专题9物理数学法-函数方程和数列-2025年高考物理冲刺解题方法与得分技巧（全国通用）

专题9 物理数学法----函数方程和数列 考点一 数学方程求动态平衡中极值 2 考点二 二次方程求极值和范围 5 考点三 二次方程判别式求解 6 考点四 二次三项式子求最值 9 考点五 函数求解电源输出功率最大值 12 考点六 三角函数求解 13 考点七 均值不等式求极值 15 考点八 等比数列的应用 17 考点一 数学方程求动态平衡中极值 1．（23-24高一上·江苏·阶段练习）如图所示，质量为m1=0.1kg的小环A套在粗糙的竖直杆上，小环A与杆间的动摩擦因数，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。一质量为m2=0.2kg的小球B与A用不可伸长的细线相连，整个装置在外力F（如图）作用下恰好保持静止。下列说法正确的是（　　）    A．外力F的最小值为 B．外力F的最小值为 C．外力F最小时，其方向与水平方向的夹角 D．外力F最小时，其方向与水平方向的夹角 2．（2019高三·全国·考点练习）质量为的木楔倾角为，在水平面上保持静止，当将一质量为的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成角的力拉着木块匀速上升，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止，重力加速度为）。 （1）当时，拉力有最小值，求此最小值； （2）当时，木楔对水平面的摩擦力是多大？ 3．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）如图所示，质量为的物体置于水平地面上，受到一个与水平面方向成角的拉力作用，恰好做匀速直线运动，取，求： （1）画出物体的受力分析示意图； （2）物体受到的摩擦力大小； （3）物体与水平面间的动摩擦因数； （4）若的方向可以改变，求使物体做匀速直线运动的的最小值（直接写出答案即可）。 4．（20-21高三上·山东枣庄·阶段练习）如图所示，质量为M的木楔倾角为，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成角的力F拉着木块，木块能匀速上升，已知木楔在整个过程中始终静止。 （1）当为多大时，F有最小值，求此时的大小及F的最小值； （2）当＝时，木楔对水平面的摩擦力是多大？ 5．（2024·湖北·三模）如图所示，正方形ABCD的对角线长为2a，在A、C两点分别放置电荷量为的点电荷，P为正方形ABCD外接圆上任意一点，O为外接圆的圆心，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　） A．B、D两点的电场强度相同 B．将负电荷沿直线由B移到D的过程中，电场力先做正功后做负功 C．对角线BD连线上电场强度的最大值为 D．若两点电荷在P点的电场强度大小分别是、，则为定值 考点二 二次方程求极值和范围 6．（22-23高一上·新疆塔城·期中）甲、乙两车相距20m，同时同向运动，乙在前面以某一加速度做初速度为零的匀加速直线运动，甲在后面做初速度v0=10m/s、 a=6m/s2的匀加速直线运动。关于两车在运动过程中的相遇次数，下列说法中正确的是（　　） A．若乙车的加速度小于6m/s2，则两车只能相遇一次 B．若乙车的加速度等于8m/s2，则两车相遇两次 C．若乙车的加速度等于9m/s2，则两车只能相遇一次 D．若乙车的加速度等于10m/s2，则两车能相遇两次 7．（22-23高二下·江西赣州·阶段练习）如图所示为某工厂的传送装置，两个足够长的平行导轨MNPQ与间距d=0.5m，粗糙倾斜轨道和光滑的水平轨道圆滑连接，倾斜轨道与水平面的夹角，以为边界，边界左侧的水平轨道和倾斜轨道均处在垂直于导轨平面向上、磁感应强度大小为B=2.0T的匀强磁场中。边界右侧没有磁场，边界位置可调。视为金属棒的工件ab从倾斜轨道足够高处滑下后通过水平轨道（不计拐弯处能量损失），最后从右端掉入收集网中，收集网的底端与水平轨道的距离H=0.8m，收集网的截面呈抛物线形状，以收集网的底端O点为原点建立坐标系xOy，其抛物线方程为。已知工件ab质量m=1kg，电阻r=0.3Ω，运动中与导轨有良好接触，并且垂直于导轨；定值电阻R=0.7Ω，连接在间，其余电阻不计，金属棒与倾斜轨道间动摩擦因数，取，sin37°=0.6，cos37°=0.8. （1）求金属棒到达的最大速度； （2）改变边界位置，当NP间的距离大于L时，发现金属棒无法掉入收集网中，求L； （3）改变边界位置，当L为多少时，金属棒能掉入收集网中，且金属棒落在收集网时的动能最小，动能的最小值为多少？ 8．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如图所示，一同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，轻绳的另一端系有质量为m的小球（视为质点），使小球绕O点在竖直平面内做圆周运动。当小球某次运动到最低点时，轻绳恰好断掉，小球飞离后在水平地面上的落点到最低点的水平距离为2d。已知O点到水平地面的高度为d，O点与小球之间的轻绳长为d，重力加速度大小为g。忽略空气阻力。 （1）求小球从轻绳断至落地的时间t； （2）求轻绳能承受的最大拉力； （3）轻绳能承受的最大拉力和O点到水平地面的高度都不变，改变绳长，使小球重复上述运动，轻绳仍在小球运动到最低点时断掉，求抛出的小球位移最大时的绳长L。 9． （2020·福建·高考真题）如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框，固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场中。一接入电路电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、cd以速度匀速滑动，滑动过程PQ始终与垂直，且与线框接触良好，不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中（　　） A．PQ中电流先增大后减小 B．PQ两端电压先减小后增大 C．PQ上拉力的功率先减小后增大 D．线框消耗的电功率先减小后增大 考点三 二次方程判别式求解 10．（2022·湖南湘潭·二模）某同学在操场练习掷铅球，第一次以速度水平掷出铅球，第二次以与水平方向成角斜向上掷出铅球，结果铅球都落到了P点。已知铅球两次出手时的高度和速度大小均相同，两次铅球的水平射程均为x，重力加速度大小为g，则铅球出手时的高度为（　　） A． B． C． D． 11．（2021·江苏南京·三模）抛出的铅球在空中的运动轨迹如图所示，、为轨迹上等高的两点，铅球可视为质点，空气阻力不计．用、、、分别表示铅球的速率、机械能、动能和重力瞬时功率的大小，用表示铅球在空中从运动到的时间，则下列图像中正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（20-21高一上·江苏苏州·期末）质量为2kg的物体静止在足够大的水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为0.2，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等。从t＝0时刻开始，物体受到方向不变、大小呈周期性变化的水平拉力F作用，F随时间t的变化规律如图所示。重力加速度g取10m/s2，则在物体运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．0~4s和4~8s内摩擦力方向相反 B．在20s时物体的速度为 20m/s C．0~10s内发生的位移为68m D．物体发生200m的位移在22~23s内 13．（21-22高一下·上海虹口·期中）惊险刺激的“时空之旅”飞车表演中，杂技演员驾驶摩托车在一个大球内绕大球的竖直直径在水平面内飞速旋转，如图所示，已知大球的半径R = 3m，演员与摩托车的总质量m = 150kg，摩托车做匀速圆周运动的轨迹的纬度值，即图中的夹角θ = 37°，（g取10m/s2，sin37° = 0.6，cos37° = 0.8），试求： （1）若摩托车与球壁间没有摩擦，则此时摩托车对球壁的压力为多大？摩托车的线速度为多大？ （2）当杂技演员驾驶摩托车的速度增大，有同学认为摩托车做圆周运动的轨迹纬度值θ将减小。请判断该同学的结论是否正确，并说明判断的理由。 14．（2022高三·全国·竞赛）1mol的理想气体经历一个准静态膨胀过程，其（绝对）温度T随其体积V变化的过程图线是一条抛物线，抛物线最高点是，起点是，终点是。在此过程中，气体经历的准静态图线的方程为 ：气体对外做功为 。 考点四 二次三项式子求最值 15．（20-21高三上·山东青岛·期中）如图，某对撞系统类似于“过山车”模型，通过改变电场方向自动控制。该绝缘装置存在于竖直面内的匀强电场中，平直轨道BD上有一半径为R的环形轨道，水平轨道与倾斜轨道、环形轨道平滑连接。开始时电场方向向上，质量为m、电量为q的带电刚性小球P静止于离水平面高h处的倾斜轨道AB上，恰好对轨道无压力。将电场反向后，小球P由静止沿轨道运动，与另一静止于水平轨道上大小相等的绝缘刚性小球Q发生弹性正碰。已知Q球质量是P球的4倍，重力加速度为g，忽略一切摩擦阻力。求： (1)匀强电场的场强E； (2)要使P球能够沿着轨道运动与Q球碰撞，h需满足的条件； (3)要使P球能够沿着轨道运动与Q球至少发生两次碰撞，h需满足的条件。 16．（20-21高三上·江苏·阶段练习）如图所示，光滑水平平台AB与竖直光滑半圆轨道AC平滑连接，C点切线水平，长为L=4m的粗糙水平传送带BD与平台无缝对接。质量为m1=0.3kg和m2=1kg的两个小物块中间有一被压缩的轻质弹簧，用细绳将它们连接。已知传送带以v0=1.5m/s的速度向左匀速运动，小物体与传送带间动摩擦因数为μ=0.15。某一时刻剪断细绳，小物块m1向左以v1=10m/s的速度向左运动，小物块m2以v2=3m/s的速度向右运动。g取10m/s2。求： (1)从小物体m2滑上传送带到第一次滑离传送带的时间； (2)从小物体m2滑上传送带到第一次滑离传送带的过程中，为了维持传送带匀速运动，电动机需对传送带多提供的电能E； (3)为了让小物块m1从C点水平飞出后落至AB平面的水平位移最大，求竖直光滑半圆轨道AC的半径R和小物块m1平抛的最大水平位移x的大小。 17．（20-21高二上·河北沧州·阶段练习）如图，一质量m=1×10-6kg，带电量q= -2×10-8C的微粒以初速度v0竖直向上从A点射入一水平向右的匀强电场，当微粒运动到比A高20cm的B点时速度大小也是v0，且方向水平向左，且AB两点的连线与水平方向的夹角为45º，g取10m/s2，求： （1）AB两点间的电势差UAB； （2）匀强电场的场强E的大小； （3）该微粒初速度v0多大； （4）该过程中带电微粒的最小速度为多少。 18．（22-23高一下·四川成都·阶段练习）如图甲所示，一质量为的物体静止在水平地面上，让物体在随位移均匀减小的水平推力F作用下开始运动，推力F随位移x变化的关系如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数，g取，则下列说法正确的是（　　）    A．物体运动时速度减为零 B．物体运动时的动能为 C．物体在水平地面上运动的最大位移是 D．物体运动的最大速度为 19．（20-21高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）质量为m、带电荷量为+q的小金属块A以初速度v0从光滑绝缘高台上水平飞出。已知在足够高的高台边缘右侧空间中存在水平向左的匀强电场，场强大小。下列说法正确的是（　　） A．金属块一定不会与高台边缘相碰 B．金属块一定会与高台边缘相碰，相碰前金属块在做匀变速运动 C．金属块运动过程中距高台边缘的最大水平距离为 D．金属块运动过程中的最小速度为 考点五 函数求解电源输出功率最大值 20．（24-25高二上·山东济宁·期中）如图（a）所示电路，当变阻器的滑动片从一端滑到另一端的过程中两电压表的读数随电流表读数的变化情况如图（b）中的AC、BC两直线所示，不考虑电表对电路的影响。 (1)定值电阻R0的阻值为多大？ (2)电源的电动势和内阻分别为多少？ (3)变阻器滑动片从一端滑到另一端的过程中，变阻器消耗的最大电功率为多少？ 21．（21-22高二上·山东潍坊·期末）如图所示，电源的电动势不变，内阻为，定值电阻为，滑动变阻器的最大阻值为，求： （1）当滑动变阻器的阻值为多大时，电阻消耗的功率最大？ （2）当滑动变阻器的阻值为多大时，滑动变阻器消耗的功率最大？ 22．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）交警使用的某型号酒精测试仪工作原理如图所示，传感器电阻R的电阻值随酒精气体浓度的增大而减小，电源的电动势为E，内阻为r，定值电阻R0 = r，电路中的电表均为理想电表。当饮酒驾驶后对着测试仪吹气时，下列说法错误的是（　　） A．电压表的示数变大，电流表的示数变小 B．饮酒量越多，电源的效率越小 C．饮酒量越多，电源的输出功率一定越大 D．电压表示数变化量与电流表示数变化量的绝对值之比保持不变 考点六 三角函数求解 23．（24-25高一上·河北石家庄·期中）如图所示，质量为1 kg的物体静止在水平地面上，与水平地面间的动摩擦因数，现在对物体施加一个与水平方向夹角为θ = 37°的外力F，如图所示。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g = 10 m/s2（sin37° = 0.6，cos37° = 0.8）。可能用到的公式：，其中 (1)写出影响滑动摩擦力大小的因素； (2)若物体做匀速直线运动，则F的值为多少； (3)改变外力F与水平方向的夹角θ，求能维持物体做匀速直线运动的最小拉力（拉力方向用θ的三角函数表示）。 24．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）图为“S”形单行盘山公路示意图。弯道1、2可看作两个不同高度的水平圆弧，圆心分别为、，弯道2比弯道1高，两弯道中心虚线对应的半径分别为、，倾斜直道AB与两弯道平滑连接。一质量的汽车沿着中心虚线从弯道1经过倾斜直道AB进入弯道2，已知汽车在AB段做匀加速直线运动，加速时间，汽车在两个弯道运动时，路面对轮胎的径向摩擦力始终等于汽车所受重力的，取重力加速度大小，求： (1)汽车从弯道1运动到弯道2增加的机械能E； (2)汽车在AB段运动时受到的支持力大小。 25．（24-25高二上·全国·阶段练习）如图所示，水平地面上固定一倾角为的足够长斜面，一木块以初速度从斜面底端冲上斜面，木块与斜面间的动摩擦因数，改变的数值，木块沿斜面向上滑行的最远距离将发生变化，重力加速度为，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 考点七 均值不等式求极值 26．（24-25高二上·安徽蚌埠·期中）如图真空中，A、B两等量同种正点电荷+Q位于同一竖直线上，在两点电荷连线的中垂线上放置一水平光滑的轨道MN，一带电小球+q，（+q远远小于+Q，带电小球在空间激发的电场忽略不计）质量为m，以初速度v0从O点水平向右沿MN轨道运动至C（图中C未标出），，已知AB=L，小球视为点电荷，静电常数为k。 (1)求当小球从O点水平向右沿MN轨道运动到C时受到的电场力F； (2)已知点电荷+Q在真空中r处产生的电势为，且空间任意位置的电势为A、B点电荷产生的电势代数和，求带电小球运动到C点的动能（结果可以用根号表示）； (3)求带点小球从O点开始运动到的距离s为多少时，小球的加速度达到最大，最大加速度为多少（结果可以用根号表示）。 27．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，左右高度均为2L的“U”形槽竖直在光滑水平地面上，槽内固定有一高为L的长方体木框P，木框右边EF与“U”形槽右壁CD间的距离是L。一只质量为m的灵活小猴（可视为质点）从“U”形槽左壁AB的最高点A水平跳出，恰能过木框P的边缘E落在“U”形槽底D点。不计一切阻力，已知“U”形槽（含木框）总质量为M，重力加速度为g。 (1)求小猴从木框边缘E到“U”形槽底D点的时间； (2)求“U”形槽获得的速度大小； (3)若小猴在A点以不同大小、与水平方向成不同角度的初速度起跳，猴都有可能刚好从“U”型槽右壁最高点C点离开。求小猴起跳过程中对“U”形槽和小猴组成的系统做的最小功。 考点八 等比数列的应用 28．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，桌面、地面和固定在地面上的弧形轨道MN均光滑，桌面与弧形轨道最低点N之间的高度差h = 1 m，物块C静止于木板D左端，木板的上表面与弧形轨道最低点N等高，物块C与木板D上表面间的动摩擦因数μ = 0.5，木板右端与墙壁之间的距离d = 5.0 m。现用力将小球A、B向里压至弹簧长度L0 = 0.4 m，小球B到桌子右边缘的距离L1 = 0.2 m，然后同时由静止释放两小球，小球与弹簧均不拴接，小球B运动到桌面右边缘时恰与弹簧分离，以vB = 4.0 m/s的速度水平飞出，从M点处恰好沿切线飞入弧形轨道，在最低点N与物块C发生弹性正碰，碰撞时间极短，经一段时间后木板D和右侧墙壁发生弹性碰撞，碰撞时间极短。已知物块C始终未和墙壁碰撞，且未脱离木板，A球质量mA = 1.0 kg，B球质量mB = 0.5 kg，物块C质量mC = 0.5 kg，木板D质量mD = 0.1 kg，g = 10 m/s2，球与物块均可视为质点，求： (1)弹簧原长L2； (2)小球B与物块C发生碰撞后，物块C的速度大小vC； (3)木板D在地面上滑动的总路程s及木板D的最短长度L3。 29．（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图，足够长的木板B静止放置在绝缘地面上，物块C静止放在B的正中间，物块A静止放在距离B左端处，竖直挡板P固定在距离木板右端足够远处。A与地面没有摩擦力，B、C之间、B与地面之间动摩擦因数均为。物块A带正电，电荷量为q，B、C不带电。A、B、C质量分别为、、。现给整个空间施加一个水平向右的匀强电场，之后A、B碰撞后共速但不粘连，且A的电荷量始终保持不变。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。若B与挡板P的碰撞皆为弹性碰撞，且B和P碰撞瞬间A与B不弹开。每次碰撞后将挡板P重新固定到足够远处，保证每次与挡板P碰撞前，A、B、C，一起做匀速直线运动，求∶ （1）匀强电场的电场强度为多大？ （2）木板B与挡板第一次碰撞后，A、B之间的最大距离为多少？ （3）最终物块C停留在B上何处？ 30．（2024·福建泉州·模拟预测）如图甲所示，B物块静止在足够长的固定斜面上，t=0时刻将质量为m的A物块从距离B物块L处由静止释放，t=9t0时刻A、B发生第一次碰撞，t=19t0时刻发生第二次碰撞，在两次碰撞间A物块的v-t图线如图乙所示（其中v0、t0均为未知量），每次碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短，两物块与斜面的最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，求： （1）A沿斜面向下运动与向上运动的加速度之比； （2）B物块的质量； （3）A、B物块与斜面间的动摩擦因数之比； （4）B物块沿斜面下滑的最大距离。 31．（23-24高三下·海南·阶段练习）某种材料的特性是物体与之发生碰撞后反弹速度为碰前速度大小的。如图所示，一逆时针转动的倾斜传送带与水平面的夹角为37°，传送带的速度为v传=4m/s，传送带长L=15m，由此材料做成的挡板固定在传送带底端位置。挡板与传送带不固连，一质量m=1kg的小物块从传送带中间位置以速度v0=8m/s冲上传送带，物块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.25，小物块可以看做质点，已知重力加速度的大小，，，。求： （1）小物块释放时，小物块加速度的大小和方向； （2）第1次与挡板碰撞前小物块的速度大小； （3）试判断物块最终的位置，并求出物块从滑上传送带在最终刚处于该位置经历的时间。 （4）试判断物块最终的位置，并求出物块从滑上传送带在最终刚处于该位置与传送带摩擦产生的热量。 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9 物理数学法----函数方程和数列 考点一 数学方程求动态平衡中极值 2 考点二 二次方程求极值和范围 7 考点三 二次方程判别式求解 14 考点四 二次三项式子求最值 20 考点五 函数求解电源输出功率最大值 28 考点六 三角函数求解 31 考点七 均值不等式求极值 35 考点八 等比数列的应用 39 考点一 数学方程求动态平衡中极值 1．（23-24高一上·江苏·阶段练习）如图所示，质量为m1=0.1kg的小环A套在粗糙的竖直杆上，小环A与杆间的动摩擦因数，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。一质量为m2=0.2kg的小球B与A用不可伸长的细线相连，整个装置在外力F（如图）作用下恰好保持静止。下列说法正确的是（　　）    A．外力F的最小值为 B．外力F的最小值为 C．外力F最小时，其方向与水平方向的夹角 D．外力F最小时，其方向与水平方向的夹角 【答案】A 【详解】当外力F的最小值时，A、B整体具有向下运动的趋势，杆对小环有向上的静摩擦力，令F与水平方向的夹角为θ，杆对小环的弹力为N，对A、B整体进行分析有 ， 当外力F的最小值时，摩擦力达到最大静摩擦力，则有 解得 令，对该函数求导数有 当导数等于0时，解得 则有 将该夹角代入上述函数式，解得外力F的最小值为 故选A。 2．（2019高三·全国·考点练习）质量为的木楔倾角为，在水平面上保持静止，当将一质量为的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成角的力拉着木块匀速上升，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止，重力加速度为）。 （1）当时，拉力有最小值，求此最小值； （2）当时，木楔对水平面的摩擦力是多大？ 【答案】（1） ；（2） 【详解】（1）木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有 得 木块在力作用下沿斜面向上匀速运动，有 解得 则当时，有最小值，为 （2）因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于的水平分力，即 当当时，取最小值，木楔对水平面的摩擦力为 3．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）如图所示，质量为的物体置于水平地面上，受到一个与水平面方向成角的拉力作用，恰好做匀速直线运动，取，求： （1）画出物体的受力分析示意图； （2）物体受到的摩擦力大小； （3）物体与水平面间的动摩擦因数； （4）若的方向可以改变，求使物体做匀速直线运动的的最小值（直接写出答案即可）。 【答案】（1）如图所示；（2）16N；（3） ；（4）。 【详解】（1）把物体看成质点受力图如下图 （2）（3）根据受力图，我们把力F分解到水平方向和竖直方向。则 解得 ， 即摩擦力大小为16N，动摩擦因数为。 （4）由上面的方程组得 整理得 整理得 （其中 ） 则当时，F取得最小值 故 4．（20-21高三上·山东枣庄·阶段练习）如图所示，质量为M的木楔倾角为，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成角的力F拉着木块，木块能匀速上升，已知木楔在整个过程中始终静止。 （1）当为多大时，F有最小值，求此时的大小及F的最小值； （2）当＝时，木楔对水平面的摩擦力是多大？ 【答案】（1），；（2） 【详解】木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有 解得 （1）木块在F作用下沿斜面向上匀速运动，有 又 解得 则当时，F有最小值，为 （2）因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即 当，即F取最小值时， 5．（2024·湖北·三模）如图所示，正方形ABCD的对角线长为2a，在A、C两点分别放置电荷量为的点电荷，P为正方形ABCD外接圆上任意一点，O为外接圆的圆心，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　） A．B、D两点的电场强度相同 B．将负电荷沿直线由B移到D的过程中，电场力先做正功后做负功 C．对角线BD连线上电场强度的最大值为 D．若两点电荷在P点的电场强度大小分别是、，则为定值 【答案】BCD 【详解】A．B、D两点的电场强度方向不同，即电场强度不同，A错误； B．点到点的电场强度方向为向下，点到点电场强度方向为向上，将负电荷沿电场线由B移到D的过程中，电场力先做正功后做负功，B正确； C．设BD连线上某一点到点的角度为，点的受力如图所示 对点进行受力分析可知 则 由此解得当时，的最大值为 C正确； D．设点到点的连线与的夹角为，则有 即 D正确。 故选BCD。 考点二 二次方程求极值和范围 6．（22-23高一上·新疆塔城·期中）甲、乙两车相距20m，同时同向运动，乙在前面以某一加速度做初速度为零的匀加速直线运动，甲在后面做初速度v0=10m/s、 a=6m/s2的匀加速直线运动。关于两车在运动过程中的相遇次数，下列说法中正确的是（　　） A．若乙车的加速度小于6m/s2，则两车只能相遇一次 B．若乙车的加速度等于8m/s2，则两车相遇两次 C．若乙车的加速度等于9m/s2，则两车只能相遇一次 D．若乙车的加速度等于10m/s2，则两车能相遇两次 【答案】AB 【详解】设经过时间t，两车相距为，乙车的加速度为，两车能够相遇，有 代入数据，解得当时，两车只能相遇一次，当时，两车可以相遇两次，当时，两车不能相遇。 故选AB。 7．（22-23高二下·江西赣州·阶段练习）如图所示为某工厂的传送装置，两个足够长的平行导轨MNPQ与间距d=0.5m，粗糙倾斜轨道和光滑的水平轨道圆滑连接，倾斜轨道与水平面的夹角，以为边界，边界左侧的水平轨道和倾斜轨道均处在垂直于导轨平面向上、磁感应强度大小为B=2.0T的匀强磁场中。边界右侧没有磁场，边界位置可调。视为金属棒的工件ab从倾斜轨道足够高处滑下后通过水平轨道（不计拐弯处能量损失），最后从右端掉入收集网中，收集网的底端与水平轨道的距离H=0.8m，收集网的截面呈抛物线形状，以收集网的底端O点为原点建立坐标系xOy，其抛物线方程为。已知工件ab质量m=1kg，电阻r=0.3Ω，运动中与导轨有良好接触，并且垂直于导轨；定值电阻R=0.7Ω，连接在间，其余电阻不计，金属棒与倾斜轨道间动摩擦因数，取，sin37°=0.6，cos37°=0.8. （1）求金属棒到达的最大速度； （2）改变边界位置，当NP间的距离大于L时，发现金属棒无法掉入收集网中，求L； （3）改变边界位置，当L为多少时，金属棒能掉入收集网中，且金属棒落在收集网时的动能最小，动能的最小值为多少？ 【答案】（1）5m/s；（2）5m；（3）3m；6J 【详解】（1）当金属棒到达最大速度时，做匀速运动，合力为0，经受力分析可得 其中摩擦力 所受安培力 联立可得 （2）设金属棒到达时速度恰好为0，由动量定理可得 其中 电荷量 联立可得 （3）金属棒离开磁场后做匀速运动，设此时速度为，而后从离开轨道做平抛运动，落在收集网的D点，设D点与抛出点的竖直高度为h。    由平抛运动可得竖直方向 水平方向 由D点在抛物线上，可得 联立可得 落在D点的动能 代入得 当 时，即时，有最小值， 代人数据可得 将代人可得 根据 再由（2）中步骤得 8．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如图所示，一同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，轻绳的另一端系有质量为m的小球（视为质点），使小球绕O点在竖直平面内做圆周运动。当小球某次运动到最低点时，轻绳恰好断掉，小球飞离后在水平地面上的落点到最低点的水平距离为2d。已知O点到水平地面的高度为d，O点与小球之间的轻绳长为d，重力加速度大小为g。忽略空气阻力。 （1）求小球从轻绳断至落地的时间t； （2）求轻绳能承受的最大拉力； （3）轻绳能承受的最大拉力和O点到水平地面的高度都不变，改变绳长，使小球重复上述运动，轻绳仍在小球运动到最低点时断掉，求抛出的小球位移最大时的绳长L。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）小球从轻绳断后做平抛运动，设下落的高度为h，由几何关系有 由平抛运动规律有 解得 （2）设轻绳断时小球的速度大小为v，由平抛运动规律有 t 由圆周运动向心力公式，有 其中，解得 （3）设轻绳断时小球的速度大小为，轻绳承受的最大拉力不变，有 轻绳断后小球做平抛运动，设小球的位移大小为x，在空中运动的时间为 则小球的水平位移大小 小球的竖直位移大小 小球的合位移大小 解得 则x有最大值时 9．（2020·福建·高考真题）如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框，固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场中。一接入电路电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、cd以速度匀速滑动，滑动过程PQ始终与垂直，且与线框接触良好，不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中（　　） A．PQ中电流先增大后减小 B．PQ两端电压先减小后增大 C．PQ上拉力的功率先减小后增大 D．线框消耗的电功率先减小后增大 【答案】C 【详解】设PQ左侧线框电阻为，则右侧线框电路的电阻为，所以外电路的总电阻为 在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中，外电路电阻先增大后减小。 A．PQ中电流 可知PQ中电流先减小后增大，A错误； B．PQ中电流先减小后增大，内电压先减小后增大，PQ两端电压（电源的路端电压）先增大后减小，B错误； C．PQ做匀速运动，拉力等于安培力，即 拉力的功率 该功率先减小后增大，C正确； D．外电路的电阻 当PQ运动到中间位置时，外电路的电阻最大为，小于电源内阻，可得输出功率 输出功率随外电阻的变化如图所示 当内外电路电阻越接近，电源的输出功率越大；当内外电路电阻相等时，电源的输出功率最大。电源输出功率与外电阻的关系如图。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中，外电阻与电源内阻的大小关系是先接近再远离所以线框消耗的电功率（电源输出功率）先增大后减小，D错误。 故选C。 考点三 二次方程判别式求解 10．（2022·湖南湘潭·二模）某同学在操场练习掷铅球，第一次以速度水平掷出铅球，第二次以与水平方向成角斜向上掷出铅球，结果铅球都落到了P点。已知铅球两次出手时的高度和速度大小均相同，两次铅球的水平射程均为x，重力加速度大小为g，则铅球出手时的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查抛体运动，目的是考查学生应用数学处理物理问题的能力。设铅球以仰角掷出后，在空中做斜抛运动，则 即 上式变形有 、为二次方程的两个根，根据韦达定理有 解得 故选D。 11．（2021·江苏南京·三模）抛出的铅球在空中的运动轨迹如图所示，、为轨迹上等高的两点，铅球可视为质点，空气阻力不计．用、、、分别表示铅球的速率、机械能、动能和重力瞬时功率的大小，用表示铅球在空中从运动到的时间，则下列图像中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．铅球做斜上抛运动，机械能守恒，重力势能先增加后减小，故动能先减小后增加，速度先减小后增加，故AB错误； C．以初始位置为零势能面，抛出时速度方向速度为，铅球的机械能守恒，则 故图象为抛物线，故C错误； D．速度的水平分量不变，竖直分量先减小到零，后反向增加，故根据 重力的功率先均匀减小后均匀增加，故D正确； 故选D。 12．（20-21高一上·江苏苏州·期末）质量为2kg的物体静止在足够大的水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为0.2，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等。从t＝0时刻开始，物体受到方向不变、大小呈周期性变化的水平拉力F作用，F随时间t的变化规律如图所示。重力加速度g取10m/s2，则在物体运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．0~4s和4~8s内摩擦力方向相反 B．在20s时物体的速度为 20m/s C．0~10s内发生的位移为68m D．物体发生200m的位移在22~23s内 【答案】D 【详解】A．在0~4s对物体受力分析为 故物体静止，受到的摩擦力方向与拉力方向相反；在4~8s内，对物体进行受力分析，可得物体的加速度为 此时物体做匀加速运动，所受摩擦力方向与拉力方向相反；故0~4s和4~8s内摩擦力方向相同，故A错误； B．根据图象和对物体受力分析可知，物体仅在4~8s、12~16s内做匀加速运动，速度增加，故可得在20s时物体的速度为 故B错误； C．0~10s内，物体的运动可分解为0~4s物体静止，4~8s内物体做匀加速运动，8~10s物体做匀速运动，故可得发生的位移为 故C错误； D．物体在0~4s内静止，在4~8s内做匀加速运动，位移为 8~12s物体的位移为 12~16s物体的位移为 可得从4s开始，物体每个4s内的位移之比为1:2:3：… 可知 故物体发生200m的位移在20~24s内，可得 解得 故可知物体物体发生200m的位移在22~23s内，D正确； 故选D。 13．（21-22高一下·上海虹口·期中）惊险刺激的“时空之旅”飞车表演中，杂技演员驾驶摩托车在一个大球内绕大球的竖直直径在水平面内飞速旋转，如图所示，已知大球的半径R = 3m，演员与摩托车的总质量m = 150kg，摩托车做匀速圆周运动的轨迹的纬度值，即图中的夹角θ = 37°，（g取10m/s2，sin37° = 0.6，cos37° = 0.8），试求： （1）若摩托车与球壁间没有摩擦，则此时摩托车对球壁的压力为多大？摩托车的线速度为多大？ （2）当杂技演员驾驶摩托车的速度增大，有同学认为摩托车做圆周运动的轨迹纬度值θ将减小。请判断该同学的结论是否正确，并说明判断的理由。 【答案】（1）2500N，；（2）见解析 【详解】（1）摩托车受力如图 由牛顿运动定律 根据一元二次方程求根公式得 （2）该同学判断正确。 由题（1）可知 得 当速度增大时，减小，所以角减小。则由于速度增大，车辆有离心倾向，因此将会有更大旋转半径，纬度值减小。 14．（2022高三·全国·竞赛）1mol的理想气体经历一个准静态膨胀过程，其（绝对）温度T随其体积V变化的过程图线是一条抛物线，抛物线最高点是，起点是，终点是。在此过程中，气体经历的准静态图线的方程为 ：气体对外做功为 。 【答案】 【详解】[1]1mol理想气体状态方程 根据题意，温度T随其体积V变化的过程图线是一条抛物线 抛物线最高点是，代入抛物线方程 起点，终点代入抛物线方程 将上述方程联立解得 p＝ [2]气体对外做功为等于所围成的面积 解得 考点四 二次三项式子求最值 15．（20-21高三上·山东青岛·期中）如图，某对撞系统类似于“过山车”模型，通过改变电场方向自动控制。该绝缘装置存在于竖直面内的匀强电场中，平直轨道BD上有一半径为R的环形轨道，水平轨道与倾斜轨道、环形轨道平滑连接。开始时电场方向向上，质量为m、电量为q的带电刚性小球P静止于离水平面高h处的倾斜轨道AB上，恰好对轨道无压力。将电场反向后，小球P由静止沿轨道运动，与另一静止于水平轨道上大小相等的绝缘刚性小球Q发生弹性正碰。已知Q球质量是P球的4倍，重力加速度为g，忽略一切摩擦阻力。求： (1)匀强电场的场强E； (2)要使P球能够沿着轨道运动与Q球碰撞，h需满足的条件； (3)要使P球能够沿着轨道运动与Q球至少发生两次碰撞，h需满足的条件。 【答案】(1) ；(2) ；(3) 或 【详解】（1）电场方向向上时小球P受力平衡 qE＝mg 解得 E＝ （2）要使小球P能够通过环形轨道的最高点，则需要 mg+qE≤ 由动能定理可得 (mg+qE)(h－2R)＝－0 联立以上两式，解得 h≥ （3）设碰撞前P球速度为v0，碰撞为弹性碰撞，则碰撞前后两球机械能守恒、动量守恒，有 ＝ mv0＝mvP+4mvQ 联立以上两式，解得 vP＝－ 因|vP>|vQ|，故要求P球能够从环形轨道再次返回即可追上Q球发生第二次碰撞，则 情形一：P球回到环形轨道时上升最大高度不超过R，即可返回，有 (mg+qE)R＝－0 (mg+qE)h＝－0 联立式得 h≤ 结合(1)中结论h≥，得H取值范围一 ≤h≤ 情形二：P球能再次通过环形轨道最高点，并回到斜面上之后再次返回、通过环形轨道，追上Q球，有 mg+qE≤ 2(mg+qE)R＝－ (mg+qE)h＝－0 联立得H取值范围二 h≥ 故释放点高度H的取值范围为 ≤H≤或H≥ 16．（20-21高三上·江苏·阶段练习）如图所示，光滑水平平台AB与竖直光滑半圆轨道AC平滑连接，C点切线水平，长为L=4m的粗糙水平传送带BD与平台无缝对接。质量为m1=0.3kg和m2=1kg的两个小物块中间有一被压缩的轻质弹簧，用细绳将它们连接。已知传送带以v0=1.5m/s的速度向左匀速运动，小物体与传送带间动摩擦因数为μ=0.15。某一时刻剪断细绳，小物块m1向左以v1=10m/s的速度向左运动，小物块m2以v2=3m/s的速度向右运动。g取10m/s2。求： (1)从小物体m2滑上传送带到第一次滑离传送带的时间； (2)从小物体m2滑上传送带到第一次滑离传送带的过程中，为了维持传送带匀速运动，电动机需对传送带多提供的电能E； (3)为了让小物块m1从C点水平飞出后落至AB平面的水平位移最大，求竖直光滑半圆轨道AC的半径R和小物块m1平抛的最大水平位移x的大小。 【答案】(1)4.5s；(2)6.75J；(3)1.25m，5m 【详解】(1)m2的加速度 匀减速到零的时间 发生的位移 则m2先向右减速至速度为零，向左加速至速度为所用时间为 此时位移 则此后向左匀速运动的时间为 故从小物体m2滑上传送带到第一次滑离传送带的时间为 (2)该过程皮带运动的距离为 故为了维持传送带匀速运动，电动机需对传送带多提供的电能为 (3)设竖直光滑轨道AC的半径为R时小物体平抛的水平位移最大为x，从A到C由动能定理得 由平抛运动的规律有 联立整理得 根据数学知识可知，当，即时水平位移最大，最大值为 17．（20-21高二上·河北沧州·阶段练习）如图，一质量m=1×10-6kg，带电量q= -2×10-8C的微粒以初速度v0竖直向上从A点射入一水平向右的匀强电场，当微粒运动到比A高20cm的B点时速度大小也是v0，且方向水平向左，且AB两点的连线与水平方向的夹角为45º，g取10m/s2，求： （1）AB两点间的电势差UAB； （2）匀强电场的场强E的大小； （3）该微粒初速度v0多大； （4）该过程中带电微粒的最小速度为多少。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）从A点到B点，根据动能定理得 代入数据解得 （2）AB两点的连线与水平方向的夹角为45º，则有，场强E的大小为 （3）由竖直方向，根据运动学公式，可得 （4）由（1）可知，电场力等于重力，从A点到B点，在竖直方向，微粒做匀减速直线运动，其速度为 在水平方向微粒做初速度为零的匀加速直线运动，其速度为 则任意一点的速度大小为 化简得 由数学知识可知，二次函数在对称轴处取得最值，即取得，可得 18．（22-23高一下·四川成都·阶段练习）如图甲所示，一质量为的物体静止在水平地面上，让物体在随位移均匀减小的水平推力F作用下开始运动，推力F随位移x变化的关系如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数，g取，则下列说法正确的是（　　）    A．物体运动时速度减为零 B．物体运动时的动能为 C．物体在水平地面上运动的最大位移是 D．物体运动的最大速度为 【答案】BC 【详解】A．物体运动4m，由乙图可得F做功等于图像所围的面积 由动能定理得 得 故A错误； B．由动能公式得 故B正确； C．从开始到物体停止全过程 得 故C正确； D．根据图像可知，力随位移变化的函数关系式为 物体所受的滑动摩擦力 当水平推力等于摩擦力时，速度最大，此时位移 这个过程中推力所做的功 根据动能定理 可得最大速度 故D错误。 故选BC。 19．（20-21高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）质量为m、带电荷量为+q的小金属块A以初速度v0从光滑绝缘高台上水平飞出。已知在足够高的高台边缘右侧空间中存在水平向左的匀强电场，场强大小。下列说法正确的是（　　） A．金属块一定不会与高台边缘相碰 B．金属块一定会与高台边缘相碰，相碰前金属块在做匀变速运动 C．金属块运动过程中距高台边缘的最大水平距离为 D．金属块运动过程中的最小速度为 【答案】BCD 【详解】AB．金属块水平方向先向右做匀减速直线运动，然后向左做匀加速直线运动，故一定会与高台边缘相碰，且在运动中小球受到重力和电场力，合力恒定，则加速度恒定，所以相碰前金属块在做匀变速运动，故A错误，B正确； C．金属块水平方向先向右做匀减速直线运动，水平方向加速度大小为 联立解得 当向右速度减为零时，距高台边缘水平距离最大，根据速度位移公式，可得 故C正确； D．金属块水平方向分速度为 竖直方向做自由落体运动，竖直分速度为 合速度为 根据二次函数知识，当时，v有最小值，为 故D正确。 故选BCD。 考点五 函数求解电源输出功率最大值 20．（24-25高二上·山东济宁·期中）如图（a）所示电路，当变阻器的滑动片从一端滑到另一端的过程中两电压表的读数随电流表读数的变化情况如图（b）中的AC、BC两直线所示，不考虑电表对电路的影响。 (1)定值电阻R0的阻值为多大？ (2)电源的电动势和内阻分别为多少？ (3)变阻器滑动片从一端滑到另一端的过程中，变阻器消耗的最大电功率为多少？ 【答案】(1)3 Ω (2)8 V，1 Ω (3)4 W 【详解】（1）当变阻器阻值为0时，两电压表读数相等，则有 （2）根据闭合电路欧姆定律得 可知U − I图像中BC直线的斜率绝对值等于电源的内阻，则有 将B点坐标代入可得 解得电源电动势为 （3）变阻器的总电阻为 变阻器消耗的功率为 可知当 变阻器消耗的电功率最大，则有 21．（21-22高二上·山东潍坊·期末）如图所示，电源的电动势不变，内阻为，定值电阻为，滑动变阻器的最大阻值为，求： （1）当滑动变阻器的阻值为多大时，电阻消耗的功率最大？ （2）当滑动变阻器的阻值为多大时，滑动变阻器消耗的功率最大？ 【答案】（1）0；（2） 【详解】（1）根据公式知，电阻消耗的功率为 当滑动变阻器的阻值为0时，电阻消耗的功率最大，最大功率为； （2）滑动变阻器消耗的功率为 由上式知，当时，滑动变阻器消耗的功率最大，最大功率为； 22．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）交警使用的某型号酒精测试仪工作原理如图所示，传感器电阻R的电阻值随酒精气体浓度的增大而减小，电源的电动势为E，内阻为r，定值电阻R0 = r，电路中的电表均为理想电表。当饮酒驾驶后对着测试仪吹气时，下列说法错误的是（　　） A．电压表的示数变大，电流表的示数变小 B．饮酒量越多，电源的效率越小 C．饮酒量越多，电源的输出功率一定越大 D．电压表示数变化量与电流表示数变化量的绝对值之比保持不变 【答案】A 【详解】A．当一位酒驾驾驶员对着测试仪吹气时，酒精气体浓度增大，则传感器的电阻值R减小，根据 可知电流表示数增大，根据 可知电压表示数减小，即电压表示数减小，电流表示数增大，故A错误，符合题意； B．电源的效率 当饮酒量越多时，酒精气体浓度增大，传感器的电阻值R减小，根据上式可知电源的效率降低，故B正确，不符合题意； C．电源的输出功率 作出该函数的图像如图所示 根据图像可知，由于R + R0 = R + r > r，所以随着R + R0增大，P将逐渐减小，因此当饮酒量越多时，酒精气体浓度增大，传感器的电阻值R减小，R + R0减小，电源的输出功率一定越大，故C正确，不符合题意； D．根据闭合电路欧姆定律可得 可得 则有 电压表示数变化量与电流表示数变化量的绝对值之比保持不变，故D正确，不符合题意。 故选A。 考点六 三角函数求解 23．（24-25高一上·河北石家庄·期中）如图所示，质量为1 kg的物体静止在水平地面上，与水平地面间的动摩擦因数，现在对物体施加一个与水平方向夹角为θ = 37°的外力F，如图所示。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g = 10 m/s2（sin37° = 0.6，cos37° = 0.8）。可能用到的公式：，其中 (1)写出影响滑动摩擦力大小的因素； (2)若物体做匀速直线运动，则F的值为多少； (3)改变外力F与水平方向的夹角θ，求能维持物体做匀速直线运动的最小拉力（拉力方向用θ的三角函数表示）。 【答案】(1)见解析 (2)5 N (3)见解析 【详解】（1）滑动摩擦力的大小：滑动摩擦力f的大小跟正压力成正比，即f = μN。μ为动摩擦因数，与接触面的材料、粗糙程度有关，即滑动摩擦力与接触面的粗糙程度及接触面间的弹力有关。 （2）物体做匀速运动，根据平衡条件得，水平方向 竖直方向 又 代入数据联立解得 （3）根据（2）可得 整理可得 其中 代入数据可得 由数学知识可知，当sin（θ + φ） = 1时，F有最小值为 其中 24．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）图为“S”形单行盘山公路示意图。弯道1、2可看作两个不同高度的水平圆弧，圆心分别为、，弯道2比弯道1高，两弯道中心虚线对应的半径分别为、，倾斜直道AB与两弯道平滑连接。一质量的汽车沿着中心虚线从弯道1经过倾斜直道AB进入弯道2，已知汽车在AB段做匀加速直线运动，加速时间，汽车在两个弯道运动时，路面对轮胎的径向摩擦力始终等于汽车所受重力的，取重力加速度大小，求： (1)汽车从弯道1运动到弯道2增加的机械能E； (2)汽车在AB段运动时受到的支持力大小。 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）汽车在弯道上做匀速圆周运动，设汽车在弯道1、2上运动时的速度大小分别为、，有 汽车从弯道1运动到弯道2增加的机械能 解得 （2）设AB段的长度为x，倾角为，有 则 25．（24-25高二上·全国·阶段练习）如图所示，水平地面上固定一倾角为的足够长斜面，一木块以初速度从斜面底端冲上斜面，木块与斜面间的动摩擦因数，改变的数值，木块沿斜面向上滑行的最远距离将发生变化，重力加速度为，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据匀变速直线运动中的速度位移关系可得 可得 在斜面上有重力沿斜面向下分力和动摩擦力提供阻力，由牛顿运动定律可得 解得 可知，取最小值时，，代入数值解得 故选A。 考点七 均值不等式求极值 26．（24-25高二上·安徽蚌埠·期中）如图真空中，A、B两等量同种正点电荷+Q位于同一竖直线上，在两点电荷连线的中垂线上放置一水平光滑的轨道MN，一带电小球+q，（+q远远小于+Q，带电小球在空间激发的电场忽略不计）质量为m，以初速度v0从O点水平向右沿MN轨道运动至C（图中C未标出），，已知AB=L，小球视为点电荷，静电常数为k。 (1)求当小球从O点水平向右沿MN轨道运动到C时受到的电场力F； (2)已知点电荷+Q在真空中r处产生的电势为，且空间任意位置的电势为A、B点电荷产生的电势代数和，求带电小球运动到C点的动能（结果可以用根号表示）； (3)求带点小球从O点开始运动到的距离s为多少时，小球的加速度达到最大，最大加速度为多少（结果可以用根号表示）。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）A、B两个点电荷分别在C点产生的电场强度为 其中 C点的合场强为 其中 小球在C点受到的电场力为 联立解得 （2）已知点电荷+Q在真空中r处产生的电势为 则O点和C点的电势分别为 故OC两点的电势差 从O到C由动能定理可得 联立解得 （3）设小球运动到MN轨道某位置与A的连线与MN的夹角锐角，此时的电场强度 其中 联立解得 令，则 则 当且仅当 时，即 时，距离 牛顿第二定律得 27．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，左右高度均为2L的“U”形槽竖直在光滑水平地面上，槽内固定有一高为L的长方体木框P，木框右边EF与“U”形槽右壁CD间的距离是L。一只质量为m的灵活小猴（可视为质点）从“U”形槽左壁AB的最高点A水平跳出，恰能过木框P的边缘E落在“U”形槽底D点。不计一切阻力，已知“U”形槽（含木框）总质量为M，重力加速度为g。 (1)求小猴从木框边缘E到“U”形槽底D点的时间； (2)求“U”形槽获得的速度大小； (3)若小猴在A点以不同大小、与水平方向成不同角度的初速度起跳，猴都有可能刚好从“U”型槽右壁最高点C点离开。求小猴起跳过程中对“U”形槽和小猴组成的系统做的最小功。 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）猴从A点到E点，在竖直方向做匀加速运动，设运动时间为，从A点到D点，在竖直方向也做匀加速运动，设运动时间为，则 则小猴从木框边缘E到“U”形槽底D点的时间，有 解得 （2）设木框P的水平长度为s，猴在最高点A水平跳出后槽的速度大小为，“U”形槽的速度大小为，则猴从A点跳到E点的过程中，有 猴从A点跳到D点的过程中，有 水平方向上，系统动量守恒，有 解得 （3）设小猴在A点起跳初速度大小为，在水平方向的速度为，竖直方向的速度为，小猴起跳后，槽水平向左的速度为，则小猴在竖直方向做竖直上抛运动，设从A到C运动时间为，有 小猴起跳过程中，“U”形槽和小猴在水平方向动量守恒，在从A到C过程中，“U”形槽和小猴在水平方向上的相对位移为，有 解得与的关系是 或 设小猴起跳过程中对“U”形槽和小猴组成的系统做的功为，则 将带入，有 根据均值不等式，小猴做的最小功，有 考点八 等比数列的应用 28．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，桌面、地面和固定在地面上的弧形轨道MN均光滑，桌面与弧形轨道最低点N之间的高度差h = 1 m，物块C静止于木板D左端，木板的上表面与弧形轨道最低点N等高，物块C与木板D上表面间的动摩擦因数μ = 0.5，木板右端与墙壁之间的距离d = 5.0 m。现用力将小球A、B向里压至弹簧长度L0 = 0.4 m，小球B到桌子右边缘的距离L1 = 0.2 m，然后同时由静止释放两小球，小球与弹簧均不拴接，小球B运动到桌面右边缘时恰与弹簧分离，以vB = 4.0 m/s的速度水平飞出，从M点处恰好沿切线飞入弧形轨道，在最低点N与物块C发生弹性正碰，碰撞时间极短，经一段时间后木板D和右侧墙壁发生弹性碰撞，碰撞时间极短。已知物块C始终未和墙壁碰撞，且未脱离木板，A球质量mA = 1.0 kg，B球质量mB = 0.5 kg，物块C质量mC = 0.5 kg，木板D质量mD = 0.1 kg，g = 10 m/s2，球与物块均可视为质点，求： (1)弹簧原长L2； (2)小球B与物块C发生碰撞后，物块C的速度大小vC； (3)木板D在地面上滑动的总路程s及木板D的最短长度L3。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）小球A、B在桌面上被弹簧弹开的过程中，由动量守恒定律得 解得 （2）设小球B与物块C发生碰撞前瞬间的速度大小为vB1，由动能定理得 小球B与物块C发生弹性正碰，由动量守恒和机械能守恒得 解得 ， （3）物块C获得vC = 6 m/s向右的速度，开始在木板D上滑动，假设木板D和右侧墙壁发生碰撞前，物块C和木板D已经达到共速v1，此过程木板D的位移为x0，则 解得 故物块C与木板D共速后再与墙壁发生碰撞，以mC和mD为对象，第1次与墙碰撞后 解得 对木板D有 第2次与墙碰撞后 解得 对木板D有 第3次与墙碰撞后 解得 对木板D有 .... 第n − 1次与墙碰撞后 解得 对木板D有 第n次与墙碰撞后 解得 对木板D有 木板D运动的总路程为 即 当n → ∞时，，可得 代入数据解得 木板D和物块C最终停在右侧墙壁处，物块恰好停在右端，根据能量守恒可得 解得 29．（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图，足够长的木板B静止放置在绝缘地面上，物块C静止放在B的正中间，物块A静止放在距离B左端处，竖直挡板P固定在距离木板右端足够远处。A与地面没有摩擦力，B、C之间、B与地面之间动摩擦因数均为。物块A带正电，电荷量为q，B、C不带电。A、B、C质量分别为、、。现给整个空间施加一个水平向右的匀强电场，之后A、B碰撞后共速但不粘连，且A的电荷量始终保持不变。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。若B与挡板P的碰撞皆为弹性碰撞，且B和P碰撞瞬间A与B不弹开。每次碰撞后将挡板P重新固定到足够远处，保证每次与挡板P碰撞前，A、B、C，一起做匀速直线运动，求∶ （1）匀强电场的电场强度为多大？ （2）木板B与挡板第一次碰撞后，A、B之间的最大距离为多少？ （3）最终物块C停留在B上何处？ 【答案】（1）；（2）；（3）C处于B板中点右侧处 【详解】（1）与挡板碰撞前，对、、整体受力分析 解得 （2）A开始运动，由动能定理可知 A、B碰撞根据动量守恒可知 解得 根据A碰撞B后到A、B、C共速，根据A、B、C系统动量守恒可知 A、B一起与挡板P碰撞后速度等大反向，之后A、B会分开，分别向左做匀减速直线运动，对A受力分析，根据牛顿第二定律可知 对B受力分析，根据牛顿第二定律可知 解得 ， 当A、B均停下来时间距最大，则有 联立并代入数据解得 （3）从A、B第一次碰撞后到ABC共速，C相对于B向左运动，则有 对C受力分析，根据牛顿第二定律可知 则达到共速的时间为 联立解得 B第一次与挡板碰撞后，C以加速度大小做匀减速直线运动直到停止，C相当于B向右运动，则有 解得 则此时C处于中点右侧的地方，由图像分析可知之后的运动具有周期性，设第二个周期内，C继续相对于B向右运动，则 又 由此可得 则 所以最终C处于B板中点右侧处。 30．（2024·福建泉州·模拟预测）如图甲所示，B物块静止在足够长的固定斜面上，t=0时刻将质量为m的A物块从距离B物块L处由静止释放，t=9t0时刻A、B发生第一次碰撞，t=19t0时刻发生第二次碰撞，在两次碰撞间A物块的v-t图线如图乙所示（其中v0、t0均为未知量），每次碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短，两物块与斜面的最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，求： （1）A沿斜面向下运动与向上运动的加速度之比； （2）B物块的质量； （3）A、B物块与斜面间的动摩擦因数之比； （4）B物块沿斜面下滑的最大距离。 【答案】（1）1:2；（2）17m；（3）；（4） 【详解】（1）0~9t0时间内，物块沿斜面下滑，有 9t0~13t0时间内，物块沿斜面上滑，有 所以A沿斜面向下运动与向上运动的加速度之比 （2）9t0时刻A、B发生第一次碰撞，则 联立可得 ， （3）刚释放物块时，A、B之间的距离为L，则有 A物块在9t0~13t0时间内沿斜面向上运动，则 由于13t0~19t0时间内A物块的加速度与0~9t0时间内的加速度相同，所以19t0时刻物块A的速度大小为 A物块在13t0~19t0时间内沿斜面向下运动，则 所以从第一次碰撞后到第二次碰撞物块B发生的位移为 假设第二次碰撞前物块已停止运动，则有 可得 即13t0时，物块停止运动，假设成立，设物块下滑过程中的加速度大小为a3，则有 联立可得 （4）t=19t0时刻发生A、B第二次碰撞，碰撞时B的速度大小为0，A的速度大小为 由动量守恒可得 联立可得 设第二次碰撞后B物块下滑的距离为xB2，则 可得 所以 31．（23-24高三下·海南·阶段练习）某种材料的特性是物体与之发生碰撞后反弹速度为碰前速度大小的。如图所示，一逆时针转动的倾斜传送带与水平面的夹角为37°，传送带的速度为v传=4m/s，传送带长L=15m，由此材料做成的挡板固定在传送带底端位置。挡板与传送带不固连，一质量m=1kg的小物块从传送带中间位置以速度v0=8m/s冲上传送带，物块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.25，小物块可以看做质点，已知重力加速度的大小，，，。求： （1）小物块释放时，小物块加速度的大小和方向； （2）第1次与挡板碰撞前小物块的速度大小； （3）试判断物块最终的位置，并求出物块从滑上传送带在最终刚处于该位置经历的时间。 （4）试判断物块最终的位置，并求出物块从滑上传送带在最终刚处于该位置与传送带摩擦产生的热量。 【答案】（1），方向沿斜面向下（2）（3）（4） 【详解】（1）小物块释放时，受到摩擦力方向沿斜面向下，由牛顿第二定律可知 代入数据解得 由物体所受合力可知，加速度的方向沿斜面向下。 （2）先向上运动，当时，时间为，则 然后向下以加速度加速运动，向上运动的位移为 向下运动时间为时，速度达到与传送带共速，由运动学公式可知 时间内的位移为 此时与下方挡板距离为 此时摩擦力改为向上，加速度大小为 设第一次碰撞前速度为，则有 代入数值解得 这段时间为 （3）第一次碰撞后的速度为 故可以判断出小物块将以向上减速到零，在返回碰撞，第二次碰撞后的速度为 第三次碰撞后速度为 … 第次碰撞后速度为 … 第一次碰撞到第二次碰撞时间为 由小物块受力情况可知，小物块最终将停在挡板位置，则碰撞后总时间为 则物块从滑上传送带在最终刚处于该位置经历的时间为 （4）由物体和传送带之间的运动情况，可知物体与传送带相对位移为 故摩擦产生热量为 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$