第01讲 空间向量及其运算（3个知识点+5种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第一册）

第01讲 空间向量及其运算 课程标准 学习目标 1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养. 2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养. 1.理解空间向量的概念．(难点) 2.掌握空间向量的线性运算．(重点) 3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点) 知识点01空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 【即学即练1】（22-23高二上·上海徐汇·期中）已知三棱柱及空间中一点P，且，（，m为常数），若三棱的体积为24，则三棱锥的体积为 ． 知识点02空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 【即学即练2】（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C．0 D． 知识点03两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 【即学即练3】（24-25高二上·上海·期末）已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 题型一：空间向量的加减运算 1.（21-22高二下·上海杨浦·期中）设A、B、C、D是空间中不共面的四点，令，，，则、、三个向量（    ） A．互不相等 B．有且仅有两个相等 C．都相等 D．以上均有可能 2.（22-23高二上·上海徐汇·期中）在正方体中， . 3．（22-23高二上·上海松江·期中）如图，在斜四棱柱中，M为AC与BD的交点，若，请用来表示向量 ． 4．（22-23高二上·上海青浦·期末）如图，在四面体中，，且，，则= （用表示） 题型二：空间向量加减运算的几何表示 1.（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 2.（21-22高二上·上海金山·期中）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是120° D．正方体的体积为 3.（24-25高二上·上海·期中）正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 4．（20-21高二下·上海浦东新·期中）已知空间四边形，点M､N分别为的中点，且，用表示，则 . 题型三：空间向量数乘运算与空间向量的数乘运算的集合表示 1.（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·上海嘉定·期中）在长方体中，为中点，，，，则（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 4．（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间四边形中向量，，，点E，F分别是，的中点，则向量 .（用、、表示） 题型四：求空间向量的数量积 1.（24-25高三上·上海·期中）已知圆锥的底面半径为2，高为4，点为圆锥底面上任意一点，点为圆锥侧面（点异于顶点且不在底面圆周上）上任意一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·上海崇明·期末）已知正四棱柱中，底面边长，，是长方体表面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知，，则 . 4．（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间向量，，则 . 5．（高二下·上海松江·期末）如图，两个棱长为1的正方体排成一个四棱柱，AB是一条侧棱，是正方体其余的10个顶点，则的不同值的个数为 个. 题型五：空间向量数量积的应用 1.（24-25高二上·上海·期末）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B．向量与的夹角是 C． D．这个正方体的体积为 2.（24-25高二上·上海·期末）在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点满足，则 . 3.（高二下·上海·期末）已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为 ． 4．（23-24高二下·上海闵行·期末）沿着正四面体的三条棱的方向分别有大小等于的三个力，则此三个力的合力的大小为 ． 一、单选题 1．（22-23高二上·上海·期中）设,1,，,,，若与为共线向量，则（　　） A．， B． C． D． 2．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．7 B．8 C．9 D．10 3．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（23-24高二上·上海崇明·期中）正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（20-21高二下·上海徐汇·期中）在平行六面体中，设，，，用、、作为基底向量表示 ． 6．（24-25高二上·上海·期中）已知，空间向量，．若，则 ． 7．（22-23高二上·上海宝山·期中）平行六面体，，，若，则 . 8．（22-23高二上·上海嘉定·期末）如图，在长方体中，设，，，则 ． 9．（24-25高二上·上海·期中）平行六面体 中， 且AB=3，AD=2， AA₁=1， 则线段AC₁的长为 . 10．（24-25高三上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知三个单位向量、、满足，，则的取值范围是 . 11．（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 12．（23-24高二上·上海徐汇·期中）已知空间四个单位向量满足：，则的最大值为 . 13．（22-23高二下·上海杨浦·期中）在空间中，是一个定点，给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若向量满足，，，则满足题意的点的个数为 . 14．（22-23高二上·上海浦东新·期中）已知，则以为方向向量的两直线的夹角为 ． 15．（23-24高三上·上海松江·期末）已知正四面体的棱长为，空间内任意点满足，则的取值范围是 ． 16．（24-25高三上·上海杨浦·期中）已知空间单位向量，，，，，则的最大值是 ． 三、解答题 17．（23-24高二上·上海·课后作业）已知，与、的夹角都是，并且，，．计算： (1)； (2)． 18．（22-23高二上·上海·期中）如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，． (1)试用，，表示向量； (2)若，求MN的长． 19．（24-25高二上·上海·期末）如图所示，平行六面体中，，，，. (1)用向量，，表示向量，并求； (2)求. 20．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 空间向量及其运算 课程标准 学习目标 1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养. 2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养. 1.理解空间向量的概念．(难点) 2.掌握空间向量的线性运算．(重点) 3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点) 知识点01空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 【即学即练1】（22-23高二上·上海徐汇·期中）已知三棱柱及空间中一点P，且，（，m为常数），若三棱的体积为24，则三棱锥的体积为 ． 【答案】4 【分析】由，可得，P是△ABC所在平面内一点，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，进而可得到答案． 【详解】取AC的中点O， ∵， ∴， ∴P是△ABC所在平面内一点，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍， 故S△ABC＝2S△ABP，设三棱柱的高为h 三棱锥的体积为 故答案为：4． 知识点02空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 【即学即练2】（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】由点满足，其中，得到点是平面内的一点，再由当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高达到最小值求解. 【详解】如图所示： 根据题意，点满足，其中 所以， 所以， 所以点是平面内的一点，又正四面体棱长为1， 所以当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高， 此时且达到最小值． 故选：A． 知识点03两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 【即学即练3】（24-25高二上·上海·期末）已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设 ，再将转化成即可计算求解. 【详解】如图，O为中点，则由题意且， 所以. 因为，则即， 所以点M在以O为球心，半径为的球上， 设，则， 所以. 故答案为：. 题型一：空间向量的加减运算 1.（21-22高二下·上海杨浦·期中）设A、B、C、D是空间中不共面的四点，令，，，则、、三个向量（    ） A．互不相等 B．有且仅有两个相等 C．都相等 D．以上均有可能 【答案】B 【分析】利用空间向量的加减运算求解. 【详解】， ， 若，则，即，则B，C重合， 于是A、B、C、D共面，矛盾， 所以，即、、三个向量有且仅有两个相等， 故选：B 2.（22-23高二上·上海徐汇·期中）在正方体中， . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用正方体的结构特征，结合空间向量运算求解作答. 【详解】在正方体中，， 所以. 故答案为： 3．（22-23高二上·上海松江·期中）如图，在斜四棱柱中，M为AC与BD的交点，若，请用来表示向量 ． 【答案】 【分析】首先利用向量减法法则表示出，再利用即可求解. 【详解】依据题意，， 又， 故答案为： 4．（22-23高二上·上海青浦·期末）如图，在四面体中，，且，，则= （用表示） 【答案】 【分析】根据条件，结合空间向量的运算，即可得到结果. 【详解】依题得， 。 故答案为：． 题型二：空间向量加减运算的几何表示 1.（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用底面是平行四边形判断B，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断A,C,D． 【详解】 对于选项A，取的中点,连接,取的中点，连接,若，则，故A错误； 对于选项B，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，故B正确； 对于选项C，若，则，故C错误； 对于选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，故D错误． 故选：B． 2.（21-22高二上·上海金山·期中）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是120° D．正方体的体积为 【答案】D 【分析】根据空间向量的知识对每个选项逐一分析即可. 【详解】正方体 如图所示， 对于A选项，，，故 A 正确； 对于B选项， ， 在平面内的投影为， 又因为 ，即，故B正确； 对于C选项，为等边三角形， ，向量与的夹角是，故 C 正确； 对于D选项，，，故D显然错误. 故选：D 3.（24-25高二上·上海·期中）正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 【答案】 【分析】由图结合空间向量加法可得答案. 【详解】如图，连接，，则其交点为E.又连接AC. 如图，可得，又. 则，，则. 故答案为： 4．（20-21高二下·上海浦东新·期中）已知空间四边形，点M､N分别为的中点，且，用表示，则 . 【答案】 【分析】根据几何图形，利用向量加，减法的几何意义表示. 【详解】 故答案为： 题型三：空间向量数乘运算与空间向量的数乘运算的集合表示 1.（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和可求关于的线性表示，由此可求结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B. 2．（22-23高二上·上海嘉定·期中）在长方体中，为中点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方体中对应线段的位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义表示出. 【详解】 如上图示，，，而， 而. 故选：A 3.（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】因为在长方体中，F是DC的中点， 则， 故答案为： 4．（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间四边形中向量，，，点E，F分别是，的中点，则向量 .（用、、表示） 【答案】 【分析】画出示意图，根据空间向量的加法运算即可. 【详解】如图所示， . 故答案为：. 题型四：求空间向量的数量积 1.（24-25高三上·上海·期中）已知圆锥的底面半径为2，高为4，点为圆锥底面上任意一点，点为圆锥侧面（点异于顶点且不在底面圆周上）上任意一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点，利用空间向量的线性运算及数量积公式结合夹角余弦的范围计算即可. 【详解】如图所示，延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点， 显然， 由题意可知， 所以的取值范围为. 故选：D. 2．（21-22高二上·上海崇明·期末）已知正四棱柱中，底面边长，，是长方体表面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，将所求数量积转化为，根据的取值范围可求得结果. 【详解】取中点， 则， 当为侧面中点时，；的最大值为体对角线的一半， 又，， 即的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的向量数量积问题的求解，解题关键是通过转化法将问题转化为向量模长最值的求解问题，进而通过确定向量模长的最值来确定数量积的取值范围. 3.（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知，，则 . 【答案】24 【分析】利用向量的数量积直接求解. 【详解】因为，， 所以. 所以. 故答案为：24 4．（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间向量，，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量数量积运算可求得结果. 【详解】因为，， 所以 故答案为： 5．（高二下·上海松江·期末）如图，两个棱长为1的正方体排成一个四棱柱，AB是一条侧棱，是正方体其余的10个顶点，则的不同值的个数为 个. 【答案】2 【分析】分类讨论，根据向量的垂直和向量的数量积即可求出． 【详解】解：当，2，3，4，5时，故， 当，7，8，9，10时，， ， ， ， ， 的不同值的个数为2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查向量的数量积运算，属于基础题． 题型五：空间向量数量积的应用 1.（24-25高二上·上海·期末）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B．向量与的夹角是 C． D．这个正方体的体积为 【答案】D 【分析】利用正方体的结构特征、性质，及空间向量加减、数乘的几何意义、数量积的运算律判断各项正误. 【详解】如下图示正方体，根据各向量对应线段的位置关系，各项判断如下， A：，则， 所以，对； B： ，， 所以向量与的夹角是，对； C： ，对； D：由正方体的结构易得，错. 故选：D 2.（24-25高二上·上海·期末）在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点满足，则 . 【答案】/ 【分析】由题意可得，，利用计算即可. 【详解】因为平面，平面，所以，， 所以，， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 3.（高二下·上海·期末）已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据的夹角为锐角，可得，且不能同向共线解出即可得出． 【详解】，， 的夹角为锐角，，且不能同向共线． 解得，．则的取值范围为． 故答案为:． 4．（23-24高二下·上海闵行·期末）沿着正四面体的三条棱的方向分别有大小等于的三个力，则此三个力的合力的大小为 ． 【答案】 【分析】根据题意不妨设，结合数量积求的模长即可. 【详解】由题意可知：，且， 不妨设，则， 可得， 即，所以此三个力的合力的大小为. 故答案为：. 一、单选题 1．（22-23高二上·上海·期中）设,1,，,,，若与为共线向量，则（　　） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量平行的性质列方程直接求解． 【详解】解：,1,，,,， 与为共线向量， ， 解得，． 故选：C． 2．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】向量，，共面，存在实数，使得，即． ，． 故选：D． 3．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】建立如图空间直角坐标系，设，根据正n棱柱的结构特征，求出对应底面各顶点的x坐标，由可得对应的集合，进而得出对应的，即可求解. 【详解】如图，设AB所在的直线为x轴，过点A且与AB垂直的直线为y轴， 过点A且与平面垂直的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系， 则，得，设， 则. 因为该几何体为正n棱柱，所以上底面与下底面各顶点的x坐标对应相等. 当时，该几何体为正三棱柱，作出其底面的示意图，如图， 则，所以， 即，共有5个元素； 当时，该几何体为正方体，作出其底面的示意图，如图， 则，所以， 即，共有3个元素； 当时，该几何体为正六棱柱，作出其底面的示意图，如图， 则，所以， 即，共有9个元素； 当时，该几何体为正八棱柱，作出其底面的示意图，如图， 则， 所以， 即，共有9个元素； 综上，当时，中的元素数量最少. 故选：B 4．（23-24高二上·上海崇明·期中）正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作底面的平行圆，利用空间向量数量积的运算律求解即得. 【详解】过点作平行于底面的截面圆，过点作平行于底面的截面圆，， 设圆柱的底面圆半径为，则，解得 ，于是， 由，得 ， 所以、两点间的距离为. 故选：C    【点睛】关键点睛：求出空间两点的距离，借助空间向量表示及空间向量数量积是解决问题的关键. 二、填空题 5．（20-21高二下·上海徐汇·期中）在平行六面体中，设，，，用、、作为基底向量表示 ． 【答案】 【分析】根据空间图形，根据向量加，减法的规则计算结果. 【详解】有图形可知 .    故答案为： 6．（24-25高二上·上海·期中）已知，空间向量，．若，则 ． 【答案】 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解. 故答案为： 7．（22-23高二上·上海宝山·期中）平行六面体，，，若，则 . 【答案】 【分析】由几何体中线段对应向量的数量关系有，应用向量数量积的运算律、定义列方程即可求. 【详解】 如上图知：， 所以， 故. 故答案为： 8．（22-23高二上·上海嘉定·期末）如图，在长方体中，设，，，则 ． 【答案】 【分析】根据长方体的结构特征，结合空间向量减法的几何意义及已知条件，求目标向量的模即可. 【详解】 由 故答案为： 9．（24-25高二上·上海·期中）平行六面体 中， 且AB=3，AD=2， AA₁=1， 则线段AC₁的长为 . 【答案】5 【分析】根据空间向量的线性运算可得，等式两边同时平方，利用空间向量数量积的定义计算即可. 【详解】如图， 由题意知，设， 则， 所以， 又， 所以， 即，所以. 故答案为：5. 10．（24-25高三上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知三个单位向量、、满足，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题设得、，令，画出以为轴，，为母线画圆锥体，确定轨迹，即可得的范围，进而求的范围. 【详解】由题意，即，，即， 所以单位向量的位置关系如下图示，且， 以为轴，，为母线画圆锥体，底面中心分别为， 所以轨迹分别是圆锥、圆锥的底面圆周， 结合图知，，即. 故答案为： 11．（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用向量数量积运算求解. 【详解】因为，，的模均为1，他们之间的夹角均为，所以：，. 又 所以：或. 故答案为： 12．（23-24高二上·上海徐汇·期中）已知空间四个单位向量满足：，则的最大值为 . 【答案】 【分析】将该四个单位向量平移至共起点置于球中，利用空间向量的数量积计算，借助圆锥图形确定即可. 【详解】 如图所示，令共起点， 由题意易得， 同理， 设，则， 根据条件有， 所以分别在以所在直线为轴，O为顶点， 以夹角旋转一周得到的圆锥的侧面上， 观察图形可知当在平面内时，此时夹角最小， 易知， 则， 所以. 故答案为：. 13．（22-23高二下·上海杨浦·期中）在空间中，是一个定点，给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若向量满足，，，则满足题意的点的个数为 . 【答案】 【分析】确定点在与垂直，且到的距离为的平面上，在与垂直，且到的距离为的平面上，在与垂直，且到的距离为的平面上，计算得到答案. 【详解】，故，，， 故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面； 同理得到： 故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面； 故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面. 个两两平行的平面共有个交点，故满足条件的共有个. 故答案为： 14．（22-23高二上·上海浦东新·期中）已知，则以为方向向量的两直线的夹角为 ． 【答案】 【分析】由已知向量，的坐标，结合，求得，求出，由两向量的夹角公式求得以为方向向量的两直线的夹角. 【详解】因为所以，又，故. 又，所以，又. 设以为方向向量的两直线的夹角为 则，所以. 故答案为：. 15．（23-24高三上·上海松江·期末）已知正四面体的棱长为，空间内任意点满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先判断出点在球上，然后根据数量积的运算求得的表达式，结合三角函数值域的知识求得的取值范围. 【详解】设BC的中点为O. 因为动点满足，所以, 即点P落在以O为球心，以为半径的球上. 因为, 所以. 因为正四面体的棱长为， 所以， 在三角形中，,. 取AD的中点为E,OE⊥AD， 所以在上的投影向量的模为， 所以. 设， 所以. 因为， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查空间向量线性运算和数量积的运算，形如的点，其运动轨迹在以点为球心，半径为的球面上.求解一个式子的最值，可以考虑的方向有：基本不等式、函数的单调性、二次函数的性质、三角函数的值域等知识. 16．（24-25高三上·上海杨浦·期中）已知空间单位向量，，，，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据题意在球中讨论，结合空间向量数量积的应用可求出最值. 【详解】因为空间向量，，，是单位向量， 所以把向量，，，平移到以为起点，终点在半径为的球面上，如图： 由，得，所以，同理， 令，则，， 根据，两边同时平方解得，， 所以绕向量所在直线旋转一周得圆锥的侧面，绕向量所在直线旋转一周得圆锥的侧面， 因为， 所以，则， 观察图形得当旋转到平面内时，向量与的夹角最小， 令此最小角为，则， 则， ， 所以的最大值是， 故答案为：. 【点睛】本题考查了空间向量数量积的应用，解答本题的关键点是将这四个单位向量转化到球中去，结合图形更易判断，求出向量间的夹角，最后结合两角差的余弦值可求得最终结果. 三、解答题 17．（23-24高二上·上海·课后作业）已知，与、的夹角都是，并且，，．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律，结合数量积的定义即可求得答案； （2）利用向量模的计算公式，结合数量积的运算律以及数量积定义，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，与、的夹角都是，并且，，， 故 ； （2） . 18．（22-23高二上·上海·期中）如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，． (1)试用，，表示向量； (2)若，求MN的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解. （2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解. 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解：， ， ， ， ， 即MN的长为. 19．（24-25高二上·上海·期末）如图所示，平行六面体中，，，，. (1)用向量，，表示向量，并求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算直接求解即可，然后根据数量积的运算律及模长公式求解模长； （2）根据向量运算法则用基底向量表示，结合（1）利用数量积的运算律及数量积定义求解即可. 【详解】（1）根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为，，，. 所以 20．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解； （2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$