精品解析：山西省晋中市寿阳县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年第一学期期末检测试题（卷） 九年级数学 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确答案的标号用2B铅笔填（涂）在答题卡内相应的位置上） 1. 如图，在 中，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道 长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度 的长为（ ）米． A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，如果 的半径为3，那么点在 （ ） A. 内 B. 外 C. 上 D. 不确定 5. 如果 中，，则下列结论正确的是（　　） A. 是等边三角形 B. 是钝角三角形 C. 是等腰直角三角形 D. 是锐角三角形 6. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 圆周角等于圆心角的一半 B. 等弧所对的圆心角相等 C. 同一条弦所对的圆周角相等 D. 三个点可以确定一个圆 8. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是（ ） A. 小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B. 小球从飞出到落地要用4s C. 小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 D. 小球的飞行高度可以达到25m 9. 如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　） A. 12海里 B. 6海里 C. 12海里 D. 24海里 10. 如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在 中，，， ，则的余弦值为______． 12. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为_______． 13. 如图， 是 的弦，半径，点D在 上，且，则________． 14. 如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是__________平方米． 15. 京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约． 如图，摩天轮直径88米，最高点 距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟． 由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离不少于34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为__________分钟． 三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在 中，，求 的长． 18. 如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，． （1）求的度数． （2）若，，求的长度． 19. 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量x的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额 成本） 20. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24 cm，CD=8 cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 21. 根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼 共11层，乙楼 共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米， 为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 22. 综合与实践 【问题提出】，某兴趣小组开规综合实放活动：在正方形 中， ，动点 以每秒1个单位的速度从 点出发匀速运动，到达点 时停止，作 的垂线交 于，连接，设点 的运动时间为，的面积为 ，探究 与 的关系． 【初步感知】 （1）如图1，当点P由B点向C点运动时， ①当 时，________，________； ②经探究发现S是关于t的二次函数，请写出S关于t的函数解析式为________．自变量取值范围为________； （2）根据所给的已知，完成列表中的填空，并在图3的坐标系中绘制出函数的图象； t … 0 1 2 3 4 … s … 8 （ ） （ ） （ ） 8 … 【延伸探究】 （3）当的面积为S的一半时，求t的值． 23. 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末检测试题（卷） 九年级数学 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确答案的标号用2B铅笔填（涂）在答题卡内相应的位置上） 1. 如图，在 中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正弦、余弦与正切“在中，，的对边与斜边的比叫做的正弦；的邻边与斜边的比叫做的余弦；的对边与邻边的比叫做的正切”，熟练掌握正弦、余弦与正切的定义是解题关键．根据正弦、余弦与正切的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 2. 下列函数中，是关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可．二次函数的基本表示形式为 ．二次函数最高次必须为二次． 【详解】解：A：，最高次项为一次，不符合题意； B：，当时，不是二次函数，不符合题意； C：，不满足二次函数的定义，不符合题意； D：，满足二次函数的定义，符合题意； 故选：D 3. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道 长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，如果 的半径为3，那么点在 （ ） A. 内 B. 外 C. 上 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．求得线段的长即可确定正确的选项． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 的半径为3，， ∴点A在圆内， 故选A． 5. 如果 中，，则下列结论正确的是（　　） A. 是等边三角形 B. 是钝角三角形 C. 是等腰直角三角形 D. 是锐角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此题的关键． 根据特殊角的三角函数值，直接得出，的角度即可解答． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形． 故选C． 6. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，依据题意，由抛物线为，从而开口向上，对称轴是 轴，结合抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，进而可以判断得解．掌握二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线为， ∴该抛物线的图像开口向上，对称轴是 轴， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ∵， ∴． 故选：C． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 圆周角等于圆心角的一半 B. 等弧所对的圆心角相等 C. 同一条弦所对的圆周角相等 D. 三个点可以确定一个圆 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧，圆心角，圆周角等，解决问题的关键是熟练掌握弧，圆心角，圆周角的关系，等弧的概念等． A．根据同圆或等圆中同弧或等弧所对圆心角等于圆周角的2倍判断即可； B．根据等弧所对的圆心角相等判断即可； C．根据同一条弦所对的圆周角可能相等，也可能互补，据此判断即可； D．根据不在同一直线上的三个点可以确定一个圆进行判断即可． 【详解】解：A．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆心角等于圆周角的2倍，故原说法不正确； B．相等的弧所对的圆心角相等，故此说法正确； C．同一条弦所对的圆周角不一定相等，还可能互补，故此说法不正确； D．不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故此说法不正确． 故选：B． 8. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是（ ） A. 小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B. 小球从飞出到落地要用4s C. 小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 D. 小球的飞行高度可以达到25m 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间；求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答． 【详解】解：的两根，，即时所用的时间， 小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误； ， 对称轴为直线，最大值为20，故D错误； 时，，此时小球继续下降，故C错误； 当时，，， ， 小球从飞出到落地要用4s，故B正确． 故选：B． 9. 如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　） A. 12海里 B. 6海里 C. 12海里 D. 24海里 【答案】B 【解析】 【分析】过点作 ，利用，结合锐角三角函数，列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作 ， 由题意，得：， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 故选B 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 10. 如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当 时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在 中，，，，则的余弦值为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及余弦函数的定义． 先利用勾股定理求得斜边的长，再根据余弦函数的定义求解可得． 【详解】解：如图所示， 在中，∵，， ∴， 则． 故答案为：． 12. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键．根据“左加右减，上加下减”求解作答即可． 【详解】解：由题意知，平移过后的抛物线表达式为， 故答案为：． 13. 如图，是 的弦，半径，点D在 上，且，则________． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，连接常用的辅助线是解题关键．连接，由同弧所对圆周角等于圆心角的一半可求出，再根据垂径定理即可得出． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． 14. 如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是__________平方米． 【答案】450 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答． 【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 15. 京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约． 如图，摩天轮直径88米，最高点 距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟． 由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离不少于34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为__________分钟． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、锐角三角函数的应用等知识，熟练先求摩天轮转动的角速度为每分钟，再求出米，则，得，然后求出最佳观赏位置的圆心角为是解题的关键． 【详解】解：如图所示： 摩天轮转动的角速度为每分钟：， 由题意得：米，米，米， 则(米)，(米)， ∴(米)， ∴(米)， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴最佳观赏位置的圆心角为， ∴在运行的一圈里最佳观赏时长为：(分钟)， 故答案为：12． 三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入，计算即可； （2）先化简，代入特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 如图，在 中，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度直角三角形性质，等腰直角三角形的判定及勾股定理；过C作于D，在中，得，求出，有，则在中，由含30度直角三角形性质，得，由勾股定理得；最后即可得解． 【详解】解：如图，过点C作于点D． 在中，， ， ， 在中， ， ， ． ． 18. 如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，． （1）求的度数． （2）若，，求 的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关知识：“直径所对圆周角等于”，“同弧所对的圆周角相等”．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据“直径所对的圆周角等于”可得，再根据“同弧所对的圆周角相等”，即可求出的度数． （2）先在中根据勾股定理求出 的长，再在中根据勾股定理求出 的长． 【小问1详解】 解：∵ 为 的直径， ， ∵， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 19. 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量x的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额 成本） 【答案】（1） （2）销售产品所获利润是 万元； （3）当销售量吨时，获得最大利润，最大利润为：万元； 【解析】 【分析】（1）设抛物线为：，再利用待定系数法求解即可； （2）先求解当时，成本的最小值为，再计算销售额，从而可得答案； （3）设销售利润为万元，可得，再利用二次函数的性质解题即可； 【小问1详解】 解：∵成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线为； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，成本最小值为， ∴， ∴销售产品所获利润是（万元）； 【小问3详解】 解：设销售利润为万元， ∴ ， 当时，获得最大利润， 最大利润为：（万元）； 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟练的建立二次函数的关系式是解本题的关键． 20. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24 cm，CD=8 cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 【答案】 （1）如图： （2）圆的半径为13 cm． 【解析】 【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心； （2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长． 【详解】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点， 以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆． （2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm， 则根据勾股定理列方程：x2=122+（x-8）2，解得：x=13． 答：圆的半径为13cm． 【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 21. 根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼 共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米， 为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 【答案】任务一：冬至，；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键． 任务一：根据题意直接求解即可； 任务二：过E作于F，利用正切定义求得 【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需为冬至日时的最小角度，即， 故答案为：冬至，； 任务二：过E作于F，则，米， ， 在中，， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， （层）， 答：乙楼中7层（含2层）以下不能安装该品牌太阳能热水器． 22. 综合与实践 【问题提出】，某兴趣小组开规综合实放活动：在正方形 中，，动点 以每秒1个单位的速度从 点出发匀速运动，到达点时停止，作 的垂线交 于 ，连接，设点 的运动时间为，的面积为 ，探究 与 的关系． 【初步感知】 （1）如图1，当点P由B点向C点运动时， ①当 时，________，________； ②经探究发现S是关于t的二次函数，请写出S关于t的函数解析式为________．自变量取值范围为________； （2）根据所给的已知，完成列表中的填空，并在图3的坐标系中绘制出函数的图象； t … 0 1 2 3 4 … s … 8 （ ） （ ） （ ） 8 … 【延伸探究】 （3）当的面积为S的一半时，求t的值． 【答案】（1）①，；②；（2）6.5，6，6.5，见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）①证明，计算出，利用三角形的面积公式即可求解； ②由题意计算得，，利用三角形的面积公式即可求解； （2）根据函数解析式计算，完成填空绘制图象即可； （3）根据当的面积为 的一半以及三角形的面积公式建立方程，求出答案即可． 【详解】解：（1）①当时，， 又 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ，则， 的面积； ②当点 由点 运动到点时，，， ， ，即， ， ， 的面积． 故答案为：①，．②； （2）完成列表中的填空如下， t … 0 1 2 3 4 … s … 8 6.5 6 6.5 8 … 在坐标系中绘制出函数的图象如下； ； （3）当点P由点B运动到点C时，， ∵的面积为S的一半， ∴， 解得， ∵， ∴． ∴当时，的面积为S的一半． 【点睛】本题考查了画二次函数的图象，相似三角形的判定和性质，三角形面积，一元二次方程的解法等，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 23. 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①；②当时， 有最小值为 （2）解：∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时， 有最小值； ∴甲的说法合理； （3）正确， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可； （2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可； （3）将一般式转化为顶点式，表示出 的最大值，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）①把代入，得： ； ∴； ②∵， ∴当时， 有最小值为； （2）略 （3）正确； ∵， ∴当时， 有最小值为， 即：， ∴当时，有最大值，为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $