精品解析：广东省惠州市博罗县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年秋季学期教学质量期末诊断 九年级数学试卷 满分120分 考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断，熟练掌握中心对称图形、轴对称图形的定义是解决此题的关键． 【详解】解：A、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意； B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不符合题意； 故选：A． 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由方程是关于的一元二次方程，可得，再解不等式即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程的二次项的系数不为0”是解本题的关键． 3. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 水滴石穿 D. 百发百中 【答案】B 【解析】 【分析】根据必然事件就是一定发生的事件逐项判断即可． 【详解】解：A、守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意； B、水中捞月是不可能事件，故该选项符合题意； C、水滴石穿是必然事件，故该选项不符合题意； D、百发百中是随机事件，故该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件是解答本题的关键． 4. 将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A. y=﹣5（x+1）2﹣1 B. y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C. y=﹣5（x+1）2+3 D. y=﹣5（x﹣1）2+3 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案． 【详解】将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度， 所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1． 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 5. 如图，在△ABC中，∠ADE=∠B，DE：BC=2：3，则下列结论正确的是（　　） A. AD：AB=2：3 B. AE：AC=2：5 C. AD：DB=2：3 D. CE：AE=3：2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：在△ABC中，∠ADE=∠B，∠A是公共角，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，一一求得各选项的答案． 解：∵∠ADE=∠B，∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC， ∴AD：AB=DE：BC=AE：AC=2：3．即A选项正确，B选项错误； ∴AD：BD=2:1，即C选项错误； CE：AE=1：2，即D选项错误. 故选A． 6. 医疗卫生是重大的民生工程，为了减轻百姓的医疗负担，卫检部门要求某制药厂将一种药剂的价格逐年降低．年这种药剂的价格为元，年该药剂的价格为元．设年到年这种药剂的价格的年平均下降率为，则根据以上信息列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设年到年这种药剂的价格的年平均下降率为，根据题意列出一元二次方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设年到年这种药剂的价格的年平均下降率为， 依题意得：， 故选：． 7. 若反比例函数在每个象限内的函数值随的增大而增大，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，k＜0时，在每个象限内y随x增大而增大列不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数在每个象限内的函数值y随x增大而增大， ∴k-2＜0，解得k＜2． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数中k的正负对函数增减性的影响． 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、勾股定理等知识点，正确理解旋转的性质是解答本题的关键． 先根据旋转的性质可知：，，再应用勾股定理求出的长，又由旋转的性质可得，最后再用勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转的性质得到：，， ∴，，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 故选． 9. 如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上两点，且 = = ，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D，垂足为D，若CD=2 ，则⊙O的半径为（   ） A. 2 B. 4 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】连结BC.由AB为直径得∠ACB=90,由= =得∠BOC=60,则∠BAC=30, 新以∠DAC=30, 在Rt△ADC中, 利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=,在Rt△ACB中,根据勾股定理求得AB,进面求得圆O的半径. 【详解】解:连结BC,如图， AB为直径，∠ACB =90. = =，∠BOC==60 ∠BAC=30,∠DAC=30. 在RAADC中.CD-2V3. AC=2CD=. 在Rt△ACB中,. 即: AB=8. 圆O的半径为4. 故选D. 【点睛】本题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 10. 某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，如图2所示，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解，建立平面直角坐标系，正确求出抛物线解析式是解此题的关键． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 故设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为2， 点的纵坐标为， 点到的距离为． 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若点关于原点的对称点，那么________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据关于原点对称点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数，可得m、n的值，即可解答． 【详解】∵点关于原点的对称点是 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12. 圆心角为，半径为1的扇形的弧长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．根据弧长的公式进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为扇形的圆心角为, 半径为1， 所以扇形的弧长为：. 故答案为：. 13. 如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和图象交于，两点．若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义，根据，即可得到一个关于的方程，进而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．剩余部分可合成长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为，即可得出关于的一元二次方程，求解并注意检验． 【详解】解：根据题意得：， 化简得：， 解得：，， ∵当时，， ∴舍去， 故答案为：． 15. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，且使，连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，进而求解． 【详解】解：的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点是点关于的对称点， 过点作，且使， 连接交于点，取，连接、，则点、为所求点， 理由：，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长为最小， 则， 则的周长的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆的性质、轴对称性质、平行四边形的性质及勾股定理等，确定点、的位置是本题解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 已知是方程的一个根，求k的值和方程的另一个根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的定义，解一元二次方程是解题的关键．先根据方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入方程即可得到关于的方程，求得的值，然后代入原方程，最后再解方程即可． 详解】解：由题意得， 解得， 则原方程可化为， 解得， 所以另一个根为． 17. 如图，在中，点D，E分别是边，上的点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，通过两组角对应相等证明两三角形相似，进而根据相似三角形对应边成比例进行求解是解题的关键． （1）由，，得出，再根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，得到，进而得到的长，最终得出的长． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ，，， ， ， ． 18. 中国是“石头、剪刀、布”游戏的起源地，早在汉朝时期就开始流行这种手势的猜拳游戏．这个游戏古老而简单，其主要目的是为了解决争议．2024年，薛之谦巡回演唱会曲靖站1月13，14日在曲靖文化体育公园体育场进行，李丽和程飞都想去，但只有一张票，李丽和程飞用“石头、剪刀、布”的手势方式进行决策，谁赢谁去．游戏规则是“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负”． （1）李丽和程飞两人同时出“石头”的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法，判断这个游戏规则对李丽、程飞双方是否公平？请说明理由． 【答案】（1） （2）公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）依据题意用列表法或画树状图法分析所有可能的出现结果； （2）根据概率公式求出该事件的概率，比较即可． 本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是：熟练掌握列表法或树状图法求概率． 【小问1详解】 解：用列表法得出所有可能的结果如下： 李丽 程飞 石头 剪子 布 石头 （石头，石头） （石头，剪子） （石头，布） 剪子 （剪子，石头） （剪子，剪子） （剪子，布） 布 （布，石头） （布，剪子） （布，布） 两人同时出“石头”的概率是：， 【小问2详解】 解：裁判员的这种作法对双方是公平的． 理由：根据表格得，（李丽获胜），（程飞获胜）． ∵（李丽获胜）（程飞获胜）， ∴裁判员这种作法对双方是公平的． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某商场出售一种台灯，成本为每件30元，规定售价不低于进价，当售价为每件50元，每月可销售60件．市场调查发现：若这种台灯的售价每降价1元，则每月的销量将增加2件，设每件台灯降价x元（x为正整数），每月的销量为y件． （1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）如何定价，才能使每月销售的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）（且为整数） （2）当定价为49元时，每月的利润最大为1178元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用， （1）利用每月的销量每件台灯降价的钱数，可找出y与x之间的函数关系式，结合售价不低于进价，即可确定自变量x的取值范围； （2）设每月的销售利润为w元，利用月销售利润＝每件的销售利润×月销售量，可找出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质及x的取值范围，即可解决最值问题； 熟练掌握根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式和根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∵售价不低于进价， ∴， 解得 ， ∴自变量x的取值范围且为整数； 【小问2详解】 解：设每月销售利润为元， ， ∵ ，抛物线开口向下， ∴当时有最大值 ， 又∵ 且x为整数， ∴当时，有最大值 ， ， ∴当定价为49元时，每月的利润最大为1178元． 20. 如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）直线与相切，理由见解析 （2）图中阴影部分的面积 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：直线与相切， 理由：如图，连接， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：如（1）中图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ 【答案】（1）， （2）或 （3）1或9 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）结合图象找出反比例函数图象高于直线部分对应的x的范围即可； （3）设出平移后直线的解析式结合一元二次方程的根的判别式解答即可； 【小问1详解】 ∵反比例函数过点，， ∴，解得：，， 反比例函数解析式为：，点， ∵一次函数解析式过点，， ∴， 解得：． ∴一次函数解析式为：； 小问2详解】 根据图象，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点， 则平移后的解析式为， 联立两个函数得：， 整理得：， ， ∴，或， ∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 阅读下列材料： 在数学课上，老师要求学生探究如下问题： （1）【提出问题】如图1，在等边三角形内有一点且，，．求的度数．李华同学一时没有思路，当他跟同学讨论后，发现以的长为边构成的三角形是直角三角形，他突然有了正确的思路：如图2，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，易得是等边三角形，是直角三角形．请帮李华同学求出的度数． （2）【类比问题】如图3，在正方形内有一点且，，．求的度数； （3）【探索问题】如图4，在正六边形内有一点且，，，则______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、，证明是等边三角形，得出，，证明是直角三角形，，得出； （2）由旋转的性质可得，，，，然后证明得到，则； （3）根据六边形是正六边形，，，则，将绕点逆时针旋转120度得到，则，，，，，然后过点作于，可得，，则，然后得到，则，可以得到． 【小问1详解】 解：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、，如图2， 由旋转的性质得：， ，，，， 是等边三角形， ，， ， 是直角三角形，， ， ； 【小问2详解】 解：在正方形内有一点且．将绕点逆时针旋转，得到了，连接．如图3， ，，，， ，， ，，， ， ， ； 【小问3详解】 解：六边形是正六边形， ，， ， 在正六边形内有一点且，，，如图4，将绕点逆时针旋转120度得到， ，，，， ， 过点作于点， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案：． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，正方形的性质，多边形内角和，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质． 23. 如图1，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P、Q为直线下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作轴，交于点M，过点Q作轴交于点N，求的最大值及此时点Q的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，且为矩形一边，求出此时所有满足条件的点E的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）设，则，进而得到；再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）分两种情况：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作，当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可． 【小问1详解】 解：把和代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线（）与y轴交于点C，令，则， ∴C点的坐标为，设直线的解析式为，把B、C点的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 点P、Q为直线下方抛物线上的两点，设，则， ∴，， ∴，， ∴， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得：， ∴的对称轴为， ∴抛物线与y轴交于点C． ∴， ∵， ∴，， 当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作，如图所示： ∵D在的对称轴为， ∴， ∴，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到； 当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，如图所示： 设的对称轴为与x轴交于F， ∵D在的对称轴为， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 综上分析可知，点E的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年秋季学期教学质量期末诊断 九年级数学试卷 满分120分 考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A B. C. D. 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（ ） A B. C. D. 3. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 水滴石穿 D. 百发百中 4. 将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A. y=﹣5（x+1）2﹣1 B. y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C. y=﹣5（x+1）2+3 D. y=﹣5（x﹣1）2+3 5. 如图，在△ABC中，∠ADE=∠B，DE：BC=2：3，则下列结论正确的是（　　） A. AD：AB=2：3 B. AE：AC=2：5 C. AD：DB=2：3 D. CE：AE=3：2 6. 医疗卫生是重大的民生工程，为了减轻百姓的医疗负担，卫检部门要求某制药厂将一种药剂的价格逐年降低．年这种药剂的价格为元，年该药剂的价格为元．设年到年这种药剂的价格的年平均下降率为，则根据以上信息列出的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若反比例函数在每个象限内的函数值随的增大而增大，则（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上两点，且 = = ，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D，垂足为D，若CD=2 ，则⊙O的半径为（   ） A. 2 B. 4 C. 2 D. 4 10. 某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，如图2所示，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若点关于原点的对称点，那么________． 12. 圆心角为，半径为1的扇形的弧长是___________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和图象交于，两点．若，则的值为_____． 14. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为__________． 15. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 已知是方程的一个根，求k的值和方程的另一个根． 17. 如图，在中，点D，E分别是边，上的点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 18. 中国是“石头、剪刀、布”游戏的起源地，早在汉朝时期就开始流行这种手势的猜拳游戏．这个游戏古老而简单，其主要目的是为了解决争议．2024年，薛之谦巡回演唱会曲靖站1月13，14日在曲靖文化体育公园体育场进行，李丽和程飞都想去，但只有一张票，李丽和程飞用“石头、剪刀、布”的手势方式进行决策，谁赢谁去．游戏规则是“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负”． （1）李丽和程飞两人同时出“石头”的概率是 ； （2）请用列表或画树状图方法，判断这个游戏规则对李丽、程飞双方是否公平？请说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某商场出售一种台灯，成本为每件30元，规定售价不低于进价，当售价为每件50元，每月可销售60件．市场调查发现：若这种台灯的售价每降价1元，则每月的销量将增加2件，设每件台灯降价x元（x为正整数），每月的销量为y件． （1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）如何定价，才能使每月销售的利润最大？最大利润是多少元？ 20. 如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22 阅读下列材料： 在数学课上，老师要求学生探究如下问题： （1）【提出问题】如图1，在等边三角形内有一点且，，．求度数．李华同学一时没有思路，当他跟同学讨论后，发现以的长为边构成的三角形是直角三角形，他突然有了正确的思路：如图2，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，易得是等边三角形，是直角三角形．请帮李华同学求出的度数． （2）【类比问题】如图3，在正方形内有一点且，，．求的度数； （3）【探索问题】如图4，在正六边形内有一点且，，，则______． 23. 如图1，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P、Q为直线下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作轴，交于点M，过点Q作轴交于点N，求的最大值及此时点Q的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，且为矩形一边，求出此时所有满足条件的点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$