专题04 嵌套函数与函数零点归类（13题型+提分快招）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（天津专用）

专题04 嵌套函数与函数零点归类 目录 题型01 复合一元二次：可因式分解型 1 题型02 复合一元二次：根的分布型 2 题型03 嵌套函数：无参型 4 题型04 嵌套函数：解析式含参型 5 题型05 嵌套函数：零点方程含参 6 题型06 嵌套函数：综合型 6 题型07 零点：分参水平线型 7 题型08 零点：切线分界法 8 题型09 零点：分段含参讨论型 10 题型10 零点：局部小周期型 11 题型11 零点：放大镜类周期型 12 题型12 零点：高斯取整型 13 题型13 零点：超难压轴小题 14 结束 16 题型01 复合一元二次：可因式分解型 【解题规律·提分快招】 形如一元二次型可以因式分解，可以通过换元法，转化为“水平线”求交点。 【典例1-1】 （24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数，函数有两个不等实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （2024·天津市河北区期中）已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （2024天津市五区县重点联考）已知函数，若方程有7个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （21-22高一上·天津·期末）已知函数，若函数有9个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （23-24天津市蓟州区下营中学）已知函数若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型02 复合一元二次：根的分布型 【解题规律·提分快招】 根的分布 1.基础分布：0分布 特征：（1）、两正根；（2）、两负跟；（3）、一正一负两根。 方法：判别式+韦达定理 2． 区间分布与K分布 特征：（1）、根比某个常数K大或者小；（2）、根在某个区间（a，b）内（外） 方法：借助复合条件的大致图像，从以下四点入手 （1） 开口方向； （2） 判别式； （3） 对称轴位置； （4）根的分布区间端点对应的函数值正负 如果是“0”分布，可以用韦达定理 【典例1-1】 （23-24高三上·天津·期中）已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B．( C． D． 【典例1-2】 （2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若函数有6个零点，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，，若，则零点的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-2】 （22-23高一上·湖北黄冈·期末）已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （22-23高三上·天津东丽·期末）已知函数，若方程的图像恰有5个不同实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03 嵌套函数：无参型 【解题规律·提分快招】 嵌套函数基础方法理解 1、 可换元 2、 可通过换元构造“双坐标系”，注意对应的横纵坐标变量以及含义。 【典例1-1】 （高二下·河北保定·期末）若函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例1-2】 （高三上·湖北·阶段练习）已知函数，，若关于的方程有6个不相等的实数解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【变式1-1】 （24-25高三上·天津和平·阶段练习）已知函数，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积等于（   ） A． B． C．4 D．8 【变式1-2】 （24-25高一上·重庆·阶段练习）定义，设，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-3】 （23-24高三上·湖北·开学考试）设函数，则函数的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型04 嵌套函数：解析式含参型 【解题规律·提分快招】 1.引入参数 2.参数在所给的母函数内。 3.参数在解析式或者定义域中，分别对函数图像的影响 4.授课时讲清楚因为参数而造成的“动图”，可以引导学生借助画分解图来增加理解。 5.教师授课时可以借助几何画板展示，但是对于学生，特别是普通程度学生，要引导学生手工画“分解图”增加实战能力。 【典例1-1】 （24-25高一上·广东·期中）已知函数，若方程有且仅有一根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知，若方程有个不等实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （2019·天津河西·一模）已知函数满足，，其中，若函数有个零点，则实数的取值范围是 . 【变式1-3】 （22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则实数的取值集合为 . 题型05 嵌套函数：零点方程含参 【解题规律·提分快招】 1.解析式无参，很容易画出图像 2.“方程”中有参。 【典例1-1】 （22-23高一上·福建厦门·期末）已知函数，则方程的实数解的个数至多是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （20-21高三上·天津南开·阶段练习）已知实数，函数（为自然对数的底数），若关于的方程恰好有3个不相等的实根，则实数的取值范围是 . 【变式1-1】 （2021·天津南开·二模）设函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ；若函数恰有5个的零点，则的取值范围为 . 【变式1-2】 （21-22高三上·天津北辰·阶段练习）已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不等实根，且，则的最大值为 . 【变式1-3】 （24-25高三上·天津北辰·期末）已知函数.若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 . 题型06 嵌套函数：综合型 【解题规律·提分快招】 1.f（x）与g（x）型 2.多为一分段一个是常规函数 多以题型为主 【典例1-1】 （24-25高三上·上海·阶段练习）已知定义在上的函数满足:对任意，都有.若函数的零点个数为有限的n(n∈N)个，则n的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例1-2】 （24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数为上的奇函数，当时，，若函数满足，且有8个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知函数，则关于的方程：的实根个数为：(    ). A． B． C． D． 【变式1-2】 （2024·全国·模拟预测）已知函数（），函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】 （22-23高二下·辽宁·期末）已知函数，若有6个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型07 零点：分参水平线型 【解题规律·提分快招】 1.分离参数。得常数函数（含参水平线） 2.函数画图，需要运用到复合函数单调性， 【典例1-1】 （24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数，若关于的方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （24-25高一上·天津河东·阶段练习）已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （24-25高一上·天津·期末）若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （24-25高一上·天津红桥·期末）已知函数．若方程有三个不等的实数解且，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （24-25高三上·江西·期中）已知函数有两个零点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型08 零点：切线分界法 【解题规律·提分快招】 当分离参数较困难时，可以“分离函数”，一般情况下，一侧多为直线，一侧是可以研究出图像的函数。 1.交点（零点）的个数和位置，多借助切线来寻找确定。 2.切线虽然大多数可以通过导数来解得，但对于如一元二次等常见函数的切线，可以通过方程联立解决，这样可以简化一些计算。 3.对于圆和圆锥曲线部分图像所获得的函数，导数求切线难度大，圆和圆锥曲线求切线的方法要注意总结掌握。 【典例1-1】 （2022·天津宝坻·二模）已知函数若函数有个零点，函数有个零点，且，则非零实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，且在上单调递减，且函数恰好有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （2024·辽宁抚顺·一模）函数满足：当时，，是奇函数．记关于的方程的根为，若，则的值可以为（    ） A． B． C． D．1 【变式1-2】 （22-23高二下·天津西青·阶段练习）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （22-23高三上·天津河西·期末）已知函数，若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型09 零点：分段含参讨论型 【解题规律·提分快招】 属于“动态函数”画图法 1.参数在分段函数定义域分界点处。 2.函数图像的“动态”讨论点，多从特殊点，交点，单调性改变点，奇偶性等处寻找。 3.引导学生多画分解图。 【典例1-1】 （24-25高一上·天津南开·阶段练习）若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （23-24高三上·天津蓟州·阶段练习）已知函数，函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围为（ ） A．（5，） B． C． D． 【变式1-1】 （21-22高一上·云南临沧·期末）已知函数若存在实数b，使得方程有两个不同的解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （23-24高三上·天津蓟州·阶段练习）已知，函数，关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2023·贵州贵阳·三模）已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型10 零点：局部小周期型 【解题规律·提分快招】 局部小周期两大模型 【典例1-1】 （2013·湖南益阳·一模）函数，若方程有且只有两个不等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （2012·全国·一模）已知函数若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 A．(-∞,0］ B．［0,1) C．(-∞,1) D．［0,+∞) 【变式1-1】 （24-25高一上·山东威海·期中）已知函数若函数（）有3个零点，则正实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数当时，方程的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】 （24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知定义在上的连续函数，满足，则方程的解的个数为（    ） A．13 B．14 C．20 D．21 题型11 零点：放大镜类周期型 【解题规律·提分快招】 “似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析： 1.是从左往右放大，还是从右往左放大。 2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。 3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。 4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。 【典例1-1】 （2020·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （20-21高三上·天津河西·阶段练习）已知函数，若方程在区间内有3个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式1-1】 （21-22高三上·天津河西·期末）已知函数，当时，函数恰有六个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）定义在上的函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-3】 （19-20高三上·河南郑州·阶段练习）已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 题型12 零点：高斯取整型 【解题规律·提分快招】 取整函数（高斯函数） 1.具有“周期性” 2.一端是“空心头”，一端是“实心头” 3.还可以引入“四舍五入”函数作对比 【典例1-1】 （2020·山东聊城·一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则函数的所有零点之和为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【典例1-2】 （21-22高三上·吉林·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念高斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，．设，则函数零点的个数为（    ） A．4040 B．4041 C．4042 D．4043 【变式1-1】 （19-20高三上·河南南阳·期末）十八世纪，函数（表示不超过的最大整数）被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数”，根据上述定义，则方程的所有实数根的个数为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式1-2】 （24-25高一上·湖北·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有大于零的解之和为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （24-25高一上·天津·期末）设，函数，若函数在区间内恰有7个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型13 零点：超难压轴小题 【典例1-1】 （20-21高二下·天津河北·期末）设函数，记函数有且仅有n个互不相同的零点（），则当n取到最大值时，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （2018·天津·一模）已知函数，若函数在区间内有个零点，则实数的取值范围是 . 【变式1-1】 （24-25高三上·天津·期中）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 【变式1-2】 （24-25高三上·天津·阶段练习）若函数恰有两个零点，则a的取值范围为 . 【变式1-3】 （23-24高三下·浙江·开学考试）已知函数若函数有唯一零点，则实数的取值范围是 . 题型通关 1．（2024·浙江温州·二模）若关于的方程的整数根有且仅有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·陕西西安·二模）已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高一下·上海徐汇·期末）对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，则下列3个命题中真命题的个数为 . （1）函数是周期函数； （2）函数的图像关于直线对称； （3）方程有2个实数根. 4．（22-23高一上·湖北武汉·期末）函数，若关于的方程恰好有8个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 5．（19-20高三下·重庆渝中·阶段练习）函数满足，当时，，若有8个不同的实数解，则实数m的取值范围是 ． 6．（2022·全国·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论： ①函数在上单调递增； ②函数的图象与直线有且仅有个不同的交点； ③若关于的方程恰有个不相等的实数根，则这个实数根之和为； ④记函数在上的最大值为，则数列的前项和为. 其中所有正确结论的编号是 . 7．（2016·上海杨浦·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，若直线与函数的图象恰有7个不同的公共点，则实数的取值范围为 . 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 嵌套函数与函数零点归类 目录 题型01 复合一元二次：可因式分解型 1 题型02 复合一元二次：根的分布型 4 题型03 嵌套函数：无参型 9 题型04 嵌套函数：解析式含参型--3单2空 13 题型05 嵌套函数：零点方程含参--1单4空 16 题型06 嵌套函数：综合型 5单 20 题型07 零点：分参水平线型 23 题型08 零点：切线分界法 26 题型09 零点：分段含参讨论型 30 题型10 零点：局部小周期型 34 题型11 零点：放大镜类周期型 38 题型12 零点：高斯取整型 41 题型13 零点：超难压轴小题 44 题型01 复合一元二次：可因式分解型 【解题规律·提分快招】 形如一元二次型可以因式分解，可以通过换元法，转化为“水平线”求交点。 【典例1-1】 （24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数，函数有两个不等实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数研究的性质并画出其草图，结合题设得仅有一个实根，数形结合求参数范围. 【详解】令且，求导得， 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 且，，趋向于1则趋向于，且有， 令且，求导得， 0 递减 极小值 递增 且，，综上，的图象如下， 由，可得或， 又方程有两个不同的实根，且有一个根，则也仅有一个实根， 由图知：，则.故选：D 【典例1-2】 （2024·天津市河北区期中）已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义域，将函数分类讨论，借助于求导判断函数单调性，判断极值点和图象趋势，作出函数的简图，将函数分解因式，根据零点定义，结合图象，确定有两个根，转化为有3个零点，由图即得参数范围. 【详解】函数的定义域为，若时，由求导得，， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，当时，；若时，由求导得，， 因，故恒有，即在上单调递增，且当时，，当时，，即时，恒有.作出函数的大致图象如图所示. 又由可得或， 由图知有两个根，此时有2个零点；要使函数恰有5个不同的零点，需使有3个零点，由图知，需使，即，解得. 综上所述，实数的取值范围是.故选：A. 【变式1-1】 （2024天津市五区县重点联考）已知函数，若方程有7个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的大致图象，由已知得或，有3个解，则有4个解，数形结合可得，可求得实数的取值范围． 【详解】作出函数的大致图象，如图所示． 由，得，得或． 由图象可知直线与的图象有3个公共点，所以方程有3个不同的实根， 因为方程有7个不同的实根，所以直线与的图象有4个公共点， 故，故，则实数的取值范围是．故选：A. 【变式1-2】 （21-22高一上·天津·期末）已知函数，若函数有9个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，则或，先作出函数的图象，即可得出方程和方程实根的个数，进而可得出方程实根的个数，再结合函数的图象即可得解. 【详解】因为函数有9个不同的零点， 所以方程有9个不同的实根，， 令，则或，，如图，作出函数的图象，   由图可知，方程有个不同的实根，方程有个不同的实根，因为所以方程有个不同的实根，如图，作出函数的图象，由图可知.故选：B. 【变式1-3】 （23-24天津市蓟州区下营中学）已知函数若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式画出草图，将问题化为的图象与直线，共有5个交点，数形结合有的图象与直线有1个交点，即可求参数范围. 【详解】作出函数的图象如图所示，  函数，且有5个零点，等价于有5个解，即或共有5个解，等价于的图象与直线，共有5个交点. 由图得的图象与直线在4个交点，所以的图象与直线有1个交点，则直线应位于直线下方，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：B 题型02 复合一元二次：根的分布型 【解题规律·提分快招】 根的分布 1.基础分布：0分布 特征：（1）、两正根；（2）、两负跟；（3）、一正一负两根。 方法：判别式+韦达定理 2． 区间分布与K分布 特征：（1）、根比某个常数K大或者小；（2）、根在某个区间（a，b）内（外） 方法：借助复合条件的大致图像，从以下四点入手 （1） 开口方向； （2） 判别式； （3） 对称轴位置； （4）根的分布区间端点对应的函数值正负 如果是“0”分布，可以用韦达定理 【典例1-1】 （23-24高三上·天津·期中）已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B．( C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，作出函数的图象，根据图象可得当取不同值时，的交点个数，即可结合二次函数零点的分布求解. 【详解】根据，作出的大致图象如下：由图可知：当时，此时由两个根，分别为，当时，此时有4个交点，当时，此时有3个交点， 当时，此时有2个交点， 故要使得由6个不同的零点，则令，有6个不同的实数根， 显然不是的根，设的两个零点分别为，且， 故当时，此时有4个交点，有2个交点，满足题意， 故需要满足，解得， 当时，此时有3个交点，有3个交点，满足题意， 故需要满足，解得，综上可得或 故选：A   【典例1-2】 （2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若函数有6个零点，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数单调性可得大致图象，后令，则由结合图象可知，方程两根满足，即可得答案. 【详解】由题可得，，在上单调递减，在上单调递增，则据此可作出函数大致图象如图所示， 令，则由题意可得有2个不同的实数解，，且， 则，观察选项可知，满足题意. 故选：C．    【变式1-1】 （23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，，若，则零点的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】画出函数的图象，令，则求在零点的个数，再令得，即求与的图象在交点的个数，求出的范围结合图象可得答案. 【详解】函数的图象如下， 令，则求在零点的个数， 由得，所以， 即方程有两个不相等正根， 令，可得，不成立， 所以，即求与的图象在交点的个数， 因为，所以，即， 解得，且，可得与的图象有2个交点，      当，且时， 与有8个交点，则零点的个数为8.    故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是画出函数的图象，令，则求在零点的个数. 【变式1-2】 （22-23高一上·湖北黄冈·期末）已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，作出函数的图象，分析可知关于的方程在内有两个不等的实根，令，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】令，作出函数的图象如下图所示： 因为关于的方程有个不同的实数根， 则关于的方程在内有两个不等的实根， 设，则函数在内有两个不等的零点， 所以，，解得. 故选：A. 【变式1-3】 （22-23高三上·天津东丽·期末）已知函数，若方程的图像恰有5个不同实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数分段画出函数的大致图像， 方程有5个不同的根， 然后采用换元法将问题变为讨论在给定区间上有解的问题. 【详解】当 时， ，， 当时，，当时，， 故时， ； 当时， ，当时,, 当时， 当时，有极大值，当时，， 作出的大致图像如图： 方程有5个不同的根， 令 ，根据其图像，讨论有解情况如下：令, (1)当 在和上各有一个解时，合题意即 ，解得 ， （2）当在和上各有一个解时，，解得， （3）当有一个根为6时，解得，此时另一个根为 ，不合题意； （4）当有一个根为1时，解得，此时另一个根也为1，不合题意， 综上可知：，故选：. 题型03 嵌套函数：无参型 【解题规律·提分快招】 嵌套函数基础方法理解 1、 可换元 2、 可通过换元构造“双坐标系”，注意对应的横纵坐标变量以及含义。 【典例1-1】 （高二下·河北保定·期末）若函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】的零点即方程的根，设，则，先解方程的根t，再根据图像数形结合的解的个数即可. 【详解】函数，的零点即的根， 设，则，先解方程的根t，再计算的解. 时得；时得. 如图所示，函数的图像，      方程和方程各有两个解，即方程共有4个解，故的零点有4个. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的零点个数，考查了数形结合思想，属于中档题. 【典例1-2】 （高三上·湖北·阶段练习）已知函数，，若关于的方程有6个不相等的实数解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 令g(x)=t,则方程f(t)=λ的解有3个，由图象可得，0<λ<1. 且三个解分别为， 则， ，均有两个不相等的实根， 则△1>0,且△2>0,且△3>0， 即16−4(2+5λ)>0且16−4(2+3λ)>0,解得， 当0<λ<时,△3=16−4(1+4λ−)>0即3−4λ+>0恒成立， 故λ的取值范围为(0,). 故选A. 【点睛】：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识． 【变式1-1】 （24-25高三上·天津和平·阶段练习）已知函数，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积等于（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】画出的图象，令，根据函数图象可得有两个不等实根，且有两个整数根，有三个整数根，数形结合得到，此时两个整数根分别为2和-16，数形结合三个整数根中，必有一个小于2，只有满足要求，故，求出五个整数根分别为，得到答案. 【详解】画出的图象，如下： 令，则， 根据的图象可知，要满足题意必须有两个不等实根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合图象，当与相切时满足要求， 根据对勾函数性质得，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，故， 又，其在定义域内单调递减， 令，解得， 故时，有两个整数根，分别为2和-16， 由图象可知，三个整数根中，必有一个小于2， 显然只有满足要求，此时，故， 令，解得另一个根为4， 又，解得， 故五个整数根分别为， 所以最大整数解和最小整数解之积为. 故选：B 【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 【变式1-2】 （24-25高一上·重庆·阶段练习）定义，设，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，易得，进而分或，两种情况讨论求解即可. 【详解】令，解得，令，解得或. 由题意得，，由，即， 令，则. ①当或时，，解得， 此时，若或，则，解得； 若，则，无解. ②当时，，解得或， 当时，， 若或，则，解得； 若，则，解得或； 当时，， 若或，则，解得（舍去）； 若，则，解得或（舍去）. 综上所述，或或或或. 故选：C. 【变式1-3】 （23-24高三上·湖北·开学考试）设函数，则函数的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设，先解出时的值，然后再根据的图象，判断时，的个数. 【详解】函数的零点个数与方程的解的个数相等， 令，则， 所以函数的零点个数与方程组的解的个数相同， 因为， 由，可得当时，，当时，，解得或或，在同一平面直角坐标系中分别作出，，，的图象如图所示， 由图象可知与有个交点，即有个根， 与有个交点，即有个根， 与有个交点，即有个根， 所以函数的零点个数为个，故选：C 题型04 嵌套函数：解析式含参型 【解题规律·提分快招】 1.引入参数 2.参数在所给的母函数内。 3.参数在解析式或者定义域中，分别对函数图像的影响 4.授课时讲清楚因为参数而造成的“动图”，可以引导学生借助画分解图来增加理解。 5.教师授课时可以借助几何画板展示，但是对于学生，特别是普通程度学生，要引导学生手工画“分解图”增加实战能力。 【典例1-1】 （24-25高一上·广东·期中）已知函数，若方程有且仅有一根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论及，根据的值，确定实数的取值范围. 【详解】若，则， 而当时，当时，所以无解； 若，则或， 其中有一根为，则由题意知无解， 而当时，当时，所以的值域为， 从而，解得，所以. 综上，的取值范围是， 故选：A. 【典例1-2】 （24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知，若方程有个不等实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先画出函数图象，有两根和，则方程及满足有个根即可求参. 【详解】观察各选项可得， 作出的图象，如图所示：   ， 令，先解，知其有两根和， 则方程提供个根，故方程提供个不等实根， 故，即，解得. 故选：D. 【变式1-1】 （24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法设，则方程等价为，根据指数函数和对数函数图象和性质求出，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令，则． ①当时，若；若，由，得． 所以由可得或． 如图所示，满足的有无数个，方程只有一个解，不满足题意； ②当时，若，则；若，由，得． 所以由可得，当时，由，可得， 因为关于的方程有且仅有两个实数根，则方程在]上有且仅有一个实数根， 若且，故； 若且，不满足题意． 综上所述，实数的取值范围是， 故选：C． 【变式1-2】 （2019·天津河西·一模）已知函数满足，，其中，若函数有个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先作函数图象，结合图象确定的根的情况，再结合图象与根的情况确定函数有个零点所需满足的条件. 【详解】先作函数图象，由图可得有两根，其中， 因此必有两根,因此要使函数有个零点，需有两根,即， 【点睛】本题考查函数图象与函数零点，考查基本分析求解能力，属中档题. 【变式1-3】 （22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】分类讨论的不同取值，并作出的图象，利用数形结合的思想，结合函数图象确定两个函数图象的交点的个数即可求解. 【详解】，当时，， 此时无解，不满足题意；当时，设， 则与的图象大致如下， 则对应的2个根为，此时方程均无解， 即方程无解，不满足题意； 当时，设，则与的图象大致如下， 则则对应的2个根为，若方程恰有三个不相等的实数解， 则与函数的图象共有3个不同的交点，①当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示， 所以与函数的图象只有1个交点，则，所以，解得； ②当时，与函数的图象共有2个交点，所以与函数的图象只有1个交点， 则，与矛盾，不合题意； ③当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示， 所以与函数的图象只有1个交点， 则，所以，解得；综上，的取值集合为，故答案为: . 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于作出函数的图象，将方程恰有三个不相等的实数解转化为两条横线与函数图象的图象的交点的个数共计3个，数形结合思想求解. 题型05 嵌套函数：零点方程含参 【解题规律·提分快招】 1.解析式无参，很容易画出图像 2.“方程”中有参。 【典例1-1】 （22-23高一上·福建厦门·期末）已知函数，则方程的实数解的个数至多是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合方程问题，换元，作函数图象分别看内外层分别讨论方程根的个数情况，即可得答案. 【详解】设，则化为，又， 所以，，作出函数的大致图象，如图 由图可得，当时，有两个根，， 即或，此时方程最多有5个根； 当时，有三个根， 即或或， 此时方程最多有6个根； 当时，有两个根，即或， 此时方程有4个根； 当时，有一个根，即， 此时方程有2个根； 综上，方程的实数解的个数至多是6个. 故选：B. 【典例1-2】 （20-21高三上·天津南开·阶段练习）已知实数，函数（为自然对数的底数），若关于的方程恰好有3个不相等的实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】导数求出函数的单调区间，从而画出函数的大致图像，则可得，，从而得，令，则，有3个解，不妨设从小到大依次为，则可得，不合题意，舍去，所以得，结合图像得，从而可求出的取值范围 【详解】解：当时，单调递增，且时，， 当时，，则， 因为在上单调递增，， 所以当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增，，当时，， 作出的大致图像如图所示， 由图像可知，，则，所以，所以，解得， 令，则，且，由图像可知，有3个解，不妨设从小到大依次为， 则，不合题意，舍去，所以，即，所以有三个解， 所以，解得，故答案为： 【变式1-1】 （2021·天津南开·二模）设函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ；若函数恰有5个的零点，则的取值范围为 . 【答案】 或 【分析】①分别画出两段函数的图像，分析单调性可求出范围；②函数恰有5个的零点，令，即等价于有个解，共有五个解，分析情况可知有两个解，，由这两个解的范围观察图像可得出的范围. 【详解】解：①，当时，，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增； 若函数在区间上单调递增，则或 解得：或. ②若函数恰有5个的零点，令， 由图像可知：，有可能有1个，2个，3个解，若有五个解，则有两根，且，或.当，时，不存在 当 ，时.故答案为：或；. 【点睛】思路点睛：函数恰有个的零点问题，可令，先求所有的解，然后再求的解的个数，个数之和为，由个数的情况找到的所有解，然后根据解的情况求出的范围. 【变式1-2】 （21-22高三上·天津北辰·阶段练习）已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不等实根，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，则根据题意得必有两个不相等的实根，不妨设，故，，再结合的图象可得，，，进而，再构造函数，分析函数的单调性，求得最大值. 【详解】由题意设，根据方程恰有三个不等实根， 即必有两个不相等的实根，不妨设，则， 方程或有三个不等实根，且，作出图象如图所示： 那么，可得，， 所以，构造新函数，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以, 所以的最大值为.故答案为：. 【变式1-3】 （24-25高三上·天津北辰·期末）已知函数.若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先通过导数研究的单调性与最值，结合换元法将问题化为的零点问题，根据导数的几何意义计算参数即可. 【详解】设，则，，得， 当单调递增， 当单调递减，当时，函数取得最大值2， 如图，画出函数的图象， 由，即，则，， 如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点， 则，得，即切点，所以切线方程为，如图，则与有2个交点，，如图可知，若函数恰有三个零点，则，， 则，所以，综上可知，．故答案为： . 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点问题，通常利用换元法与数形结合的思想. 题型06 嵌套函数：综合型 【解题规律·提分快招】 1.f（x）与g（x）型 2.多为一分段一个是常规函数 多以题型为主 【典例1-1】 （24-25高三上·上海·阶段练习）已知定义在上的函数满足:对任意，都有.若函数的零点个数为有限的n(n∈N)个，则n的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设函数的零点为，结合题设可得，进而求解. 【详解】由题意，对任意，都有，设函数的零点为，则，即，所以，即，设， 则函数为开口向上，对称轴为，且，， 所以函数在上有2个零点，即函数的零点个数最多为2个. 故选：B. 【典例1-2】 （24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数为上的奇函数，当时，，若函数满足，且有8个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用函数的奇偶性与题设条件得到与的解析式，设，作出函数的图象，数形结合，分类讨论函数、与三种情况，得到对应情况下的解的个数，从而得解. 【详解】因为函数为上的奇函数，当时， 令，则，则，又 所以，则，设，作出函数的图象， 对于A，当时，函数没有实数根，不满足题意； 对于B，当时，函数有四个根， 其中，，，； 作出与、、与的图象，如图， 显然几个函数恰有8个交点，则有8个不同的解，故B正确；对于CD，当时，函数有两个根，其中，， 与选项B同理可知与、各有一个交点， 则只有2个不同的解，不满足题意，故CD错误.故选：B. 【变式1-1】 （24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知函数，则关于的方程：的实根个数为：(    ). A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简，再设，将问题转化为和的交点问题，数形结合得到其交点的范围，再次数形结合即可得解. 【详解】因为 ， 令，，则换元整理为， 作出图像和在上的大致图象， 由图可知两函数在定义域内有两交点， 即方程在定义域内有2个实根分别为，， 再作出的图像，用和与之相交，共有8个实根. 故选：D. 【变式1-2】 （2024·全国·模拟预测）已知函数（），函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据曲线在点处的切线方程判断曲线和的交点情况，求方程的根，并根据函数的单调性及零点存在定理判断该根的大致范围，判断的图象与直线，的交点情况 【详解】函数的零点个数即方程的根的个数．令，则方程等价于．求曲线在点处的切线方程，得曲线和的交点情况对于函数，易知当时，，，故曲线在点处的切线方程为，因此曲线和无交点．（技巧：通过研究曲线在点处的切线， 数形结合判断曲线和的交点情况）求方程的根，并判断该根的大致范围： 将代入，得，则，令，得或， 故当时，，与无交点， 作出函数和的大致图象如图所示，结合图象可知， 方程有且仅有1个解，且此解就是方程的解． 易知函数是增函数，且，（点拨：因为，所以，故）因此方程的解． 又当时，，所以无解，显然有2个解， 所以函数有2个零点，故选：B． 【变式1-3】 （22-23高二下·辽宁·期末）已知函数，若有6个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据最多4个零点，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果. 【详解】由题可得函数图象，当或时，有两个解； 当时，有4个解； 当时，有3个解； 当时，有1个解； 因为最多有两个解. 因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，. 则存在下列几种情况： 有2个解，有4个解，即或，，显然， 则此时应满足，即 ，解得， 有3个解，有3个解，设即，， 则应满足，无解，舍去，综上所述，的取值范围为.故选：B. 题型07 零点：分参水平线型 【解题规律·提分快招】 1.分离参数。得常数函数（含参水平线） 2.函数画图，需要运用到复合函数单调性， 【典例1-1】 （24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数，若关于的方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知函数与的图象恰有两个不同的交点，作出函数的图象，数形结合即可求解. 【详解】若关于的方程恰有两个不同实根， 则函数与的图象恰有两个不同的交点， 作出的图象如图： 当时，，所以， 当时，， 当时，， 当时，，此时最大值为， 由图知：当或时函数与的图象恰有两个不同的交点， 所以实数的取值范围是，故选：C. 【典例1-2】 （24-25高一上·天津河东·阶段练习）已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合指数函数与对数函数的单调性，可得函数在及时的值域，即可得解. 【详解】令， 则关于的方程有且只有一个实根， 由指数函数与对数函数性质，可得在上单调递增，上单调递增， 又，故当时，， 当时，， 故时，关于的方程有且只有一个实根. 故选：D. 【变式1-1】 （24-25高一上·天津·期末）若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数零点的意义分离参数可得，再构造函数将问题转化为直线与函数图象有3个交点求解. 【详解】由，当时，，则， 函数在上单调递减，值域为R， 当时，有意义，则对恒成立， 于是，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 于是，令函数， 在同一坐标系内作出函数的图象及直线， 观察图象知，当时，直线与函数的图象有个交点，即函数有个零点.所以的取值范围为.故选：C 【变式1-2】 （24-25高一上·天津红桥·期末）已知函数．若方程有三个不等的实数解且，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式画出函数大致图象，数形结合判断参数k的范围，及所在区间，进而判断各项正误. 【详解】由解析式，可得函数大致图象如下： 令，可得或， 令，可得，令，可得， 由图知，要使方程有三个不等的实数解，且， 所以，且，，A、B对； ，C对； 由，而，故，D错. 故选：D 【变式1-3】 （24-25高三上·江西·期中）已知函数有两个零点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】条件化为与的两个交点横坐标分别为，，数形结合得到，应用对勾函数的性质求目标式的范围. 【详解】由函数有两个零点，， 所以与的两个交点横坐标分别为，， 结合图象知，，，，则，所以，则， 令，则，，又在区间上单调递减，所以，所以.故选：. 题型08 零点：切线分界法 【解题规律·提分快招】 当分离参数较困难时，可以“分离函数”，一般情况下，一侧多为直线，一侧是可以研究出图像的函数。 1.交点（零点）的个数和位置，多借助切线来寻找确定。 2.切线虽然大多数可以通过导数来解得，但对于如一元二次等常见函数的切线，可以通过方程联立解决，这样可以简化一些计算。 3.对于圆和圆锥曲线部分图像所获得的函数，导数求切线难度大，圆和圆锥曲线求切线的方法要注意总结掌握。 【典例1-1】 （2022·天津宝坻·二模）已知函数若函数有个零点，函数有个零点，且，则非零实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】命题等价于的图象与和的交点数之和为，然后结合图象判断交点数目，即可得到答案. 【详解】命题等价于与和的交点数之和为，作出的图象如下： 可以看出，对任意的非零实数，的图象和的交点数满足： 若，则；若，则；若，则. 而条件即为，此即，且或，从而的范围是或. 综上，所求取值范围是．故选：C. 【典例1-2】 （24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，且在上单调递减，且函数恰好有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数是上的减函数求出的范围，再在同一直角坐标系中，画出函数和函数的图象，根据方程的根的个数数形结合，从而可得出答案. 【详解】因为函数是上的减函数， 则，解得，函数恰好有两个零点，即方程恰好有两个根，如图，在上方程恰好有一解， 所以在上，方程有且仅有一解，当即时，由， 即，，则，解得或1（舍去）， 当时，经检验符合题意；当即时，由图象知符合题意. 综上，的取值范围是.故选：A.   【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是函数的零点问题转化为函数图象得交点，数形结合解决. 【变式1-1】 （2024·辽宁抚顺·一模）函数满足：当时，，是奇函数．记关于的方程的根为，若，则的值可以为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】首先判断函数关于点对称，再画出函数和的图象，结合函数的对称性，判断交点的个数，利用数形结合，即可求解. 【详解】若函数是奇函数，则， 即，则函数关于点对称，所以 而也关于点对称，恒过点， 方程根，即为函数与交点的横坐标， 因为两个函数都关于点对称，所以交点也关于点对称，且其中一个交点是， 如图画出两个函数的图象， 若，根据对称性可知，轴左侧和右侧各有3个交点，如图， 当直线过点时，轴右侧有2个交点，此时， 当直线过点时，轴右侧有3个交点，此时， 所以满足条件的的取值范围是，选项中满足条件的只有.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确分析出函数的图象，尤其是，并且会利用数形结合，分析临界直线，即可求解. 【变式1-2】 （22-23高二下·天津西青·阶段练习）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 作出函数与函数的图像，讨论曲线与曲线，相切以及过点的情况，求出对应的实数的值，利用数形结合思想可求得的取值范围. 【详解】作出与的图像，如图所示，   由，整理得， 当直线与圆相切时，则，解得，对应图中分界线①的斜率；再考虑直线与曲线相切，设切点坐标为，对函数求导得， 则所求切线的斜率为，所求切线即直线方程为， 直线过定点，将代入切线方程得，解得， 所以切点坐标为，所以，对应图中分界线③的斜率；当直线过点时，则， 解得，对应图中分界线②的斜率.由于函数有三个零点， 由图可知，实数的范围为.故选：C 【变式1-3】 （22-23高三上·天津河西·期末）已知函数，若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知与图象有三个交点，利用数形结合即得. 【详解】因为有且只有三个不相等的实数根， 所以与图象有三个交点，设， 画出与的大致图象，当与相切时， 由，可得，，所以或(舍去)， 当过时，，由图象可知，时，两图象有三个交点， 所以若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是.故选：B. 题型09 零点：分段含参讨论型 【解题规律·提分快招】 属于“动态函数”画图法 1.参数在分段函数定义域分界点处。 2.函数图像的“动态”讨论点，多从特殊点，交点，单调性改变点，奇偶性等处寻找。 3.引导学生多画分解图。 【典例1-1】 （24-25高一上·天津南开·阶段练习）若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，函数在上有一个零点，在上有两个零点，求出这三个零点，根据题意可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围. 【详解】当时，函数单调递增，则函数在上至多一个零点， 当时，函数至多两个零点， 因为函数有三个零点，则函数在上有一个零点，在上有两个零点， 当时，令，可得，必有，解得， 所以，，解得；当时，由，可得或， 所以，，解得.综上所述，实数m的取值范围为.故选：C. 【典例1-2】 （23-24高三上·天津蓟州·阶段练习）已知函数，函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围为（ ） A．（5，） B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，易知当时与有1个交点，则当时与需有两个交点.易知不符合题意，则，分类讨论函数的图象在、上的交点个数，利用数形结合的思想，结合一元二次方程在区间有解问题建立不等式组，解之即可. 【详解】如图，当时，函数与图象有1个交点. 要使有3个零点，则当时，与有两个交点即可， 若，，两函数没有交点，所以，画出图象，如下图所示， 由图象可知，函数的图象在内至多有一个交点. 当函数的图象在上有两交点，则在上没有交点. 即直线与曲线在有两交点，且函数的图象在上没有交点.即方程在有两个解，且在上没有解. 设，需，且， 解得或（舍去），且，得； 若在上函数的图象有1个交点，则在上函数的图象有1个交点， 即在有1个解，且在上有1个解. 则且，此时无解. 综上，要使函数图象在只有两交点，则.故选：B 【变式1-1】 （21-22高一上·云南临沧·期末）已知函数若存在实数b，使得方程有两个不同的解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数图象分析得解. 【详解】因为，，所以函数图象如图， 当时，的图象如下，可知不存在实数b，使得方程有两个不同的解.同理当也不满足. 当时，的图象如下，可知存在实数b，使得方程有两个不同的解. 综上，要使方程有两个不同的解，需．故选：C 【变式1-2】 （23-24高三上·天津蓟州·阶段练习）已知，函数，关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的意义将方程恰有两个互异的实数解，转化为各段上根的个数问题分类推理求解. 【详解】因为关于的方程恰有两个互异的实数解，则有： 有两个不同的实根，且无实根， 或与各有一个实根， 或无实根，且有两个不同的实根， 当时，， 令，则为增函数， 所以在上最多一个零点，有两个不同的实根不成立， 当函数在上有一个零点时，必有，即， 此时，， 因此，当时，函数在上确有一个零点，方程必有一个实根， 当，时，， 设函数， 而函数对称轴，即在上单调递减，又，即在上必有一个零点， 因此，方程必有一个实根， 于是得当时，与各有一个实根， 若方程无实根，必有， 此时方程有两个不同的实根，函数在上有两个零点， 当且仅当，解得，于是得当时，有两个不同的实根，且无实根， 综上得：当或时，方程恰有两个互异的实数解， 所以实数a的取值范围是.故选：C. 【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决. 【变式1-3】 （2023·贵州贵阳·三模）已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据参数的范围，讨论两段函数的零点情况，利用二次函数与三角函数的图象与性质，结合端点满足的条件，即可求解. 【详解】由函数，其中， 当时，对任意，函数在内最多有1个零点，不符题意，所以， 当时，， 由可得或， 则在上，有一个零点， 所以在内有3个零点，即在内有3个零点， 因为，所以，， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：C. 题型10 零点：局部小周期型 【解题规律·提分快招】 局部小周期两大模型 【典例1-1】 （2013·湖南益阳·一模）函数，若方程有且只有两个不等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在同一坐标系中画出的图像与的图像，利用数形结合，易求出满足条件的实数的取值范围. 【详解】画出函数图像如下： 当时，函数的图像与的图像有两个交点， 即方程有且只有两个不等的实根. 故选：A 【点睛】本题考查分段函数的图像，根的存在性及根的个数的判断，将方程根的个数转化为求函数零点的个数，并用图像法进行解答是本题的关键，属于基础题. 【典例1-2】 （2012·全国·一模）已知函数若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 A．(-∞,0］ B．［0,1) C．(-∞,1) D．［0,+∞) 【答案】C 【详解】试题分析：根据题意从而得到 函数f(x)=的图象如图所示， 当a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=x+a的图象有两个交点， 即方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根 故选C 【变式1-1】 （24-25高一上·山东威海·期中）已知函数若函数（）有3个零点，则正实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数（）有3个零点，即的图像与直线（）有3个不同的交点，利用图像即可得解. 【详解】由，令，得， 由题意得，函数的图像与直线（）有3个不同的交点 的图像如图①所示，其中M，N 直线（）过定点，斜率， 直线AN，AM的斜率分别为，，如图②，由图像可知，函数的图像与直线（）有3个不同的交点，所以， 即故选：B. 【变式1-2】 （24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数当时，方程的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】结合分段函数、周期函数和函数零点的含义结合两个函数图像求解. 【详解】当时，即则的周期为 画出函数的图像， 令则又因为则 由图可知方程 的根的个数即为两个函数图像交点的个数， 由图像可知，当时，存在一个零点，因为时， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，恒成立，则两函数无零点.综上所述，两函数有三个零点.故选：D. 【变式1-3】 （24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知定义在上的连续函数，满足，则方程的解的个数为（    ） A．13 B．14 C．20 D．21 【答案】D 【分析】将函数写成分段函数，由，可得，结合图象求解即可. 【详解】解：因为， 由，可得， 即有，作出函数的图象如图所示： 则有7个根，有10个根，有4个根， 所以方程共有个根.故选：D 题型11 零点：放大镜类周期型 【解题规律·提分快招】 “似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析： 1.是从左往右放大，还是从右往左放大。 2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。 3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。 4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。 【典例1-1】 （2020·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可. 【详解】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象， 如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点； 当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，   则，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题. 【典例1-2】 （20-21高三上·天津河西·阶段练习）已知函数，若方程在区间内有3个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】转化为函数与函数的图象在内有三个交点，求出和的解析式，再利用图象可得结果. 【详解】方程在区间内有3个不相等的实根，等价于函数与函数的图象在内有三个交点， 当时，， 当时，，， 当时，，， 作出函数在内的图象，如图： 由图可知：或，故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的图象的应用，考查了转化与化归思想、数形结合思想，考查了由方程根的个数求参数的取值范围，属于中档题. 【变式1-1】 （21-22高三上·天津河西·期末）已知函数，当时，函数恰有六个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的表达式，再根据函数的表达式画出图象，最后根据数形结合思想求解. 【详解】当时，；当时，. 当时，，可得，当时，， 可得，当时，，可得. 画出函数在上的图象如下图所示： 由上图，， 函数恰有六个零点，即函数与函数有6个交点， 从上图观察可知在直线与直线之间即可满足题意， 此时，.故选：B 【变式1-2】 （24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）定义在上的函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据函数的解析式与性质作图，再分析的零点个数即可. 【详解】当时，，且， 则当时，， 当时，， 当时，，可作出与的图像：函数的零点即与的交点，故在上的零点个数为7.故选：C 【变式1-3】 （19-20高三上·河南郑州·阶段练习）已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得的值. 【详解】函数在递增，且，， 所以函数存在唯一的零点，故，故选：C. 【点睛】本题考查了零点存在定理的简单应用，由定义求函数值，属于基础题. 题型12 零点：高斯取整型 【解题规律·提分快招】 取整函数（高斯函数） 1.具有“周期性” 2.一端是“空心头”，一端是“实心头” 3.还可以引入“四舍五入”函数作对比 【典例1-1】 （2020·山东聊城·一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则函数的所有零点之和为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意知，当时，，所以不是函数的零点，当时，令，作出函数的图象，利用数形结合思想，结合函数零点的定义即可求解. 【详解】由题意知，当时，，所以不是函数的零点， 当时，可得，，令， 作出函数的图象如图所示： 由图象可知，除点外，函数图象其余交点关于（0，1）中心对称，∴横坐标互为相反数，即， 由函数零点的定义知，函数的所有零点之和为 . 故选：A 【点睛】本题考查函数的新定义、函数零点的求解和函数图象及其性质；考查运算求解能力、转化与化归能力和数形结合思想；把函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题是求解本题的关键；属于创新题、难度较大型试题. 【典例1-2】 （21-22高三上·吉林·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念高斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，．设，则函数零点的个数为（    ） A．4040 B．4041 C．4042 D．4043 【答案】B 【分析】由题得，令，再画出两函数的图象分析得解. 【详解】令，， 令，所以. 所以函数的图象如图所示，   所以两个函数的图象的交点个数为2021+2020=4041. 所以函数零点的个数为4041.故选：B 【变式1-1】 （19-20高三上·河南南阳·期末）十八世纪，函数（表示不超过的最大整数）被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数”，根据上述定义，则方程的所有实数根的个数为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由可得，若时，方程显然不成立，故，此时，分别分析即可. 【详解】由可得,因为时，，方程无解， 当时，的可能取值为，当时，方程有解，当时，方程无解， 当时，，解得或，因为，符合题意，不符合题意，舍去，综上，方程的根为，，故选：C 【变式1-2】 （24-25高一上·湖北·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有大于零的解之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，，使，可得，，分类讨论k为奇数和偶数的情况，求出k的值，再代入求解即可. 【详解】，，使，则，于是，， 若k为奇数，则，，，则，解得，或，当时，，，，，解得， 当时，，，，，解得； 若k为偶数，则，则， ，则，解得，或， 当时，，，，，解得， 当时，，，，，解得， 所以所有大于零的解之和为.故选：D 【变式1-3】 （24-25高一上·天津·期末）设，函数，若函数在区间内恰有7个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，解得，对讨论，结合一元二次方程的根的情况，即可分类讨论得解. 【详解】令，解得， 令，则，若，则无解， 因此在内有7个不同的根， 由于相邻两个不同的根之间的距离为，而的区间长度小于2， 因此在内不可能有7个不同的根， 当时，此时只有一个实根，此时在内需有6个不同的实数根，由于相邻两个不同的根之间的距离为，而的区间长度等于2， 因此在内不可能有6个不同的根， 当时，此时有两个不相等的实根， 若，则，此时在有两个不相等的实根， 要使在区间内恰有7个零点，只需要在内有5个不同的根， 则，得，故，解得，若，则， 此时在只有一个实根，要使在区间内恰有7个零点，只需要在内有6个不同的根， 则，得，故，解得，综上可知：或. 故选：D. 题型13 零点：超难压轴小题 【典例1-1】 （20-21高二下·天津河北·期末）设函数，记函数有且仅有n个互不相同的零点（），则当n取到最大值时，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑时，得到时，在上有两个零点，当取其他值时，只有1个零点，再考虑时，变形得到当且时，，构造函数，写出分段函数，求导得到其单调性，画出函数图象，数形结合得到其与的交点个数，从而最终求出最多有4个零点，得到的取值范围. 【详解】，即， 当时，，即，故满足要求， 若，则无解，若，则，解得不满足； 若，则的解， 若，则的解，且当时，， 故当时，在上有两个零点， 当取其他值时，只有1个零点，时，，显然当时，无解，当且时，，令， ，当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，其中， 画出的图象如下：   当或或或时，有1个零点，当时，有2个零点， 当时，有3个零点，当时，无零点， 综上：最多有4个零点，此时.故选：A 【典例1-2】 （2018·天津·一模）已知函数，若函数在区间内有个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数和的图象．利用两个图象的交点个数问题确定的取值范围． 【详解】解：若，则，，． 若，则，，．若，则， ，．，，，， 设和，则方程在区间内有个不等实根， 等价为函数和在区间内有个不同的交点． 作出函数和的图象，如图： 当直线经过点时，两个图象有个交点，此时直线为， 当直线经过点，时，两个图象有个交点，此时直线为， 当直线经过点和时，两个图象有个交点，此时直线为， 当直线经过点和时，两个图象有个交点，此时直线为， 要使方程在区间内有个不等实根，即两个函数图象有个交点，则， 故答案为：． 【变式1-1】 （24-25高三上·天津·期中）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】构建，，分析可知与有2个不同的交点，分类讨论的大小关系，根据切线以及图象分析交点即可. 【详解】若，令，即，整理可得，解得，可知只有1个零点0，不合题意，所以， 令，可得，令，解得或；令，解得或；由题意可知：与有2个不同交点， 1.若，则，当时，可知，此时或无意义，与必然没有交点，所以只需要研究即可. （1）当，即时，对于可知， 则的定义域为，如图所示： 由图象可知：与的交点不止2个，不合题意； （2）当，即时，则， ①当时， 因为， 且，因为在上单调递增，则，可得 ，即，可得 则，即，可知与没有交点； ②当时，，则，且，则， 若，解得，此时结合图象可知：与没有交点； 若，解得，此时结合图象可知：与有1个交点； （3）当，即，此时结合图象可知：与有2个交点； 对应的图象如图所示， 说明：考虑到定义域问题，若，只作部分图象， 因为与必有一个交点为坐标原点， 可知当时，与有且仅有一个交点， 结合图象可知：若与有2个不同的交点，则或； 2.若时，令，即 则 ， 此时与等价，当且仅当或，即或时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式1-2】 （24-25高三上·天津·阶段练习）若函数恰有两个零点，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据的取值范围及绝对值的性质去掉绝对值符号，然后再结合二次函数性质分类求参数值． 【详解】（1）时，，易知它有三个零点：，不合题意； （2）时，或，， ，，时，， 时，，时，，时，， 所以其中，， ① ，即时，在上递减，，此时无零点，在上无零点，对，由于，有一正根一负根，而，因此正根大于，所以在上有一个零点；， 时，，，因此与都是递减的，从而在上递减，而，因此在上有一个零点， 综上，在R上有两个零点，符合题意； ②时，与①相同知在上有一个零点，在上有一个零点， 在上，，且， 由，解得， 时，无零点，因此在R上只有两个零点，符合题意； 时，在上至少有一个零点，从而在R上至少有三个零点，不合题意， （3）时，或，， ，，时，， 时，，时，，时，， 所以，，，，已经有一个零点， ①，即时，，在上递减，在上递增，在上递减，，则，又， 所以在和上各有一个零点，又也是它的零点，零点个数多于2个，不合题意， ②时，，在上单调递减，又，因此在上有一个零点， 又由得，，所以在时，在上只有一个零点， 此时，因此在上递增，因此在上无零点， 同理，，在上单调递增，因此因此在上无零点， 在，，若， 又，从而，在上至少有一个零点，从而在上零点个数多于2个，不合题意， 时，在上没有零点，所以在R上只有两个零点，满足题意。综上，的取值范围是． 【变式1-3】 （23-24高三下·浙江·开学考试）已知函数若函数有唯一零点，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】换元后转化为，该方程存在唯一解，且，数形结合求解. 【详解】当时，单调递减，图象为以和轴为渐近线的双曲线的一支； 当时，有，可得在单调递减，在单调递增 且，，画出图象如下:    由题意，有唯一解，设，则，（否则至少对应2个，不满足题意）， 原方程化为，即，该方程存在唯一解，且. 转化为与有唯一公共点，且该点横坐标在，画图如下： 情形一：与相切，联立得， 由解得，此时满足题意： 情形二：与有唯一交点，其中一个边界为(与渐近线平行)， 此时交点坐标为，满足题意； 另一个边界为与相切，即过点的切线方程， 设切点为，则，解得， 所以求得，此时左侧的交点D横坐标为满足条件，右侧存在切点E，故该边界无法取到； 所以的范围为. 综上，的取值范围为或. 故答案为：或 题型通关 1．（2024·浙江温州·二模）若关于的方程的整数根有且仅有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用绝对值三角不等式得，时等号成立，进而有且整数根有且仅有两个，对于，应用二次函数性质及对称性有且，得，即可求参数范围. 【详解】设，则原方程为， 由， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 整理得①，显然不满足， 令，即必有两根，且，故为两个正根， 所以，可得或， 对于，有，即，即恒满足①， 要使①中整数根有且仅有两个，则对应两个整数根必为， 若整数根为且，则，即， 所以，得， 综上， 故选：C 2．（2022·陕西西安·二模）已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先进行求导，利用导数和方程系数相同，得到或，转化为和，图像交点问题， 最后利用题目条件画出的图像即可求解. 【详解】函数有两个极值点，假设，则有两个不等的实数根，，方程的判别式，所以方程有两解，且或，函数的图像 和直线的交点个数即为方程解的个数，函数的图像和直线的交点个数即为方程解的个数. 在上单调递增，在上单调递减，又，画出图象如图所示，的图像和直线的交点个数为2个， 的图像和直线的交点个数为1个，或的根共有3个，即方程的不同实根个数为3.故选：B. 3．（23-24高一下·上海徐汇·期末）对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，则下列3个命题中真命题的个数为 . （1）函数是周期函数； （2）函数的图像关于直线对称； （3）方程有2个实数根. 【答案】1个 【分析】由题意可得、均为偶函数，作出两函数的图象，可判断（1），（2）；分，，且，及或，求解（3）． 【详解】函数的定义域为R，， 所以为偶函数，当时，， 当时，， 当时，， 因为为偶函数，所以函数的图象如下图所示： 因为，所以为偶函数， 由可知，在内，当，时，， 当，且，时，， 当或，时，， 则函数的图象如下图所示：由图可知，不是周期函数，故（1）错误； 的图象不关于直线对称，故（2）错误； 因为当时，，， 所以， 不存在，使，故无解； 当，且，时，， 所以， 如图所示，此时有一个解； 当或，时，， 所以， 综上，方程有2个实数根，故（3）正确． 所以真命题的个数为1个. 故答案为：1个. 4．（22-23高一上·湖北武汉·期末）函数，若关于的方程恰好有8个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，由对勾函数得到其单调性和值域情况，画出函数的图象，数形结合得到不同的时，两函数交点情况，得到答案. 【详解】令，由对勾函数的性质可知：对于一个确定的值，关于的方程最多两个解，画出的图象如下： 故值域为，作出函数的图象，如下： 令，解得：，令，解得：，， 令，解得：， 当时，存在唯一的，使得，此时方程有两解； 当时，存在使得，此时方程有三解， 其中时，有1个解，即，时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有四解， 时，无解，时，有2个解，时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有七解， 时，有1个解，即，时，有2个解，时，有2个解， 时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有八个解， 当时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有六解， 当时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有四解， 当时，有2个解，时，有2个解； 综上：实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（19-20高三下·重庆渝中·阶段练习）函数满足，当时，，若有8个不同的实数解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出对称轴，利用导函数得到，换元后利用根的判别式求出的取值范围，再结合二次函数根的分布情况求出的取值范围，最终求出答案. 【详解】由得：对称轴为，当时，，当时，，当时，，故在处取得极小值，且为最小值，，令，则，要想有8不同的实数解，故要有两个根，则，解得：或，且两根均要大于，所以要满足，解得：，综上：. 故答案为： 6．（2022·全国·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论： ①函数在上单调递增； ②函数的图象与直线有且仅有个不同的交点； ③若关于的方程恰有个不相等的实数根，则这个实数根之和为； ④记函数在上的最大值为，则数列的前项和为. 其中所有正确结论的编号是 . 【答案】①④ 【分析】作出函数的图像，利用数形结合思想依次判断选项①②③，利用等比数列求和判断选项④； 【详解】当时，，此时不满足方程； 若，则，即 若，则，即 作出函数在时的图像，如图所示，      对于①，由图可知，函数在上单调递增，由奇函数性质知，函数在上单调递增，故①正确； 对于②，可知函数在时的图像与与直线有1个交点，结合函数的奇偶性知，的图象与直线有3个不同的交点，故②错误； 对于③，设，则关于的方程等价于，解得：或      当时，即对应一个交点为；方程恰有4个不同的根，可分为两种情况： （1），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为8； （2），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为4，故③错误； 对于④，函数在上的最大值为，即，由函数的解析式及性质可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，则数列的前项和为，故④正确. 故答案为：①④ 7．（2016·上海杨浦·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，若直线与函数的图象恰有7个不同的公共点，则实数的取值范围为 . 【答案】（，） 【分析】本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点，且关于原点对称，利用得到函数类似周期性特征，从而可以画出函数的草图，再利用两个临界状态的研究，得到k的取值范围. 【详解】当时，， ． 当时，， ， 当，时， ， ， 函数是定义在R上的奇函数， 函数图象经过原点，且关于原点对称． 直线与函数的图象恰有7个不同的公共点， 当时，直线与函数的图象恰有3个不同的公共点， 由时的图象可知： 直线与函数的图象相切位置在时，直线与函数的图象恰有5个不同的公共点， 直线与函数的图象相切位置在时，直线与函数的图象恰有9个不同的公共点，直线与函数的图象位置情况介于上述两种情况之间．当时， 由得： ，令，得：．由得： ，令，得：．的取值范围为． 故答案为：． 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$