7.2 一元一次不等式 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

7.2 一元一次不等式 一、一元一次不等式的概念 含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式叫作一元一次不等式。其一般形式为ax+b>(≥)0或ax+b<(≤)0(其中a≠0)，最简形式为ax>(≥)b或ax<(≤)b(其中a≠0)。 二、一元一次不等式的解法 解一元一次不等式，要根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为x<a(x≤a)或x>a(x≥a)的形式。解一元一次不等式的步骤如下：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。在解不等式时，若两边同时乘（或除以）一个负数，不等号的方向要改变。另外，解一元一次不等式时，五个步骤不一定都要用到，并且不一定都要按照这个顺序求解，应根据不等式的特点灵活求解。 三、一元一次不等式的解集 一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫作这个不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。不等式的解集可以在数轴上表示出来。在数轴上表示不等式的解集时，要注意标出原点，确定边界（>、<画空心圆，≥、≤画实心圆），以及确定方向（大于或大于等于向右，小于或小于等于向左）。 四、一元一次不等式的实际应用 有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的解。列不等式解决实际问题的步骤包括：审（认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系）、设（设出适当的未知数）、列（根据题中的不等关系列出不等式）、解（解不等式，求出其解集）、验（检验所求出的不等式的解集是否符合题意）、答（写出答案）。 巩固课内例1:解一元一次不等式(移项、合并同类项) 1．下列数中，不是不等式的解的是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴不是不等式的解的是， 故选：D． 2．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1是解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可． 【详解】解：移项得，， 合并同类项得，， 把x的系数化为1得，． 故答案为：． 3．解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．移项合并同类项，即可作答． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得． 巩固课内例2:解一元一次不等式(去括号) 1．在数轴上正确表示不等式的解集的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上表示的方法是正确解答的前提．求出不等式的解集，再在数轴上将解集表示出来即可． 【详解】解：， ， ， ， 将在数轴上表示为： ． 故选：A． 2．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键． 根据解一元一次不等式的一般步骤求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 故答案为：． 3．解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的一般步骤是解题的关键；根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可解出不等式，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， ， ， ， 如图所示： 巩固课内例3:解一元一次不等式(去分母) 1．下面是晓晓的一次数学课后作业，请帮助晓晓检查一下她的解题过程． 解不等式． 解：去分母，得．    …………① 去括号，得．    …………② 移项，得．    …………③ 合并同类项，得．    …………④ 系数化为1，得．    …………⑤ 晓晓的解题过程开始错误的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】此题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可得到答案． 【详解】解：． 去分母，得．    …………① 去括号，得．    …………② 移项，得．    …………③ 合并同类项，得．    …………④ 系数化为1，得．    …………⑤ 由解题过程可知，晓晓的解题过程开始错误的一步是①， 故选：A 2．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 3．解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，再将解集表示在数轴上即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 解集在数轴上表示如答图①． （2）解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如答图②． 巩固课内例4:在数轴上把不等式解集表示出来 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集．根据不等式解集在数轴上的表示方法进行判断即可． 【详解】 解：不等式的解集在数轴上表示为． 故选：A． 2．如图，数轴上表示的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集．从数轴上可以看出所表示的数在的右边、的左边，因为处是空心圆，所以不等于，点处是实心点，所以可以等于． 【详解】解：如下图所示， 不等式的解集是． 故答案为： ． 3．根据不等式的性质，解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． （1）先根据解一元一次不等式的步骤求解，再将解集表示在数轴上即可； （2）先根据解一元一次不等式的步骤求解，再将解集表示在数轴上即可； （3）先根据解一元一次不等式的步骤求解，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：不等式两边同时减，得． 不等式两边同时减5，得． 不等式两边同时除以，得． 在数轴上表示解集如答图①． （2）解：不等式两边同时加，得． 不等式两边同时除以，得． 在数轴上表示解集如答图②． （3）解：不等式两边同时乘6，得． 不等式两边同时加，得． 不等式两边同时除以，得． 在数轴上表示解集如答图③． 巩固课内例5:不等式中的门票问题 1．世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元．若少于40人时，一个团队至少要有多少人进公园，买40张门票反而合算（   ） A．32 B．33 C．35 D．36 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设x人进公园，根据题意，列出不等式，求出最小整数解，即为所求． 【详解】解：设x人进公园．若购满40张票，则需要 (元)， 故时，解得， 由题意可知，． 因为x为正整数， 所以x的值最小为33， 则至少要有33人去世纪公园，买40张票反而合算． 故选 B． 2．某公园的门票是每人10元，一次购门票满100张，每张门票可少1元．若少于100人时，一个团队至少要有 人进公园，买100张门票反而合算． 【答案】91 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设有人进公园，根据该团队买100张门票反而合算，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设一个团队有人进公园， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为91， 一个团队至少要有91人进公园，买100张门票反而合算． 故答案为：91． 3．年月，薛之谦镇江演唱会在镇江体育会展中心举办，不同座位的票价不同，具体票价如下： 种类 类 类 类 类 类 类 单价（元/张） (1)小红爸爸购买了类门票和类门票共张，总票价为元，两类门票各买了多少张？ (2)小明妈妈购买了类门票和类门票共张，且总票价不超过元，最少购买类门票多少张？ 【答案】(1)类门票各买了张，类门票各买了张； (2)张． 【分析】（）设类门票各买了张，则类门票各买了张，根据题意，列出一元一次方程即可求解； （）设购买了类门票张，则购买了类门票张，根据题意，列出一元一次不等式即可求解； 本题考查饿了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意，正确列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设类门票各买了张，则类门票各买了张， 由题意可得，， 解得， ∴， 答：类门票各买了张，类门票各买了张； （2）解：设购买了类门票张，则购买了类门票张， 由题意可得，， 解得， 答：最少购买类门票张． 类型一、一元一次不等式的定义 1．下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据“含有一个未知数，且所含未知数的项的次数是1的不等式是一元一次不等式．”逐项判断即可． 【详解】解：A、是一元一次不等式，符合题意； B、变形得：，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是等式，不是一元一次不等式，不符合题意； D、，含未知数的次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意． 故选：A． 2．已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可求出的值，再代入不等式即可求出不等式的解集，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得， ∴不等式为， 解得， 故答案为：，． 3．若关于的不等式与的解集完全相同，求的值． 【答案】 【分析】根据关于的不等式与的解集完全相同，可得的解集为，即有，进而可得，问题随之得解． 【详解】解，得：， ∵关于的不等式与的解集完全相同， ∴的解集为， ∴，且解得：， ∴根据解集完全相同，可得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了求解不等式的解的知识，理解关于的不等式与的解集完全相同，得到，进而可得，是解答本题的关键． 类型二、列一元一次不等式 1．语句“的与的和不小于”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据题意列出不等式即可，认真审题理清运算关系是解题的关键． 【详解】解：语句“的与的和不小于”可以表示为， 故选：． 2．的与4的差小于的2倍加上5所得的和，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．的与4的差表示为， 的2倍加上5表示为，再用小于号连接即可． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 3．用不等式表示下列各式： (1)0大于； (2)a的5倍超过1； (3)x减去y小于； (4)a的2倍与1的和是正数； (5)m与n的差不大于0； (6)x的6倍加上4是非负数． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题主要考查了列不等式，读懂题意正确列式是解题的关键． （1）直接列不等式即可； （2）根据超过就是大于列不等式即可； （3）直接列不等式即可； （4）根据正数大于零列不等式即可； （5）直接列不等式即可； （6）根据非负数为大于等于零的数列不等式即可． 【详解】（1）解：0大于表示：． （2）解：a的5倍超过1表示：． （3）解：x减去y小于表示：． （4）解：a的2倍与1的和是正数表示：． （5）解：m与n的差不大于0表示：． （6）解：x的6倍加上4是非负数表示． 类型三、解一元一次不等式 1．不等式的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查解一元一次不等式，利用移项合并同类项解不等式即可． 【详解】解： 移项得，， 即， 故选：B 2．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故答案为：． 3．解下列不等式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解不等式，熟练掌握解不等式的基本步骤，是解题的关键． （1）先移项，然后不等式两边同除以，即可得出答案； （2）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 两边同时除以得：． （2）解：， 两边同时乘以12得：， 去括号：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同时除以得：． 类型四、一元一次不等式的实际意义 1．同一个数学式子在不同情境中表示不同的实际意义，下列描述的情境符合的是（    ） A．某设备单价为x万元/台，销售量y台，总销售额不超过5万元 B．记长方形花圃的长为，宽为，该花圃的周长小于 C．小明带5元外出购物，购买了一只铅笔x元，一个橡皮擦y元 D．甲乙两地相距，小明和小红分别从甲、乙两地同时出发相向而行，相遇时小明走了，小红走了 【答案】B 【分析】本题考查根据题意列式子，把握不等关系的词语是解题的关键． 【详解】A. 某设备单价为x万元/台，销售量y台，总销售额不超过5万元，列不等式为：，不符合题意； B. 记长方形花圃的长为，宽为，该花圃的周长小于，列不等式为：，即，符合题意； C. 小明带5元外出购物，购买了一只铅笔x元，一个橡皮擦y元，列不等式为：，不符合题意； D. 甲乙两地相距，小明和小红分别从甲、乙两地同时出发相向而行，相遇时小明走了，小红走了，列等式为：，不符合题意； 故选：B． 2．请设计一个实际背景来表示不等式2x+1>3的实际意义: ． 【答案】答案不唯一 【详解】分析:可把x看成是绳子长度,根据2x+1>3的实际意义是:2条绳子长度多1米超过3米. 详解:因为2x+1>3,表示2倍的x加1大于3, 将x当作绳子长度,则2x+1>3,表示的实际意义是:2条绳子长度多1米超过3米. 故答案为: 2条绳子长度多1米超过3米. 点睛:本题是开放性问题,考查不等式的实际意义,解决问题的关键是要熟练掌握不等式表示的意义. 3．一根弹簧长，在弹性限度(总长不超过)内，每挂质量为的物体，弹簧伸长． (1)代数式表示的实际意义是__________； (2)这根弹簧最多可挂质量为多少的物体？ 【答案】(1)表示的实际意义是挂质量为的物体，弹簧的长度． (2)这根弹簧最多可挂质量为的物体 【分析】本题考查代数式的实际意义和一元一次不等式的应用，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）这根弹簧长即原长，则表示伸长的长度，从而知道挂的是质量为的物体，从而得解； （2）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵这根弹簧长，在弹性限度(总长不超过)内，每挂质量为的物体，弹簧伸长． ∴表示的实际意义是挂质量为的物体时弹簧的长度． （2）设这根弹簧最多可挂质量为的物体． 根据题意得：， 解得． 答：这根弹簧最多可挂质量为的物体． 类型一、一元一次不等式中的天平问题 1．如图，天平右盘中的每个砝码的质量为10g，则物体的质量（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，先确定M的质量的取值范围，在数轴上表示出来即可． 【详解】如图所示，可知， 在数轴上表示为： 故选：A． 2．如图，天平左盘放3个乒乓球，右盘放砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x（g），请写出x与5之间的关系： ．（试用含x的不等式表示） 【答案】 【分析】本题考查列不等式，根据图示，乒乓球的总质量大于砝码的质量，列出不等式即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 3．如图所示，天平向左倾斜，试探究当天平中的取何值时，天平会向右倾 【答案】见解析 【分析】根据天平的性质可知，天平向右倾斜列出关于x的不等式，然后可得x的取值范围. 【详解】解：当天平向右倾斜时，x+2＞6，解得x＞4， ∴当时，天平才会向右倾斜． 【点睛】本题考查了不等式的性质和解集，准确分析是解题的关键. 类型二、一元一次不等式中的行程问题 1．小明周末参加同学聚会，原计划15分钟内到达聚会地点，打车出发5分钟后发生了交通堵塞，于是小明准备下车跑步前往．已知出租车的行驶速度为45千米/小时，从家距离聚会点共6千米，若小明想要按时到达聚会地点，则他的跑步速度至少是（   ） A．225米/分钟 B．200米/分钟 C．12千米/小时 D．10千米/小时 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意正确列出一元一次不等式，即可完成求解． 【详解】设他的跑步速度是x千米/分钟，45千米/小时千米/分钟， ∵原计划15分钟内到达聚会地点，打车出发5分钟后发生了交通堵塞， ∴若小明想要按时到达聚会地点，应在分钟内到达聚会地点． ∵已知出租车的行驶速度为45千米/小时，即千米/分钟，从家距离聚会点共6千米， ∴， 解得：， ∴他的跑步速度至少是千米/分钟，即225米/分钟． 故选：A． 2．弟弟上午出发步行去郊游，速度为．哥哥从同一地点骑自行车去追弟弟，如果哥哥要不晚于追上弟弟，那么哥哥的速度至少是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用．设哥哥的速度是，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：到弟弟所用时间为2时40分时，弟弟所用时间为40分时， 设哥哥的速度是，根据题意得： ， 解得：， ∴哥哥的速度至少是． 故答案为：16． 3．甲、乙两车从相距210千米的A、B两地相向而行，且均保持匀速行驶，甲的行驶速度为60千米/时，乙的行驶速度为30千米/时．若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，原地检修用了30分钟后继续按原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/时？ 【答案】乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米/时 【详解】解：设乙车比原来的行驶速度提高m千米/时， 根据题意得：， 解得， 的最小值为15． 答：乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米/时． 类型三、一元一次不等式中的销售问题 1．某商场购进一批精美的节日礼盒，每盒的进价为100元，出售标价为150元，后来商场为了促销，准备打折销售，但要保证每盒的利润率不低于，则每盒最多可打（   ） A．七折 B．八折 C．八五折 D．九折 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设打x折销售，根据利润不低于，即可列出一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：设打x折销售，根据题意可得： ， 解得． ∴最多可以打八折． 故选：B． 2．一种荔枝的进价是每千克元，销售中估计有的荔枝正常损耗（包含剪枝），商家把售价至少定为每千克 元，才能避免亏本． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，设商家把售价定为每千克元，则，解出，即可． 【详解】解：设商家把售价定为每千克元， ∴， 解得：， ∴商家把售价至少定为每千克元，才能避免亏本 故答案为：． 3．某体育专卖店销售进价分别为100元，80元的，两种型号的乒乓球拍，下表是近两周的销售情况．（进价、售价均保持不变，利润=销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量（块） 销售收入（元） A型号 B型号 第一周 3 5 890 第二周 4 8 1320 (1)求A，B两种型号乒乓球拍的销售单价； (2)若超市准备用不多于1850元的金额再采购这两种型号的乒乓球拍共20块，求型号乒乓球拍最多能采购多少块？ (3)在（2）的条件下（即超市用不多于1850元的金额采购这两种型号的乒乓球拍共20块），超市销售完这20块乒乓球拍能否实现利润超过500元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A，B两种型号乒乓球拍的销售单价分别为130元，100元； (2)12块； (3)符合条件的方案有2种：A型号11块，B型号9块；A型号12块，B型号8块． 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，理解数量关系，掌握二元一次方程组，一元一次不等式解决实际问题的方法是解题的关键． （1）设A，B乒乓球拍的销售单价分别为元，元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设A号乒乓球拍采购块，根据数量关系列不等式，求解即可； （3）由已知得，由此即可求解． 【详解】（1）解：设A，B乒乓球拍的销售单价分别为元，元， ， 解得， 答：A，B两种型号乒乓球拍的销售单价分别为130元，100元； （2）解：设A号乒乓球拍采购块，则B号乒乓球拍采购块， ∴， 解得， 答：型号乒乓球拍最多能采购12块； （3）解：A，B两种型号乒乓球拍的进价分别为100元，80元，销售单价分别为130元，100元， ∴， 解得， 所以：， 符合条件的方案有2种：A型号11块，B型号9块；A型号12块，B型号8块． 类型四、一元一次不等式中的积分问题 1．某学校举行“创新杯”篮球比赛，比赛方案规定：每场比赛都要分出胜负，每队胜1场积2分，负1场积1分，每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，才能获奖．小明所在球队参加了比赛并计划获奖，设这个球队在全部比赛中胜x场，则x应满足的关系式是(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，胜一场得分，负一场得分，由不等关系：每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，列出不等式即可． 【详解】解：由题意，胜一场得分，负一场得分， 则得不等式：， 故答案为：A． 【点睛】本题考查了列一元一次不等式，关键是找到不等关系． 2．某市首届中学生足球比赛中，比赛规则是：胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某校足球队共比赛场，以负场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于分，则该校足球队获胜的场次最少是 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，找到题中不等量列出不等式进行求解设该校足球队获胜的场次为场，则平局为场，根据题意列出关于的不等式求解即可 【详解】解：设该校足球队获胜的场次为场，则平局为场， 由题意可得：， 解得：， 则该校足球队获胜的场次最少是场 故答案为 3．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？ (2)投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内（含分线）投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球（只有分球和分球），所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？ 【答案】(1)该班级胜负场数分别是场和场 (2)该班级这场比赛中至少投中了个3分球 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用， （1）设胜了场，负了场，根据“场比赛中获得总积分为分”可列方程组，求解即可； （2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，根据“所得总分不少于分”列出相应的不等式，从而可以求出答案； 解题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式． 【详解】（1）解：设胜了场，负了场， 依题意，得：， 解得：， 答：该班级胜负场数分别是场和场； （2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球， 依题意，得：， 解得：， 答：该班级这场比赛中至少投中了个3分球． 类型一、一元一次不等式的整数解 1．已知关于的不等式有5个自然数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，先由得，再结合“有5个自然数解”，则，即，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式有5个自然数解， ∴， 即， 则， 故选：C． 2．若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程，解不等式得到，求出最小整数解是，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴不等式的最小整数解是， ∵是方程的解， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．求不等式的正整数解． 【答案】1，2，3，4，5 【分析】本题考查了求一元一次不等式的正整数解，先根据解一元一次不等式的步骤解不等式，再写出正整数解即可，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正整数解有1，2，3，4，5． 类型二、一元一次不等式的几何问题 1．一个正方形的边长为，要使它的面积不小于，则a需满足不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先表示出正方形的面积，根据语句列出不等式即可． 【详解】解：正方形的边长为， 则面积为， 要使面积不小于， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了列不等式，解题的关键是读懂表示不等关系的词． 2．有如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母的不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式在几何面积中的应用，由图可得图（1）是两个等腰直角三角形，面积为，图（2）是矩形，面积为，结合图形进行比较即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：图（1）是两个等腰直角三角形，面积为， 图（2）是矩形，面积为， 如图， ， 由图可得，图（1）的面积大于图（2）的面积，故， 故答案为：． 3．某社区进行环境改造，计划用地面砖铺设楼前长方形广场的地面，长为100米，长为80米，图案设计如图所示，广场的四角为边长相同的小正方形，阴影分为四个长方形，四个长方形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖，广场内部的长方形的宽是长的．    (1)求广场四角小正方形的边长； (2)经过市场调查了解白色地面砖每平方米的费用为20元，绿色地面砖每平方米的费用为10元，那么改造这个长方形广场需要资金多少元？ (3)为了增加广场的绿化同时节省开支，现将广场四角的白色正方形地面砖的85％中的一部分改为种植绿色景观，另一部分铺设绿色地面砖，种植绿色景观每平方米的费用为30元．若广场四角的总费用不超过9400元，则最多可以将多少平方米的白色地面砖改为种植绿色景观？ 【答案】(1) (2)132000元 (3) 【分析】（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为米，根据等量关系“广场内部的长方形的宽是长的”列出一元一次方程求解即可； （2）根据绿色地面砖的面积和白色地面砖的面积分别计算需要的改造资金，然后计算总和即可； （3）根据题意设可以将的白色地面砖改为种植绿色景观，由不等关系列出不等式可得答案． 【详解】（1）解：设广场四角小正方形的边长为， ， 解得：， 答：广场四角小正方形的边长为． （2）绿色地面砖需要资金（元） 白色地面砖需要资金（元）， 改造这个长方形广场需要资金（元） 答：改造这个长方形广场需要资金132000元． （3），（元） 设将白色地面砖改为绿植， ， 答：最多白色地面砖改为绿植． 【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式解应用题，读懂题意列方程或不等式是解题的关键． 类型三、一元一次不等式中的新定义 1．定义新运算：对于任意实数，都有，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如，那么不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，正确理解新定义是解题的关键．根据新定义得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， 故选：A． 2．定义新运算：对于任意实数a，b都有：，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：，那么不等式的最小整数解为 ． 【答案】0 【分析】本题考查定义新运算，求不等式的整数解，根据新运算的法则，列出不等式，进而求出不等式的解集，确定最小整数解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴最小整数解为：0， 故答案为：0． 3．对于有理数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：． (1)_______； (2)若，求x的取值范围； (3)若，直接写出x的值． 【答案】(1)2； (2)； (3)x的值为或4． 【分析】本题考查解一元一次方程及一元一次不等式，结合已知条件列得正确的方程及不等式是解题的关键． （1）根据定义即可求得答案； （2）根据定义列得一元一次不等式，解不等式即可； （3）根据定义分情况讨论并列得方程，解方程后判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：2； （2）解：， 或， 解得：或； 故； （3）解：已知， 若，即时，， 解得：； 若，即时，， 解得：； 综上，的值为或4． 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确在数轴上表示不等式的解集的方法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(向右画；向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集，有几个就要几个，在表示解集时“”“”要用实心圆点表示：“”“”要用空心圆点表示．将已知解集表示在数轴上即可． 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示为： 故选：C． 2．某商品进价是200元，标价为350元，商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，则售货员出售该商品时，最低可以打（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，进价是元，则的利润是元，题目中的不等关系是：利润元．根据这个不等关系得到不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解：设售货员最低可以打折出售此商品，依题意得： 解得， 所以售货员最低可以打6折出售此商品． 故选：B． 3．关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式的应用、多项式的次数，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．先解一元一次方程可得，从而可得，则，再根据多项式的次数可得所有满足条件的正整数的值，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， ∴， ∵关于的多项式是四次多项式， ∴所有满足条件的正整数的值为1和2， ∴所有满足条件的正整数的和是， 故选：A． 4．“a的4倍与2的差小于3”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，根据小于用符号“<”表示列式即可． 【详解】解：“a的4倍与2的差小于3”用不等式表示为． 故答案为：． 5．某次数学测验，共20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，某同学得分不低于95分，他至少答对 题． 【答案】13 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设某同学至少答对x道题，根据某同学得分不低于95分列不等式求解即可． 【详解】解：设某同学至少答对x道题，由题意得 ， 解得． 所以某同学至少答对13道题． 故答案为：13． 6．关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系得到，即可求出的取值范围． 【详解】解： 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． ， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 解得． 由题意可知， 解得． 故答案为： 7．用字母a表示下列运算或数量关系： (1)某个数的2倍与5的差； (2)一个数的相反数与2的平方的和大于3． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式和不等式，解题的关键是理解题意． （1）这个数为a，用a表示出个数的2倍与5的差即可； （2）这个数为a，则这个数的相反数为，再用不等式表示出个数的相反数与2的平方的和大于3即可． 【详解】（1）解：这个数为a，则这个数的2倍与5的差为； （2）解：这个数为a，则这个数的相反数为，这个数的相反数与2的平方的和大于3可表示为：． 8．解下列不等式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质是解本题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化为1即可求解； （2）去分母，移项，合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1得； （2）去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1得，． 9．某电器超市销售每台进价分别为160元，120元的两种型号的电风扇，超市第一周卖出3台种型号和4台种型号电风扇销售额为1200元．第二周卖出5台种型号和6台种型号电风扇销售额为1900元： (1)求两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7480元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求种型号的电风扇最多能采则多少台？ 【答案】(1)两种型号电风扇的销售单价分别为200元，150元 (2)22台 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设两种型号电风扇的销售单价分别为元，元，根据卖出3台种型号和4台种型号电风扇销售额为1200元，卖出5台种型号和6台种型号电风扇销售额为1900元建立方程组求解即可； （2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据总金额不超过7480元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设两种型号电风扇的销售单价分别为元，元， 根据题意得， 解方程组得． 答：两种型号电风扇的销售单价分别为200元，150元； （2）解：设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台， 由题意得， 解得， 答：种型号的电风扇最多能采购22台． 10．小慧设计了一个如图的运算程序，程序每执行一次运算后按条件进行判断，然后输出结果或继续执行下一次运算． (1)当，，时， ①若输入，则运算执行______次后输出，输出结果为______； ②若输入执行2次运算后输出的结果等于，求的值． (2)当时，若输入的值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，请直接写出输入的值及的取值范围．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①2，21；②5 (2)， 【分析】此题考查了整数的四则混合运算，解一元一次不等式． （1）①利用程序图进行计算即可； ②根据2次运算后输出的结果等于列方程求解即可； （2）表示出第1次和第2次输出的结果，然后根据题意列方程和不等式求解即可． 【详解】（1）解：①当，，时， 第1次：， 第2次：， ∴若输入，则运算执行2次后输出，输出结果为21． 故答案为：2，21； ②第1次： 第2次：， 由题意，得 ， ∴． 故答案为：5； （2）第1次：， 第2次：， 由题意，得 ，， 解得，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2 一元一次不等式 一、一元一次不等式的概念 含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式叫作一元一次不等式。其一般形式为ax+b>(≥)0或ax+b<(≤)0(其中a≠0)，最简形式为ax>(≥)b或ax<(≤)b(其中a≠0)。 二、一元一次不等式的解法 解一元一次不等式，要根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为x<a(x≤a)或x>a(x≥a)的形式。解一元一次不等式的步骤如下：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。在解不等式时，若两边同时乘（或除以）一个负数，不等号的方向要改变。另外，解一元一次不等式时，五个步骤不一定都要用到，并且不一定都要按照这个顺序求解，应根据不等式的特点灵活求解。 三、一元一次不等式的解集 一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫作这个不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。不等式的解集可以在数轴上表示出来。在数轴上表示不等式的解集时，要注意标出原点，确定边界（>、<画空心圆，≥、≤画实心圆），以及确定方向（大于或大于等于向右，小于或小于等于向左）。 四、一元一次不等式的实际应用 有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的解。列不等式解决实际问题的步骤包括：审（认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系）、设（设出适当的未知数）、列（根据题中的不等关系列出不等式）、解（解不等式，求出其解集）、验（检验所求出的不等式的解集是否符合题意）、答（写出答案）。 巩固课内例1:解一元一次不等式(移项、合并同类项) 1．下列数中，不是不等式的解的是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．不等式的解集是 ． 3．解不等式：． 巩固课内例2:解一元一次不等式(去括号) 1．在数轴上正确表示不等式的解集的是（　　） A． B． C． D． 2．不等式的解集为 ． 3．解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． 巩固课内例3:解一元一次不等式(去分母) 1．下面是晓晓的一次数学课后作业，请帮助晓晓检查一下她的解题过程． 解不等式． 解：去分母，得．    …………① 去括号，得．    …………② 移项，得．    …………③ 合并同类项，得．    …………④ 系数化为1，得．    …………⑤ 晓晓的解题过程开始错误的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．不等式的解集是 ． 3．解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 巩固课内例4:在数轴上把不等式解集表示出来 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上表示的解集为 ． 3．根据不等式的性质，解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)； (3)． 巩固课内例5:不等式中的门票问题 1．世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元．若少于40人时，一个团队至少要有多少人进公园，买40张门票反而合算（   ） A．32 B．33 C．35 D．36 2．某公园的门票是每人10元，一次购门票满100张，每张门票可少1元．若少于100人时，一个团队至少要有 人进公园，买100张门票反而合算． 3．年月，薛之谦镇江演唱会在镇江体育会展中心举办，不同座位的票价不同，具体票价如下： 种类 类 类 类 类 类 类 单价（元/张） (1)小红爸爸购买了类门票和类门票共张，总票价为元，两类门票各买了多少张？ (2)小明妈妈购买了类门票和类门票共张，且总票价不超过元，最少购买类门票多少张？ 类型一、一元一次不等式的定义 1．下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 2．已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ，不等式的解集为 ． 3．若关于的不等式与的解集完全相同，求的值． 类型二、列一元一次不等式 1．语句“的与的和不小于”可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．的与4的差小于的2倍加上5所得的和，用不等式表示为 ． 3．用不等式表示下列各式： (1)0大于； (2)a的5倍超过1； (3)x减去y小于； (4)a的2倍与1的和是正数； (5)m与n的差不大于0； (6)x的6倍加上4是非负数． 类型三、解一元一次不等式 1．不等式的解是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为 ． 3．解下列不等式 (1)； (2)． 类型四、一元一次不等式的实际意义 1．同一个数学式子在不同情境中表示不同的实际意义，下列描述的情境符合的是（    ） A．某设备单价为x万元/台，销售量y台，总销售额不超过5万元 B．记长方形花圃的长为，宽为，该花圃的周长小于 C．小明带5元外出购物，购买了一只铅笔x元，一个橡皮擦y元 D．甲乙两地相距，小明和小红分别从甲、乙两地同时出发相向而行，相遇时小明走了，小红走了 2．请设计一个实际背景来表示不等式2x+1>3的实际意义: ． 3．一根弹簧长，在弹性限度(总长不超过)内，每挂质量为的物体，弹簧伸长． (1)代数式表示的实际意义是__________； (2)这根弹簧最多可挂质量为多少的物体？ 类型一、一元一次不等式中的天平问题 1．如图，天平右盘中的每个砝码的质量为10g，则物体的质量（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 2．如图，天平左盘放3个乒乓球，右盘放砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x（g），请写出x与5之间的关系： ．（试用含x的不等式表示） 3．如图所示，天平向左倾斜，试探究当天平中的取何值时，天平会向右倾 类型二、一元一次不等式中的行程问题 1．小明周末参加同学聚会，原计划15分钟内到达聚会地点，打车出发5分钟后发生了交通堵塞，于是小明准备下车跑步前往．已知出租车的行驶速度为45千米/小时，从家距离聚会点共6千米，若小明想要按时到达聚会地点，则他的跑步速度至少是（   ） A．225米/分钟 B．200米/分钟 C．12千米/小时 D．10千米/小时 2．弟弟上午出发步行去郊游，速度为．哥哥从同一地点骑自行车去追弟弟，如果哥哥要不晚于追上弟弟，那么哥哥的速度至少是 ． 3．甲、乙两车从相距210千米的A、B两地相向而行，且均保持匀速行驶，甲的行驶速度为60千米/时，乙的行驶速度为30千米/时．若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，原地检修用了30分钟后继续按原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/时？ 类型三、一元一次不等式中的销售问题 1．某商场购进一批精美的节日礼盒，每盒的进价为100元，出售标价为150元，后来商场为了促销，准备打折销售，但要保证每盒的利润率不低于，则每盒最多可打（   ） A．七折 B．八折 C．八五折 D．九折 2．一种荔枝的进价是每千克元，销售中估计有的荔枝正常损耗（包含剪枝），商家把售价至少定为每千克 元，才能避免亏本． 3．某体育专卖店销售进价分别为100元，80元的，两种型号的乒乓球拍，下表是近两周的销售情况．（进价、售价均保持不变，利润=销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量（块） 销售收入（元） A型号 B型号 第一周 3 5 890 第二周 4 8 1320 (1)求A，B两种型号乒乓球拍的销售单价； (2)若超市准备用不多于1850元的金额再采购这两种型号的乒乓球拍共20块，求型号乒乓球拍最多能采购多少块？ (3)在（2）的条件下（即超市用不多于1850元的金额采购这两种型号的乒乓球拍共20块），超市销售完这20块乒乓球拍能否实现利润超过500元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 类型四、一元一次不等式中的积分问题 1．某学校举行“创新杯”篮球比赛，比赛方案规定：每场比赛都要分出胜负，每队胜1场积2分，负1场积1分，每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，才能获奖．小明所在球队参加了比赛并计划获奖，设这个球队在全部比赛中胜x场，则x应满足的关系式是(      ) A． B． C． D． 2．某市首届中学生足球比赛中，比赛规则是：胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某校足球队共比赛场，以负场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于分，则该校足球队获胜的场次最少是 3．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？ (2)投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内（含分线）投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球（只有分球和分球），所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？ 类型一、一元一次不等式的整数解 1．已知关于的不等式有5个自然数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为 ． 3．求不等式的正整数解． 类型二、一元一次不等式的几何问题 1．一个正方形的边长为，要使它的面积不小于，则a需满足不等式（    ） A． B． C． D． 2．有如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母的不等式表示为 ． 3．某社区进行环境改造，计划用地面砖铺设楼前长方形广场的地面，长为100米，长为80米，图案设计如图所示，广场的四角为边长相同的小正方形，阴影分为四个长方形，四个长方形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖，广场内部的长方形的宽是长的．    (1)求广场四角小正方形的边长； (2)经过市场调查了解白色地面砖每平方米的费用为20元，绿色地面砖每平方米的费用为10元，那么改造这个长方形广场需要资金多少元？ (3)为了增加广场的绿化同时节省开支，现将广场四角的白色正方形地面砖的85％中的一部分改为种植绿色景观，另一部分铺设绿色地面砖，种植绿色景观每平方米的费用为30元．若广场四角的总费用不超过9400元，则最多可以将多少平方米的白色地面砖改为种植绿色景观？ 类型三、一元一次不等式中的新定义 1．定义新运算：对于任意实数，都有，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如，那么不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．定义新运算：对于任意实数a，b都有：，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：，那么不等式的最小整数解为 ． 3．对于有理数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：． (1)_______； (2)若，求x的取值范围； (3)若，直接写出x的值． 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．某商品进价是200元，标价为350元，商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，则售货员出售该商品时，最低可以打（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 3．关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．“a的4倍与2的差小于3”用不等式表示为 ． 5．某次数学测验，共20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，某同学得分不低于95分，他至少答对 题． 6．关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ． 7．用字母a表示下列运算或数量关系： (1)某个数的2倍与5的差； (2)一个数的相反数与2的平方的和大于3． 8．解下列不等式． (1)； (2)． 9．某电器超市销售每台进价分别为160元，120元的两种型号的电风扇，超市第一周卖出3台种型号和4台种型号电风扇销售额为1200元．第二周卖出5台种型号和6台种型号电风扇销售额为1900元： (1)求两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7480元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求种型号的电风扇最多能采则多少台？ 10．小慧设计了一个如图的运算程序，程序每执行一次运算后按条件进行判断，然后输出结果或继续执行下一次运算． (1)当，，时， ①若输入，则运算执行______次后输出，输出结果为______； ②若输入执行2次运算后输出的结果等于，求的值． (2)当时，若输入的值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，请直接写出输入的值及的取值范围．（用含的代数式表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$