第5章一元一次方程 单元练习2024-2025 学年华东师大版（2024）七年级数学下册

第5章一元一次方程 一、选择题： 1.下列各式中是方程的是(    ) A. B. C. D. 2.下列等式变形中，不一定成立的是(    ) A. 如果，那么 B. 若，则 C. 如果，那么 D. 如果，那么 3.若是方程的解，则的值是(    ) A. B. C. D. 4.如果方程与 的解相同，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.若，，满足，则关于的方程的解是(    ) A. ， B. ， C. ， D. 无实数根 6.小丽同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，请问这个被污染的常数是(    ) A. B. C. D. 7.如果、是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是那么的值是(    ) A. B. C. D. 8.任意四个有理数、、、，定义了一种新运算：，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.若不论取什么数，关于的方程、是常数的解总是，则的值是(    ) A. B. C. D. 10.方程的解是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.若关于的方程的解是，则的值为______． 12.已知多项式与是恒等的，则 ______． 13.若关于的方程没有实数根，则___________． 14.当          时，关于的方程的解是． 15.如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为______． 16.若是一个关于的一元一次方程，则等于          。 17.幻方是中国古代的一种谜题，又称九宫图，即在正方形网格中填上个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等图中给出了幻方的部分数字，则 ______． 18.观察图，若天平保持平衡，在图天平的右盘中需放入__________个才能使其平衡． 19.个数排列成，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为 ，若，则          ． 20.关于的方程的解是整数，则整数          ． 三、解答题： 21. 解方程： ； ． 22. 小明在解方程时的步骤如下： 解：第步； 第步； 第步； 第步； 第步． 以上解方程的过程中，第步是进行______，变形的依据是______； 以上步骤从第______步填序号开始出错； 请聪明的你写出这题正确的解答过程． 23. 某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式就可以用图的面积关系来解释：图的面积为，各部分的面积之和为，故． 根据图的面积关系可以解释的一个等式为______； 已知等式，请你画出一个相应的几何图形加以解释． 24. 若关于，的方程，，有公共解，求的值． 25. 【知识准备】数轴上、两点对应的数分别为、，则、两点之间的距离表示为：． 【问题探究】 如图，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，则 ______； 在的条件下，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，设，两点的运动时间为秒，当时，求的值； 在的条件下，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点匀速运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动当点到达点后，立即以原速返回，到达点停止运动，当点到达点后，立即以原速返回，到达点停止运动，请问：当点运动时间为______秒时，直接写出答案，不写解题过程 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：方程是等式；方程中必须含有字母未知数根据方程的定义解答即可． 【解答】 解：不是方程； B.不是方程；  C.不是方程； D.是方程，故D正确． 故选D． 2.【答案】  【解析】解：， 等式两边都乘以，得，故本选项不符合题意； B.， 等式两边都乘以，得，故本选项不符合题意； C.当时，由不能推出，故本选项符合题意； D.， 等式两边都乘以，得， 等式两边都加，得，故本选项不符合题意． 故选：． 根据等式的性质逐个判断即可． 本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质的内容是解此题的关键，等式的性质：等式的两边都加或减同一个数或式子，等式仍成立，等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于的数，等式仍成立． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了解一元一次方程的应用，以及一元一次方程的解；解答此题的关键是将方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程； 解答此题，将代入方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【解答】 解：将代入得， ， ． 故选B． 4.【答案】  【解析】解：由方程，可得． 把代入，得， 解得． 故选：． 根据先求出的值，然后把的值代入求出即可． 本题考查了同解方程，掌握同解方程即为两个方程解相同的方程是解题的关键． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是方程的解以及解方程组，解题时根据已知条件确定、、之间的关系，然后代入方程即可确定方程根的情况．方程，得，方程，得，代入方程中即可消去、、，接着就可以得到方程的根的情况． 【解答】 解：， ，得， 则， ，得， 则， 把、、代入方程，得， 即， ，． 故选C． 6.【答案】  【解析】把代入，得，解得． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，代数式求值，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的定义． 根据一元一次方程的解的定义即可求出字母的值，然后代入计算可得答案． 【解答】 解：将代入， ， ， ， ， 由题意可知：，， ，， ． 8.【答案】  【解析】解：根据题中的新定义化简得：， 合并得：， 解得：． 故选：． 已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 此题考查了解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程、代数式求值等知识点，能根据题意得出关于、的方程组是解此题的关键． 把代入方程得出，根据方程总有根，推出，，求出即可． 【解答】 解：把代入得：  ， 整理得：， 即， 不论取什么实数，关于的方程 的根总是，  且， 解得： ，，  ． 故选A． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元一次方程的解法和观察归纳的数字规律问题，是综合题． 将分母进行适当变换即可求解． 【解答】 解：方程左边可以变形为： ， 故方程可化为：， 故方程的解为：， 故选B． 11.【答案】  【解析】解：因为关于的方程的解为， 所以， 所以， 故答案为． 把代入方程得出，再代入求出答案即可． 本题考查了方程的解和绝对值，能得出等式是解此题的关键． 12.【答案】  【解析】解：由题意得， ， ，，， ， 故答案为：． 根据等式的性质确定出，，的值后，再代入求解． 此题考查了等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题根据一元一次方程的定义以及一般形式进行解题． 一元一次方程形如为常数，为未知数，且，所以当，时，方程无解，据此即可解答． 【解答】 解： 当时，即，此时方程无解． 故答案为． 14.【答案】  15.【答案】  【解析】解：方程， 解得：， 把代入第二个方程得：， 去分母得：， 解得：， 故答案为： 求出第一个方程的解得到的值，代入第二个方程计算即可求出的值． 此题考查了同解方程，同解方程就是方程解相同的方程． 16.【答案】  【解析】解：是一个关于的一元一次方程， ， 解得，， 故答案为：． 根据一元一次方程的定义可以得到的值，从而可以解答本题． 本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元一次方程中未知数的次数是一次． 17.【答案】  【解析】解：设第一行第三列的方格中的数字为，如图所示， 每行及对角线上的数字之和都相等， ， 解得：． 每行、每列上的数字之和都相等， ， 解得：． 故答案为：． 设第一行第三列的方格中的数字为，由每行及对角线上的数字之和都相等，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，由每行、每列上的数字之和都相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：设的质量为，的质量为，的质量为，则 ，即． 所以． 所以在图天平的右盘中需放入个才能使其平衡． 设的质量为，的质量为，的质量为，根据图列出等式，然后由等式的性质参照图进行答题． 本题考查了等式的性质的应用． 性质、等式两边加同一个数或式子结果仍得等式； 性质、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 19.【答案】  【解析】    ， 化简得：  ， 解得：  ． 故答案是：  ． 20.【答案】或或或  【解析】【分析】 本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，先解方程求出方程的解，根据已知方程的解为整数得出或或或或或，再根据为整数，进一步得到或，即可得到答案． 【解答】 解：， ， ， ， ， 关于的方程的解是整数， 为的因数， 或或或或或， 为整数， 或， 解得或或或， 故答案为或或或． 21.【答案】解：， 移项得，， 合并同类项得，， 的系数化为得，； ， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 的系数化为得，．  【解析】先去括号，再移项，合并同类项，把的系数化为即可； 先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为即可． 本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． 22.【答案】去分母  等式的性质    【解析】解：第步是进行去分母，变形的依据是等式的性质， 故答案为：去分母，等式的性质； 第一步去分母时，前面是负号，没有加括号， 故答案为：； 去分母：； 去括号：； 移项：； 合并同类项：， 化系数为：． 去分母是在等式两边同时乘或除以相等的非零的数或式子，利用等式的性质； 前面是负号，没有加括号； 去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解． 本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键． 23.【答案】  【解析】解：图中，从“整体”上看是边长为的正方形，因此面积为， 组成“整体”的四部分的面积和为， 因此有， 故答案为：； 如图，“整体”上是长为，宽为的长方形，因此面积为，而组成大长方形的四部分的面积和为， 因此有． 根据图形中正方形面积的不同计算方法即可得出答案； 利用长为，宽为的长方形的面积加以解释即可． 本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的几何意义是正确解答的关键． 24.【答案】解：由题意得：， 解得：， 把代入得： ， ， ， ， 解得：， 的值为．  【解析】先将和组成二元一次方程组，解得、的值后代入即可得到答案． 本题考查了方程的解，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 25.【答案】 或或  【解析】解：根据题意得：． 故答案为：； 当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：的值为或； 秒，秒，秒，秒． 设点运动时间为秒， 当时，点对应的数为，点对应的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或； 当时，点对应的数为，点对应的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：不符合题意，舍去或不符合题意，舍去； 当时，点对应的数为，点对应的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或不符合题意，舍去． 当点运动时间为或或秒时，． 故答案为：或或． 利用数轴上两点间的距离公式，求出线段的长； 当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； 设点运动时间为秒，分，及三种情况考虑，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论 本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$