专题10 一次函数的图象与性质【十一大题型】- 2025年中考数学一轮复习（全国通用版）

专题10 一次函数的图象与性质 1 正比例函数 1.1概念 一般地，形如(是常数，)的函数，叫做正比例函数，其中叫做比例系数. 1.2 性质 一般地，正比例函数(是常数，)的图像是一条经过原点的直线； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 2 一次函数 2.1 概念 一般地，形如(，是常数，)的函数，叫做一次函数. 当时，即，所以正比例函数是一种特殊的一次函数. 2.2 性质 一般地，一次函数(，是常数，)的图像是一条直线； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 当时，即一次函数经过轴上的点，决定直线与轴的交点位置. 3 待定系数法 （1）根据函数类型先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法. （2）两点确定一直线，故要用待定系数法求解一次函数的解析式，只需要代入两个点的坐标，得到关于的方程组，从而得到最终解析式. 4 一次函数与方程、不等式 （1）一次函数与方程 ① 一元一次方程的解，就是一次函数与轴交点的横坐标； ② 一元一次方程组的解是，则一次函数与的交点坐标为. （2）一次函数与不等式 ① 一次不等式（）的解集，就是使得一次函数中（或）的自变量的取值范围； ② 一元一次不等式的解集是一次函数图像在 图像上方时对应的取值范围. 5 拓展知识 （1）一次函数的也称为斜率，它描述直线的倾斜程度，直线越陡越大； （2）过两点，（）的直线解析式中； （3）两直线，平行，则； （4）两直线，垂直，则. 【题型1】 求一次函数自变量或函数值 【典题1】 （2024·广东东莞·模拟预测）直线 经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入一次函数解析式中，求出的值，即可求出结果． 【详解】解：将点代入， 得到：， 即：， 两边乘2得：， ∴． 故答案为：． 【巩固练习】 1.（2024·湖北·中考真题）铁的密度为，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：）之间的函数关系式为．当时， g． 【答案】79 【分析】本题考查一次函数的应用，将自变量的值代入函数关系式求出对应函数值是解题的关键． 将代入求出对应m的值即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：79． 2.（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，为点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：过点B作轴，垂足为点D， ∵顶点在直线上，点的横坐标是8， ∴，即， ∴， ∵轴， ∴由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点B向左平移10个单位得到点C， ∴点， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【题型2】 一次函数图象的判断 【典题1】 （2024·陕西西安·三模）若为常数且，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的相关性质是解题的关键． 根据一次函数图象的性质进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴一次函数的图象在第一、二，四象限． 故选：B． 【巩固练习】 1.（2023·浙江宁波·一模）如图所示，满足函数和的大致图象是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限． 分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可． 【详解】解：， 函数过点， 故不合题意； 当时，函数过第一、三、四象限，函数在一、三象限； 当时，函数过第一、二、四象限，函数在二、四象限； 故符合题意； 故选：． 2.（2024·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了函数的图象．由点，点，点在同一个函数图象上，可得与关于轴对称；当时，随的增大而增大，继而求得答案． 【详解】解：，点， 与关于轴对称， 即这个函数图象关于轴对称，故选项A不符合题意； ，点， 当时，随的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意． 故选：B． 3.（2024·安徽阜阳·三模）抛物线与双曲线的交点的横坐标为a，则直线的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． 先求出抛物线与轴的交点坐标，根据二次函数和反比例函数的性质画出图象，结合图象得出，即可解答． 【详解】解：把代入， 则， 解得：， ∴抛物线与轴相交于，， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线图象经过第一、二、四象限， ∵，， ∴双曲线图象位于一、三象限， ∴抛物线与双曲线交点位于第一象限，即， ∴必过一、三象限， ∵抛物线与轴相交于， ∴由图可知，抛物线与双曲线交点在右边， ∴， ∴， ∴直线的图象经过一、三、四象限， 故选：A． 【题型3】 一次函数的增减性 【典题1】（2024·陕西西安·模拟预测）若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，求一次函数解析式，先利用待定系数法求出一次函数解析式，进而得到在中，y随x增大而减小，根据增减性即可得到答案． 【详解】解：把代入中得：，解得， ∵， ∴在中，y随x增大而减小， ∵点，点都在一次函数图象上，且， ∴， 故选：C． 【巩固练习】 1.（2024·安徽·模拟预测）下列函数中，随的增大而减小的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的性质，二次函数的性质，根据一次函数和二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、是一次函数，，随的增大而减小，故该选项符合题意； B、是一次函数，，随的增大而增大，故该选项不符合题意； C、是二次函数，开口向上，对称轴是轴，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； D、是二次函数，开口向下，对称轴是轴，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意． 故选：A． 2.（2024·陕西西安·模拟预测）已知点在一次函数的图象上，则m与n的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，一次函数的增减性，根据解析式可得y随x增大而减小，再由即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x增大而减小， ∵点在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 3.（2024·陕西咸阳·模拟预测）一次函数的图象上y随x的增大而减小，则下列点可能在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的图象上y随x的增大而减小，可知，然后将各个选项中的点的横纵坐标代入解析式求出k的值，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】∵一次函数的图象上y随x的增大而减小， ∴， 当时，，得，故选项A符合题意； 当时，，得，故选项B不符合题意； 当时，，得，故选项C不符合题意； 当时，，得，故选项D不符合题意； 故选：A． 4.（2024·陕西渭南·二模）已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，根据解析式可得y随x增大而减小，再由，即可得到． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 5.已知点，，在下列某一函数图像上，且，那么这个函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数和反比例函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意可知在时，随的增大而减小，据此性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴可知在时，随的增大而减小， A.，随的增大而增大，不符合题意； B.，时，随的增大而减小，符合题意； C.，时，随的增大而增大，不符合题意； D.，时，随的增大而增大，不符合题意． 故选：B． 【题型4】已知一次函数解析式判断其性质 【典题1】 （2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 【巩固练习】 1.（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知一次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与两坐标轴围成的三角形面积是4 C．y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，结合一次函数的图象性质对各个选项逐个判断即可求解，掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 【详解】解：A、，，所以图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选不符合题意； B、图象与轴交于点，与轴交于点，所以图象与两坐标轴围成的三角形面积是：，故选不符合题意； C、，所以y随x的增大而增大，故选项符合题意； D、当时，，正确，故选不符合题意； 故选：C． 2.（2023·河南平顶山·二模）在平面直角坐标系中，已知函数（为常数）的图象经过点，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象经过点 B．函数值随的增大而减小 C．函数图象不经过第三象限 D．函数图象与坐标轴围成三角形的面积为 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据待定系数法求出的值，得出函数解析式，再根据一次函数的图象和性质依次进行求解判断即可． 【详解】解：将点代入到函数（为常数）中， 则， 解得： 故函数解析式为． A.当时：， 故A是正确的； B.∵， ∴函数值随的增大而增大， 故B是错误的； C.∵， ∴函数图象为上升的直线， ∴函数图象必然经过第三象限， 故C是错误的； D.由解析式可得函数图象与坐标轴的交点为：，， ∴函数图象与坐标轴围成三角形的面积为， 故D是错误的； 故选：A． 【题型5】 求一次函数的解析式 【典题1】 （2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，得出点C的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，，解得：， ∴点C的坐标为，， ∴． 故答案为：9． 【巩固练习】 1.（2024·山东潍坊·模拟预测）如图是y关于x的一个函数图象，根据图象，下列说法不正确的是（　　）    A．该函数的最大值为6 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象获得有效信息是解题关键．根据函数图象的相应点坐标以及增减性，可得答案． 【详解】解：由图象可知： A．该函数的最大值为6，原说法正确，故本选项不合题意； B．当时，随的增大而增大，原说法正确，故本选项不合题意； C．设时，，则， 解得， ， 当时，对应的函数值，原说法错误，故本选项符合题意； D．设时，，则， 解得， ， 当时，； 设时，， 则， 解得， ， 当时，， 当和时，对应的函数值都等于4， 当和时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项不符合题意． 故选：C 2.（2020·山东济南·一模）某快递公司每天上午集中揽件和派件，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，所用的时间为 分钟． 【答案】20 【分析】本题考查了一次函数的应用，分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．解题的关键：熟练运用待定系数法就解析式，结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义． 【详解】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：，根据题意得，解得， ∴； 设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：，根据题意得，解得， ∴， 联立， 解得， 即：当两仓库快递件数相同时，所用的时间为20分钟， 故答案为：20． 3.如图，正比函数与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴负半轴交于点，且． (1)求这两个函数的解析式； (2)求线段的长度； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数图形与性质，勾股定理，几何图形面积的计算，掌握一次函数与几何图形的综合是解题的关键． （1）把点代入正比例函数可得正比例函数解析式，运用勾股定理可得，可得，运用待定系数法可得一次函数解析式； （2）运用勾股定理即可求解； （3）数形结合，根据三角形面积计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴代入正比例函数得，， 解得，， ∴正比例函数解析式为：， ∴， ∵， ∴，即， 把点代入一次函数解析式得， ， 解得，， ∴一次函数解析式为：； （2）解：根据题意，， ∴的长度为：； （3）解：根据图示可得，． 【题型6】 一次函数的规律探究问题 【典题1】（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，直线l的解析式为，与轴分别相交于两点，过点P作的平分线交x轴于点，过点作x轴的垂线与直线l相交于点，作的平分线交x轴于点，过点作轴的垂线与直线l相交于点……按此规律进行下去，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标规律探索，解直角三角形，一次函数的性质，先根据一次函数的性质求出，，得出，求出，证明，得出，根据等腰三角形的性质得出，同理得出，此时的坐标为；，此时的坐标为；得出答案即可． 【详解】解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴的横坐标为， 同理得：， 此时的坐标为； ， 此时的坐标为； …… 的坐标为； 故答案为：． 【巩固练习】 1.（2023·山东东营·一模）如图，过点作直线：的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点，…，这样依次下去，得到一组线段：，，，…，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，特殊角度三角函数的求值，通过一次函数探索规律，根据题意写出，，，从而根据规律有，然后当代入即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵直线：， ∴当时，， ∴， ∴与轴的夹角为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ， ∴， 当时，， 故答案为：． 2.（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，直线上有点，且，，，分别过点作直线的垂线，交y轴于点，依次连接，得到，，，…，，则的面积为 ．（用含有正整数n的式子表示） 【答案】 【分析】由直线的解析式可得出，结合可求出的值，再根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】如图，在直线上取一点M，作轴于点N，设， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，解直角三角形以及规律型中数的变化规律，根据边的变化找出变化规律“”是解题的关键． 【题型7】 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系 【典题1】 （2024·山东潍坊·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到的下列结论中错误的是（    ） A．在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】A．由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故A正确； B．由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为，所以方程组的解为，故B正确； C．由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为，所以方程的解为，故C正确； D．由函数图象可知，直线过点，所以当时，，故D错误； 故选：D． 【巩固练习】 1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一次函数（k、b为常数，且）与x轴，y轴分别交于两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 由一次函数的图象过点，且随的增大而增大，从而得出不等式的解集． 【详解】由一次函数的图象可知，随的增大而增大， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，有． 故选：C． 2.（2024·陕西咸阳·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数与不等式之间的关系，根据题意可得直线与直线的交点坐标为，再根据一次函数的增减性即可得到答案． 【详解】解：直线与直线分别可以看作由直线与直线向左平移2个单位长度得到． ∵直线与直线相交于点， 直线与直线的交点坐标为， ∵在中，在中， ∴在中，y随x增大而减小，在中y随x增大而增大， ∴不等式的解集为． 故选C． 3.（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 【题型8】 一次函数与三角形的综合问题 【典题1】 （2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点逆时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 【巩固练习】 1.（2023·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是直线上第一象限的点，点的坐标是， O是坐标原点，的面积为S，则S关于x的函数关系式是 ．    【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象上的坐标特征，正确掌握三角形的面积公式是解题的关键． 把代入，得到的值，得到点在第一象限，且在直线的横坐标的取值范围，根据“点的坐标是”得到线段的长度，根据一次函数解析式，得到点到的距离关于的表示形式，根据三角形的面积公式，即可得到答案． 【详解】解：把代入， ， 解得：， 即点在第一象限，且在直线的横坐标的取值范围是：， 点到的距离为：， 线段的长度为：4， ， 即关于的函数关系式是． 故答案为：． 2.（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出的解析式，再根据直线经过点，求出，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积为为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意画出图形如下， 设直线的解析式为：， 把，代入， 可得出：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线， 联立两直线方程：， 解得：， ∴ ∵，， ∴，， 根据题意有：， 即， ， 解得：, 故答案为：． 【题型9】一次函数与四边形的综合 【典题1】 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为，，点B在第一象限，将直线沿x轴向上平移个单位．若平移后的直线与边有交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平移的性质以及两条直线相交的问题，解题的关键是求解一次函数的解析式．平移后的直线解析式为．根据平行四边形的性质结合点的坐标即可求出点的坐标，再由平移后的直线与边有交点，再求解直线过临界点的解析式，即可得出结论． 【详解】解：∵将直线沿轴向上平移个单位． ∴平移后的直线解析式为． ∵四边形为平行四边形，且点， ∴， ∴点． ∵平移后的直线与边有交点， 当直线过， ∴， 解得：， 当直线过， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 【巩固练习】 1.（2024·山东淄博·一模）如图，正比例函数的图象与矩形有公共点，，，轴，且点A的坐标为，则k的值可能是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求得点的坐标，求得直线过点时的的值和过点时的的值，结合图象即可求解．本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得直线过点时的的值和过点时的的值是解题的关键． 【详解】解：点的坐标为，，，轴 ， 把点的坐标代入得， 把点的坐标代入得， 正比例函数的图象与矩形有公共点，则， 故选：D． 2.（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，顶点坐标分别为，将沿x轴向右平移，当点A落在直线上时，线段扫过区域的面积为（     ）    A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标图图形变化-平移，利用一次函数图象上点的坐标特征及平移的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A平移后所在的位置，找出线段扫过区域是边长为底为4，高为3的平行四边形，再求出平行四边形的面积即可． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴平移后点A落在的位置为点， ∴线段扫过区域是边长为底为4，高为3的平行四边形， ∴线段扫过区域的面积． 故选：C． 3.（2024·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，且顶点A的坐标为，点B的坐标为，将平行四边形沿着直线翻折，得到四边形，若直线l把六边形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理，图形的折叠问题．连接，设的中点为M，的中点为N，过D点作轴，垂足为Q，求出，利用勾股定理以及平行四边形的性质可得，再根据翻折的性质得，对角线翻折后，落在y轴上，此时点N落在y轴上，可得，然后由中点坐标公式可得，从而求出所在直线解析式；根据题意可得直线也平分六边形的面积，求出所在直线解析式，即可求解． 【详解】解：连接，设的中点为M，的中点为N，过D点作轴，垂足为Q， ∵点B坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 根据翻折的性质得，对角线翻折后，落在y轴上，此时点N落在y轴上， ∴， 由中点坐标公式得：， ∴， 设所在直线解析式为， ∴，解得， ∴MN所在直线解析式为：， ∴平行四边形是中心对称图形，过的直线平分六边形的面积． 由对折的性质可知，直线也平分六边形的面积， 过C作垂直于x轴，垂足为点P， 在中，，， ∴， ∴点C的坐标为， 设所在直线解析式为， ∴，解得：， ∴所在直线解析式为：， 综合分析平分六边形的面积的直线是和． 故选：A． 【题型10】一次函数与将军饮马模型 【典题1】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，为坐标原点，的两个顶点，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，则使四边形周长最小的点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，等腰三角形的判定和性质，两直线的交点坐标等知识点．根据已知条件得到，，求得，，得到，，在轴正半轴取点，使，连接交于点，连接交于，连接，，推出垂直平分，则点与点关于直线对称，此时四边形周长最小，，求得直线为，直线的解析式为，解方程组即可得到结论．正确的找到点的位置是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵，点为的中点， ∴，， ∴，， 在轴正半轴取点，使，连接交于点，连接交于，连接，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即平分， ∴，， ∴垂直平分，则点与点关于直线对称， ∴，， ∴， 当点与点重合时，取“”号，此时四边形周长最小， 设直线为，过点， ∴， 解得：， ∴直线为， 直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 解方程组得：， ∴． 故选：C．    【巩固练习】 1.如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于两点，分别是上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，轴对称最短线段问题，勾股定理，如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交 于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长，由一次函数解析式可得，，进而得，再根据轴对称得，，即得，最后利用勾股定理求出的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交 于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为 ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴ 周长的最小值是 ， 故选：． 2.直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线相交于点D，若． (1)求点D的坐标； (2)求出四边形的面积； (3)若点P为x轴上一动点，且使的值最小，不写过程，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）把、的坐标代入函数解析式，求出函数解析式，即可求出点的坐标； （2）先求出点C坐标，再根据四边形的面积求解即可； （3）作关于轴的对称点，连接，交轴于，求出直线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得 ，解得， ， ，， 点坐标为， 把代入得 ，解得， ， 联立两函数银析式得， 解得：， 点坐标为； （2）解：当时，， 点坐标为， 四边形的面积 ； （3）解：作关于轴的对称点，连接，交轴于，如图，此时的值最小， 点坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把、的坐标代入得： 解得：，， 即直线的解析式为， 当时，， 即点的坐标为． 【点睛】本题考查了直线与坐标轴交点和两直线交点问题，待定系数法求一次函数解析式，轴对称最短路线问题，直线与坐标轴围成图形面积问题，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键． 【题型11】一次函数综合性问题 【典题1】如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，直线经过点A，并与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及b的值； (2)如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线，于点D，E．设点P运动的时间为t．点D的坐标为___．点E的坐标为___；（均用含t的式子表示） (3)在（2）的条件下，当点P在线段上时，探究是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的面积；若不存在说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为．点B的坐标为， (2)， (3)存在时，使，此时 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．正确的求出一次函数与坐标轴的交点，以及利用待定系数法求出函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）令，代入，求出的坐标，再把点A坐标代入，求出即可； （2）设点，根据过点P作x轴的垂线，分别交直线，于点D，E，可知D，E的横坐标为，分别代入解析式，即可得到D，E的坐标 （3）利用，求出t，进而求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得：， ∴点A的坐标为． 将代入，并解得：， ∴点B的坐标为． 将代入，得， 解得， ∴点A的坐标为．点B的坐标为，； （2）由（1）知，直线的表达式为， ∵点， ∴D，E的横坐标为， ∴当时，，即； 同理可得：， 故答案为：，； （3）存在，理由： ∵，， ∵点P在线段上 ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， 解得：． ∴， ∴． 综上，存在时，使，此时． 【巩固练习】 1.（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是（    ） A． B． C． D．随a，b的值变化 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，一次函数性质，延长交于点C，过点B作于点D，根据轴，在第一象限，得出，，根据直线的解析式为，得出点C的坐标为，求出，证明是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出，求出三角形的面积即可． 【详解】解：延长交于点C，过点B作于点D，如图所示： ∵轴，在第一象限， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2.如图，直线l交x轴于，交y轴于，是直线l上的一点． (1)求直线的表达式； (2)在直线上找一点P，使，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，坐标与图形性质等知识，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）利用待定系数法直接求出直线和的表达式； （2）分点在第一象限和第三象限时，根据面积差列方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 点，在直线上， ， ， 直线的表达式为， 是直线上的一点， ， 解得：， ， 设直线的表达式为：， 把代入得：， ， 直线的表达式为：； （2）解：∵， ∴， 设， 分两种情况： ①当点在第一象限时，过作轴于，过作轴于， ， ，， ∴， 解得：， ∴； ②当点在第三象限时，同理得：； 综上，点的坐标为或． 3.如图1，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点P是线段上一动点，点E是直线上一动点，点F为x轴上一动点，过P作于Q，连接，当时，求的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，点M为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，进而求出点坐标，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作轴，根据等腰直角三角形的性质，求出点坐标，作点关于的对称点，根据对称的性质，推出点为的中点，进而求出的坐标，根据，得到当三点共线时，的值最小，为的长，再根据垂线段最短，得到轴时，最短，进而得到的最小值即为的纵坐标，即可得出结果； （3）分点在点的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴，， 连接，过点作， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，则：， ∵， ∴三点共线，且为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 又∵为轴上的动点， ∴当轴时，最短，此时， ∴的最小值的最小值为； （3）当点在点的右侧时：将线段绕点逆时针旋转90度，得到，连接并延长，交轴于点，则：，，， 由（2）知：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴ 过点作轴，交于点，则：，点的纵坐标为， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，即：， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 当点在点左侧时，如图，将线段绕点顺时针旋转90度，得到，连接， 则：，， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 过点作，交于点，则：点的横坐标为， 同理可知：， ∴， ∴点的纵坐标为：， ∴， 同法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 一次函数的图象与性质 1 正比例函数 1.1概念 一般地，形如(是常数，)的函数，叫做正比例函数，其中叫做比例系数. 1.2 性质 一般地，正比例函数(是常数，)的图像是一条经过原点的直线； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 2 一次函数 2.1 概念 一般地，形如(，是常数，)的函数，叫做一次函数. 当时，即，所以正比例函数是一种特殊的一次函数. 2.2 性质 一般地，一次函数(，是常数，)的图像是一条直线； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 当时，即一次函数经过轴上的点，决定直线与轴的交点位置. 3 待定系数法 （1）根据函数类型先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法. （2）两点确定一直线，故要用待定系数法求解一次函数的解析式，只需要代入两个点的坐标，得到关于的方程组，从而得到最终解析式. 4 一次函数与方程、不等式 （1）一次函数与方程 ① 一元一次方程的解，就是一次函数与轴交点的横坐标； ② 一元一次方程组的解是，则一次函数与的交点坐标为. （2）一次函数与不等式 ① 一次不等式（）的解集，就是使得一次函数中（或）的自变量的取值范围； ② 一元一次不等式的解集是一次函数图像在 图像上方时对应的取值范围. 5 拓展知识 （1）一次函数的也称为斜率，它描述直线的倾斜程度，直线越陡越大； （2）过两点，（）的直线解析式中； （3）两直线，平行，则； （4）两直线，垂直，则. 【题型1】 求一次函数自变量或函数值 【典题1】 （2024·广东东莞·模拟预测）直线 经过点，则的值为 ． 【巩固练习】 1.（2024·湖北·中考真题）铁的密度为，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：）之间的函数关系式为．当时， g． 2.（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，为点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型2】 一次函数图象的判断 【典题1】 （2024·陕西西安·三模）若为常数且，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.（2023·浙江宁波·一模）如图所示，满足函数和的大致图象是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 2.（2024·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（    ） A．B． C． D． 3.（2024·安徽阜阳·三模）抛物线与双曲线的交点的横坐标为a，则直线的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【题型3】 一次函数的增减性 【典题1】（2024·陕西西安·模拟预测）若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【巩固练习】 1.（2024·安徽·模拟预测）下列函数中，随的增大而减小的函数是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·陕西西安·模拟预测）已知点在一次函数的图象上，则m与n的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 3.（2024·陕西咸阳·模拟预测）一次函数的图象上y随x的增大而减小，则下列点可能在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 4.（2024·陕西渭南·二模）已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5.已知点，，在下列某一函数图像上，且，那么这个函数是（　　） A． B． C． D． 【题型4】已知一次函数解析式判断其性质 【典题1】 （2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【巩固练习】 1.（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知一次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与两坐标轴围成的三角形面积是4 C．y随x的增大而减小 D．当时， 2.（2023·河南平顶山·二模）在平面直角坐标系中，已知函数（为常数）的图象经过点，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象经过点 B．函数值随的增大而减小 C．函数图象不经过第三象限 D．函数图象与坐标轴围成三角形的面积为 【题型5】 求一次函数的解析式 【典题1】 （2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ． 【巩固练习】 1.（2024·山东潍坊·模拟预测）如图是y关于x的一个函数图象，根据图象，下列说法不正确的是（　　）    A．该函数的最大值为6 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等 2.（2020·山东济南·一模）某快递公司每天上午集中揽件和派件，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，所用的时间为 分钟． 3.如图，正比函数与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴负半轴交于点，且． (1)求这两个函数的解析式； (2)求线段的长度； (3)求的面积． 【题型6】 一次函数的规律探究问题 【典题1】（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，直线l的解析式为，与轴分别相交于两点，过点P作的平分线交x轴于点，过点作x轴的垂线与直线l相交于点，作的平分线交x轴于点，过点作轴的垂线与直线l相交于点……按此规律进行下去，则点的横坐标为 ． 【巩固练习】 1.（2023·山东东营·一模）如图，过点作直线：的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点，…，这样依次下去，得到一组线段：，，，…，则线段的长为 ． 2.（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，直线上有点，且，，，分别过点作直线的垂线，交y轴于点，依次连接，得到，，，…，，则的面积为 ．（用含有正整数n的式子表示） 【题型7】 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系 【典题1】 （2024·山东潍坊·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到的下列结论错误是（  ） A．在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 【巩固练习】 1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一次函数（k、b为常数，且）与x轴，y轴分别交于两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·陕西咸阳·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3.（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③当时，；④关于，的方程组的解为，正确的（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型8】 一次函数与三角形的综合问题 【典题1】 （2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ． 【巩固练习】 1.（2023·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是直线上第一象限的点，点的坐标是， O是坐标原点，的面积为S，则S关于x的函数关系式是 ．    2.（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 【题型9】一次函数与四边形的综合 【典题1】 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为，，点B在第一象限，将直线沿x轴向上平移个单位．若平移后的直线与边有交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.（2024·山东淄博·一模）如图，正比例函数的图象与矩形有公共点，，，轴，且点A的坐标为，则k的值可能是（    ） A． B．3 C． D． 2.（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，顶点坐标分别为，将沿x轴向右平移，当点A落在直线上时，线段扫过区域的面积为（     ）    A．6 B．9 C．12 D．15 3.（2024·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，且顶点A的坐标为，点B的坐标为，将平行四边形沿着直线翻折，得到四边形，若直线l把六边形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型10】一次函数与将军饮马模型 【典题1】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，为坐标原点，的两个顶点，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，则使四边形周长最小的点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【巩固练习】 1.如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于两点，分别是上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 2.直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线相交于点D，若． (1)求点D的坐标； (2)求出四边形的面积； (3)若点P为x轴上一动点，且使的值最小，不写过程，直接写出点P的坐标． 【题型11】一次函数综合性问题 【典题1】如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，直线经过点A，并与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及b的值； (2)如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线，于点D，E．设点P运动的时间为t．点D的坐标为___．点E的坐标为___；（均用含t的式子表示） (3)在（2）的条件下，当点P在线段上时，探究是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的面积；若不存在说明理由． 【巩固练习】 1.（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是（    ） A． B． C． D．随a，b的值变化 2.如图，直线l交x轴于，交y轴于，是直线l上的一点． (1)求直线的表达式； (2)在直线上找一点P，使，求出点P的坐标． 3.如图1，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点P是线段上一动点，点E是直线上一动点，点F为x轴上一动点，过P作于Q，连接，当时，求的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，点M为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标． 2 / 2 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