河南省平顶山市第一中学2024-2025学年高二下学期开学摸底考试数学试题

数学试题 第 1页（共 4页） 数学试题 第 2页（共 4页） 绝密★启用前 平顶山一中 2024—2025学年（下）高二开学摸底考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题纸上。 写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回。 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求. 1．已知向量    1, 3, 2 , 3,2, 5a b      ，则下列结论正确的是 A． //a b  B． a b  C．  2, 5, 3a b      D． 14a   2．若曲线 2 2 1 1 1 x y k k     表示椭圆，则 k的取值范围是 A． 1k  B． 1k   C． 1 1k   D． 1 0k   或0 1k  3．已知    5,0 , 5,0A B ，动点 C满足 10AC BC ＋ ，则点 C的轨迹是 A．椭圆 B．直线 C．线段 D．点 4．抛物线 2 1 2 y x 的焦点坐标为 A． 10, 8       B． 10, 4       C． 10, 2       D． 1 ,0 2       5．若圆：  2 2: 2 1C x y   关于直线 : 0l x y m   对称， 1 : 4 2 0l x y   ，则 l与 1l 间的距离是 A．1 B． 2 C． 2 D．3 6．双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双 曲线的另一个焦点．如图： 1 2,F F 为双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的左，右焦点，从右焦点 2F 发出的光 线在双曲线C上的点A、 B处反射后射出  2, ,A B F 共线），若 120CAB ABD   ，则 b a  A． 2 B． 3 C．2 D． 5 7．若等差数列 na 的前 n项和为 nS ,则“ 2022 20230, 0S S  ”是“ 1011 1012 0a a  ”的 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的左顶点为A，左，右焦点分别为 1F ， 2F ，且 2F 关于它的一条渐 近线的对称点为 P，若以 P为圆心， 1PF为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为 A． 3 B． 2 C． 5 1 2  D． 3 1 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为0.7，乙每次命中概率为0.8，甲和乙是否命中互不 影响，甲、乙各投篮一次，则 A．两人都命中的概率为0.56 B．恰好有一人命中的概率为0.38 C．两人都没有命中的概率为0.6 D．至少有一人命中的概率为 0.94 10．已知数列 na 满足 11 22 2 2n nna a a n     ，则 A． 1na n  B． na 的前 n项和为 ( 2) 2 n n  C．   1 n na 的前 100项和为 100 D． 5na  的前 30项和为 357 数学试题 第 3页（共 4页） 数学试题 第 4页（共 4页） 11．“心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象： 21 : 4 4C y x x    ， 2 2 : 4 4C y x x    和抛 物线 2 3 : 2C x py 的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过 3C 焦点 F 的直线 l交 3C （包含边界点）于A， B两点， P是 1C 或 2C 上的动点，下列说法正确的是 A．抛物线 3C 的方程为 23 : 4C x y B． | | | |PB FB 的最小值为 5 C． PABS 的最大值为 7 D．若 P在 1C 上，则 PA PB   的最小值为 4 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12．已知  2,2,0a  ，  0,1,1b   ，若  a b a    ，则实数λ= ． 13．已知椭圆 2 2 1 2 2: 1( 0) x yC a b a b     与双曲线 2 22 : 4C x y  有相同的右焦点 2F ，点 P是椭圆 1C 和双曲线 2C的一个公共点，若 2 3PF  ，则椭圆 1C 的离心率为 ． 14．已知抛物线 2 6y x 的焦点为 F ，准线为 l，过 F 的直线与抛物线交于点 A、B，与直线 l交于点 D，若  1AF FB     且 4BD   ，则  . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知 (2, 4)A ， ( 1,1)B  ，O为坐标原点，圆 C为 AOBV 的外接圆． (1)求圆 C的方程； (2)过原点的直线 l被圆 C截得的弦长为3 2，求直线 l的方程． 16．（15分） 如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 2, E为 BC的中点．点M 在 1BD 上． (1)求证： AC 平面 BDM ； (2)若EM AD ．求直线 EM 与平面MCD所成角的大小； 17．（15分） 已知数列 na 的前 n项和为 nS ， 1 1a  ， 2 3a  ，  *1 1 2 2 2, Nn n nS S S n n      ． (1)证明： na 为等差数列； (2)在数列 nb 中， 1 3b  ， 2 1n n n na b a b  ，若 nb 的前 n项和为 nT ，证明： 9 2n T  ． 18．（17分） 已知  2,0A ，  2,0B  ，点 P是动点，直线 AP与直线 BP的斜率之积为 1 4  ， (1)求点 P的轨迹方程C (2)过点  1,0 且斜率不为 0的直线 l与C交于M 、N两点，直线 4x  分别交直线 AM 、AN于点 E、G，以 EG为直径的圆是否过 x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 19．（17分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yE a b a b     的离心率为 1 2 ，且过点 (2,0)．直线 1 0( 0)x my m   ≠ 交 E于A，B两点．点 A关于原点的对称点为C，直线 BC的斜率为 k， (1)求 E的方程； (2)证明： k m 为定值； (3)若 E上存在点 P使得 AP  ， PB  在 AB  上的投影向量相等，且 PAB 的重心在 y轴上，求直线 AB的方程 平顶山一中2024一2025学年（下）高二开学摸底考试 数学答案 1.D 解析：因a=(1,-3,-2),b=(3,2,-),对于A选项，由ā=乃可得：(1，-3，-2)=2(3,2，-5)，易知的值不存在：对于B选项， 由ā.b=3+(-6)+10=7≠0可知a16不成立：对于C选项，a-b=(1,-3,-2)(3,2,-5)=(-2,-5,3)≠(-2，-5，-3)：对于D 选项，1ā上V+(-3y+(-2沙2=4. 2.D 「1-k>0 解析：曲线品1表示椭圆，1，本>0，解得-1<k<1,且太=0，大的取值范国是-1<k<0或0<k<1,故 1-k≠1+k 选D 3.C 解析：因为A(-5,O),B(5,0),所以4C+BC=10=AB,知点C的轨迹是线段AB. 4.C 解析：由y=x,可得：x=2y,所以焦点坐标为： 2 5.D 解析：由意C(-√2,0)，圆C:(x+√2+y=1关于直线1：x-y+m=0对称，则-√2-0+m=0,m=反，即1方程为 2-4W2 x-y+√2=0，所求距离为d= =3 12+(-1) 6.A 解析：连接rB, 因为∠CAB=∠ABD=120°，则∠FAB=∠FBA=60°，即△FAB为等边三角形，由对称性可知耳R⊥AB,则 A=必，ARR=30,又因为m30=只，即2-，“，整理得3-2WBe-3=0,解得。=5或 3 a 3 7.C 解析：解由知S,为等差数列a的前n项和，当有5m<0,S>0成立时.Sm-20加34，±l=20234:>0, 2 4n>0,S02n 2022a+al=1011aom+am<0,an+am<0,4:>0.am<0,六amaa:<0,所以 2 “S22<0,S22>0”是“ao14o2<0的充分条件，当有ao114o2<0成立时，a1+ao,的正负无法判断， S20 2022(a+am）=101(ai+4).则=的正负无法判断，则Sa:<0,Sg>0不是am4m<0的必要条件， 综上：“S02<0,S2>0”是“a14o:<0”的充分不必要条件 8.B 解析：由题意可知：OF=OP=Pr=c, 设PR与渐近线y=x的交点为M,则M为PE的中点，且PR⊥OM,则点E(c,0)到直线x-ay=0的距离 bc WME-Ja+b =b,可得OM=c2-b=a,又因为O,M分别为RR,PR的中点，则|P=2OM=2a,即c=2a,所 以双曲线的离心率为e=∈=2 a 9.ABD 解析：设事件A:甲投篮一次，命中：事件B:乙投篮一次，命中.则事件A,B独立对A选项：由 P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56,故A正确：对B选项：由 P(AB)+P(AB)=P(AP(B)+P(4)P(B=0.3×0.8+0.7×0.2=0.38,故B正确；对C选项：由 P4B)=P(A)P⑧)=0.3×0.2=0.06，故C错误：对D选项：由1-P(AB=1-0.06=0.94,故D正确. 10.AD 解析：当n=1时，4=2，当n≥2时，4+2a2++2"-2a1=(n-1)2,两式相减可得：2-a=n2-(n-1)2"-=(n+1)2, 所以a=n+1,显然当n=1时，a,满足a,故a=n+1,故A正确：由等差数列求和公式知{a}的前n项和为 n2++四_心+3，故B错误：令b=(←)a=(-旷u+),私，}的前10项和为： 2 2 -2+3-4+5+-100+101=1×50=50,故C错误；令c.=a-5=1-4,所以1a-5}的前30项和为： 6+6,++6=3+2+1+0+1+2++26=6+27×0+26).357,故D正确 2 11.ABD 解析：C:y=4+√-x2+4x可变形为(x-2)+(0-4)2=4(0y24),表示以C(2,4)为圆心，2为半径的圆的上半部分： C:y=4+√-x2-4x可变形为(x+2)+(0y-4)2=40y≥4)，表示以C,(-2,4)为圆心，2为半径的圆的上半部分.对于A选 项，抛物线C:x2=2y过点(4,4)，解得p=2,C:x2-4y,故A选项正确：对于B选项，抛物线C:x2-4y的准线为 ':y=-1,过点B作BB,⊥I',垂足为B, B1' 则BF=BB,则PB+FB=PB+BB≥d2r≥4+1=5，故B选项正确：对于C选项，不妨设1：y=+1(k≥0)，显然 离1限运的点在上，且dd-2,展立仁消去y整理得-依-4：0。 Vk2+1 4=4-0 ≤4。手则+=，=4，则AB-+C,+无广-4比，=4欣+)，由对称性只考虑 3.41≤ks4-1-3, k0配s在B时，子所以引所议8d,宁4华+ =2V+1(2k+3)+4低+1)，设)=2R+1(2k+3)+(+,易得)在0，]上单调递增，所以5心的最大值为 4 M)兰，故C选项错误：对于D选项，设B的中点为M,联立 y=k+ x2=4y ,消去y整理得x2-4%-4=0,则x+=4h, 离=4学=，=21，子品0-子所以 3 2 PA.P丽=(pW+MA(Pi+ME)=pW-a,1PM=PCP+MCP-2 PCCxcos∠PCM,1pM最小，即 Cos∠PCM最大，也即∠PCM最小，又AB的中点M位于圆心C的左侧，故当P在(O,4)位置时，∠PCM最小，PMI最 小，所以P-≥2k-0+(2+1-4-4w+4=4k+4k-12+9-4+k=-16k+52-16×号+5=4， 16 故D选项正确 12.-4 解析：因为a+=(2,2,0)+(01,1)亿，2+元，2)，由(a+6)1ā→（位+5）a=0,所以 (2,2+元2)(2,2,0)=0→2×2+2(2+)+0=0→1=4. 13.25 解析：解：由思意，不妨设P在第一象限，R为左焦点，双曲线C,x-y=4可化为二=1，由双曲线的定义知： 44 P-PF=4,PE=3,则P=7,c=√4+4=25，由椭圆的定义知：2a=P+Pr=10,∴.a5,:椭圆与双曲 线有相同的右焦点，∴椭圆的离心率e=9=25 a 5 14.3 解析：如图，设准线与x轴的交点为K,作AA⊥1，BB⊥1垂足分别为A,B, 则BB,∥FK∥AA根据抛物线定义知BB=BF,AA=AF,设∠DBB,=6,因为BB,∥FK∥AA,所以 ∠R4=∠KFD=∠DBR=0,cos0=路=-片设B=a,所以cs0=g=3= BD FD AD 44+a4+(2+1)a,所以3=3. 15. 解析：(1)设VAOB的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D+B2-4F>0),由A,B,O均在圆C上，得 4+16+2D+4E+F=0 「D=-2 1+1-D+E+F=0,解得E=4,所以圆C的方程为x2+y2-2x-4y=0. F=0 F=0 ②)由)知圆心c02,半轻为、5，由直线1妆置C载得的弦长为35，得点c到直线1的距离为d-5-=号 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=:,则-2=5 =2·两边同时平方得一4十4=：解得k=1或k=7· 当直线1的斜率不存在时，不满足条件，所以直线1的方程为x-y=0或7x-y=0. 16. 解析：(1)·ABCD-ABCD是正方体，∴.DD⊥平面ABCD,又ACC平面ABCD,∴.DD⊥AC,易得AC L BD,又 BD∩DD,=D,BD,DD,C平面BDD,∴，AC⊥平面BDD,又点M在BD上，所以AC⊥平面BDM (2)连接CD,在正方体中，根据BC⊥平面CDD,C,:CDC平面CDD,C,∴.BC⊥CD,又EM⊥AD,AD/IBC,∴.EM⊥BC, EM,CDC平面BCD,.M∥CD,又E为BC中点，.M为BD,中点：根据正方体的特征建立空间直角坐标系如图 所示： D B 卡A 则D(0,0,0),C(0,2,0),E(L,2,0),M(L1,1),∴.DC=(0,2,0),DM=(1,1,),EM0,-11,则E☑=√2，设平面MCD法向 m DC=2y=0 量为m=(x,少)，则 mDW=x+y+:=0'故可取m=L,0-),设直线BM与平面MCD所成角为0，则 sin 0=cos(m,EM) 因9g0孔放0妆直线B与平面Mp所成角弱 17. 解析：(1)因为Sn1+Sn1=2S+2n≥2，neN),所以SH-S.=S-S-1+2≥2J1eN),即a1=a+20n22,neN), 又4-4=3-1=2，所以数列{a}是首项为1，公差为2的等差数列 (2)由(1)知：a.=1+(n-1)×2=2n-1,则a2=2u+2）-1=21+3,又ab,=a2ba,所 b1=0=2n-1 b.a+221+3 是是音器若a西 21-32-531 ,所以 18. 解折)设PK小，则点名且学2所以，言2本2整理可得子+=2，即点P的轨迹方 x-2x+241 程C:+21≠2) (2)如下图所示： x=0y+1 设直线I方程为x=+1,M(:,片)，N(:,2),联立可得 4+y2= ,可得(2+4)y2+2y-3=0,所以 所品△=(2+43+小0：直线4W的方程为产-2，可得器即 y+男=-2m 直线N的程有产6-小可得%器阳©益} 所以 -12 -12 4v V: 4yV: 4vV: %6-28-2m-1)m,-1mw-m%+y打w 2+4 -2l =m+4=-3 4 m+4m+41m4 假设过定点H(化，0)，则丽G=0,即(4-)(4-)+y%=0,即可得(4-1)}'-3=0，解得t=4士5，所以定点为(4+V5,0) 和(4-50). 19. 9= 2 [a=2 解析：(1)由己知，得 a=2,解得 b2=d2-c2 石则稀圆：的方程为宁号-1： (2)依题意，可设点A(5),B(2),且≠， B D 点A关于原点的对称点为C(-,-乃)，点AB在E上， 43·作差得是=-子，直线4B:x-m+1=0(m≠0 的翻率为合直战c的率为太，会授受受-子即会为定位子 (3)设弦AB的中点D(xoy),点P(xy),aPAB重心G(x,a), 米B G 由手+号1,0m4r-6m-9=0,a,6436Bm410.且%g△28的 6m x-y+1=0 重心G在y轴上，+十龙=0，x,=-名-名=-网，+1-m+1=2-m(以+为)=26 8 3 3加+43m+4则 8 6mL ,了片3+上加·卫P西在而上的投影向量相等，则4=P,包 x。=+=3m+4-4 2 2 2 23m2+4 3m 84） 9m PD⊥B,则直线PD的方程为y-=-m(t-x,=。-m(,-o)=3n+4m3m+4十3m+43m+4 气3m+4m+4又点P在B上， n89m）】 8 9m 得 +4,上3m+41即m(6m-)=0又m0→m=±5，则直线 3 4 3 AB的方程为3x士V3y+3=0.