精品解析： 山东省济南市平阴县2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年山东省济南市平阴县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　） A. B. C. 4，21 D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 10. 如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 12. 杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为__________． 13. 如图，与交于点，且．若，则__________． 14. 反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第______象限． 15. 已知m是方程的一个根，则的值为___________． 16. 如图，正五边形的边长为6，则这个正五边形的对角线的长是____________________． 三、解答题（共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平行四边形中，点是的中点，与相交于点． （1）求证：△△； （2）若，求的长． 19. 古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的解． （1）请用含字母a、b的代数式表示的长； （2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处． 20. 某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）玻璃加热速度为 ； （2）求能够对玻璃进行加工的时长； （3）玻璃从降至室温需要的时间为 ． 21. 一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． （1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． （2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 22. 某村生态果园年樱桃产量为吨，年樱桃产量为吨，若该生态果园樱桃产量的年平均增长率相同． （1）求该生态果园樱桃产量的年平均增长率； （2）若樱桃产量的年增长率不变，请预估年该生态果园樱桃产量． 23. 在△ABC中.BC边的长为x,BC边上的高为y,△ABC的面积为2． (1)y关于x的函数关系式是________， x的取值范围是________； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象； (3)将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值． 24. 如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题： （1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出时，的取值范围； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 26. 如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． （1）求证：． （2）若为中点，且，求长． （3）连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省济南市平阴县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 2. 如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．先证明，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选D 3. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　） A. B. C. 4，21 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先移项，再配方，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 5. 某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及甲与乙恰好选择同一项活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C， 画树状图如下， 共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况， 故他们选择同一项活动的概率是， 故选：C． 6. 学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得：， 故选：B． 7. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 8. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小， 点，都在反比例函数的图象上，， ． ∵，在反比例函数的图象上， ∴， ∴. 故选：B． 9. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 10. 如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形的边长为，，根据折叠的性质得出，根据中点的性质得出，即可判断①，证明四边形是平行四边形，即可判断②，求得，设，则，勾股定理得出，进而判断③，进而求得，，勾股定理求得，进而即可判断④，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵为的中点， ∴， 设正方形的边长为， 则， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； 设， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即是的中点，故②正确； ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 设，则， ∴ ∴ ∴，， ∴，故③错误； 连接，如图所示， ∵，，， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的为：①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 12. 杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴，即， 故答案为：． 13. 如图，与交于点，且．若，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14. 反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第______象限． 【答案】四## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴ ∴ ∴点在第四象限， 故答案为：四． 15. 已知m是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 16. 如图，正五边形的边长为6，则这个正五边形的对角线的长是____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接交于O，由五边形是正五边形，可得，，即得，故，从而，可得，证明，有，即可解得答案． 【详解】解：交于O，如图： ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即 解得或（舍去）， 经检验，符合题意； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 三、解答题（共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， ； （2）． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活选用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 【小问2详解】 ， ， 或， ． 18. 如图，在平行四边形中，点是的中点，与相交于点． （1）求证：△△； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ， ，， △△； （2）2． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形点的与性质，中点的定义，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用线段的中点的定义和平行四边形的性质得到，再利用相似三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形， ， 点是的中点， ， ， △△， ， ， ， ． 19. 古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的解． （1）请用含字母a、b的代数式表示的长； （2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处． 【答案】（1） （2）正确性：的长就是方程的正根；遗憾之处：图解法不能表示方程的负根 【解析】 【分析】该题主要考查了解一元二次方程，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据勾股定理求得的长，再求的长； （2）正确性：形象直观；遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 【小问1详解】 解：∵ ， ， ． 【小问2详解】 解：用求根公式求得 ． 正确性： 的长就是方程的正根． 遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 20. 某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）玻璃加热速度为 ； （2）求能够对玻璃进行加工的时长； （3）玻璃从降至室温需要的时间为 ． 【答案】（1）150； （2）； （3）76． 【解析】 【分析】（1）根据题意，设正比例函数的解析式为，列式计算确定k值即可； （2）由题可得，在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点得到y与x的函数关系式是；根据题意解答即可得结论； （3）将代入得到，根据题意，得，于是得到结论． 本题考查了待定系数法求解析式，求工作时长，熟练掌握待定系数法，明确时长等于交点横坐标的差是解题的关键． 【小问1详解】 解：设正比例函数的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为 故玻璃加热速度为． 故答案为：150． 【小问2详解】 解：由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点得， 解得， 故y与x的函数关系式是， 当时，，得； 当时，，得； 故能够对玻璃进行加工的时长为． 【小问3详解】 解：根据题意，得， 当时，； 当时，； 故玻璃从降至室温需要的时间为． 故答案为：76． 21. 一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． （1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． （2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 【答案】（1）0.3 （2） 【解析】 【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． （1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可； （2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，摸出黄球的频率是， 故答案为：0.3； 【小问2详解】 解：画树状图得， 共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果， ∴两次摸出的小球都是红球的概率为． 22. 某村生态果园年樱桃产量为吨，年樱桃产量为吨，若该生态果园樱桃产量的年平均增长率相同． （1）求该生态果园樱桃产量的年平均增长率； （2）若樱桃产量的年增长率不变，请预估年该生态果园樱桃产量． 【答案】（1）该果园樱桃产量的年平均增长率为 （2）预估该果园年樱桃产量大约为吨 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程， （1）根据年的产量年的产量年平均增长率，把相关数值代入即可； （2）由（1）中的平均增长率，即可求出年樱桃产量的吨数； 找准等量关系：年的产量年的产量年平均增长率是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该果园樱桃产量的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该果园樱桃产量的年平均增长率为； 【小问2详解】 根据题意得，（吨）， 答：预估该果园年樱桃产量大约为吨． 23. 在△ABC中.BC边的长为x,BC边上的高为y,△ABC的面积为2． (1)y关于x的函数关系式是________， x的取值范围是________； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象； (3)将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值． 【答案】（1）y=，x＞0； （2）函数y=（x＞0）的图像如图所示；     （3）1 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得出函数关系式，再根据实际意义得出x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出图像即可； （3）得到平移后的一次函数表达式，再和反比例函数联立，得到一元二次方程，再结合交点个数得到根的判别式为零，即可求出a值. 【详解】解：（1）由题意可得： S△ABC=xy=2， 则：y=， 其中x的取值范围是x＞0， 故答案为：y=，x＞0； （2）函数y=（x＞0）的图像如图所示； （3）将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后得到y=-x+3+a， 若与函数y=（x＞0）只有一个交点， 联立：， 得：， 则， 解得：a=1或-7（舍）， ∴a的值为1. 【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的综合，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解题意，将函数交点问题转化为一元二次方程根的问题. 24. 如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题： （1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解； （2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可． 【详解】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G 如图 ∴DF∥AG，＝ ∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6． ∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t， ∴＝ 解得DF＝（10﹣t） ∵S△BDE＝BE•DF＝7.5 ∴（10﹣t）•t＝15 解得t＝5． 答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2． （2）存在．理由如下： ①当BE＝DE时，△BDE与△BCA， ∴＝即＝， 解得t＝， ②当BD＝DE时，△BDE与△BAC， ＝即＝， 解得t＝． 答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出时，的取值范围； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数表达式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可得，当时，的取值范围为或； 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴，， ∴ ， 即的面积为． 26. 如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． （1）求证：． （2）若为中点，且，求长． （3）连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由． 【答案】（1） 证明：如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得，由折叠得出，得出，即可证明； （2）根据矩形的性质以及线段中点，得出，根据代入数值得，进行计算，再结合，则，代入数值，得，所以； （3）由折叠性质，得直线，，是等腰三角形，则，因为为中点，为中点，所以，，所以，则，所以，则，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵为中点， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图：延长交于一点M，连接 ∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴直线 ， ， ∴是等腰三角形， ∴， ∵为中点， ∴设， ∴， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $