同学阅读时间从小到大排列为，因为， 所以甲同学阅读时间的分位数为25分钟，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知且，则函数的图像必经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】AB 【解析】 【分析】分，两种情况讨论可求得结论. 【详解】当时，函数的图象经过第一、二、四象限； 当时，函数的图象经过第一、二、三象限， 综上可知，函数的图象必经过第一、二象限． 故选：AB 11. 已知与夹角为，若且，，则的可能值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】CD 【解析】 【分析】利用数量积的性质表示模长，根据基本不等式，可得答案. 【详解】由，则， 整理可得，由，当且仅当时取等号， 则，解得，所以， 由，则选项AB错误，选项CD正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，不平行，向量与平行，则实数_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量与平行，所以，则所以． 考点：向量共线． 13. 写出一个同时满足下列三个性质的函数_________． ①的图象在轴右侧； ②若，，则； ③、且，． 【答案】（答案不唯一，对数函数均满足题意）. 【解析】 【分析】取，验证该函数满足①②③，即可得出结论. 【详解】由①可知，函数的定义域为， 对于③，不妨设，由可得， 所以，函数在上为增函数， 对于②，若，，则， 可取，则当，时， ，满足②， 且函数是定义在上的增函数，满足①③. 故答案为：（答案不唯一，对数函数均满足题意）. 14. 已知函数是定义域为的奇函数，函数是奇函数，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图图象变换以及奇函数性质，可以得到函数的所有对称中心个（可以利用数学归纳法证明这一结论），进而得到所有自变量为偶数时的函数值，对于其余的函数值，利用相应对称中心两两结合求和得到相邻两项的和，再利用等差数列求和公式分组求和，可得答案. 【详解】函数的图象向右平移个单位，向下平移个单位，可得函数的图象， 因为函数是奇函数，即该函数图象关于成中心对称， 所以函数的图象关于成中心对称. 根据一个对称中心关于另外一个对称中心的对称点也是函数图象的对称中心，可以得到函数以点为对称中心，即当时，. 下面用数学归纳法证明： （1）当时，由是奇函数， 所以， 即， 所以， 即， 所以时命题正确； （2）假设当时，命题正确，即成立, 那么当时， ， 由函数是奇函数，则， 所以， 即， 即时命题正确. 根据数学归纳法，可得，， 所以（）是函数的图象的对称中心， 分别取，， 可得（），（）， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 关于的方程的解集为． （1）求； （2）求关于的不等式的解集； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理列式求解即可； （2）根据一元二次不等式的解法求解即可； （3）将分式不等式化简，然后转化为一元二次不等式求解即可. 【小问1详解】 因为的解集为， 所以且，解得； 【小问2详解】 ， 所以， 所以不等式的解集为； 【小问3详解】 ，即，所以， 即，所以， 因此不等式的解集为. 16. 某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： （1）根据频率分布直方图计算该样本的中位数； （2）现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； （3）某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售． 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购． 假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 【答案】（1） （2） （3）该生态园选择方案获利更多． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中位数的计算方法列式求解即可； （2）先根据分层抽样的性质求出质量在和内的分别有4个和2个，然后列举法结合古典概型概率公式求解即可； （3）算出两种方案的利润，比较大小即可判断. 【小问1详解】 设样本的中位数为， 则， 即，解得； 【小问2详解】 根据分层抽样，抽取的6个水果中，质量在和内的分别有4个和2个． 设质量在内的4个水果分别为A，B，C，D， 质量在内2个水果分别为， 其样本空间可记为 ， 共包含20个样本点． 记E：其中恰有一个在内，则 ， 则E包含的样本点个数为12，所以； 【小问3详解】 方案： 收益 元； 方案：低于250克获利元， 不低于250克获利元， 总计元． 因为，所以该生态园选择方案获利更多. 17. 已知定义域为R的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断的单调性，并用单调性的定义证明； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）函数在R上单调递增. 证明：由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数， 所以，， 所以，即， 所以函数在R上是增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数，和，求出的值； （2）函数化简为，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）根据题意，把不等式转化为任意， 成立，利用换元法和二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 因为是定义在R上的奇函数， 所以，所以， 又由，得. 此时，， 又，符合奇函数的定义， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是奇函数， 所以不等式等价于. 又在R上是增函数，故， 即对任意有恒成立. 令，，则有，， 所以， 所以，即k的取值范围为. 18. 象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙丙丁4名同学所在小组的赛程如表： 第一轮 甲－乙 丙－丁 第二轮 甲－丙 乙－丁 第三轮 甲－丁 乙－丙 规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜负平的概率均为，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜，负，平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立. （1）求丁同学的总分为5分的概率； （2）已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式即可求解； （2）利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率的加法公式即可求解. 【小问1详解】 丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平， 记第轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，，丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为M，则， 即丁同学的总分为5分的概率为. 【小问2详解】 由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分，0分、1分，若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名. ① 若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率. ②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局，第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概 率. ③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率； 第三轮比赛中当乙，丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分，需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励，此时的概率. 综上，甲同学能获得奖励的概率. 19. 若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”． （1）若，求证：为上的“4类函数”； （2）已知为上的“2类函数”，且，若时，，都有，求实数的取值范围； （3）若为上的“2类函数”，且，证明：． 【答案】（1）不妨设，所以， ， 所以是上的“4类函数”. （2） （3）证明：因为为上的“2类函数”，则对于任意不同的，都有， 不妨设，则， 当时，成立， 当时，， 因为， 所以 ， 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式得，根据新定义即可证明； （2）根据新定义得，从而得到，设新函数，则，所以在上的单调递增，所以，再由左边，从而得到的取值范围； （3）根据新定义得，分和两种情况讨论，当时，可直接得到，当时，利用得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若为上的“2类函数”，则对于任意不同的，都有， 不妨设，则 ，所以，所以， 设，则， 所以为上的增函数， 则， ，当且仅当时等号成立， 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：新定义问题解题思路 根据题干中“类函数”的定义，得到“类函数”和“类函数”的定义，第一问中证明“类函数”即证，第二三问中已知“类函数”即已知，利用这个条件进行后续推理.新定义题目的关键就是理解新定义、代入新定义，再与所学知识相联系，从而解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $