专题11微元法--时间微元-2025年高考物理冲刺解题方法与得分技巧（全国通用）

专题11 微元法-----时间微元 考点一 流体问题 2 考点二 求单棒变速切割磁感线的位移或时间 5 考点三 求切割磁场时通过的某截 面的电荷量 9 考点一 流体问题 1．（24-25高二上·山东聊城·期中）如图所示为清洗汽车用的高压水枪。设水枪出水口直径为D，水流以速度v从枪口喷出近距离垂直喷射到车身。所有喷到车身的水流，约有向四周溅散开，溅起时垂直车身向外的速度为，其余的水流撞击车身后无反弹顺车流下。由于水流与车身的作用时间较短，在分析水流对车身的作用力时可忽略水流所受的重力。已知水的密度为，水流对车身的平均冲击力为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·北京海淀·二模）如图所示，一个沙漏沿水平方向以速度v做匀速直线运动，沿途连续漏出沙子，单位时间内漏出的沙子质量恒定为Q，出沙口距水平地面的高度为H。忽略沙子漏出瞬间相对沙漏的初速度，沙子落到地面后立即停止，不计空气阻力，已知重力加速度为g。在已有沙子落地后的任意时刻，下列说法正确的是（　　） A．沙子在空中形成的几何图形是一条抛物线 B．在空中飞行的沙子的总质量为 C．沙子落到地面时对地面的作用力为Qv D．沙子落到地面时与沙漏的水平距离为 3．（24-25高二上·山东泰安·期中）将质量500g的杯子放在磅秤上，一水龙头以每秒500g的流量注入杯中，注入杯时水流的速度是，方向垂直于杯中水面。和杯中水面作用后，水流速度变为零。重力加速度。则（　　） A．注入水流对杯中水面的冲击力大小为2.5N B．注入水流对杯中水面的冲击力大小为4.5N C．注至10s时，磅秤示数为57.5N D．注至10s时，磅秤示数为7.5N 4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）现在很多小区安装了自主洗车房，假设洗车房内的高压水枪喷出的水在空中为圆柱形，且直径为D，水流的速度大小为v，水柱能垂直冲击汽车。在冲洗时若有一半的水在汽车表面顺流而下，另一半的水以原速率返回。已知水的密度为ρ，下列说法正确的是（　　） A．高压水枪单位时间内喷出的水的质量为 B．人手持高压水枪的力应大于 C．水柱对汽车的平均压强为 D．水柱对汽车的平均冲击力大小为 5．（24-25高二上·山东济宁·期中）目前正在运转的我国空间站天和核心舱，搭载了一种全新的推进装置——离子推进器，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。该装置获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场（初速度忽略不计），A、B间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得推力。单位时间内飘入的正离子数目为N，离子质量为m，电荷量为e（e是元电荷）。 (1)求离子喷出加速电场的速度v及其所形成的等效电流I； (2)求推进器获得的平均推力大小F。 6．（2024·浙江嘉兴·二模）如图所示是科学仪器中广泛应用的磁致离子偏转技术原理图。位于纸面的xOy平面内，和两条直线间存在着垂直纸面向内的匀强磁场。原点O处的离子源能沿纸面发射质量为电量为的正离子。其中向第一象限且与x轴正向成发射的速度为的离子，刚好从A点射出磁场。 （1）求该离子从A点射出磁场时的速度方向及匀强磁场的磁感应强度大小； （2）若离子源向与x轴正向最大夹角为：范围内发射离子，且所有离子都不离开磁场，求其发射的离子最大速度及最大速度离子到达的磁场区域面积S； （3）若磁场布满整个空间且磁场区域充满空气，使进入磁场的离子受到与速度大小成正比、方向相反的阻力。离子源沿x轴正向持续发射速度为的离子，单位时间发射离子数为，这些离子均经过A点。若在A点沿y轴放一小块离子收集板以收集所有射到A点的离子，不考虑离子间的相互作用，求离子束对收集板的作用力沿x轴方向分力的大小。 考点二 求单棒变速切割磁感线的位移或时间 7．（23-24高二下·浙江·期中）如图所示，倾角为、间距均为的倾斜金属导轨、与水平金属导轨、在、两点用绝缘材料平滑连接，倾斜轨道与水平轨道均足够长。在平面内存在垂直于导轨平面向上、磁感应强度为的匀强磁场，在平面存在竖直向上、磁感应强度为的匀强磁场。在、间连接一电容为的电容器和一个自感系数为的电感线圈，在间接一小灯泡。开始时，断开开关，闭合开关，一质量为、长为的金属棒在倾斜导轨上从距水平地面高为的位置由静止释放，不计导轨和金属棒的电阻及一切摩擦，已知重力加速度为，电容器的耐压值足够高。求 （1）金属棒到达倾斜导轨最底端时的速度大小 （2）金属棒进入区域后，通过小灯泡的总电荷量为多少？ （3）若断开开关，闭合开关，金属棒离开释放点的最大距离。 8．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）如图所示，MN、PQ为间距L＝0.5m足够长的平行导轨，导轨平面与水平面间的夹角，N、Q间连接有一个阻值的电阻。有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为。将一根质量为的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好。现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度。已知金属棒与导轨间的动摩擦因数，金属棒沿导轨下滑过程中始终与NQ平行，不计金属棒和导轨的电阻（，，）。求： （1）金属棒到达cd处的速度大小 （2）已知金属棒从ab运动到cd过程中，通过电阻的电荷量为2.5C，求此过程中电阻R产生的焦耳热与运动时间。 9．（2023·浙江·模拟预测）如图所示，光滑平行导轨abc与def间距为L，固定在绝缘水平面上，之间接一定值电阻，均与导轨垂直，段长度均为L。边界be右侧存在竖直向上、随时间按照某种规律变化的匀强磁场，b左侧存在竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场。现把某质量为m的导体棒放在af处，计时开始时，be右侧磁场的磁感应强度大小为，此时给导体棒一个水平向左、与导体棒垂直的速度，导体棒匀速运动到be处，继续运动到cd处速度正好为0。定值电阻阻值为R，其余电阻不计。 （1）求导体棒从be处运动到cd处过程中回路中产生的热量。 （2）求计时开始后，be右侧磁场的磁感应强度大小B随时间t变化的关系式。 （3）若导体棒从be处运动到cd处过程中，回路平均电流为，求导体棒从af处运动到cd处的运动时间及导体棒从af处运动到cd处所受的安培力对时间的平均值。    10．（23-24高二上·陕西西安·期末）如图，一组平行等间距的足够长导轨由倾角粗糙倾斜导轨与水平导轨相连构成，导轨间距为l，在倾斜导轨的边界EF上方，存在垂直于斜面向上，大小为B的匀强磁场。现将质量为m，电阻为R的导体棒M，放在倾斜导轨顶端，与其相距d处（仍在磁场中）放置完全相同的导体棒N，发现两导体棒恰好不滑动。一质量为m0，可视为质点的小球，从水平轨道平面中轴线上方某点，以初速度水平抛出，恰好平行于倾斜导轨，在M杆中心处与导体棒M发生弹性碰撞。已知，重力加速度为g，接触面间的最大静摩擦与滑动摩擦力相等。 （1）求小球与导体棒M碰后瞬间，N棒的加速度大小a； （2）若要保证M、N在磁场中不发生碰撞，求两导体棒初始距离d的最小值及N棒上产生焦耳热的最大值； （3）若N棒离开EF时的速度与M棒速度相等（M仍在磁场中且与N未发生碰撞），为确保之后M棒也能离开磁场，则d应该满足的条件范围。 11．（2024·吉林白山·一模）如图所示，一对间距，、足够长的平行光滑金属导轨固定于绝缘水平面上，导轨左端接有的电阻，长度与导轨间距相等的金属棒ab垂直放置于导轨上，其质量，电阻也为R，整个区域内存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。水平向右的恒力作用ab棒上，当时金属棒ab的速度达到最大，随后撤去F力，棒最终静止在导轨上。重力加速度，求： （1）金属棒ab运动的最大速度； （2）撤去拉力F前通过定值电阻R的电荷量； （3）撤去拉力F后金属棒ab继续沿水平轨道运动的位移。 考点三 求切割磁场时通过的某截 面的电荷量 12．（2025·云南·模拟预测）电磁炮是利用安培力对金属炮弹进行加速，使其达到打击目标所需的动能，与传统的大炮相比，电磁炮可大大提高弹丸的速度和射程。电磁炮可简化为如图所示模型，将质量为m的金属棒PQ放在两根足够长、间距为L的平行光滑水平导轨上，导轨处在垂直于导轨平面竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，导轨的左端连接一个电容为的超级电容器。将开关S拨到1，将电容器接在输出电压为的高压直流电源两端给电容器充电，充满电后将开关S拨向2，不计导轨电阻，金属棒PQ电阻为R，且运动的过程中始终和导轨垂直。求： (1)开关S合向2的一瞬间，金属棒PQ加速度a的大小； (2)金属棒PQ最终获得速度v的大小； (3)已知电容器贮存的电能为（C为电容器电容，U为电容器两端电压），金属棒PQ从静止运动至最终速度v的过程中产生的焦耳热（结果用v、、、m、B和L表示）。 13．（2022·全国·模拟预测）如图甲所示，MN、PO为足够长的两平行金属导轨，间距L=1.0m，与水平面之间的夹角α=30°，匀强磁场磁感应强度B=0.5T，垂直于导轨平面向上，MP间接有电流传感器，质量m=0.2kg、阻值R=1.0Ω的金属杆ab垂直导轨放置，它与导轨的动摩擦因数。现用外力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使ab由静止开始运动并开始计时，电流传感器显示回路中的电流Ⅰ随时间t变化的图象如图乙所示，除导体棒电阻外，其他电阻不计。取g=10m/s2，求： （1）0~3s内金属杆ab运动的位移； （2）0~3s内F随时间变化的关系。 14．（2023·海南省直辖县级单位·三模）如图甲所示，一质量为、边长为、电阻为的单匝正方形导线框放在绝缘的光滑水平面上，空间中存在一方向竖直向下的单边界匀强磁场，线框有一半在磁场内，其边与磁场边界平行。时刻起，磁场的磁感应强度随时间按如图乙所示规律均匀减小，线框运动的图像如图丙所示，图丙中倾斜虚线为过点速度图线的切线，时刻起速度图线与轴平行。则（　　）    A．线框中的感应电流沿顺时针方向 B．磁感应强度的变化率为 C．时刻，线框的热功率为0 D．时间内，通过线框截面的电荷量为 15．（2024·福建三明·模拟预测）2022年6月17日，配备了目前世界上最先进的中压直流技术电磁弹射器的我国第三艘航母“福建舰”正式下水。如图甲为电磁弹射系统简化等效电路（俯视图），两根固定于水平面内的足够长的光滑平行金属导轨，间距为L，电阻忽略不计。导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出）。舰载机（含滑架）可等效为一质量为m、电阻不计的金属棒MN，垂直放在两导轨间。导轨左端连接电路，其直流电源电动势为E，超级电容器的电容为C，定值电阻的阻值为R。先闭合开关K，将开关S接1，使电容器完全充电，然后断开开关K，将S接至2，MN由静止开始向右加速运动。设MN始终垂直两导轨并与导轨良好接触，忽略一切摩擦阻力及电磁辐射的能量。 （1）求MN由静止开始运动时的加速度大小； （2）S接至1到电路稳定的过程中，在图乙中画出电容器的极板电压u随电量q变化的图像，并结合该图像求稳定时电容器储存的能量； （3）MN从开始运动至稳定速度的过程中，电阻R上产生的焦耳热； （4）MN达到稳定速度后，闭合开关K，若舰载机点火产生恒定的推力F使MN继续加速，试通过推导，说明舰载机点火后MN做何种性质的运动?推力F作用了一段时间t后，电容器带电量为Q，则t为多大?（设电容器不漏电，此时电容器没有被击穿） 16．（2023·上海嘉定·一模）如图（a），某无线充电装置接收线圈匝数为N、半径为a、电阻为r。一匀强磁场垂直穿过线圈，其磁感应强度B随时间t变化规律如图（b）所示。外接定值电阻阻值为R。求：    （1）在时间内，接收线圈中的感应电动势E。 （2）在时间内，通过定值电阻的电荷量q。 （3）在、两段时间内，定值电阻上产生的热量之比为 。 A．2∶1    B．1∶1    C． 1∶2    D．1∶4 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 微元法-----时间微元 一、流体问题 2 二、求单棒变速切割磁感线的 位移或时间 9 三、求切割磁场时通过的某截 面的电荷量 19 考点一 流体问题 1．（24-25高二上·山东聊城·期中）如图所示为清洗汽车用的高压水枪。设水枪出水口直径为D，水流以速度v从枪口喷出近距离垂直喷射到车身。所有喷到车身的水流，约有向四周溅散开，溅起时垂直车身向外的速度为，其余的水流撞击车身后无反弹顺车流下。由于水流与车身的作用时间较短，在分析水流对车身的作用力时可忽略水流所受的重力。已知水的密度为，水流对车身的平均冲击力为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取水流的速度方向为正方向，假设在一段很短的时间内，喷到车身上水的质量为，则 设水流对车身的平均冲击力大小为,则对质量为的水，根据动量定理有 联立两式，求得 故选C。 2．（2024·北京海淀·二模）如图所示，一个沙漏沿水平方向以速度v做匀速直线运动，沿途连续漏出沙子，单位时间内漏出的沙子质量恒定为Q，出沙口距水平地面的高度为H。忽略沙子漏出瞬间相对沙漏的初速度，沙子落到地面后立即停止，不计空气阻力，已知重力加速度为g。在已有沙子落地后的任意时刻，下列说法正确的是（　　） A．沙子在空中形成的几何图形是一条抛物线 B．在空中飞行的沙子的总质量为 C．沙子落到地面时对地面的作用力为Qv D．沙子落到地面时与沙漏的水平距离为 【答案】B 【分析】根据题干中“一个沙漏沿水平方向以速度v做匀速直线运动，沿途连续漏出沙子”可知，本题考查平抛运动，根据运动的合成与分解分析作答。 【详解】A．由于沙子下落时，沙子与沙漏均具有水平向右的初速度v，所以漏出的沙子在水平方向上均与沙漏以相同的速度向右移动，因此沙子在空中形成的几何图形是一条直线，A错误； B．从第一粒沙子漏出开始到这粒筛子刚落地，这一过程中在竖直方向上，有 这一过程的时间为 由于单位时间内漏出的沙子质量恒定为Q，则这一过程中落下的沙子总质量满足 B正确； C．沙子落到地面时的水平分速度等于,设地面对沙子作用力的水平分力为，取水平向左为正方向，根据动量定理得 解得 由于地面对沙子还有竖直方向的作用力，故地面对沙子的作用力大于，根据牛顿第三运动定律可知沙子落到地面时对地面度作用力大于，故C错误； D．因为沙子与沙漏在水平方向上以相同的速度v运动，所以沙子落地与沙漏的水平距离为0，D错误。 故选B。 3．（24-25高二上·山东泰安·期中）将质量500g的杯子放在磅秤上，一水龙头以每秒500g的流量注入杯中，注入杯时水流的速度是，方向垂直于杯中水面。和杯中水面作用后，水流速度变为零。重力加速度。则（　　） A．注入水流对杯中水面的冲击力大小为2.5N B．注入水流对杯中水面的冲击力大小为4.5N C．注至10s时，磅秤示数为57.5N D．注至10s时，磅秤示数为7.5N 【答案】AC 【详解】AB．以在很短时间内。落在杯中的水柱为研究对象，规定向上正方向，由动量定理得 其中 由于很小，所以可忽略不计。解得 根据牛顿第三定律可知，注入水流对杯中水面的冲击力为 即冲击力大小为2.5N，方向向下，故A正确，B错误； CD．结合AB选项分析可知，注至10s时，磅秤示数为 故C正确，D错误。 故选AC。 4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）现在很多小区安装了自主洗车房，假设洗车房内的高压水枪喷出的水在空中为圆柱形，且直径为D，水流的速度大小为v，水柱能垂直冲击汽车。在冲洗时若有一半的水在汽车表面顺流而下，另一半的水以原速率返回。已知水的密度为ρ，下列说法正确的是（　　） A．高压水枪单位时间内喷出的水的质量为 B．人手持高压水枪的力应大于 C．水柱对汽车的平均压强为 D．水柱对汽车的平均冲击力大小为 【答案】BD 【详解】A．高压水枪单位时间内喷出的水的质量 故A错误； B．由动量定理可得 解得喷水枪对水的作用力 人对喷水枪的力为F1的反作用力与喷水枪重力的合力，所以应大于，故B正确； D．以汽车对水的作用力方向为正，由动量定理得 解得水柱对汽车的平均冲击力大小 故D正确； C．水柱对汽车的压强 故C错误。 故选BD。 5．（24-25高二上·山东济宁·期中）目前正在运转的我国空间站天和核心舱，搭载了一种全新的推进装置——离子推进器，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。该装置获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场（初速度忽略不计），A、B间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得推力。单位时间内飘入的正离子数目为N，离子质量为m，电荷量为e（e是元电荷）。 (1)求离子喷出加速电场的速度v及其所形成的等效电流I； (2)求推进器获得的平均推力大小F。 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）离子在加速电场中加速过程，由动能定理得 求得 所形成的等效电流为 （2）以很短时间内喷出的个n个离子为研究对象，根据动量定理得 其中 解得 根据牛顿第三定律，推力器获得的平均推力大小 6．（2024·浙江嘉兴·二模）如图所示是科学仪器中广泛应用的磁致离子偏转技术原理图。位于纸面的xOy平面内，和两条直线间存在着垂直纸面向内的匀强磁场。原点O处的离子源能沿纸面发射质量为电量为的正离子。其中向第一象限且与x轴正向成发射的速度为的离子，刚好从A点射出磁场。 （1）求该离子从A点射出磁场时的速度方向及匀强磁场的磁感应强度大小； （2）若离子源向与x轴正向最大夹角为：范围内发射离子，且所有离子都不离开磁场，求其发射的离子最大速度及最大速度离子到达的磁场区域面积S； （3）若磁场布满整个空间且磁场区域充满空气，使进入磁场的离子受到与速度大小成正比、方向相反的阻力。离子源沿x轴正向持续发射速度为的离子，单位时间发射离子数为，这些离子均经过A点。若在A点沿y轴放一小块离子收集板以收集所有射到A点的离子，不考虑离子间的相互作用，求离子束对收集板的作用力沿x轴方向分力的大小。 【答案】（1），出射速度方向与轴正向夹角为；（2），；（3） 【详解】（1）设轨迹半径为 解得 解得 出射速度方向沿与轴正向夹角为 （2）沿轴正方向发射的离子轨迹恰好与上边界相切时 以方向入射的半径为的圆轨迹能到达的最低点 故最大半径为 解得 如图所示，离子所到达的区域面积为 半径的一个圆加上顶角半径的扇形一中间叶片区域的面积，然后减去两个顶角半径的扇形相交区域的面积。即 （3）设某时刻速度为，方向与水平方向夹角为，水平方向由动量定理得 即 解得 方向对粒子由动量定理得 解得 由牛顿第三定律得，粒子对收集板的作用力大小为 考点二 求单棒变速切割磁感线的位移或时间 7．（23-24高二下·浙江·期中）如图所示，倾角为、间距均为的倾斜金属导轨、与水平金属导轨、在、两点用绝缘材料平滑连接，倾斜轨道与水平轨道均足够长。在平面内存在垂直于导轨平面向上、磁感应强度为的匀强磁场，在平面存在竖直向上、磁感应强度为的匀强磁场。在、间连接一电容为的电容器和一个自感系数为的电感线圈，在间接一小灯泡。开始时，断开开关，闭合开关，一质量为、长为的金属棒在倾斜导轨上从距水平地面高为的位置由静止释放，不计导轨和金属棒的电阻及一切摩擦，已知重力加速度为，电容器的耐压值足够高。求 （1）金属棒到达倾斜导轨最底端时的速度大小 （2）金属棒进入区域后，通过小灯泡的总电荷量为多少？ （3）若断开开关，闭合开关，金属棒离开释放点的最大距离。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）金属棒在倾斜导轨上由静止释放，则金属棒做加速下滑，金属棒切割磁感线产生感应电动势为 由于对电容器充电，则电路中有电流产生，金属棒受到安培力作用，方向与金属棒运动方向相反。电容器所带的电荷量为 电容器充电电流为 对金属棒由牛顿第二定律可得 代入得 由速度位移关系公式可得，金属棒在进入DEFG区域时的速度大小为 代入得 （2）金属棒在水平导轨上做减速运动，最后速度减到零，设通过小灯泡的平均电流为，对金属棒由动量定理可得 又因为 代入得 代入得 （3）导体棒两端产生的动生电动势始终等于线圈产生的自感电动势，设导体棒的速度为时产生的动生电动势为，导体棒沿导轨下滑的距离为时，导体棒的加速度为，电路中的电流为，结合牛顿第二定律有 即 两边求和得 由牛顿第二定律得 解得 作出图像如图所示 解得 8．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）如图所示，MN、PQ为间距L＝0.5m足够长的平行导轨，导轨平面与水平面间的夹角，N、Q间连接有一个阻值的电阻。有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为。将一根质量为的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好。现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度。已知金属棒与导轨间的动摩擦因数，金属棒沿导轨下滑过程中始终与NQ平行，不计金属棒和导轨的电阻（，，）。求： （1）金属棒到达cd处的速度大小 （2）已知金属棒从ab运动到cd过程中，通过电阻的电荷量为2.5C，求此过程中电阻R产生的焦耳热与运动时间。 【答案】（1）；（2）， 【分析】（１）根据题中“当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度”可知，此时金属棒做匀速直线运动，处于平衡状态．根据平衡条件求解安培力，运用安培力公式求解电流，再根据闭合电路欧姆定律求解感应电动势和速度。 （2）根据题中“已知金属棒从ab运动到cd过程中，通过电阻的电荷量为2.5C”条件，运用动量定理求解时间，运用电量公式求解位移，再运用动能定理求解焦耳热。 【详解】（１）对金属棒 ab 受力分析, 设达到稳定速度为，则感应电动势 根据得 根据平衡条件有 代入数据解得 因此，金属棒达到的稳定速度为 4m/s。 （2）由金属棒动量定理得 由电量得 由法拉第电磁感应定律和欧姆定律，通过电阻的电量 代入数据解得金属棒在磁场下滑的位移 从ab运动到cd过程，设克服安培力做功为，由动能定理得 又电阻产生的焦耳热等于克服安培力做的功 联立解得 Q=1J 因此，电阻R产生的焦耳热为1J。 9．（2023·浙江·模拟预测）如图所示，光滑平行导轨abc与def间距为L，固定在绝缘水平面上，之间接一定值电阻，均与导轨垂直，段长度均为L。边界be右侧存在竖直向上、随时间按照某种规律变化的匀强磁场，b左侧存在竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场。现把某质量为m的导体棒放在af处，计时开始时，be右侧磁场的磁感应强度大小为，此时给导体棒一个水平向左、与导体棒垂直的速度，导体棒匀速运动到be处，继续运动到cd处速度正好为0。定值电阻阻值为R，其余电阻不计。 （1）求导体棒从be处运动到cd处过程中回路中产生的热量。 （2）求计时开始后，be右侧磁场的磁感应强度大小B随时间t变化的关系式。 （3）若导体棒从be处运动到cd处过程中，回路平均电流为，求导体棒从af处运动到cd处的运动时间及导体棒从af处运动到cd处所受的安培力对时间的平均值。    【答案】（1）；（2）；（3）， 【详解】（1）设导体棒匀速运动的速度为v，导体棒从be处运动到cd处，由动量定理可得 由法拉第电磁感应定律可得 由闭合电路欧姆定律可得 综合解得 回路中产生的热量 （2）导体棒从af处到be处做匀速运动，所受合力为0，则所受安培力为0，感应电流为0，感应电动势为0，故 计时开始时 t时刻 综合解得 （3）导体棒从af处到be处的运动时间为 解得 由 解得 导体棒从af处到cd处的运动时间为 导体棒从af处运动到cd处，由动量定理可得 综合解得 10．（23-24高二上·陕西西安·期末）如图，一组平行等间距的足够长导轨由倾角粗糙倾斜导轨与水平导轨相连构成，导轨间距为l，在倾斜导轨的边界EF上方，存在垂直于斜面向上，大小为B的匀强磁场。现将质量为m，电阻为R的导体棒M，放在倾斜导轨顶端，与其相距d处（仍在磁场中）放置完全相同的导体棒N，发现两导体棒恰好不滑动。一质量为m0，可视为质点的小球，从水平轨道平面中轴线上方某点，以初速度水平抛出，恰好平行于倾斜导轨，在M杆中心处与导体棒M发生弹性碰撞。已知，重力加速度为g，接触面间的最大静摩擦与滑动摩擦力相等。 （1）求小球与导体棒M碰后瞬间，N棒的加速度大小a； （2）若要保证M、N在磁场中不发生碰撞，求两导体棒初始距离d的最小值及N棒上产生焦耳热的最大值； （3）若N棒离开EF时的速度与M棒速度相等（M仍在磁场中且与N未发生碰撞），为确保之后M棒也能离开磁场，则d应该满足的条件范围。 【答案】（1）；（2），；（3） 【详解】（1）小球与导体棒M碰前瞬间，小球速度为v，则 小球与导体棒M发生弹性碰撞，根据动量守恒及能量守恒定律有 解得 ， 碰后瞬间，感应电动势为 根据闭合电路欧姆定律和安培力表达式得 ， 对N棒根据牛顿第二定律，联立有 由于未碰撞前导体棒恰好不下滑，则有 解得 （2）两导体棒在磁场中运动过程中，动量守恒，最终两棒速度相等，设为v3，则 解得 对M分析，根据动量定理有 则开始运动到MN共速过程中，对M分析，当M、N在磁场中不发生碰撞，两导体棒初始距离的最小值为该过程中相对位移大小，整理得 解得 两导体棒在磁场中运动过程中，重力势能的减小量恰好等于两导体棒滑动摩擦产生的热量，减小的动能等于回路产生的焦耳热，设回路产生的焦耳热为Q，由能量守恒定律 解得 N棒上产生焦耳热的最大值为 （3）N棒离开磁场后，M棒切割磁感线做减速运动，确保EF时的速度与M棒速度相等（M仍在磁场中且与N未发生碰撞），则d最小为 由动量定理得 解得 故为确保之后M棒也能离开磁场，d最大为 应该满足的条件范围 11．（2024·吉林白山·一模）如图所示，一对间距，、足够长的平行光滑金属导轨固定于绝缘水平面上，导轨左端接有的电阻，长度与导轨间距相等的金属棒ab垂直放置于导轨上，其质量，电阻也为R，整个区域内存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。水平向右的恒力作用ab棒上，当时金属棒ab的速度达到最大，随后撤去F力，棒最终静止在导轨上。重力加速度，求： （1）金属棒ab运动的最大速度； （2）撤去拉力F前通过定值电阻R的电荷量； （3）撤去拉力F后金属棒ab继续沿水平轨道运动的位移。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）当金属棒ab所受合力为零时，棒的速度最大，对ab棒列平衡方程，得    所以金属棒ab运动的最大速度vm （2）前2s内对ab棒利用动量定理得 其中      解得 （3）撤去拉力后，对棒ab利用动量定理得 其中 根据法拉第电磁感应定律 由闭合电路的欧姆定律 联立可得 所以撤去拉力F后金属棒ab继续沿水平轨道运动的位移为 考点三 求切割磁场时通过的某截 面的电荷量 12．（2025·云南·模拟预测）电磁炮是利用安培力对金属炮弹进行加速，使其达到打击目标所需的动能，与传统的大炮相比，电磁炮可大大提高弹丸的速度和射程。电磁炮可简化为如图所示模型，将质量为m的金属棒PQ放在两根足够长、间距为L的平行光滑水平导轨上，导轨处在垂直于导轨平面竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，导轨的左端连接一个电容为的超级电容器。将开关S拨到1，将电容器接在输出电压为的高压直流电源两端给电容器充电，充满电后将开关S拨向2，不计导轨电阻，金属棒PQ电阻为R，且运动的过程中始终和导轨垂直。求： (1)开关S合向2的一瞬间，金属棒PQ加速度a的大小； (2)金属棒PQ最终获得速度v的大小； (3)已知电容器贮存的电能为（C为电容器电容，U为电容器两端电压），金属棒PQ从静止运动至最终速度v的过程中产生的焦耳热（结果用v、、、m、B和L表示）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）开关S合向2的一瞬间，金属棒PQ有 求得金属棒PQ加速度的大小为 （2）设在很短的时间内通过金属棒PQ的电荷量为，金属棒PQ的速度变化量为，根据动量定理得 即 将金属板PQ达到最大速度的整个过程分为很多小段，对于每小段过程有 ………… 将以上各式左右两边分别累加得 即 又 金属棒PQ速度最大时，回路中的电流为零，电容器两极板间的电压为 联立得 （3）设金属棒PQ从静止运动至最终速度v的过程中产生的焦耳热为Q，由能量守恒得 又 联立求得 13．（2022·全国·模拟预测）如图甲所示，MN、PO为足够长的两平行金属导轨，间距L=1.0m，与水平面之间的夹角α=30°，匀强磁场磁感应强度B=0.5T，垂直于导轨平面向上，MP间接有电流传感器，质量m=0.2kg、阻值R=1.0Ω的金属杆ab垂直导轨放置，它与导轨的动摩擦因数。现用外力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使ab由静止开始运动并开始计时，电流传感器显示回路中的电流Ⅰ随时间t变化的图象如图乙所示，除导体棒电阻外，其他电阻不计。取g=10m/s2，求： （1）0~3s内金属杆ab运动的位移； （2）0~3s内F随时间变化的关系。 【答案】（1）9m；（2） 【详解】（1）由图乙知图线与横轴的面积为这段时间通过金属杆的电量 q=4.5C 又金属杆ab切割磁感线产生的感应电动势 产生的感应电流 又 得 =9m （2）根据题意 ， 得 由图乙知 由闭合回路的欧姆定律得 所以 由可得，则金属杆ab沿着导轨做初速度为0加速度为a=2m/s2的匀加速直线运动，由牛顿运动定律得 解得 14．（2023·海南省直辖县级单位·三模）如图甲所示，一质量为、边长为、电阻为的单匝正方形导线框放在绝缘的光滑水平面上，空间中存在一方向竖直向下的单边界匀强磁场，线框有一半在磁场内，其边与磁场边界平行。时刻起，磁场的磁感应强度随时间按如图乙所示规律均匀减小，线框运动的图像如图丙所示，图丙中倾斜虚线为过点速度图线的切线，时刻起速度图线与轴平行。则（　　）    A．线框中的感应电流沿顺时针方向 B．磁感应强度的变化率为 C．时刻，线框的热功率为0 D．时间内，通过线框截面的电荷量为 【答案】AB 【详解】A．由图乙可知方向竖直向下的磁感应强度减小，则穿过线框的磁通量减小，根据楞次定律可知，线框中电流沿顺时针方向，故选项A正确； B．根据左手定则可判断线框受到向左的安培力作用，向左加速进入磁场，在时刻，感应电动势大小 由牛顿第二定律得 由图丙可知在时刻线框的加速度 联立解得 故选项B正确； C．由图丙可知，时刻之后，线框速度恒定，说明线框已经全部进入磁场，此后虽然线框中有感应电流，但各边安培力相互抵消，所以线框做匀速直线运动，在时刻有 线框的热功率 联立可得 故选项C错误； D．时间内，对线框由动量定理得 即 若磁感应强度恒定，则有 即通过线框截面的电荷量 本题中因为磁场的磁感应强度随时间逐渐减小，所以通过线框截面的电荷量不为，故选项D错误。 故选AB。 15．（2024·福建三明·模拟预测）2022年6月17日，配备了目前世界上最先进的中压直流技术电磁弹射器的我国第三艘航母“福建舰”正式下水。如图甲为电磁弹射系统简化等效电路（俯视图），两根固定于水平面内的足够长的光滑平行金属导轨，间距为L，电阻忽略不计。导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出）。舰载机（含滑架）可等效为一质量为m、电阻不计的金属棒MN，垂直放在两导轨间。导轨左端连接电路，其直流电源电动势为E，超级电容器的电容为C，定值电阻的阻值为R。先闭合开关K，将开关S接1，使电容器完全充电，然后断开开关K，将S接至2，MN由静止开始向右加速运动。设MN始终垂直两导轨并与导轨良好接触，忽略一切摩擦阻力及电磁辐射的能量。 （1）求MN由静止开始运动时的加速度大小； （2）S接至1到电路稳定的过程中，在图乙中画出电容器的极板电压u随电量q变化的图像，并结合该图像求稳定时电容器储存的能量； （3）MN从开始运动至稳定速度的过程中，电阻R上产生的焦耳热； （4）MN达到稳定速度后，闭合开关K，若舰载机点火产生恒定的推力F使MN继续加速，试通过推导，说明舰载机点火后MN做何种性质的运动?推力F作用了一段时间t后，电容器带电量为Q，则t为多大?（设电容器不漏电，此时电容器没有被击穿） 【答案】（1）；（2）、；（3）；（4）匀加速直线运动， 【详解】（1）开关将S接2瞬间，电路中的电动势大小为E，根据欧姆定律得电路中的电流 金属棒MN所受安培力 又有牛顿第二定律得 MN由静止开始运动时的加速度大小 （2）由电容的定义式可得 即电容器的极板电压u与电量q成正比，当极板电压时，两极板电量 设在极短时间内，电容器的电压为，电荷量的变化量为，则由电流的定义可得电流为 电功率为 储存的电能等于电场力做的功 充电结束时，电容器储存的总电能，也是图像与轴所围的面积 （3）设MN稳定时速度为，由题意可得，稳定时电容器两端电压 此时电容器极板电荷量 在整个运动过程中电路的平均电流 对金属棒MN应用动量定理得 以上两式整理得 结合（1）结论根据能量守恒得电阻R上产生的焦耳热 整理得 （4）在极短时间内对金属棒MN应用牛顿第二定律 又由题意可得 由以上各式整理可得 即舰载机点火后MN做匀加速直线运动。 当电容器带电量为Q时，此时电动势为 金属棒MN速度 又 将整理解得 16．（2023·上海嘉定·一模）如图（a），某无线充电装置接收线圈匝数为N、半径为a、电阻为r。一匀强磁场垂直穿过线圈，其磁感应强度B随时间t变化规律如图（b）所示。外接定值电阻阻值为R。求：    （1）在时间内，接收线圈中的感应电动势E。 （2）在时间内，通过定值电阻的电荷量q。 （3）在、两段时间内，定值电阻上产生的热量之比为 。 A．2∶1    B．1∶1    C． 1∶2    D．1∶4 【答案】（1）；（2）；（3）C 【详解】（1）在时间内，接收线圈中的感应电动势 （2）在时间内，通过接收线圈中的感应电流 通过定值电阻的电荷量 （3）时间内的感应电动势 通过接收线圈中的感应电流 则 根据 可知在、两段时间内，定值电阻上产生的热量之比为1:2。 故选C。 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$