精品解析：河南省豫东名校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

高二数学 考生注意： 1、本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2、答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3、考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4、本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章~第五章第2节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线 的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由直线方程求出直线的斜率，从而可求出其倾斜角 【详解】解：设直线的倾斜角为， 由直线得其斜率为， 所以， 因为，所以， 故选：B 【点睛】此题考查由直线方程求直线的倾斜角，属于基础题 2. 一质点做直线运动，其运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系为，则时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对求导，然后将代入导数式，可得该质点在时的瞬时速度. 【详解】，所以当时，． 故选：D． 3. 已知拋物线的焦点是，点在抛物线上，则（ ） A. B. C. 5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】因为拋物线的焦点是，所以， 因为点在抛物线上，所以． 故选：C． 4. 已知数列为等比数列，若，则公比的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本量法可求公比. 【详解】因为，所以． 故选:B． 5. 已知函数，则（ ） A. B. 6 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先对给定函数求导，求出的值，然后将其代入原函数得到完整的函数表达式，最后把代入函数求出的值. 【详解】，所以， 解得，则，所以． 故选：A． 6. 已知等差数列的前项和有最小值，若，则当取得最小正值时，（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，找出正负相间的项，再结合等差数列和的性质计算即可. 【详解】因为有最小值，所以数列的公差，又，即， 所以，且，所以， 所以为的最小正值． 故选：C． 7. 如图，正四面体中，为的中点，点在上，且，则两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题根据正四面体的几何性质选出一组基底，通过线性运算表示出所求向量，根据数量积运算，可得答案. 【详解】设 ，，，， ， 为中点，，． ， 根据题意知道，同理，代入上面式子， . 故选：C． 8. 设一组曲线，若存在两条曲线，其交点与，满足，则满足条件的所有有序数对的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由，所以点在以为直径的圆上可得， 联立曲线方程，解出交点坐标关系，代入得，由正整数条件找出解的个数即可. 【详解】由题意，曲线的方程分别为、， 故，且，且，且. 联立方程组解得 由且，得， 又因为，所以点在以为直径的圆上，故， 所以， 解得，所以有序数对可以为： ，共6个． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（ ） A. 为直角三角形 B. 为等腰三角形 C. 的外接圆方程为 D. 的重心位于直线上 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先通过斜率判定三角形边关系判断三角形类型；接着利用外接圆方程的一般形式，将三个顶点坐标代入求解方程；最后根据重心坐标公式求出重心坐标，判断其是否在直线上. 【详解】因为，所以，则是以为直角顶点的直角三角形，故A正确； 因为两点间的距离公式计算得到，所以是等腰三角形，故B正确； 由知的外接圆是以线段为直径的圆，其圆心为，半径，所以外接圆方程为，故C正确； 的重心坐标为，即，显然不在直线上，故D错误． 故选：ABC． 10. 如图1所示，矩形中，分别为的中点，现沿折起，使得半平面和半平面所成的二面角为分别是的中点，如图2所示，则（ ） A. B. C. 直线和所成角的余弦值为 D. 与平面所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意知道因为，可以点为原点，所在直线分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系.然后得到关键点坐标，进而运用向量法对各个选项进行证明和计算验证即可. 【详解】由题意知，因为，所以， 以点为原点，所在直线分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，如图． 因为，所以，， 所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，所以， 所以直线和所成角的余弦值为，故C错误； 取平面的一个法向量为，设与平面所成的角为， 则，因为，所以，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】 11. 设数列是首项为1，公差为2的等差数列，是首项为1，公比为2的等比数列，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. 若，则 C. 存在正整数，使得成等比数列 D. 将数列与的所有项从小到大排列组成一个新的数列，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列，等比数列的性质，结合基本不等式逐个计算判定即可. 【详解】由题易知 对A,因为，故A错误； 对B,根据等差数列的性质，若，则， 又数列中各项均为正数，所以，即，故B正确； 对C,若成等比数列，则，即，显然时不成立， 当时，等式左边为偶数，右边为奇数，所以等式不成立，故C错误； 对D,因为，，又，所以，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由导数的四则运算法则求导，结合三角函数值求解即可． 【详解】由，得，则． 故答案为：. 13. 若圆与圆恰有一个公共点，则的值为______． 【答案】或6 【解析】 【分析】根据两圆的方程，先得到圆心坐标和半径，由两圆相切，讨论内切和外切两种情况，即可得出结果. 【详解】圆，该圆的圆心坐标为，半径（）. 而圆的圆心坐标为，半径. 根据两点间距离公式，两圆的圆心距. 因为两圆恰有一个公共点，所以两圆内切或外切. 当两圆外切时， ，可得，解得； 当两圆内切时， ，可得. 当时，解得. 当时，（不成立，因为算术平方根是非负的）. 故的值为或. 故答案为：或. 14. 已知双曲线的两条渐近线将双曲线所在平面分为上，下，左，右4个部分（不含渐近线上的点），若位于上部分，不位于下部分，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，需使渐近线的斜率，利用离心率的定义计算即可求得范围. 【详解】双曲线的两条渐近线方程为， 因为位于上部分，不位于下部分，而， 故得，则的离心率． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：正确理解渐近线把平面分成4个部分内的点的特征，建立渐近线斜率与对应点和原点所在直线斜率之间的大小关系，即可利用齐次式不等式求得离心率范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，． （1）证明：的纵坐标之积为定值； （2）若，求此时直线的方程． 【答案】（1）若直线的斜率为0，则直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率不为0， 抛物线的焦点为， 设直线， 由消去，得， 所以，即的纵坐标之积为定值． （2）． 【解析】 【分析】（1）先判断直线的斜率不为0，可设直线与抛物线方程联立，利用韦达定理可得的纵坐标之积为定值； （2）若，则，可得，结合韦达定理求出，即可求此时直线的方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， 若，则，即， 所以，即， 即解得， 所以直线的方程为即． 16. 如图，在直三棱柱中，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，由三角形中位线性质得，再由线面平行的判定定理即可证明结果； （2）根据条件建立空间直角坐标系，由条件求得平面的法向量和，再利用空间距离的向量法，即可求出结果. 【小问1详解】 证明：连接交于，连接，则为的中点， 因为是的中点，所以， 又平面平面，所以平面． 【小问2详解】 由是直三棱柱，且，故两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，又， 则， 则． 设平面的法向量为， 由，得，令，得，所以， 又，设点到平面的距离为， 则． 17. 已知曲线和曲线． （1）若为曲线上的一动点，当点到直线的距离最小时，求点的坐标； （2）若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，再借助直线平行，斜率相同，再结合导数求切点即可； （2）设出切点，再运用导数几何意义构造方程组计算即可. 【小问1详解】 由题意知，当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，对求导，得， 令，得，所以点的坐标为． 【小问2详解】 设直线与曲线的切点坐标为，求导得， 则在点处的切线斜率为，可得切线方程为，整理得 ①. 设直线与曲线的切点坐标为，求导，得， 则在点处的切线斜率为，切线方程为，整理得 ②. 因为①②表示同一条直线，则 ③，且 ④. 由③可得，将其代入④得：，即， 解方程，得. 那么. 把代入①式得切线方程为. 18. 设椭圆的离心率为，且过点，右焦点为． （1）求的方程； （2）若直线与交于不同的两点，证明，直线和的倾斜角互补． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)利用离心率及得出，，再将点带入椭圆方程即可求解； (2)联立椭圆与直线的方程，借助韦达定理，证明即可得证. 【小问1详解】 设椭圆的左焦点为，且， 因为，所以， 又因为，所以， 所以椭圆的方程为，即， 将代入得，所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由(1) 可知椭圆的方程为，则， 联立方程组消去并整理得， 设， 所以． 所以， 因为， 所以，则直线和的倾斜角互补． 19. 已知数列的前项和满足，且． （1）证明数列为等差数列，并求的通项公式； （2）设为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值； （3）在数列中，对任意，当时，，若满足，求正整数的最小值． 【答案】（1）证明：当时，， 又，所以， 当时，， 所以， 可得，所以为等差数列． 又，得，又，所以公差． （2）13． （3）8 【解析】 【分析】（1）根据关系式计算，结合等差中项法证明计算即可； （2）运用裂项相消法计算求解即可； （3）根据题意求出，设，则．再求，解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 所以． 要使，即， 解得，所以最小正整数的值为13． 【小问3详解】 ，即， 不妨设，则． 因为，所以， 同理， 所以， 所以，解得，又，所以的最小值为3， 故的最小值为． 【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有： （1）公式法； （2）错位相减法； （3）裂项相消法； （4）分组求和法； （5）倒序相加法. 要根据数列的通项特征灵活熟练选择求和方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1、本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2、答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3、考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4、本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章~第五章第2节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线 的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 一质点做直线运动，其运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系为，则时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 3. 已知拋物线的焦点是，点在抛物线上，则（ ） A. B. C. 5 D. 3 4. 已知数列为等比数列，若，则公比的值为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. 6 C. D. 4 6. 已知等差数列的前项和有最小值，若，则当取得最小正值时，（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 7. 如图，正四面体中，为的中点，点在上，且，则两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 设一组曲线，若存在两条曲线，其交点与，满足，则满足条件的所有有序数对的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（ ） A. 为直角三角形 B. 为等腰三角形 C. 的外接圆方程为 D. 的重心位于直线上 10. 如图1所示，矩形中，分别为的中点，现沿折起，使得半平面和半平面所成的二面角为分别是的中点，如图2所示，则（ ） A. B. C. 直线和所成角的余弦值为 D. 与平面所成的角为 11. 设数列是首项为1，公差为2的等差数列，是首项为1，公比为2的等比数列，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. 若，则 C. 存在正整数，使得成等比数列 D. 将数列与的所有项从小到大排列组成一个新的数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 13. 若圆与圆恰有一个公共点，则的值为______． 14. 已知双曲线的两条渐近线将双曲线所在平面分为上，下，左，右4个部分（不含渐近线上的点），若位于上部分，不位于下部分，则的离心率的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，． （1）证明：的纵坐标之积为定值； （2）若，求此时直线的方程． 16. 如图，在直三棱柱中，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 17. 已知曲线和曲线． （1）若为曲线上的一动点，当点到直线的距离最小时，求点的坐标； （2）若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，求直线的方程． 18. 设椭圆的离心率为，且过点，右焦点为． （1）求的方程； （2）若直线与交于不同的两点，证明，直线和的倾斜角互补． 19. 已知数列的前项和满足，且． （1）证明数列为等差数列，并求的通项公式； （2）设为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值； （3）在数列中，对任意，当时，，若满足，求正整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $