9.1.4设计轴对称图案培优练习 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

9.1.4设计轴对称图案培优练习华东师大版2024—2025学年七年级下册 一、选择题 1．下列各图是中国古典花窗基本图案，其中是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 2．如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（　　） A．B． C．D． 3．如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应位于（　　） A． 点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点，∠ABC＝60°，∠BAC＝70°，若点P，Q分别是线段AD，AB上的动点，则BP+PQ的最小值与线段（　　）的长度相等． A．BD B．AD C．AB D．AC 5．直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥EF（桥EF与河的两岸l1，l2垂直），使得从村庄P经桥EF过河到村庄Q的路径PEFQ最短，即PE+EF+FQ最小．则下列图中满足条件的是（　　） A．B． C．D． 二、填空题 6．如图，△ABC的面积为6，AB＝5，AD平分∠BAC，若M，N分别是AD，AC上的动点，则MN+CM的最小值为 　 　． 7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分别是边AB，AD上的动点，当△MCN的周长最小时，∠MCN的大小是 　 　°． 8．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足S△PBCS△ABC，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为 　 　． 9．如图，∠AOB＝25°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则α与β的数量关系为 　 　． 10．在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别为BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为 　 　． 三、解答题 11．如图，∠ABN＝60°，点C为射线BN上一定点，E为线段AB延长线上一定点，且BE＝AB＝12，点A关于射线BN对称点为D，连接BD，CD，DE． （1）证明：∠BAC＝∠BDC； （2）若P为直线BC上一个动点，求△PDE周长最小时，P所在的位置，并求出△PDE周长的最小值． 12．已知点P在∠MON内． （1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP． ①若∠MON＝50°，则∠GOH＝　 　； ②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10； （2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数． 13．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是线段BC、DC上的动点．当△AEF的周长最小时，则∠EAF的度数为多少度？ 14．如图，CA∥BD，CA⊥AB，AC＝5，BD＝3，AB＝8，E是AB上一动点，设AE＝x． （1）用x表示CE； （2）当x为何值时，CE＝DE； （3）代数式是否有最小值，若有请求出最小值，若没有请说明理由． 15．已知点P在∠MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP． （1）若∠MON＝50°，求∠GOH的度数； （2）如图2，若OP＝6，当△PAB的周长最小值为6时，求∠MON的度数． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 答案 C B C B A 二、填空题 6．【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，在AB上截取线段AN′，使得AN′＝AN， ∵AD平分∠CAB，AN＝AN′， ∴N，N′关于AD对称， ∴MN＝MN′， ∴CM+MN＝CM+MN′≥CE， ∵S△ABC•AB•CE， ∴CE， ∴CM+MN， ∴CM+MN的最小值为． 故答案为：． 7．【解答】解：延长CD到E，使得DE＝CD，延长CB到F，使得BF＝CB，连接EF，交AD，AB于N′，M′，此时△MCN的周长最小， ∵∠B＝∠D＝90°， ∴AD垂直平分CE，AB垂直平分CF， ∴CN′＝EN′，CM′＝FM′， ∴∠E＝∠ECN′，∠F＝∠FCM′， ∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°， ∴∠ECF＝140°， ∴∠E+∠F＝40°， ∵∠CN′F+∠CM′E＝∠E+∠ECN′+∠F+∠FCM′＝2（∠E+∠F）＝80°， ∴∠M′CN′＝100°， 故答案为：100． 8．【解答】解：∵S△PBCS△ABC， ∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上， ∴l∥BC， 作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示： 则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小， 作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD， ∵AD⊥BC，AD＝BC， ∴BB'＝BC，BB'⊥BC， ∴△BB'C是等腰直角三角形， ∴∠B'＝45°， ∵PB＝PB'， ∴∠PBB'＝∠B'＝45°， ∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°； 故答案为45°． 9．【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝25°（180°﹣β）， ∴180°﹣α＝50°+（180°﹣β）， ∴β﹣α＝50°， 故答案为：β﹣α＝50°． 10．【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠DAB＝130°， ∴∠HAA′＝50°， ∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝50°， ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， 且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×50°＝100°， ∴∠MAN＝80°， 故答案为：80°． 三、解答题 11．【解答】（1）证明：连接AD，如图， ∵点A关于射线BN对称点为D， ∴BN垂直平分AD， ∴BA＝BD，CA＝CD， 在△BAC和△BDC中， ， ∴△BAC≌△BDC（SSS）， ∴∠BAC＝∠BDC； （2）解：∵△BAC≌△BDC， ∴∠DBN＝∠ABN＝60°， ∵BE＝BA，BA＝BD， ∴BE＝BD， ∴∠E＝∠BDE， ∵∠ABD＝∠E+∠BDE， ∴∠E＝∠BDE＝60°， ∴△BDE为等边三角形， ∴DE＝BE＝12， ∵BN垂直平分AD， ∴PA＝PD， ∴PE+PD＝PE+PA， ∵PE+PA≥AE（当且仅当P、A、E共线时取等号）， 即点P点运动到B点时，PE+PA的最小值为24，此时△PDE周长的最小值为36． 12．【解答】解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H， ∴OG＝OP，OM⊥GP， ∴OM平分∠POG， 同理可得ON平分∠POH， ∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°， 故答案为：100°； ②∵PO＝5， ∴GO＝HO＝5， 当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°， ∴点G，O，H在同一直线上， ∴GH＝GO+HO＝10； （2）如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B， 连接PA、PB，则AP＝AP'，BP＝BP“，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长． 由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB， ∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°， ∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°， ∴∠OPA＝∠OP'A＝30°， 同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°， ∴∠APB＝30°+30°＝60°． 13．【解答】解：作出A关于BC和CD的对称点A′、A″，连接A′A″，交BC于点E，交CD于点F，则A′A″即为△AEF的周长最小值，作DA延长线AH， ∵∠DAB＝130°， ∴∠HAA′＝50°， ∴∠HAA′＝∠AA′E+∠A″＝50°， 由折叠可知：AF＝A''F，AE＝A′E， ∴∠FAD＝∠A″，∠EA′A＝∠EAA′， ∴∠EAA′+∠A″AF＝50°， ∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°． 14．【解答】解：（1）∵CA⊥AB，AC＝5，AE＝x． ∴； （2）∵CA∥BD，BD＝3，AB＝8， ∴BD⊥AB，BE＝8﹣x， ∴， ∵CE＝DE， ∴x2+25＝（8﹣x）2+9， 解得 x＝3， ∴当x为3时，CE＝DE； （3）如图，作点C关于直线AB的对称点F，过点F作FG⊥BD交DB的延长线于点G，连接FD， 由对称的性质可得，EC＝FE， ∵CA⊥AB，BD⊥AB， ∴∠BAF＝∠ABG＝∠BGF＝90°， ∴四边形AFGB为矩形， ∴BG＝AF＝AC＝5，FG＝AB＝8， ∴DG＝DB+BG＝8， ∵， ∴当点D、E、F在同一直线上时，FE+DE的值最小，即CE+DE的值最小， ∴CE+DE的最小值为， 即的最小值为． 15．【解答】解：（1）∵点P关于射线OM的对称点是G， ∴∠GOM＝∠POM． ∵点P关于射线ON的对称点是H， ∴∠HON＝∠PON． ∵∠MON＝∠MOP+∠NOP＝50°， ∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠NOP+∠HON＝2∠MON＝100°； （2）作点P关于OM、ON的对称点P′和P″，连接P′P″、OP′、OP″、OP. ∴PA＝P′A，PB＝P″B，OP′＝OP，OP″＝OP，∠P′OM＝∠POM，∠PON＝∠P″ON． ∵△PAB的周长最小值为6，OP＝6， ∴P′P″＝OP′＝OP″＝6． ∴△OP′P″为等边三角形． ∴∠P′OP″＝60°． ∵∠P′OP″＝∠P′OM+∠POM+∠PON+∠P″ON＝2∠MON， ∴∠MON＝30°． 学科网（北京）股份有限公司 $$