精品解析：山东省济南市钢城区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度上学期期中考试 初四数学试题 注意事项： 1．答题前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名等内容填写准确． 2．本试题分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，将答题卡收回． 第I卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分） 1. 已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. 已知反比例函数，则它的图象经过点（　　） A. B. C. D. 3. 将二次函数图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，则平移后的二次函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知在中，，，，则等于（ ） A. 6 B. 16 C. 3 D. 12 5. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图象的开口向下 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 7. 如图，⊙的直径与弦的延长线交于点E．若则等于（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，水平赛道米，赛道的坡角均为，则点的高为( A 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 已知二次函数，在时有最小值，则（ ） A. 5 B. 5或 C. 5或 D. 或 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是______________． 12. 如图，在正方形网格中，点都在格点上，则的正切值是_____ 13. 抛物线与轴的一个交点的坐标为，则与轴的另一个交点坐标是_______． 14. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体的最大深度，截面圆中弦长为，那么球的半径长为_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A和点C是反比例函数图象上的两点，线段经过原点，以为边作等边，反比例函数恰好过点B，则k的值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： 17. 求：二次函数的顶点坐标和对称轴． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点C，已知点 （1）求的值； （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集 19. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内． （1）求D到的距离． （2）求古塔高度（结果保留根）． 20. 如图，反比例函数y=﹣与一次函数y=﹣x+2的图象交于A、B两点． （1）求A、B两点的坐标； （2）求△AOB的面积． 21. 如图，已知抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C． （1）求c、t的值； （2）若点P是抛物线第一象限内的一个动点，且满足，求点P坐标． 22. 2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到1m．（参考数据：，，） （1）求无人机从点B到点C处的飞行距离； （2）求四门塔的高度． 23. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为80元的“吉祥龙”公仔，由于销售火爆，公仔的销售单价一直上涨到每个125元，此时每天可售出75个．物价部门规定，商品利润不得超过进价的，同时市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个． （1）设这种“吉祥龙”公仔的销售单价为x元，销售量为y个，求y关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围． （2）那么销售单价应降低多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少元？ 24. 如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数表达式和一次函数表达式； （2）若点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标； （3）若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）判定的形状； （3）点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，作交于点，求的最大值及此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期期中考试 初四数学试题 注意事项： 1．答题前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名等内容填写准确． 2．本试题分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，将答题卡收回． 第I卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分） 1. 已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值求解． 【详解】解：∵sinα＝， ∴∠α=60°． 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 2. 已知反比例函数，则它的图象经过点（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由反比例函数可得：，代入各个选项的坐标点即可求解． 【详解】解：由反比例函数可得： ，故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项符合题意； ，故D选项不符合题意． 故选：C 【点睛】本题主要考查反比例函数，能根据反比例函数的解析式判断经过的点坐标是解题关键． 3. 将二次函数的图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，则平移后的二次函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移规律，根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”，进而即可得到答案． 【详解】解：将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， 所得抛物线对应的函数表达式为， 故选：B． 4. 已知在中，，，，则等于（ ） A. 6 B. 16 C. 3 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正切的定义，根据正切的定义解答即可，掌握正切是直角三角形中对边比邻边成为解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选D． 5. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征；根据反比例函数的图象与性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴在每一个象限中，y随x的增大而增大， ∵，点在第二象限， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， 故选：A． 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图象的开口向下 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据二次函数的图象与性质分别判断即可． 【详解】解：A、由于，故开口向上，选项A错误，不符合题意； B、由二次函数 得顶点坐标为，选项B错误，不符合题意； C、图象的对称轴是直线，选项C错误，不符合题意； D、由于开口向上，对称轴是直线，则当时，随的增大而减小，故选项D正确，符合题意， 故选：D． 7. 如图，⊙的直径与弦的延长线交于点E．若则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握三角形外角的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．连接，根据等腰三角形的性质证明，利用三角形外角的性质得到，再由等腰三角形的性质得到，从而计算的度数即可． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 8. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对的取值进行分类讨论（当时和当时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解． 根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限， 当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴左侧，则A选项不符合题意， 当时，二次函数图象，开口向下，对称轴在y轴右侧，则C选项不符合题意，B选项符合题意； 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限， 当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴右侧，则D选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，水平赛道米，赛道的坡角均为，则点的高为( A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】延长AB交ED于F，得到平行四边形BCDF和直角△AEF，通过解直角三角形得出结果． 【详解】解：延长AB交ED于F， ∵BC∥DE， ∴∠AFE=， ∴∠CDF=∠BFE=， ∴BF∥CD， ∴四边形BCDF是平行四边形， ∴DF=BC=b， ∴EF=DE-DF=a-b， 在直角△AEF中， ∵tan∠AFE=， ∴AE=， 故选择A． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解决问题的关键是把实际问题转化为数学问题，即构造直角三角形． 10. 已知二次函数，在时有最小值，则（ ） A. 5 B. 5或 C. 5或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的增减性和对称性，注意分类讨论是解题的关键．结合二次函数的图象增减性，对称性，分和两种情况分别进行讨论即可． 【详解】解：当时， 二次函数的开口向上， 此时该函数对称轴为直线， 即当时，函数有最小值， ∵二次函数（）时有最小值， ∴， 解得，； 当时， 二次函数的开口向下， 此时该函数对称轴为直线， 即当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， ∵二次函数的自变量x的取值范围为， ∴当时，函数有最小值， ∵二次函数（）在时有最小值， ∴， 解得，； 综上，或， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是______________． 【答案】x≥-3且x≠0 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解． 【详解】解：根据题意得：x+3≥0且x≠0， 解得x≥-3且x≠0． 故答案为：x≥-3且x≠0． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数． 12. 如图，在正方形网格中，点都在格点上，则的正切值是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正切的定义，连接，利用勾股定理计算出，然后利用勾股定理的逆定理可得到，再根据正切的定义进行计算即可，利用勾股定理的逆定理推动出为直角三角形是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴，，， ∴为直角三角形，， ∴， 故答案为：． 13. 抛物线与轴的一个交点的坐标为，则与轴的另一个交点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，正确记忆修改知识点是解题关键．先求出抛物线对称轴为：，再根据抛物线的对称轴进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线与轴的一个交点的坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是， 故答案为：． 14. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体的最大深度，截面圆中弦长为，那么球的半径长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，解题关键根据垂径定理得出，再设，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：设， ∵瓶内液体的最大深度， ∴，垂足为C， ∴， 设，则， 解得，， 故答案为：5． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A和点C是反比例函数图象上的两点，线段经过原点，以为边作等边，反比例函数恰好过点B，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数的图像与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．过点作轴于点，过点作轴于点，设，则，由是等边三角形，，推出，，证明，得到，求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 设，则， 是等边三角形，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，负整数指数幂的意义，先根据算术平方根、零指数幂和负整数指数幂、绝对值的意义化简，再根据实数的运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 17. 求：二次函数的顶点坐标和对称轴． 【答案】顶点坐标，对称轴：直线 【解析】 【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标和对称轴． 【详解】解：∵ ∴顶点坐标 对称轴：直线． 【点睛】本题主要考查求二次函数的顶点坐标和对称轴，懂得把二次函数解析式的一般式化为顶点式是解题的关键． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点C，已知点 （1）求的值； （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将点坐标分别代入一次函数和反比例函数可求出k和m的值，再将点代入一次函数即可求出n值； （2）格努图形写出x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将坐标代入可得， ， 解得， ∴一次函数解析式为， 将坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 将坐标代入可得， ； 综上，； 【小问2详解】 不等式的解集为或． 19. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内． （1）求D到的距离． （2）求古塔的高度（结果保留根）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）过点作，根据斜坡的斜面坡度，结合勾股定理求出的长即可； （2）过点作，垂足为点，易得四边形为矩形，推出，在中，求出的值，再根据可得出答案． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为点， ∵斜坡的斜面坡度， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 过点作，垂足为点． 由题意得，， ∵ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 由（1）知：， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴． ∴． 答：古塔的高度． 20. 如图，反比例函数y=﹣与一次函数y=﹣x+2的图象交于A、B两点． （1）求A、B两点的坐标； （2）求△AOB的面积． 【答案】(1) A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（4，﹣2）；(2)6 【解析】 【分析】（1）解方程组可得到A点坐标和B点坐标； （2）先确定一次函数与y轴的交点D的坐标，然后根据S△AOB=S△AOD+S△BOD进行计算． 【详解】解：（1）解方程组得或． 所以A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（4，﹣2）； （2）直线AB交y轴于点D，如图， 把x=0代入y=﹣x+2得y=2， 则D点坐标为（0，2）， 所以S△AOB=S△AOD+S△BOD=×2×2+×2×4=6． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握两者的性质是解题的关键. 21. 如图，已知抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C． （1）求c、t的值； （2）若点P是抛物线第一象限内的一个动点，且满足，求点P坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式即可求出c的值，令即可求出t的值； （2）设点P的纵坐标为n，根据列出方程求出n的值，再将n的值代入抛物线表达式，求出横坐标即可． 小问1详解】 解：将代入得： ， ∴， 令， 解得：，， ∴即． 【小问2详解】 设点P的纵坐标为n，其中， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴，即， ∴． 令， 解得，（舍） 故． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识，会用待定系数法求解函数的表达式． 22. 2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到1m．（参考数据：，，） （1）求无人机从点B到点C处的飞行距离； （2）求四门塔的高度． 【答案】（1）34米 （2）15米 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，再根据等腰直角三角形的性质求出； （2）延长交的延长线于点F，设，用x表示出、，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知：， 在中，，， 则， 答：无人机从点B到点C处的飞行距离为； 【小问2详解】 解：如图②，延长交的延长线于点F， 则四边形为矩形， ∴， 设，则， 在中，， 则， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， 解得：， 答：四门塔的高度约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 23. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为80元的“吉祥龙”公仔，由于销售火爆，公仔的销售单价一直上涨到每个125元，此时每天可售出75个．物价部门规定，商品利润不得超过进价的，同时市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个． （1）设这种“吉祥龙”公仔的销售单价为x元，销售量为y个，求y关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围． （2）那么销售单价应降低多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）单价降低15元时，每天所获销售利润最大，最大利润是4500元 【解析】 【分析】本题主要考查了列一次函数解析式、二次函数的应用等知识点，找准等量关系、正确列出函数解析式是解题的关键． （1）先根据题意列出y关于x的函数关系式，然后再根据商品利润不得超过进价的确定x的取值范围即可； （2）设每天所获销售利润为w元，，再根据题意列出w关于x的函数解析式，然后化成顶点式即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∵商品利润不得超过进价的， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设每天所获销售利润为w元，， 则， ∴当元（降低了15元）每天所获销售利润最大，最大利润是4500元， ∴单价降低15元时，每天所获销售利润最大，最大利润是4500元． 24. 如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数表达式和一次函数表达式； （2）若点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标； （3）若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，轴对称最短路径问题： （1）利用待定系数法求解即可； （2）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，据此求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． （3）如图，过作轴于，过作轴于，设，证明，可得，可得，再解方程可得答案； 【小问1详解】 解：点在反比例函数图象上， ， 反比例函数表达式为， ，得， ， 将点和点代入得， 解得， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小， 设，代入得， 解得， 令，得 ； 【小问3详解】 解：如图，过作轴于，过作轴于，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵在的图象上， ∴，即， 解得：，， ∴或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，画出图形熟练的利用图形解答是关键. 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）判定的形状； （3）点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，作交于点，求的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1） （2）直角三角形 （3）， 【解析】 【分析】（1）先求出点C的坐标，再利用待定系数法即可解答； （2）解直角三角形，求出，，进而求出，即可得出结论； （3）求出直线BC的解析式为，求出，设，则，得到，利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：当时，，得 又抛物线过点 设抛物线表达式 得 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中， 在中， 为直角三角形； 【小问3详解】 解：设直线BC的解析式为，则， 解得， 直线BC的解析式为 ， ， ， 设，则 ， ∴当时，有最大值为，此时点P坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及解析式，二次函数的性质，解直角三角形，熟练运用数形结合的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $