2025年中考数学第一轮专题复习 讲义《第5讲 一次方程(组)及其应用》

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第二单元　方程(组)与不等式(组) 《第5讲 一次方程(组)及其应用》 【知识梳理】 1.等式的概念和等式的性质 (1)等式:表示相等关系的式子，叫做等式. (2)等式的性质: ①等式的两边都加上(或都减去)同一个数或式，所得结果仍是等式.用字母可以表示为:如果a＝b，那么a±c＝　b±c　.  ②等式的两边都乘或都除以同一个数或式(除数不能为0)，所得结果仍是等式.用字母可以表示为:如果a＝b，那么ac＝　bc　，或＝ 　(c　≠0　).  2.方程的有关概念 (1)方程:含有　未知数　的等式叫做方程.  (2)方程的解:使方程左右两边的值　相等　的未知数的值叫做方程的解.  (3)解方程:通过运算将方程一步一步变形，最后变形成“x＝a(a为已知数)”的形式，就求出了未知数的值，即方程的解，这一过程叫做解方程. (4)一元一次方程:两边都是整式，只含有　一　个未知数，并且未知数的指数是　一　次，这样的方程叫做一元一次方程.  (5)二元一次方程:含有　两　个未知数，且含有未知数的项的次数都是　一　次的方程叫做二元一次方程.  (6)二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.任何一个二元一次方程都有　无数　个解.  3.一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤: (1)去分母:将方程的两边同乘各分母的　最小公倍数　，注意不要漏乘.  (2)　去括号　:注意括号前的系数与符号.  (3)　移项　:一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边.  (4)　合并同类项　:把方程化成ax＝b(a≠0)的形式.  (5)两边同除以未知数的系数:方程两边同除以x的系数a，得x＝(a≠0)的形式. 4.二元一次方程组的解法 (1)常用方法:　代入消元　法，　加减消元　法.  (2)二元一次方程组的解应写成的形式. 5.一次方程(组)的应用 列方程(组)解应用题的一般步骤: (1)审:分析题意，找出题中的数量及其关系. (2)设:选择适当的未知数，用字母表示. (3)列:根据相等关系列出方程(组). (4)解:解方程(组)，求出未知数的值. (5)验:检验方程(组)的解是否正确和符合实际情形. (6)答:写出答案(包括单位). 【考题探究】 类型一　一次方程(组)的有关概念 【例1】若关于x的方程＋a＝4的解是x＝2，则a的值为　3　.  【解析】 把x＝2代入方程＋a＝4，得＋a＝4，解得a＝3. 变式1 已知关于x的一元一次方程2xa－2＋m＝4的解为x＝1，则a＋m的值为(　C　) A.9 B.8 C.5 D.4 【解析】 由题意，得a－2＝1，2＋m＝4， 解得a＝3，m＝2， ∴a＋m＝3＋2＝5. 【例2】已知是方程ax＋by＝3的解，则代数式2a＋4b－5的值为　1　.  【解析】 把代入ax＋by＝3，得a＋2b＝3， ∴原式＝2(a＋2b)－5＝2×3－5＝6－5＝1. 变式2 已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则a＋b＝ 　.  类型二　一次方程(组)的解法 【例3】[2024·新疆]解方程:2(x－1)－3＝x. 解:去括号，得2x－2－3＝x. 移项，得2x－x＝2＋3. 合并同类项，得x＝5. 变式3 解下列方程: (1)2(x＋1)＝1－(x＋3). 解:去括号，得2x＋2＝1－x－3. 移项，合并同类项，得3x＝－4， 解得x＝－. (2)＋1＝. 解:去分母，得2(5x－7)＋12＝3(3x－1). 去括号，得10x－14＋12＝9x－3. 移项，合并同类项，得x＝－1. 【例4】[2024·浙江]解方程组: 解: ①×3＋②，得10x＝5， 解得x＝. 把x＝代入①，得2×－y＝5， 解得y＝－4， ∴方程组的解是 变式4 解下列方程组: (1)[2023·台州] 解:(1) ①＋②，得3x＝9，解得x＝3. 把x＝3代入①，得3＋y＝7，解得y＝4， ∴原方程组的解为 (2)[整体思想] 解: 把①代入②，得2[2(2x＋1)]－3(2x＋1)＝3，解得x＝1. 把x＝1代入①，得y＝4， ∴原方程组的解为 类型三　一次方程(组)的应用 【例5】[2023·丽水]古代中国的数学专著《九章算术》中有一题:“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两.今有干丝一十二斤，问生丝几何?”意思是:今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两(古代中国1斤等于16两).今有干丝12斤，问原有生丝多少?则原有生丝为 　斤.  【解析】 设原有生丝为x斤，则， 解得x＝. 故原有生丝为斤. 变式5－1 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载:良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之.其题意为:良马每天行240里，劣马每天行150 里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马?答:良马追上劣马需要的天数是　20　.  【解析】 设良马需要x天追上劣马， 由题意，得240x＝150(x＋12)，解得x＝20， 即良马追上劣马需要的天数是20. 变式5－2 [2024·陕西]星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h;若爸爸单独完成，需2 h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间. 解:设这次小峰打扫了x(h)，则爸爸打扫了(3－x)h， 由题意，得＝1，解得x＝2. 答:这次小峰打扫了2 h. 【例6】[2023·宁波]茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业.某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食.已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷?设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为(　B　) A. B. C. D. 变式6 [2024·安徽]乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表: 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金(万元) A 4 8 B 3 9 已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷? 解:设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植面积是y公顷， 由题意，得解得 答:A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷. 【课后作业】 1.对于二元一次方程组将①代入②，消去y可以得到(　B　) A.x＋2x－1＝7 B.x＋2x－2＝7 C.x＋x－1＝7 D.x＋2x＋2＝7 2.[2024·福建]今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额为120 327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额.若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方程是(　A　) A.(1＋4.7%)x＝120 327 B.(1－4.7%)x＝120 327 C.＝120 327 D.＝120 327 3.某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元.已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则(　C　) A.＝320 B.＝320 C.|10x－19y|＝320 D.|19x－10y|＝320 4.[2024·湖北]《九章算术》中记载这样一道题:牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金?设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为(　A　) A. B. C. D. 5.[2024·贵州]小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图，天平都保持平衡.若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是(　C　) 　 第5题图 A.x＝y B.x＝2y C.x＝4y D.x＝5y 【解析】 设“▲”的质量为z. 根据甲天平，得x＋y＝y＋2z，即x＝2z; 根据乙天平，得x＋z＝x＋2y，即z＝2y， ∴x＝4y. 6.幻方是古老的数学游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图1就是一个幻方.图2是一个未完成的幻方，则x与y的和是(　D　) A.9 B.10 C.11 D.12 　第6题图 【解析】 ∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴最左下角的数为6＋20－22＝4， ∴最中间的数为x＋6－4＝x＋2，或x＋6＋20－22－y＝x－y＋4， ∴最右下角的数为6＋20－(x＋2)＝24－x，或x＋6－y， ∴解得 ∴x＋y＝12. 7.[2023·南充]若关于x，y的方程组的解满足x＋y＝1，则4m÷2n的值是(　D　) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】 ①－②，得2x＋2y＝2m－n－1， ∴x＋y＝. 又∵x＋y＝1，∴＝1， ∴2m－n＝3， ∴4m÷2n＝22m÷2n＝22m－n＝23＝8. 8.已知是方程3x＋2y＝10的一个解，则m的值为　2　.  【解析】 把代入方程3x＋2y＝10，得3×2＋2m＝10，解得m＝2. 9.[2023·嘉兴、舟山]我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题:一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡.若公鸡有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为 　.  10.[2024·扬州]《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部.书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为:速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他.问速度快的人追上他需要　2.5　分钟.  【解析】 设速度快的人需要x分钟才能追上速度慢的人， 根据题意，得100＋60x＝100x，解得x＝2.5. 11.解下列方程(组): (1)＝4. 解:去分母，得3(x－3)＋2(x－1)＝24. 去括号，得3x－9＋2x－2＝24. 移项，得3x＋2x＝24＋9＋2. 合并同类项，得5x＝35. 两边同除以5，得x＝7. (2)[2024·广西] 解: ①＋②，得2x＝4，解得x＝2. ①－②，得4y＝2，解得y＝， ∴方程组的解为 12.小明将8个同样大小的小长方形拼成一个大长方形(如图1)，他发现还能拼成如图2所示的大正方形(中间有一处空缺).若图2正中间恰好是边长为2 mm的小正方形，则一个小长方形的面积为　60　mm2.  第12题图 【解析】 设小长方形的长为x(mm)，宽为y(mm)， 由题意，得解得 ∴xy＝60，即一个小长方形的面积为60 mm2. 13.[2024·吉林]钢琴素有“乐器之王”的美称.钢琴键盘(如图)上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数. 第13题图 解:设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个， 由题意，得解得 答:白色琴键的个数为52个，黑色琴键的个数为36个. 14.已知方程组的解也是关于x，y的方程ax＋y＝4的一个解，求a的值. 解: 把②代入①，得2(y－1)＋y＝7，解得y＝3. 把y＝3代入②，得x＝2. 把代入方程ax＋y＝4， 得2a＋3＝4，解得a＝. 15.[2024·苏州]某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示. 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 D1001 8:00 9:30 9:50 10:50 G1002 8:25 途经B站，不停车 10:30 请根据表格中的信息，解答下列问题: (1)D1001次列车从A站到B站行驶了　90　分钟，从B站到C站行驶了　60　分钟.  (2)记D1001次列车的行驶速度为v1，离A站的路程为d1;G1002次列车的行驶速度为v2，离A站的路程为d2. ①＝ 　.  ②从上午8:00开始计时，时长记为t分钟(如:上午9:15，则t＝75)，已知v1＝240千米/时(可换算为4千米/分)，在G1002次列车的行驶过程中(25≤t≤150)，若|d1－d2|＝60，求t的值. 解:(2)①根据题意得，D1001次列车从A站到C站共需90＋60＝150(分钟)，G1002次列车从A站到C站共需35＋60＋30＝125(分钟)， ∴150v1＝125v2，∴. ②∵v1＝4(千米/分)，， ∴v2＝4.8(千米/分). ∵4×90＝360(千米)， ∴A站与B站之间的路程为360千米. ∵360÷4.8＝75(分)， ∴当t＝100时，G1002次列车经过B站. 由题意可知，当90≤t≤110时，D1001次列车在B站停车， ∴G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车. ⅰ.当25≤t＜90时，d1＞d2， ∴|d1－d2|＝d1－d2， ∴4t－4.8(t－25)＝60， 解得t＝75. ⅱ.当90≤t≤100时，d1≥d2， ∴|d1－d2|＝d1－d2，∴360－4.8(t－25)＝60， 解得t＝87.5，不合题意，舍去. ⅲ.当100＜t≤110时，d1＜d2， ∴|d1－d2|＝d2－d1，∴4.8(t－25)－360＝60， 解得t＝112.5，不合题意，舍去. ⅳ.当110＜t≤150时，d1＜d2， ∴|d1－d2|＝d2－d1， ∴4.8(t－25)－[360＋4(t－110)]＝60， 解得t＝125. 综上所述，当t＝75或125时，|d1－d2|＝60. 学科网（北京）股份有限公司 $$