第03讲 空间向量在立体几何中的应用（9个知识点+5种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第一册）

第03讲 空间向量在立体几何中的应用 课程标准 学习目标 通过利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角和距离的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养. 1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角以及距离问题．(重点、难点) 2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点) 知识点01 平面的法向量 (1)定义：如图，直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量。给定一点和一个向量，那么过点，以向量为法向量的平面是完全确定的。 (2)平面法向量的求法：求平面法向量的步骤： ①设出平面的法向量为； ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 ； ③根据法向量的定义建立关于、、的方程组； ④解方程组，取其中的一组解，即得法向量。由于一个平面的法向量有无数个，故可以在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量。 【即学即练1】（24-25高三上·上海·期中）已知正方体的棱长为2，点是上底面正方形的中心，点是正方体棱上的点，以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点所在的棱可以是（    ） A． B． C． D． 知识点02平行与垂直的向量表示 设直线、的方向向量分别为、，平面、的法向量分别为、，则由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳出以下结论： ，； ； ； ，； ，； 。 【即学即练2】（24-25高二上·上海·期中）设为两条不同的直线，为平面，则下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 知识点03两点间的距离的求法 、两点间的距离为。 【即学即练3】（21-22高二上·上海浦东新·期末）空间两点和间的距离为 ． 知识点04点线距离的求法 如图1，在直线上任取一点，取直线的一个方向向量，则点到的距离为：。 【即学即练4】（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知空间中三点，，，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D．3 知识点05点面距离的求法 如图2，设是平面的一个法向量，是平面的一条斜线，则点到平面的距离为。 【即学即练5】（23-24高二上·上海·期末）已知法向量为的平面α内有一点，则平面外点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 知识点06 两异面直线距离的求法 如图3，设、是两异面直线，是与公垂线的方向向量，又、分别是、上的任意两点，则、的距离是。 【即学即练6】（21-22高二上·上海宝山·期中）在正方体中，，则异面直线AB和的距离为 . 知识点07 求异面直线所成的角 如图1，已知、两异面直线，、与、分别是、上的任意两点，异面直线、所成的角为，则。 特别提示：对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为、，在求出、的夹角，设两异面直线的夹角，利用求出异面直线的夹角，但需注意：异面直线夹角与向量夹角二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。 图1 图2 图3 【即学即练7】（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知是长方体，，E为BC的中点，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A．2 B． C． D． 知识点08求直线和平面所成的角 如图2，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与所成的角为，则直线方向向量在平面法向量方向上的投影的长度与直线方向向量的模之比就是线面夹角的正弦值，即有 【即学即练8】（24-25高一上·上海嘉定·期中）若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为 ． 知识点9求平面和平面所成的角（锐二面角） 如图3，若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，。若、分别为面、的法向量，或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角(或夹角的补角)。 (1)当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角等于法向量、的夹角，于是。 (2)当法向量与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角等于法向量、的夹角的补角，于是。 特别提示：对二面角的大小问题，先求出平面、的法向量、，再求出、的夹角，在内取一点，在内取一点，设二面角大小为，若与同号，则，若与异号，则 【即学即练9】（23-24高二上·上海黄浦·期中）四面体的所有棱长均为2，则二面角的大小为 . 题型一：点到平面距离的向量求法 1.（23-24高二上·上海·期末）在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点P到底面的距离为 . 2.（24-25高二上·上海宝山·期中）平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 ． 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 4.（24-25高二上·上海·期中）已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，长度分别为2，2，4． (1)求该三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 题型二：点到直线距离的向量求法 1.（24-25高二上·上海·期中）若正四面体的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是（   ） A．   B．   C．   D．   2.（21-22高二上·上海徐汇·期中）如图，底面为矩形的直棱柱满足：，. (1)设为棱上的动点，求M到的最短距离 (2)设、分别为棱、上的动点，判断：三棱锥的体积是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请举例说明. 3．（23-24高一下·上海·期末）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点为四边形所在平面外一点，且平面，，点是的中点，连接、、. (1)证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (2)若，，点在上运动，试求面积的最小值. 题型三：异面直线夹角的向量求法 1.（24-25高二上·上海·期中）空间中，已知两条直线，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2.（23-24高三上·上海虹口·期中）如图所示，在正方体中，E为线段上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定值的直线为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3.（24-25高二上·上海·期中）正方体中，点为的中点，则异面直线，所成的角的大小为 . 4．（23-24高二上·上海·期中）正四棱锥的侧面是等边三角形，为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 . 5.（24-25高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，，，是棱上的一点. (1)若，求异面直线与所成的角的大小； (2)，求点到平面的距离. 题型四：线面角的向量求法 1.（23-24高三上·上海嘉定·期中）在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·上海·期中）如图，在长方体中，已知，．动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是 ． 3.（23-24高二上·上海金山·期中）在正三棱柱中，已知，则直线与平面所成的角的正弦值为 ． 4.（24-25高二上·上海嘉定·期末）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成的角. 5.（23-24高二下·上海闵行·期末）已知直四棱柱，各棱长均为2，且.设分别是的中点.    (1)求直线与所成的角的大小； (2)求直线与平面所成的角的大小. 题型五：面面角的向量求法 1.（24-25高二上·上海松江·期中）如图，正方体的棱长为2，则二面角的大小为 .（结果用反三角函数表示） 2．（21-22高二上·上海浦东新·期末）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，，，平面平面ABCD，，点E为DC上的动点，平面BSE与平面ASD所成的二面角为（为锐角），则当取最小值时，三棱锥的体积为 ． 3.（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图，在圆锥P-O中，AB是底面圆的直径，点C，D在圆上，CD垂直平分线段OB，E是PB的中点，. (1)求二面角的正切值； (2)设AE与PO交于点M，Q是圆上的动点，DM，QM与平面ACE所成角的大小分别为，求，并证明. 一、单选题 1．（22-23高二下·上海浦东新·期中）设，分别是平面，的法向量，直线的方向向量为，以下结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或，重合 2．（23-24高二上·上海·期末）在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足．点P满足，其中，则下列说法不正确的是（　　） A．当时，的面积S的最大值为 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点P，使得 D．当时，存在点P，使得平面 3．（20-21高三上·上海浦东新·期中）长方体，，，在左侧面上，已知到､的距离均为5，则过点且与垂直的长方体截面的形状为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 4．（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论： ①存在点满足； ②存在点满足与平面所成角的大小为； ③存在点满足； 其中正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·期末）向量，的夹角 . 6．（23-24高二上·上海·期中）在三棱锥中，底面，是的中点，已知，则异面直线BC与AD所成角的余弦值为 ． 7．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱柱中，，，为的中点，则点到平面的距离为 . 8．（24-25高二上·上海·期中）如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为棱上一个点，若，则 . 9．（23-24高二上·上海·期末）已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 10．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为 ． 11．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，，，则点到平面的距离为 . 12．（23-24高二上·上海徐汇·期中）正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为 . 13．（23-24高二上·上海·期中）如图，在正四面体中，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 14．（24-25高二上·上海松江·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则直线到平面的距离为 . 15．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，且，则异面直线与的夹角为 ． 16．（24-25高二上·上海·期末）如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中、分别在棱上.若是正方形，则截面UVWXYZ的面积为 . 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，E，F分别为、BC的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 18．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 19．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且． (1)求与所成角的余弦值； (2)求点E到平面C的距离． 20．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在正四棱锥中，，.    (1)求四棱锥的表面积； (2)求二面角的大小.（结果用反三角表示） 21．（24-25高三上·上海·期中）如图，直三棱柱中，，，是的中点，是的中点．    (1)证明：直线与直线的位置关系为异面且垂直； (2)求直线与平面所成角的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 空间向量在立体几何中的应用 课程标准 学习目标 通过利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角和距离的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养. 1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角以及距离问题．(重点、难点) 2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点) 知识点01 平面的法向量 (1)定义：如图，直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量。给定一点和一个向量，那么过点，以向量为法向量的平面是完全确定的。 (2)平面法向量的求法：求平面法向量的步骤： ①设出平面的法向量为； ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 ； ③根据法向量的定义建立关于、、的方程组； ④解方程组，取其中的一组解，即得法向量。由于一个平面的法向量有无数个，故可以在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量。 【即学即练1】（24-25高三上·上海·期中）已知正方体的棱长为2，点是上底面正方形的中心，点是正方体棱上的点，以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点所在的棱可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面的法向量 【分析】设（），由题意结合法向量的定义得，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意得，则， 设（），则， 因为是平面的一个法向量， 所以， 即， 对于A，若在上，则，不符合题意，所以不在上，所以A错误， 对于B，若在上，则，符合题意，所以在上，所以B正确， 对于C，若在上，则，不符合题意，所以不在上，所以C错误， 对于D，若在上，则，不符合题意，所以不在上，所以D错误， 故选：B 知识点02平行与垂直的向量表示 设直线、的方向向量分别为、，平面、的法向量分别为、，则由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳出以下结论： ，； ； ； ，； ，； 。 【即学即练2】（24-25高二上·上海·期中）设为两条不同的直线，为平面，则下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、空间位置关系的向量证明 【分析】由空间中线面的位置关系逐项判断即可. 【详解】两条平行线中有一条和平面垂直，那么另外一条也和该平面垂直，故A正确； 由于垂直于同一个平面的直线平行可知B正确； 若，，则或，故C错误； 若，，则，故D正确； 故选：C 知识点03两点间的距离的求法 、两点间的距离为。 【即学即练3】（21-22高二上·上海浦东新·期末）空间两点和间的距离为 ． 【答案】 【知识点】求两点间的距离 【分析】直接由空间中两点的距离公式得出. 【详解】 故答案为：. 知识点04点线距离的求法 如图1，在直线上任取一点，取直线的一个方向向量，则点到的距离为：。 【即学即练4】（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知空间中三点，，，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】根据题意可知,, ∴点到直线的距离为 故选：B 知识点05点面距离的求法 如图2，设是平面的一个法向量，是平面的一条斜线，则点到平面的距离为。 【即学即练5】（23-24高二上·上海·期末）已知法向量为的平面α内有一点，则平面外点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】利用点到平面距离的向量求法求解即得. 【详解】依题意，，所以点到平面的距离为. 故选：C 知识点06 两异面直线距离的求法 如图3，设、是两异面直线，是与公垂线的方向向量，又、分别是、上的任意两点，则、的距离是。 【即学即练6】（21-22高二上·上海宝山·期中）在正方体中，，则异面直线AB和的距离为 . 【答案】 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可 【详解】如图，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 由， 则， 设是异面直线AB和的公垂线的一个方向向量，则 ，令，则， 所以异面直线AB和的距离为 ， 故答案为： 知识点07 求异面直线所成的角 如图1，已知、两异面直线，、与、分别是、上的任意两点，异面直线、所成的角为，则。 特别提示：对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为、，在求出、的夹角，设两异面直线的夹角，利用求出异面直线的夹角，但需注意：异面直线夹角与向量夹角二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。 图1 图2 图3 【即学即练7】（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知是长方体，，E为BC的中点，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线与所成角的余弦即可作答. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意，，棱BC中点， ，设异面直线与所成的角为， 则，， 所以异面直线与所成角的正切值. 故选：B 知识点08求直线和平面所成的角 如图2，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与所成的角为，则直线方向向量在平面法向量方向上的投影的长度与直线方向向量的模之比就是线面夹角的正弦值，即有 【即学即练8】（24-25高一上·上海嘉定·期中）若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为 ． 【答案】 【知识点】线面角的向量求法 【分析】应用向量法求线面角的大小即可. 【详解】由题设，且平面OMQ的一个法向量， 令直线OP与平面OMQ所成角为， 则，所以. 故答案为： 知识点9求平面和平面所成的角（锐二面角） 如图3，若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，。若、分别为面、的法向量，或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角(或夹角的补角)。 (1)当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角等于法向量、的夹角，于是。 (2)当法向量与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角等于法向量、的夹角的补角，于是。 特别提示：对二面角的大小问题，先求出平面、的法向量、，再求出、的夹角，在内取一点，在内取一点，设二面角大小为，若与同号，则，若与异号，则 【即学即练9】（23-24高二上·上海黄浦·期中）四面体的所有棱长均为2，则二面角的大小为 . 【答案】 【知识点】面面角的向量求法 【分析】将该正四面体放到棱长为正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】依题意可将该正四面体放到棱长为正方体中如下图所示， 建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则，取； 设平面的法向量为，则，取； 设二面角为，显然二面角为锐二面角， 则，所以.    故答案为： 题型一：点到平面距离的向量求法 1.（23-24高二上·上海·期末）在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点P到底面的距离为 . 【答案】 【分析】根据点面距公式代入计算即可得. 【详解】由点面距公式得， 故答案为： 2.（24-25高二上·上海宝山·期中）平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】求出，则点到平面的距离. 【详解】因为平面经过点，所以， 又平面的法向量， 所以点到平面的距离. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离即可． 【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，,1,，,1,，,0,， 所以,1,，,1,，,0,， 设平面的法向量为,,，则， 令，则，所以,,， 所以点到平面的距离为． 故答案为：． 4.（24-25高二上·上海·期中）已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，长度分别为2，2，4． (1)求该三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造长方体求得三棱锥体积即可； （2）建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）   如图：因为三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直， 以线段、、分别为长宽高构造长方体， 则. （2）   如图：以为坐标原点，以分别为轴， 建立空间直角坐标系，则， ，， 设平面的一个法向量为， ，则，令， 则，设点到平面的距离为， 则. 题型二：点到直线距离的向量求法 1.（24-25高二上·上海·期中）若正四面体的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】设正四面体的棱长为，设等边的中心为点，取的中点，连接、，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量法求出动点的轨迹方程，即可得解. 【详解】设正四面体的棱长为，设等边的中心为点，取的中点， 连接、，则平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、，设点， ，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，则，， 则点到平面的距离为， 而点到直线的距离为， 根据题意可得， 在平面内，如下图所示：    在平面直角坐标系中，易知点、， 则，所以，直线的方程为， 即，即， 显然，区域（包括边界）的点的坐标均满足，且， 所以，由可得， 即，即点在区域内的轨迹是一条线段， 直线的斜率为， 则动点的轨迹与线段的交点靠近点，D选项合乎题意， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决空间中的动点的轨迹问题，一般就是要通过建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出动点的轨迹方程，再进行判断. 2.（21-22高二上·上海徐汇·期中）如图，底面为矩形的直棱柱满足：，. (1)设为棱上的动点，求M到的最短距离 (2)设、分别为棱、上的动点，判断：三棱锥的体积是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请举例说明. 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求解； （2）根据点N到平面的距离为BC，求解. 【详解】（1）解：建立如图所示空间直角坐标系： 设，则， 所以， 所以M到的距离为， 当时，M到的最短距离是； （2）因为点N到平面的距离为BC，， 所以为定值. 3．（23-24高一下·上海·期末）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点为四边形所在平面外一点，且平面，，点是的中点，连接、、. (1)证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (2)若，，点在上运动，试求面积的最小值. 【答案】(1)四面体是鳖臑，为直角. (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明，利用线面垂直的性质定理判断是否为鳖臑即可. （2）转化为异面直线之间的距离，利用向量法求解即可. 【详解】（1）面面， 又因为为矩形， 面，， 面平面，， 又为斜边中线，且， ， 又面 面. 四面体是鳖臑， 为直角. （2） 过作的垂线交于点，分析可知当为和公垂线段时， 最小，设公垂线段长为则面积最小， 如图建立所示的空间直角坐标系，则 , 设向量且 则 不妨令则则 则 则面积的最小值为 题型三：异面直线夹角的向量求法 1.（24-25高二上·上海·期中）空间中，已知两条直线，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据空间两直线所成角的以及直线方向向量的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，可以推出与所成角为， 但与所成角为时，或， 所以是与所成角为的充分不必要条件. 故选：A. 2.（23-24高三上·上海虹口·期中）如图所示，在正方体中，E为线段上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定值的直线为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】利用空间向量的方法求异面直线所成角即可. 【详解】 设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，，则，，，，， ，不是定值，故A错； ，不是定值，故B错； ，所以直线与直线所成角为，故C正确； ，不是定值，故D错. 故选：C. 3.（24-25高二上·上海·期中）正方体中，点为的中点，则异面直线，所成的角的大小为 . 【答案】 【分析】在正方体中可以建立空间直角坐标系，得到点的坐标，从而得到对应线的方向向量，通过空间向量的夹角求出异面直线的夹角. 【详解】如图：    以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设正方体边长为2，则点，，，， 则，， 设异面直线，所成的角为， 则， ∴ 故答案为： 4．（23-24高二上·上海·期中）正四棱锥的侧面是等边三角形，为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】设等边的边长为，设，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线和所成角的余弦值. 【详解】设等边的边长为，设，则平面， 又因为四边形为正方形，则，且， 易知为的中点，则， 因为平面，平面，则， 所以，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 所以，，， 所以，， 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 5.（24-25高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，，，是棱上的一点. (1)若，求异面直线与所成的角的大小； (2)，求点到平面的距离. 【答案】(1)； (2)0或. 【分析】（1）根据题设建立合适的空间直角坐标系，应用向量法求异面直线的夹角； （2）根据（1）所建立的坐标系，设且，从而得到，由结合空间向量垂直的坐标表示求参数，最后应用点面距离的向量求法求点面距. 【详解】（1）由题设面，且，，， 所以，而， 建如下图示空间直角坐标系， 则， 所以，， 则， 所以异面直线与所成的角的大小为. （2）若且，则， 所以，故， 由，则，可得，所以或， 当，则与点重合，此时点到平面的距离为0； 当，则，则，，， 令面的一个法向量为，则， 若，则， 此时点到平面的距离为. 综上，点到平面的距离为0或. 题型四：线面角的向量求法 1.（23-24高三上·上海嘉定·期中）在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求出直线与平面所成的角为的正弦值，再表示出并求出其范围. 【详解】   设正方体边长为2，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则， 设， 则, 设平面的法向量为， 则取，则， 所以为平面的一个法向量， 所以 由于，所以， 所以， 因为所以. 故选：B 2.（23-24高二上·上海·期中）如图，在长方体中，已知，．动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，设，并求出的坐标，再结合线面角的向量求法求解. 【详解】在长方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由P的运动速度是的2倍，得，即， 则，显然平面的法向量， 于是， ，因此， 显然当时，，当时，， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦． 3.（23-24高二上·上海金山·期中）在正三棱柱中，已知，则直线与平面所成的角的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，运用向量知识进行求解. 【详解】解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    已知，， 故，，，， ， 设平面的法向量为， 即，故， 令，故， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 故答案为：. 4.（24-25高二上·上海嘉定·期末）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成的角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等体积法列方程，求解即可； （2）根据直线和直线平行，得为异面直线与所成的角，进而在中求解即可. 【详解】（1）在正方体中，为线段的中点， 所以平面，且， 因为是线段的中点，所以， 故三棱锥的体积； 因为，分别为线段，的中点，所以， 又因为，， 所以在中满足，故为直角三角形， 则，设点到平面的距离为， 则，解得， 因此点到平面的距离为. （2） 建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，解得， 所以， 设直线与平面所成角为，所以， 所以 5.（23-24高二下·上海闵行·期末）已知直四棱柱，各棱长均为2，且.设分别是的中点.    (1)求直线与所成的角的大小； (2)求直线与平面所成的角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建系标点，利用空间向量求异面直线的夹角； （2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）由题意可知：为等边三角形，且分别是的中点， 则，且∥，可得， 又因为平面， 以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，    则， 可得， 设直线与所成的角为， 则， 所以直线与所成的角的大小. （2）由（1）可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角为. 题型五：面面角的向量求法 1.（24-25高二上·上海松江·期中）如图，正方体的棱长为2，则二面角的大小为 .（结果用反三角函数表示） 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面法向量，利用公式求解即可. 【详解】 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，， ∴. 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 同理可得平面的法向量为， ∴，二面角的大小为. 故答案为：. 2．（21-22高二上·上海浦东新·期末）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，，，平面平面ABCD，，点E为DC上的动点，平面BSE与平面ASD所成的二面角为（为锐角），则当取最小值时，三棱锥的体积为 ． 【答案】 【分析】以点为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求解平面与的法向量，根据向量夹角公式判断当取最小值时求得，从而求解三棱锥的体积为． 【详解】由题意得，，两两相互垂直， 以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 则，，， 所以，其中， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，故， 又平面的一个法向量为， 所以， 由于，故当时，取得最大值，取得最小值， 此时，三棱锥的体积为． 故答案为： 3.（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图，在圆锥P-O中，AB是底面圆的直径，点C，D在圆上，CD垂直平分线段OB，E是PB的中点，. (1)求二面角的正切值； (2)设AE与PO交于点M，Q是圆上的动点，DM，QM与平面ACE所成角的大小分别为，求，并证明. 【答案】(1) (2),证明见详解. 【分析】（1）根据向量法先求出二面角的余弦值，然后即可求正切值； （2）利用向量法即可求出线面角的正弦值，然后根据直线与圆相切即可求解. 【详解】（1）设与OB的交点为,过点作的平行线交底面圆于， 因为点C，D在圆上，CD垂直平分线段OB，E是PB的中点， 所以，又因为底面圆，底面圆， 所以 则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，, 所以， , 因为底面圆，底面圆,所以又因为且，所以平面,所以平面的法向量为, 则,, 设平面的法向量， 则， 设二面角所成的平面角为， 所以 则，由图可知为锐角，所以， （2）由可得， 设平面的法向量， 则， , , 所以, 设， 因为为底面圆上的动点，底面圆的方程为， 所以， 则，，， ， 令，则或， 所以，所以， 因为在上单调递增， 所以. 一、单选题 1．（22-23高二下·上海浦东新·期中）设，分别是平面，的法向量，直线的方向向量为，以下结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或，重合 【答案】B 【分析】根据空间向量证明面面垂直、线面平行、线面平行和面面平行方法判断选项即可. 【详解】A项，若，由法向量的性质知，法向量垂直，平面垂直，故A正确； B项，若，可知与平面平行或在平面内，故B错误； C项，若，由法向量的性质知，该向量垂直于平面，故C正确； D项，若，可从题目，分别是平面，的法向量知，法向量平行，所以平面平行或重合，故D正确. 故选：B 2．（23-24高二上·上海·期末）在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足．点P满足，其中，则下列说法不正确的是（　　） A．当时，的面积S的最大值为 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点P，使得 D．当时，存在点P，使得平面 【答案】D 【分析】对于A，B选项，直接利用几何法判断即可；对于C，D，可建立空间直角坐标系，然后将问题转化为坐标运算判断． 【详解】对于A选项：当时，点P在上时， 此时有，面， 又面， 所以， 又面， 所以面， 又面， 所以， 可知当点与点重合时，的面积最大， 所以的面积S取最大值为，故A正确； 对于B选项：当时，P在棱上， ∵，平面，平面，∴平面， ∴P到平面的距离为定值， ∵的面积为定值，∴当时，三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图建立空间直角坐标系， 则 对于C选项：时，，可得， 故，解得， ∴时，，故C正确； 对于D选项：时，得，∴，， ∴，即不成立，故不存在点P，使得平面，故D错误． 故选：D． 3．（20-21高三上·上海浦东新·期中）长方体，，，在左侧面上，已知到､的距离均为5，则过点且与垂直的长方体截面的形状为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【解析】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，先利用向量找出截面与、和的交点，再过作交于，过作，交于，即可判断截面形状. 【详解】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设截面与交于，则， ，解得，即， 设截面与交于，则， ，解得，即， 设截面与交于，则， ，解得，即， 过作，交于，设，则， 则存在使得，即，解得，故在线段上， 过作，交于，设，则， 则存在使得，即，解得，故在线段上， 综上，可得过点且与垂直的长方体截面为五边形. 故选：B. 【点睛】本题考查截面的形状的判断，解题的关键是先利用向量找出截面与、和的交点，即可利用平面的性质找出其它点的位置. 4．（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论： ①存在点满足； ②存在点满足与平面所成角的大小为； ③存在点满足； 其中正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法一一计算可得. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则，，，， 设，，则， 若，则，解得， 所以存在点满足，故①正确； 因为，，设平面的法向量为， 则，取， 设与平面所成角为，， 则， 令，，则，所以， 令，，则，所以， 所以存在点满足与平面所成角的大小为，故②正确； 因为，， 所以，所以， 所以存在点满足，故③正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是建立空间直角坐标系，将几何关系转化为代数计算. 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·期末）向量，的夹角 . 【答案】 【分析】利用两个向量夹角的余弦公式即可求得结果. 【详解】，又因为夹角范围为：，故. 故答案为：. 6．（23-24高二上·上海·期中）在三棱锥中，底面，是的中点，已知，则异面直线BC与AD所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】根据三棱锥的几何特征，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出异面直线BC与AD所成角的余弦值为. 【详解】由底面，平面，所以， 又，可得，即两两垂直； 因此以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 又是的中点，可得，所以， 可得； 所以异面直线BC与AD所成角的余弦值为. 故答案为： 7．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱柱中，，，为的中点，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，根据点到平面的距离公式求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则， 故， 故点到平面距离为. 故答案为： 8．（24-25高二上·上海·期中）如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为棱上一个点，若，则 . 【答案】/0.5 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，由求出，求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， ， 故， 解得， 故. 故答案为： 9．（23-24高二上·上海·期末）已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 10．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为 ． 【答案】0/ 【分析】根据题意可得，可知∥平面或平面，即可得结果. 【详解】由题意可得：，即， 可知∥平面或平面， 所以直线与平面所成的角为0. 故答案为：0. 11．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，，，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为底面是菱形，，连接，则为等边三角形， 取的中点，连接，则，又，所以， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取， 所以点到平面的距离. 故答案为： 12．（23-24高二上·上海徐汇·期中）正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果. 【详解】以B为原点，以过B作的垂线为x轴，以为轴， 建立空间直角坐标系，如图， 则，所以， 平面的一个法向量设为， 则，令得， 又，设直线与平面所成的角为，， 则. 故答案为： 13．（23-24高二上·上海·期中）如图，在正四面体中，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】 以、、作为一组基底表示出、，再根据空间向量法计算可得. 【详解】因为，所以， 又， 设正四面体的棱长为，则， 所以 ， ， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 14．（24-25高二上·上海松江·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则直线到平面的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，结合直线到平面的距离公式，代入计算，即可求解. 【详解】，，． 又，，平面， 面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，， ，，， 设为平面PEF的法向量，， 令，则，，，， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离， 设点A到平面PEF的距离为，，则． 故答案为： 15．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，且，则异面直线与的夹角为 ． 【答案】 【分析】将用不共面的向量表示出来，从而得到，然后由公式计算夹角余弦值即可. 【详解】四棱柱的底面为平行四边形， ，， ，而， 则， ，因此， 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 故答案为： 16．（24-25高二上·上海·期末）如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中、分别在棱上.若是正方形，则截面UVWXYZ的面积为 . 【答案】/ 【分析】以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，取，六边形UVWXYZ即是所求截面，再求出其面积即可. 【详解】以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，如下图所示： 当时， 则，所以， 又， 设，则，解得， 即，所以共面， 所以共面， 因为，所以，即， 又因为所以是正方形， 所以当时，六边形UVWXYZ就是所求截面， 此时, 所以截面UVWXYZ的面积为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查正方体的截面面积，找到符合题意的截面是解决问题的关键.本题借助空间直角坐标系，确定构成六边形UVWXYZ就是所求截面，进而求出面积.研究正方体截面问题的常用方法还有平行线法和相交线法. 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，E，F分别为、BC的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直棱柱的性质及，建立空间直角坐标系，根据，即可证明； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法求出点到平面的距离. 【详解】（1）在直三棱柱中，即平面，， 又平面，所以，，如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以，所以，即； （2）由（1）可得，，，所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 所以点到平面的距离. 18．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，的中点分别为，，连接，根据正棱柱的性质得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； （2）求出平面、平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，连接， 则，又平面，所以平面， 又平面，所以，，又， 如图建立空间直角坐标系， 因为，所以.    因为为的中点，所以， 从而， . 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为为的中点，所以， 因此，. 设为平面的一个法向量， 则，即，不妨取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为，则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 19．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且． (1)求与所成角的余弦值； (2)求点E到平面C的距离． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算求异面直线的夹角； （2）根据三垂线定理说明线面垂直得到面的法向量，由空间向量的坐标运算求点面距离. 【详解】（1）以所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图， 根据题意， 所以， ，又与所成角的范围为， 与所成角的余弦值为； （2）由三垂线定理有，且两直线都在面内，则⊥平面， 平面C法向量为，又=， 点E到平面C的距离d===. 20．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在正四棱锥中，，.    (1)求四棱锥的表面积； (2)求二面角的大小.（结果用反三角表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接底面对角线，得到相互垂直平分，在正棱锥中顶点和底面中心的连线垂直底面，所以得到直角三角形，利用勾股定理求出棱锥的高，再在侧面上由三垂直即可得到高，并求出高的值，得到侧面面积，从而求出四棱锥的表面积； （2）由（1）得到三垂直，由此建立空间直角坐标系，由（1）中线段长得到点的坐标，利用空间向量求出面的法向量，然后求得二面角的余弦值，从而得到角. 【详解】（1）如图：连接，相交于点，连接，取中点，连接，    在正四棱锥中，平面，为、中点， 因为平面，所以， 因为平面，所以， 因为为中点，为中点，所以， 在正方形中，，在中， 在中， 因为在正四棱锥中，，所以， 所以， 所以四棱锥的表面积： （2）由（1）可知，，，所以以为坐标原点，为轴，为轴，为轴如图建立空间直角坐标系，    由（1）可知，，，， 所以，，，， 设分别为平面和平面的一个法向量， 所以，令，则，即 所以，令，则，即 设为二面角，由图形可知为钝角， 所以 ， 所以. 21．（24-25高三上·上海·期中）如图，直三棱柱中，，，是的中点，是的中点．    (1)证明：直线与直线的位置关系为异面且垂直； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）先证明两直线异面，再以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可证明. （2）先求出平面的法向量和直线的方向向量，利用向量的夹角可求出线面角的正弦值． 【详解】（1）    直线与平面交于点，且直线不过点，所以直线与直线的位置关系为异面 如图，以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系系. 设，则 , 所以直线与直线的位置关系为异面且垂直； （2）设平面的法向量为， , 设直线与平面所成角为， 所以, 所以直线与平面所成角为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$