7.1 不等式及其基本性质 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

7.1 不等式及其基本性质 一、不等式的定义 用“<”、“>”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式。例如，2x+3≥-6，a-b>0等。 二、不等式的基本性质 1. 如果a>b，那么b<a（对称性）。 2. 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。即如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。 3. 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即如果a>b，c>0，那么ac>bc，a/c>b/c。 4. 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。即如果a>b，c<0，那么ac<bc。 5. 如果a>b，b>c，那么a>c（传递性）。 三、不等式的解及解集 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。 四、数轴表示不等式 不等式可以在数轴上表示其解集，通过数轴可以直观地看到不等式的解的范围。 五、不等式的应用 不等式在现实生活中有广泛应用，如比较数量大小、设定范围限制等。可以通过将实际问题抽象为不等式模型，并运用不等式性质进行求解。 巩固课内例1:用不等式表示下列关系 1．的与4的差不小于2，用不等式表示为 ． 2．用不等式表示减去大于： ． 3．用不等式表示： (1)0大于． (2)x减去y不大于． (3)a的倍与的和是非负数． (4)a的与b的平方的和为正数． 巩固课内例2:在数轴上表示不等式 1．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“”“”或“”） 3．如图，数轴上的三个点A，B，C分别表示实数a，b，c． (1)如果点C是的中点，那么a，b，c之间的数量关系是__________， (2)比较与的大小，并说明理由； (3)化简：． 巩固课内例3:用“>”或“<”填空 1．由到，成立的条件是（　　） A． B． C． D． 2．如图，和5分别表示天平两边砝码的质量，请你用“＞”或“＜”填空： 5． 3．（1）①如果，那么_____； ②如果，那么_____； ③如果，那么_____； （2）由（1）你能归纳出比较与大小的方法吗？请用文字语言叙述出来． 类型一、不等式的定义 1．有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 2．在下列数学表达式中：，，，，，其中不等式有 个． 3．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）52；（7）． 类型二、不等关系 1．下列各项中，蕴含不等关系的是（   ） A．小明与小强一样高 B．王老师的年龄比小红年龄的3倍还大2岁 C．铅球的质量比篮球的质量大 D．明天可能下雨 2．(1)一辆48座的旅游大巴车载有游客x人，到一个站又上来2个人，车内仍有空座位．则有不等关系 ． (2)如图是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过60 km/h.用v(km/h)表示汽车的速度，则v与60之间的关系是 ． 3．用适当的不等式表示下列不等关系： （1）x的与x的2倍的和是非负数； （2）一枚炮弹的杀伤力半径不小于300米； （3）三件上衣和四条裤子的总价钱不高于368元； （4）明天下雨的可能性不小于70%； （5）小明的体重不比小亮的轻； 类型三、不等式的解 1．下列说法中：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集为，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 2．在，，，四个数中， 是不等式的解． 3．下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？ (1)x=1． (2)x=3． (3)x=10． (4)x=12． 类型一、不等式的取值范围 1．年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 2．某日我县最高气温是，最低气温是，则当天气温t的变化范围是 ． 3．一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服完．”一次服用这种药的剂量在说明范围？ 类型二、不等式的基本性质 1．若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．比较大小，用“”或“”填空：若，且，则 ． 3．根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)． 类型一、不等式的整数解 1．设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（　　） A．207 B．208 C．209 D．239 2．在数轴上表示数的点如图所示．若整数满足，则的值为 ． 3．已知实数，，． (1)若，，，求的取值范围． (2)若，，都是整数，且是偶数．求证：，，都是偶数． 类型二、不等式的新定义 1．定义：对于任意有理数a，用表示大于a的最小整数，例如：，，．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，，则． 以上选项中，所有正确的序号是 ． 3．定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，． (1)若，且，求的值； (2)若，求证：． 类型三、不等式的作差法比较大小 1．已知，，若，则x与y的大小关系为（       ） A． B． C． D．不能确定 2．两个数比较大小，可以通过它们的差来判断，例如：比较m和n的大小，我们可以这样判断，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．请你根据上述方法判断下列各式． （1）已知，，当时，一定有 （填“”，“”或“”）； （2）已知，，当时，一定有a b（填“”，“”或“”）． 3．（1）在下列横线上填“”“”或“”． ①如果，那么______； ②如果，那么______； ③如果，那么______． （2）用（1）的方法你能否比较与的大小？如果能，请写出比较过程． 1．当时，下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．某农户今年的收入比去年至少多1.5万元，记去年的收入为万元，今年的收入为万元，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 3．设、为实数，则下列说法正确的是（   ） A．，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 4．在，，，，0，1，2这些整数中，能使不等式成立的有 个． 5．若，且，则b a．（填不等号） 6．已知，且．若，则的取值范围是 ． 7．（1）在下列横线上填“”“”或“”． ①如果，那么______； ②如果，那么______； ③如果，那么______． （2）用（1）的方法你能否比较与的大小？如果能，请写出比较过程． 8．根据不等式的性质，将下列各式变形为，，或的形式． (1)； (2)． 9．仿例：已知，试比较与的大小． 方法一解：∵， ∴（不等式的基本性质3） 根据仿例，请解答：已知，试比较与的大小，两种方法解答． 10．阅读下列材料： 已知：，试比较和的大小，并说明理由． 解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）， （不等式的基本性质1）． 仿照阅读材料的解法，完成下列小题： 已知：若，比较和的大小，并说明理由． 43．【阅读】 材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：，． 材料二：已知x，y均为非负数，且满足，求的取值范围．有如下解法： 解：，． ，y均为非负数，，即，． ，，． (1)若，，求a，b的值； (2)已知x，y均为非负数，，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1 不等式及其基本性质 一、不等式的定义 用“<”、“>”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式。例如，2x+3≥-6，a-b>0等。 二、不等式的基本性质 1. 如果a>b，那么b<a（对称性）。 2. 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。即如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。 3. 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即如果a>b，c>0，那么ac>bc，a/c>b/c。 4. 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。即如果a>b，c<0，那么ac<bc。 5. 如果a>b，b>c，那么a>c（传递性）。 三、不等式的解及解集 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。 四、数轴表示不等式 不等式可以在数轴上表示其解集，通过数轴可以直观地看到不等式的解的范围。 五、不等式的应用 不等式在现实生活中有广泛应用，如比较数量大小、设定范围限制等。可以通过将实际问题抽象为不等式模型，并运用不等式性质进行求解。 巩固课内例1:用不等式表示下列关系 1．的与4的差不小于2，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用不等式号列不等式，准确理解不小于的意义是解题的关键． 【详解】解：的与4的差表示为，不小于2，即大于等于2， 故答案为． 2．用不等式表示减去大于： ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式，根据不等式的定义（用“>”或“<”表示不等关系的式子叫做不等式）即可求得答案． 【详解】用不等式表示减去大于为：． 故答案为：． 3．用不等式表示： (1)0大于． (2)x减去y不大于． (3)a的倍与的和是非负数． (4)a的与b的平方的和为正数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题意列出不等式即可； （2）根据题意列出不等式即可； （3）根据题意列出不等式即可； （4）根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：0大于表示为：； （2）x减去y不大于表示为：； （3）a的倍与的和是非负数表示为：； （4）a的与b的平方的和为正数：． 【点睛】此题考查了不等式，读懂题意正确列式是解题的关键． 巩固课内例2:在数轴上表示不等式 1．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴表示数以及不等式的性质，加法与乘法法则，依次判断选项即可． 【详解】解：从题图中得出，，， 所以，，，， 故选项B、C、D错误，选项A正确， 故选：A． 2．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数和数轴；根据实数a，b在数轴上对应点的位置得到，再利用不等式的性质求解即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴，即， 故答案为：． 3．如图，数轴上的三个点A，B，C分别表示实数a，b，c． (1)如果点C是的中点，那么a，b，c之间的数量关系是__________， (2)比较与的大小，并说明理由； (3)化简：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）利用C是的中点得到，根据数轴上两点之间的距离公式可得，化简即可； （2）通过数轴得出b，c的大小关小及不等式的性质，从而得出与的大小； （3）先判断，，c的正负，然后根据绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：点C是的中点， 故答案为：； （2），理由如下： 由数轴上点的位置可知， （3）由数轴上点的位置可知， ，， ，， 【点睛】本题考查了线段中点性质，数轴上两点之间的距离，数轴上数大小的比较，不等式的性质，含绝对值的有关计算；掌握绝对值的性质以及两点之间的距离是解题的关键． 巩固课内例3:用“>”或“<”填空 1．由到，成立的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式的性质，根据不等式的基本性质在不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变，都乘以同一个负数时，不等号的方向改变，都乘以零时，左右两边相等，从而可得答案. 【详解】解：∵， 当时，， 当时，， 当时，， 综上：由到，成立的条件是， 故选：D． 2．如图，和5分别表示天平两边砝码的质量，请你用“＞”或“＜”填空： 5． 【答案】 【分析】本题考查了用不等式表达不等关系，理解题意是解题的关键．根据题意，可知左边的质量小于右边的质量，从而得到答案． 【详解】解：由题意可知，左边的质量小于右边的质量 所以 故答案为： 3．（1）①如果，那么_____； ②如果，那么_____； ③如果，那么_____； （2）由（1）你能归纳出比较与大小的方法吗？请用文字语言叙述出来． 【答案】（1）；；；（2）见解析 【分析】本题主要考查如何比较两代数式的大小． （1）①②③给等式和不等式的两边两边同时加，结合等式和不等式的性质即可解答； （2）可根据题（1）的结论得到答案． 【详解】解：（1）①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么； 故答案为：；；； （2）由（1）归纳出：比较、两数的大小，如果与的差大于0，那么大于；如果与的差等于0，那么等于；如果与的差小于0，那么小于． 类型一、不等式的定义 1．有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查不等式的判断，根据不等式的定义，用不等号连接的式子叫做不等式，进行判断即可． 【详解】解：在①；②；③；④；⑤；⑥中，①②⑤⑥四个式子含有不等号，是不等式，共4个； 故选B 2．在下列数学表达式中：，，，，，其中不等式有 个． 【答案】2 【分析】运用不等式的定义进行判断． 【详解】解：是等式， 和是代数式，没有不等关系，所以不是不等式. 不等式有：，. 故答案为：2. 【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠． 3．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）52；（7）． 【答案】等式有：（3）（5），不等式有：（2）（4）（7），既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）． 【分析】根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号（）连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子． 【详解】解：等式有：（3）（5）， 不等式有：（2）（4）（7）， 既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）． 【点睛】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键． 类型二、不等关系 1．下列各项中，蕴含不等关系的是（   ） A．小明与小强一样高 B．王老师的年龄比小红年龄的3倍还大2岁 C．铅球的质量比篮球的质量大 D．明天可能下雨 【答案】C 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据不等关系的概念，一一判断即可． 【详解】解：A、是等量关系，故错误； B、是等量关系，故错误； C、铅球的质量比篮球的大，属于不等关系，正确； D、属于随机事件问题，故错误； 故选：C． 2．(1)一辆48座的旅游大巴车载有游客x人，到一个站又上来2个人，车内仍有空座位．则有不等关系 ． (2)如图是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过60 km/h.用v(km/h)表示汽车的速度，则v与60之间的关系是 ． 【答案】 (1)x＋2＜48 (2)v≤60 【分析】(1)根据题意可得：车上的原有人数x人+上来2个人＜48，因为x是正整数； 所以x>0再解不等式组即可;(2)根据汽车在该路段行驶的速度不得超过60 km/h列出不等式即可. 【详解】(1)由题意得 解得：0<x<46 故答案为0<x<46. (2)由题意得：v≤60，故答案为v≤60. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组及不等式的应用，关键是理解题意列出相应的不等式. 3．用适当的不等式表示下列不等关系： （1）x的与x的2倍的和是非负数； （2）一枚炮弹的杀伤力半径不小于300米； （3）三件上衣和四条裤子的总价钱不高于368元； （4）明天下雨的可能性不小于70%； （5）小明的体重不比小亮的轻； 【答案】答案见解析. 【分析】（1）非负数用“≥”表示； （2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示； （5）不比小亮轻，就是与小亮一样重或者比小亮重．用“≥”表示． 【详解】（1）x+2x≥0； （2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有r≥300； （3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a+4b≤368； （4）用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%； （5）设小明的体重为a千克，小亮的体重为b千克，则应有a≥b． 【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠． 类型三、不等式的解 1．下列说法中：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集为，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解的定义，准确计算是解题的关键，根据不等式解的定义分别判断①②③是否正确即可解答． 【详解】解：①把代入不等式，成立，故是不等式的一个解，正确； ②把代入不等式，成立，故是不等式的解，正确； ③不等式的解集为，正确． 故选C. 2．在，，，四个数中， 是不等式的解． 【答案】6 【分析】移项，合并同类项得出不等式的解集即可得出答案． 【详解】解：， ， 在，，，四个数中，符合条件的只有， 即是不等式的解， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 3．下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？ (1)x=1． (2)x=3． (3)x=10． (4)x=12． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)是 (4)是 【分析】把未知数的值代入计算，比较后，判断即可 【详解】（1）把x=1代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×1+1)=6＜25，所以x=1不是不等式2(2x+1)＞25的解． （2）把x=3代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×3+1)=14＜25，所以x=3不是不等式2(2x+1)＞25的解． （3）把x=10代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×10+1)=42＞25，所以x=10是不等式2(2x+1)＞25的解． （4）把x=12代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×12+1)=50＞25，所以x=12是不等式2(2x+1)＞25的解． 【点睛】本题考查了不等式的解即使不等式左右两边成立的未知数的值，正确理解不等式的解是解题的关键． 类型一、不等式的取值范围 1．年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意找出不等关系是解答本题的关键． 根据题意可知，当天的气温应该大于或等于最低气温，且小于或等于最高气温，根据上述分析，即可列出不等式，得到答案． 【详解】解：根据题意可得：这天气温的变化范围是， 故选：D． 2．某日我县最高气温是，最低气温是，则当天气温t的变化范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的定义，能理解最高气温和最低气温的意义是解此题的关键．根据最高气温和最低气温得出的范围即可． 【详解】解：某日我县最高气温是，最低气温是， 当天气温的变化范围是， 故答案为： 3．一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服完．”一次服用这种药的剂量在说明范围？ 【答案】 【分析】本题考查的是不等式的定义，理解题意，找到最大值与最小值是正确解决本题的关键． 确定每天服用，3次或4次每次的剂量;每天服用，3次或4次每次的剂量，找到最少的剂量和最多的剂量确定范围即可． 【详解】解：， ， ，， ∴一次服用这种药的剂量在之间，即． 类型二、不等式的基本性质 1．若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、若，则应为，原说法错误，故不符合题意； B、若，则应为，原说法错误，故不符合题意； C、若，则应为，原说法错误，故不符合题意； D、若，则，原说法正确，故符合题意， 故选：D． 2．比较大小，用“”或“”填空：若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 由不等式的性质可得，于是得解． 【详解】解：，且， ， ， 故答案为：． 3．根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质两边都减去即可求解； （2）根据不等式的性质两边都除以即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）∵， 类型一、不等式的整数解 1．设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（　　） A．207 B．208 C．209 D．239 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质，利用不等式的基本性质求得，，，的值即可，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变． 【详解】解：，是整数， 的最大值为； ，是整数，， 的最大值为； ，为整数， 的最大值为； ，为整数，， 的最大值为， 故选：A． 2．在数轴上表示数的点如图所示．若整数满足，则的值为 ． 【答案】，， 【分析】由数轴知的取值范围，根据相反数的两数关于原点对称得出，的取值范围，即可找出整数的取值范围． 【详解】由数轴可知：， ， ， ， 是整数， 的值为，，． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查用数轴表示数以及实数的大小比较，写出数轴上点的范围是解题的关键． 3．已知实数，，． (1)若，，，求的取值范围． (2)若，，都是整数，且是偶数．求证：，，都是偶数． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质、整式的加减、数的奇偶性等知识点． （1）由已知可得；代入消去b和c，可得，再由，得出的取值范围； （2）由，，都是整数，得出，，是偶数；再由已知条件可得，，，由此得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，都是整数，    ∴，，是偶数， ∴；； ∵也是偶数，    ∴，，都是偶数． 类型二、不等式的新定义 1．定义：对于任意有理数a，用表示大于a的最小整数，例如：，，．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表示大于a的最小整数，可得到结果． 【详解】解：根据定义可得，当时，a的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的定义，根据题目中所给的信息确定新符号的意义是解题的关键． 2．我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，，则． 以上选项中，所有正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了新定义，不等式的性质 ，理解新定义得出不等式是解题的关键． 根据表示不少于实数必的最小整数，即可解答． 【详解】根据定义表示不少于实数的最小整数，可得①结论正确； 若，根据的意义，得，结论②错误； 若，则，结论③正确； 当，时，有，，，或6，结论④是正确． 综上所述：①③④正确． 故答案为：①③④． 3．定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，． (1)若，且，求的值； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组： （1）根据新运算的法则，列出二元一次方程组，进行求解即可； （2）根据新定义，结合不等式的性质，即可得证． 【详解】（1）解：由题意，得     化简，得     ，得． （2）证明：由条件，得．     ∴ ∴． 类型三、不等式的作差法比较大小 1．已知，，若，则x与y的大小关系为（       ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了比较大小．熟练掌握作差比较法，是解决问题的关键． 利用求差法判定两式的大小，将x，y的表达式相减，结合，根据结果的正负即可做出判断． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．两个数比较大小，可以通过它们的差来判断，例如：比较m和n的大小，我们可以这样判断，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．请你根据上述方法判断下列各式． （1）已知，，当时，一定有 （填“”，“”或“”）； （2）已知，，当时，一定有a b（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算、不等式的性质，理解题中作差法比较大小是解答的关键． （1）利用作差法和整式的加减运算法则化简，然后利用已知判断化简式子与0的大小关系即可得到答案； （2）利用作差法和整式的加减运算法则化简，然后根据已知得到化简式子与0的大小关系即可得到答案； 【详解】解：（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，则成立， 故答案为：； （2）∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，则， ∴成立， 故答案为：． 3．（1）在下列横线上填“”“”或“”． ①如果，那么______； ②如果，那么______； ③如果，那么______． （2）用（1）的方法你能否比较与的大小？如果能，请写出比较过程． 【答案】（1），，；（2）能，见解析 【分析】本题考查了不等式的性质、整式的大小比较； （1）根据不等式的性质以及等式的性质填空即可求解； （2）计算，根据即可求解． 【详解】解：（1）①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么． 故答案为：，，；． （2）能． ， ， ． ． 1．当时，下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解集，熟练掌握该知识点是解题的关键．把分别代四个选项中，一一验证不等式两边是否成立，即可判断出答案． 【详解】解：A、时，，故不符合题意； B、时，，故不符合题意； C、时，，故不符合题意； D、时，，故符合题意； 故选：D． 2．某农户今年的收入比去年至少多1.5万元，记去年的收入为万元，今年的收入为万元，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查列不等式，根据不等量关系，直接列出不等式即可 【详解】解：因为农户今年的收入比去年至少多1.5万元， 所以，列不等式为：， 故选：B． 3．设、为实数，则下列说法正确的是（   ） A．，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、若，则，不能确定，所以此项说法错误，不符合题意； B、若，，则，所以，此项说法正确，符合题意； C、若，，则，所以此项说法错误，不符合题意； D、若，则或，所以不一定大于0，此项说法错误，不符合题意； 故选：B． 4．在，，，，0，1，2这些整数中，能使不等式成立的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了不等式的性质，理解并掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；由此即可求解． 【详解】解：， 不等式两边同时减去得，， 不等式两边同时乘以得，， ∴在，，，，0，1，2这些整数中，能使不等式成立的有，共3个， 故答案为：3 ． 5．若，且，则b a．（填不等号） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，有理数的乘法：根据同号得正，异号得负的逆运用，得是异号，结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴是异号， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 6．已知，且．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据题意得出，结合求出；；再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理：， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，即， 故答案为：． 7．（1）在下列横线上填“”“”或“”． ①如果，那么______； ②如果，那么______； ③如果，那么______． （2）用（1）的方法你能否比较与的大小？如果能，请写出比较过程． 【答案】（1），，；（2）能，见解析 【分析】本题考查了不等式的性质、整式的大小比较； （1）根据不等式的性质以及等式的性质填空即可求解； （2）计算，根据即可求解． 【详解】解：（1）①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么． 故答案为：，，；． （2）能． ， ， ． ． 8．根据不等式的性质，将下列各式变形为，，或的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查不等式的性质，理解并掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以用一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以用一个负数，不等号的方向改变；由此即可求解． （1）根据不等式的性质3，不等式两边除以即可求解； （2）根据不等式的性质1，不等式两边减5，根据不等式的性质3，不等式两边除以，由此即可求解． 【详解】（1）解： 根据不等式的性质3，不等式两边除以，得． （2）解： 根据不等式的性质1，不等式两边减5，得， 根据不等式的性质3，不等式两边除以，得． 9．仿例：已知，试比较与的大小． 方法一解：∵， ∴（不等式的基本性质3） 根据仿例，请解答：已知，试比较与的大小，两种方法解答． 【答案】，两种方法见解析 【分析】本题考查了不等式的基本性质，比较与的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可． 【详解】解：法一∵，（已知）， ∴（不等式的基本性质3）； 法二：∵， ∴，即（不等式的基本性质1，不等式两边同时加）． 10．阅读下列材料： 已知：，试比较和的大小，并说明理由． 解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）， （不等式的基本性质1）． 仿照阅读材料的解法，完成下列小题： 已知：若，比较和的大小，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据已知条件，仿照题意的解法，利用不等式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：，理由如下： ， （不等式的基本性质3）， （不等式的基本性质1）． 43．【阅读】 材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：，． 材料二：已知x，y均为非负数，且满足，求的取值范围．有如下解法： 解：，． ，y均为非负数，，即，． ，，． (1)若，，求a，b的值； (2)已知x，y均为非负数，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的性质等知识．理解题意，熟练掌握二元一次方程组的应用，不等式的性质是解题的关键． （1）由题意得，，计算求解即可； （2）由，可得，由，即，可求，则，然后利用不等式的性质求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，． （2）解：， ． ，y均为非负数， ，即， ． ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$