精品解析：广东省华南师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题

华南师大附中2024-2025学年度第一学期期末考试 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合集合间的交集运算求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：B. 2. 已知命题，使命题p为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】命题p为真命题时，求得，结合充分与必要条件的定义可判断每个选项的正误. 【详解】由，得，解得， 因为真包含于，所以命题p为真命题的一个必要不充分条件可以是，故A正确； 所以命题p为真命题的一个充要条件可以是，故B错误； 因为真包含于，所以命题p为真命题的一个充分不必要条件可以是，故C错误； 由得不出，同时也得不出， 所以命题p为真命题的一个既不必要又不充分条件可以是，故D错误. 故选：A. 3. 若角 的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果. 【详解】因为角 的终边经过点，则. 故选：D 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除AB，根据函数值的符号，可排除C. 【详解】因为为奇函数，为偶函数， 所以为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除AB； 当时，，故排除C. 故选：D 5. 下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性逐项分析判断即可. 【详解】对于A：因为且在上单调递增，所以，故A错误； 对于B：因为在上单调递增，所以， 又在上单调递增，所以，所以，故B错误； 对于C：因为，故C错误； 对于D： ， 又因为在上单调递增，所以，故D正确. 故选：D. 6. 已知函数，若 ，，且，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为， 又，所以为奇函数， 又，所以，所以， 又函数在单调递减，所以，所以，， 所以 ，当且仅当，即，等号成立， 所以的最小值为 . 故选：B. 7. 已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则（ ） A. e B. C. D. 2e 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再求出函数值. 【详解】令，则，且，显然函数在上单调递增， 当时，，于是，令，函数在上单调递增， 又，因此，，所以. 故选：C 8. 已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，分别根据函数在区间上单调递增，在时，恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解. 【详解】由已知，函数在上单调递增， 所以，解得：， 由于，所以，解得：① 又因为函数在上恒成立， 所以，解得：， 由于，所以，解得：② 又因为，当时，由①②可知：，解得； 当时，由①②可知：，解得. 所以的取值范围为. 故选：B. 【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的值域为R C. 函数与是同一个函数 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用函数的单调性求得值域判断A；利用换元法求得值域判断B；分别求得两函数的定义域，又，可判断C；利用抽象函数的定义域的求法求得函数的定义域判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为， 又函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为，故A正确； 对于B，由，得，所以函数的定义域为， 令，则， 可得在和上单调递增，所以， 所以函数的值域为R，故B正确； 对于C，函数的定义域为R，函数的定义域为R， 又， 所以函数与是同一个函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为，所以， 所以函数的定义域为，，解得， 所以函数的定义域为，选项D错误. 故选：ABC. 10. 已知（a，b，），且，则（ ） A. B. 存在a，c使得 C. 不存在a，c使得 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式逐项推理判断即可. 【详解】对于A，由，，得，则，A正确； 对于B，由，，得，则，， 若存在 ，使得，则，与已知相矛盾，B错误； 对于C，由，得，，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD. 11. 将函数的图象横坐标伸长为原来的 倍，再向左平移个单位，得到函数（）的部分图象（如图所示）．对于，且若，都有成立，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 函数在的零点为，，，，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由题意可知函数的图象在区间上的对称轴为直线，又，所以，所以，，，故，A正确； 对于B，右移个单位得到函数的图象，再将其横坐标缩短为原来的得到的图象，故B正确； 对于C，令，，得，，当 时，，所以在上单调递增，而，故C错误， 对于D，令，则，函数在上有个零点，，，，则，，，，， 故， 所以，故D正确； 故选：ABD． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式求函数值. 【详解】因为，，故. 故答案为： 13. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式即可求解. 【详解】. 故答案为：. 14. 已知函数由下表给出 x 0 1 2 3 4 其中（，1，2，3，4）的值等于、、、和中k所出现的次数，则______；______. 【答案】 ①. 0 ②. 5 【解析】 【分析】假设出现次数大于等于1次，即的值大于等于1，推出矛盾，由此得，从而，同理可得，由此可得，，从而讨论可得，于是可以得到，∈{1，2}，分类讨论即可得出答案. 【详解】（，1，2，3，4）等于在、、、和中k所出现的次数， 则， 若在“、、、、”中出现次数超过0次， 不妨设出现1次，则. 设，则在“、、”这3个数中出现4次，矛盾， 同理在“、、、、”中出现过2、3、4次也不可能， 即不能出现，所以. 同理，若出现次数超过0次，不妨设出现1次， 即，设，则在“、”这2个数中出现3次，矛盾， 故不可能出现，所以. 因为，， 以在“、、、，”中至少出现了2次， 所以. 若或4，即或出现了1次，则或不为0，矛盾， 所以，，， 所以，，所以“、、、和”仅有下列四种可能： ①，、、、和， ②，、、、和， ③，、、、和， ④，、、、和， 其中：①中， 出现2次与矛盾，不可能； ②满足题意；③出现2次与矛盾； ④中，出现3次与矛盾； 故仅有“、、、、”满足题意， 故. 故答案为：0；5. 【点睛】关键点点睛：关键是理清题意，在有限个数字中，从大到小讨论，将不满足题意的情形逐一排除，最后得到唯一满足题意的组合. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解答下列各题. （1）化简求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用指数运算法则、对数运算法则及特殊角的三角函数值计算得解. （2）利用诱导公式及齐次式法计算得解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 当时，. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）最小正周期为 ，单调递减区间为 （2）， 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式及两角差的正弦公式化简，由周期公式可得周期，由整体法求解可得函数的单调递减区间； （2）由 的范围和三角函数的性质逐步求解可得值域. 【小问1详解】 由函数 ， 所以的最小正周期为， 令，可得， 所以的单调减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，函数的单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，所以，. 17. 如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATS是一座半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地.现有一开发商想在平地上建造一个两边分别落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值. 【答案】14050−9000（m2） 【解析】 【分析】设，然后表示出，进而表示出矩形PQCR的面积，再根据三角函数的相关知识化简求值，解决问题. 【详解】解：如图，连接AP， 设，延长RP交AB于M， 则，，∴， . ∴矩形PQCR的面积为 设，则， ∴， ∴当时，.， 故长方形停车场PQCR面积的最大值是. 18. 已知函数（且）为奇函数. （1）求实数 的值及函数的值域； （2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数 的取值范围. 【答案】（1），的值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式可判断定义域，再根据奇函数性质利用可计算 的值，将 代入根据指数型函数值域得求法即可求得函数的值域；（2）将函数在区间上有两个不同的零点转化成方程在上有两个不相等的实数根，利用换元法根据二次函数根的分布情况即可求得实数 的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知，函数的定义域为， 由奇函数性质可知，，得； 所以，； 又因为，所以 因此 即函数的值域为. 【小问2详解】 由得，， 又函数在区间上有两个不同的零点， 即方程在区间上有两个不同的实数根； 整理得， 令，由得， 即在上有两个不相等的实数根； 所以，且，解得或 当时，需满足，解得，所以 当时，需满足，该不等式组无解； 综上可知，实数 的取值范围时， 即 19. 已知定义域为 的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质 . （1）判断函数是否具有性质 ；（直接写出结论） （2）已知函数，判断是否存在，使函数具有性质 ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质 ，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：. 【答案】（1）函数具有性质 ；不具有性质 . （2）， （3）证明：由函数具有性质 及（2）可知，， 由可知函数是以为周期的周期函数，则， 即，所以，； 由，以及题设可知， 函数在的值域为，所以且； 当，及时，均有， 这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此 或； 当 时，，函数在的值域为， 此时函数的值域为， 而，于是函数在的值域为， 此时函数的值域为， 函数在当时和时的取值范围不同， 与函数是以为周期的周期函数矛盾， 故，即，命题得证. 【解析】 【分析】（1）利用定义判断即可； （2）假设函数具有性质 ，可求出，进而可得，从而可得，再根据定义进行验证，即可得到答案； （3）由函数具有性质 及（2）可知，，进而可得在的值域为，且，由在区间上有且只有一个零点可证明当时不符合题意，再求解当 时与是以为周期的周期函数矛盾，从而可得，即可证明. 【小问1详解】 因为，则，又， 所以，故函数具有性质 ； 因为，则，又， ，故不具有性质 . 【小问2详解】 若函数具有性质 ，则，即， 因为，所以，所以； 若，不妨设，由， 得（*）， 只要充分大时，将大于1，而的值域为， 故等式（*）不可能成立，所以必有成立， 即，因为，所以， 所以，则，此时， 则， 而，即有成立， 所以存在，使函数具有性质 . 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题考查了函数新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华南师大附中2024-2025学年度第一学期期末考试 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，使命题p为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 3. 若角 的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若 ，，且，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 4 7. 已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则（ ） A. e B. C. D. 2e 8. 已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的值域为R C. 函数与是同一个函数 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 已知（a，b，），且，则（ ） A. B. 存在a，c使得 C. 不存在a，c使得 D. 11. 将函数的图象横坐标伸长为原来的 倍，再向左平移个单位，得到函数（）的部分图象（如图所示）．对于，且若，都有成立，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 函数在的零点为，，，，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，则__________. 13. 已知，则______. 14. 已知函数由下表给出 x 0 1 2 3 4 其中（，1，2，3，4）的值等于、、、和中k所出现的次数，则______；______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解答下列各题. （1）化简求值：； （2）已知，求的值. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数在上的最值. 17. 如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATS是一座半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地.现有一开发商想在平地上建造一个两边分别落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值. 18. 已知函数（且）为奇函数. （1）求实数 的值及函数的值域； （2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数 的取值范围. 19. 已知定义域为 的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质 . （1）判断函数是否具有性质 ；（直接写出结论） （2）已知函数，判断是否存在，使函数具有性质 ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质 ，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $