安徽省淮南市谢家集区淮南市第五中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

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2025-02-14
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资源信息

学段 高中
学科 数学
教材版本 -
年级 高三
章节 -
类型 试卷
知识点 -
使用场景 同步教学-开学
学年 2025-2026
地区(省份) 安徽省
地区(市) 淮南市
地区(区县) 谢家集区
文件格式 PDF
文件大小 2.32 MB
发布时间 2025-02-14
更新时间 2025-02-14
作者 匿名
品牌系列 -
审核时间 2025-02-14
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来源 学科网

内容正文:

第 1页,共 2页 淮南五中高三开学考质量检测 数学试题卷 考试时间:120 分钟;满分:150 分 命题人:徐王军 审题人:卢培梅 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后,将答题卡交回. 第 I卷(选择题) 一、单选题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.复数�在复平面内对应的点为( − 2,1),则|� + 3�| =( ) A. 8 B. 4 C. 2 2 D. 2 2.已知集合� = {�| 12 < 2 � < 32},� = {�| � < 2},则� ∪ � =( ) A. −2,1 B. −1,2 C. ⌀ D. −2,5 3.函数�(�)是定义在�上的奇函数,当� > 0 时�(�) = �2 + 1,则�(0) + �( − 1) =( ) A. 3 B. −1 C. 2 D. −2 4.已知向量� = (2, − 1),� = (�, 2).若� //� ,则� =( ) A. −1 B. 1 C. −4 D. 4 5.设双曲线� 2 �2 − �2 �2 = 1 � > 0, � > 0 的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程为( ) A. � =± 2� B. � =± 2� C. � =± 12 � D. � =± 2 2 � 6.已知 sin(� + �) = 2cos(� − �),tan� + tan� = 43,则 tan� ⋅ tan� =( ) A. 3 B. −3 C. 13 D. − 1 3 7.如图,准备用 4 种不同的颜色给�、�、�、�、�五块区域涂色,要求每个区域随机用一种颜色涂色,且 相邻区域(有公共边的)所涂颜色不能相同,则不同涂色方法的种数共有( ) A. 96 B. 114 C. 168 D. 240 8.已知点�(2,1)在直线�� + �� − 1 = 0 � > 0, � > 0 上,若存在满足该条件的�,�使得不等式1� + 2 � ≤ � 2 + 2�成立,则实数�的取值范围是( ) A. ( −∞, − 4]⋃[2, + ∞) B. ( − ∞, − 2]⋃[4, + ∞) C. ( − ∞, − 6]⋃[4, + ∞) D. ( −∞, − 4]⋃[6, + ∞) 二、多选题:本题共 3小题,共 18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 9.在����中,角�,�,�的对边分别为�,�,�,下列结论中正确的选项有( ) A.若� > �,则���� > ���� B. � = 2 3,� = 2,� = 2�3,则� = 4 C.若����� − ����� = �,则△ ���定为直角三角形 D.若� = �3 , � = 2 且该三角形有两解,则�的取值范围是( 3, 2) 10.在递增的等比数列 �� 中,已知公比为�,��是其前�项和,若�1�4 = 32,�2 + �3 = 12,则下列说法正 确的是( ) A. � = 2 B.数列 �� + 2 是等比数列 C. �8 = 510 D.数列 lg �� 是公差为 2 的等差数列 11.设 2� − 1 7 = �0 + �1� + �2�2 +⋅⋅⋅+ �6�6 + �7�7,则下列结论正确的是( ) A. �2 + �5 = 588 B. �1 + �2 +⋅⋅⋅+ �7 = 1 C. �1 + �3 + �5 + �7 = 1+37 2 D. �1 + �2 +⋅⋅⋅+ �7 = 3 7 − 1 第 II卷(非选择题) 三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分。 12.投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为45,且各次 投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 . (用分数表示) 13.已知函数�(�) = − � 2 + 2ax − 2�, (� ≥ 1) ax + 1, (� < 1) 满足对任意�1 ≠ �2,都有 �(�1)−�(�2) �1−�2 < 0 成立,则实数�的取 值范围是______. 14.针对“中学生追星问题”,某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关“作了一次调查,其中女生人 数是男生人数的 1 2,男生追星的人数占男生人数的 1 3,女生追星的人数占女生人数的 2 3,若 根据� = 0.05 的独立性检验,认为中学生追星与性别有关,则男生至少有 人. 参考数据及公式如下: 附:�2 = �(��−��) 2 (�+�)(�+�)(�+�)(�+�),其中� = � + � + � + �, �(�2⩾3.841) ≈ 0.05 第 2页,共 2页 四、解答题:本题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 在△ ���中,角�,�,�的对边分别为�,�,�,且(� + �)(���� − ����) = (� + �)����. (1)求角�的大小; (2)若点�是��的中点,且�� = 2,求△ ���的面积的最大值. 16.(本小题 15 分) 已知{��}为等差数列,且�3 = 6,�6 = 0. (Ⅰ)求{��}的通项公式; (Ⅱ)若等比数列{��}满足�1 = 3,�2 = �4 + �5,求{��}的前�项和公式. 17.(本小题 15 分) 已知函数�(�) = 12 � 2 − 2� − 3���. (Ⅰ)求曲线� = �(�)在点(1, �(1))处的切线方程; (Ⅱ)求�(�)的单调区间. 18.(本小题 17 分) 已知等腰直角△ �′��,�′� = �� = 4,�′� ⊥ ��,�,�分别为�′�,�′�的中点,将△ �′��沿�� 折到△ ���的位置,�� = 2 2,取线段��的中点为�. (Ⅰ)求证:��//平面���; (Ⅱ)求平面���和平面���的夹角的余弦值. 19.(本小题 17 分) 在平面直角坐标系���中,已知椭圆�: � 2 �2 + �2 �2 = 1 � > � > 0 的离心率为 2 2 且短轴长为 2. (1)求椭圆�的标准方程; (2)若直线�与椭圆�交于�,�两点,� 0,1 ,直线��与直线��的斜率之积为16,证明直线�过定点并求出该 定点坐标. 第 1页,共 13页 淮南五中高三开学考质量检测数学试题卷答案 一、单选题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题给出的选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.复数�在复平面内对应的点为( − 2,1),则|� + 3�| =( ) A. 8 B. 4 C. 2 2 D. 2 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查共轭复数的概念,复数的模,考查复数的代数表示及其几何意义,属基础题. 根据复数的几何意义可得� =− 2 − �,再根据复数的基本运算法则化简,然后结合模长 公式即可求解. 【解答】 解:由已知得� =− 2 + �,所以� =− 2 − �, 所以|� + 3�| = | − 2 + 2�| = ( − 2)2 + 22 = 2 2. 故选 C. 2.已知集合� = {�| 12 < 2 � < 32},� = {�| � < 2},则� ∪ � =( ) A. −2,1 B. −1,2 C. ⌀ D. −2,5 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了并集及其运算,属于基础题. 首先求出集合�、�,根据并集的运算即可得答案. 【解答】 解:集合� = {�| 12 < 2 � < 32} = {�| − 1 < � < 5}, � = {�| � < 2} = {�| − 2 < � < 2}, 则� ∪ � = −2,5 , 故选 D. 3.函数�(�)是定义在�上的奇函数,当� > 0 时�(�) = �2 + 1,则�(0) + �( − 1) =( ) A. 3 B. −1 C. 2 D. −2 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查奇函数的奇偶性,函数值的求法,属于基础题. 直接由奇函数的性质由�( − 1) =− �(1),�(0) = 0 可求值. 【解答】 解:∵函数�(�)是定义在�上的奇函数,则�(0) = 0, 又当� > 0 时,�(�) = �2 + 1, ∴ �( − 1) =− �(1) =− (12 + 1) =− 2. 第 2页,共 13页 则�(0) + �( − 1) =− 2. 故选 D. 4.已知向量� = (2, − 1),� = (�, 2).若� //� ,则� =( ) A. −1 B. 1 C. −4 D. 4 【答案】C 【解析】解:∵ � //� ; ∴ 4 + � = 0; ∴ � =− 4. 故选:�. 根据� //� 即可得出 2 ⋅ 2 − ( − 1) ⋅ � = 0,解出�即可. 考查向量坐标的概念,平行向量的坐标关系. 5.设双曲线� 2 �2 − �2 �2 = 1 � > 0, � > 0 的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方 程为( ) A. � =± 2� B. � =± 2� C. � =± 12 � D. � =± 2 2 � 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的求法,考查运算能力,属于基础题. 由题意可得�,�,由双曲线的�,�,�的关系可得�,再由双曲线的渐近线方程,即可得 到. 【解答】解: 由题意可得,双曲线的� = 1,� = 3, 则� = �2 − �2 = 2, 则双曲线的渐近线方程为� =± �� �, 即为� =± 22 �. 故选 D. 6.已知 sin(� + �) = 2cos(� − �),tan� + tan� = 43,则 tan� ⋅ tan� =( ) A. 3 B. −3 C. 13 D. − 1 3 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了两角和与差的三角函数公式,同角三角函数的基本关系,属于基础题. 根据两角和与差的三角函数公式将已知式子展开,再根据同角三角函数的基本关系化简, 即可求解. 【解答】 解:∵ sin(� + �) = 2cos(� − �), ∴ sin�cos� + cos�sin� = 2cos�cos� + 2sin�sin�, 第 3页,共 13页 等号两边同时除以 cos�cos�, 得到 tan� + tan� = 2 + 2tan�tan�, 即 tan�tan� = tan�+tan�2 − 1 =− 1 3, 故选 D. 7.如图,准备用 4 种不同的颜色给�、�、�、�、�五块区域涂色,要求每个区域随机用 一种颜色涂色,且相邻区域(有公共边的)所涂颜色不能相同,则不同涂色方法的种数共 有( ) A. 96 B. 114 C. 168 D. 240 【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查两个计数原理的综合应用,属于中档题. 由题意,可分四步进行涂色,分别考虑�、�、�和 后的�、�区域,依据题设条件注意 相邻区域所涂颜色不能相同,分别得到各个区域涂色方法,综合可得答案. 【解答】 根据题意,涂色分 4 步进行分析: 对于�区域,有 4 种颜色可选,即有 4 种情况, 对于�区域,与�区域相邻,有 3 种情况, 对于�区域,与�、�区域相邻,有 2 种情况, 对于�、�区域,分 2 种情况讨论: 若�区域与�区域涂色的颜色相同,则�区域有 3 种颜色可选,即有 3 种情况, 此时�、�区域有 1 × 3 = 3 种情况; 若�区域与�区域所涂的颜色不相同,则�区域有 2 种情况,�区域有 2 种情况, 此时�、�区域有 2 × 2 = 4 种情况,则�、�区域共有 3 + 4 = 7 种情况, 则不同涂色的方案种数共有 4 × 3 × 2 × 7 = 168 种. 故选 C. 8.已知点�(2,1)在直线�� + �� − 1 = 0 � > 0, � > 0 上,若存在满足该条件的�,�使得 不等式 1 � + 2 � ≤ � 2 + 2�成立,则实数�的取值范围是( ) A. ( −∞, − 4]⋃[2, + ∞) B. ( − ∞, − 2]⋃[4, + ∞) C. ( − ∞, − 6]⋃[4, + ∞) D. ( −∞, − 4]⋃[6, + ∞) 【答案】A 【解析】【分析】 本题主要考查存在性问题及利用基本不等式求 值是解题的关键. 第 4页,共 13页 根据题意得 2� + � = 1,利用基本不等式求出1� + 2 �的 小值,则� 2 + 2� ≥ ( 1� + 2 � )���, 解之即可. 【解答】 解:因为点�(2,1)在直线�� + �� − 1 = 0(� > 0, � > 0)上, 所以 2� + � = 1, 又� > 0,� > 0, 所以 1 � + 2 � = 2� + � 1 � + 2 � = �� + 4� � + 4 ≥ 2 � � × 4� � + 4 = 8, 当且仅当 � � = 4� �,即� = 1 4,� = 1 2时等号成立, 所以�2 + 2� ≥ 8 ⇒ � ≤− 4 或� ≥ 2. 故选 A. 二、多选题:本题共 3小题,共 18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 9.在����中,角�,�,�的对边分别为�,�,�,下列结论中正确的选项有( ) A.若� > �,则���� > ���� B. � = 2 3,� = 2,� = 2�3,则� = 4 C.若����� − ����� = �,则△ ���定为直角三角形 D.若� = �3 , � = 2 且该三角形有两解,则�的取值范围是( 3, 2) 【答案】ACD 【解析】【分析】 本题主要考查正弦定理,余弦定理及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 根据正余弦定理和三角形内角和判断各选项即可. 【解答】 解:对于�:在△ ���中,由� > �,则� > �, 而���� = �2� , ���� = � 2�,�为外接圆半径,即���� > ����,故 A正确; 对于�:∵在△ ���中, �sin� = � sin�,即 2 3 ��� 2�3 = 2����, ∴ sin� = 12, 又∵ 0 < � < �3, ∴ � = �6,� = � 6, ∴ � = � = 2, 故 B错误; 对于�,����� − ����� = �, 由余弦定理可得:� × � 2+�2−�2 2�� − � × �2+�2−�2 2�� = �, 化简可得:�² = �² + �², 第 5页,共 13页 所以△ ���为直角三角形,故 C正确; 对于�:在△ ���中, 因为三角形有两解, 即�·���� < � < �, 所以 3 < � < 2,故 D正确. 故选 ACD. 10.在递增的等比数列 �� 中,已知公比为�,��是其前�项和,若�1�4 = 32,�2 + �3 = 12, 则下列说法正确的是( ) A. � = 2 B.数列 �� + 2 是等比数列 C. �8 = 510 D.数列 lg �� 是公差为 2 的等差数列 【答案】ABC 【解析】【分析】 本题考查了等比数列的求和,等差数列的判定与证明,等比数列的判定与证明,属于中 档题. 计算可得� = 2,故选项 A正确;�8 = 510,�� + 2 = 2�+1,所以数列 �� + 2 是等比数 列,故选项 B,C正确;lg �� = � ⋅ lg 2,所以数列 lg �� 是公差为 lg 2 的等差数列,故 选项 D错误. 【解答】 解: �� 为递增的等比数列, 由 �1�4 = 32, �2 + �3 = 12, 得 �2�3 = �1�4 = 32, �2 + �3 = 12, 解得 �2 = 4, �3 = 8 或 �2 = 8, �3 = 4, ∵ �� 为递增数列, ∴ �2 = 4,�3 = 8 ∴ � = �3�2 = 2, �1 = �2 � = 2,故选项 A正确; ∴ �� = 2�,�� = 2×(1−2�) 1−2 = 2 �+1 − 2, ∴ �8 = 29 − 2 = 510,�� + 2 = 2�+1, ∴数列 �� + 2 是等比数列,故选项 B、C正确; 又 lg �� = lg 2� = � ⋅ lg 2, ∴数列 lg �� 是公差为 lg 2 的等差数列,故选项 D错误. 故选:���. 11.设 2� − 1 7 = �0 + �1� + �2�2 +⋅⋅⋅+ �6�6 + �7�7,则下列结论正确的是( ) A. �2 + �5 = 588 B. �1 + �2 +⋅⋅⋅+ �7 = 1 第 6页,共 13页 C. �1 + �3 + �5 + �7 = 1+37 2 D. �1 + �2 +⋅⋅⋅+ �7 = 37 − 1 【答案】ACD 【解析】【分析】 本题考查二项式定理,属较难题. 利用赋值法取� = 0,1,−1,求得�0,和所有项的系数和及交替和,进而求得���中的 式子的值,进而判定,对于�,利用二项式定理求得�2, �5,然后计算并判定. 【解答】 解:(2� − 1)7的通项公式为:��+1 = ( − 1)��7�·27−�·�7−�,(� = 0,1,2, . . . , 7) ∴ �2 = ( − 1)5�75·22 =− 84,�5 = ( − 1)2�72·25 = 672, ∴ �2 + �5 = 588,故 A正确; 在(2� − 1)7 = �0 + �1� + �2�2 +⋅⋅⋅+ �6�6 + �7�7中, 取� = 0 得�0 =− 1①,取� = 1 得�0 + �1 + �2 +⋅⋅⋅+ �7 = 1②, 取� =− 1 得�0 − �1 + �2 −⋅⋅⋅+ �6 − �7 =− 37③, 由①②的�1 + �2 +⋅⋅⋅+ �7 = 2,故 B错误; 由②③得�1 + �3 + �5 + �7 = 1+37 2 ,故 C正确; 又∵当�为奇数时,7 − �为偶数,得到展开式中偶次项的系数为负值,当�为偶数时,7 − � 为奇数,得到展开式中的奇次幂的系数为正值,即�0, �2, �4, �6为负数,�1, �3, �5, �7为正 数, �0 − �1 + �2 −⋅⋅⋅+ �6 − �7 = �0 − (�1 − �2 +⋅⋅⋅− �6 + �7) =− 37, |�1| + |�2| +⋅⋅⋅+ |�7| = �1 − �2 + �3 − �4 + �5 − �6 + �7 = �0 + 37 = 37 − 1, 故 D正确; 故选 ACD. 三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分。 12.投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中 的概率为 4 5,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为__. (用分数表 示) 【答案】 112 125 【解析】【分析】 本题考查相互独立事件的概率乘法公式及�次独立重复试验中恰好发生�次的概率公式, 解答本题关键是判断出所研究的事件是那一种概率模型,属于基础题. 分类讨论,利用�次独立重复试验中恰好发生�次的概率公式,计算求得结果. 【解答】 解:投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试. 某同学每次投篮投中的概率为 4 5,且各次投篮是否投中相互独立, 第 7页,共 13页 则该同学通过测试的概率为: � = 45 3 + �32( 4 5 ) 2( 15 ) = 112 125. 故答案为: 112 125. 13.已知函数�(�) = − � 2 + 2ax − 2�, (� ≥ 1) ax + 1, (� < 1) 满足对任意�1 ≠ �2,都有 �(�1)−�(�2) �1−�2 < 0 成立,则实数�的取值范围是______. 【答案】[ − 2,0) 【解析】【分析】 本题考查了分段函数的应用,函数的单调性,是函数图象和性质的综合应用,难度中档. 由已知可得函数�(�)在�上为减函数,则分段函数的每一段均为减函数,且在分界点左 段函数不小于右段函数的值,进而得到实数�的取值范围. 【解答】 解:对任意�1 ≠ �2,都有 �(�1)−�(�2) �1−�2 < 0 成立,则函数�(�)在�上为减函数, ∵函数�(�) = − � 2 + 2�� − 2�, (� ≥ 1) �� + 1, (� < 1) 故 � < 0 − 2�−2 ≤ 1 −1 + 2� − 2� ≤ � + 1 , 解得:� ∈ [ − 2,0), 故答案为[ − 2,0). 14.针对“中学生追星问题”,某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关“作了一 次调查,其中女生人数是男生人数的 1 2,男生追星的人数占男生人数的 1 3,女生追星的人 数占女生人数的 2 3,若 根据� = 0.05 的独立性检验,认为中学生追星与性别有关,则男生至少有 人. 参考数据及公式如下: 附:�2 = �(��−��) 2 (�+�)(�+�)(�+�)(�+�),其中� = � + � + � + �, �(�2⩾3.841) ≈ 0.05 【答案】30 【解析】【分析】 本题考查了列联表与独立性检验的应用问题,也考查了运算求解能力,是中档题. 设男生人数为�,由题意得列联表,计算�2,对照临界值列出不等式,求出�的取值范围. 【解答】解:设男生人数为�,由题意得列联表如下; 第 8页,共 13页 喜欢追星 不喜欢追 星 合计 男生 1 3� 2 3� � 女生 1 3� 1 6� 1 2� 合计 2 3� 5 6� 3 2� 计算�2 = 3 2�⋅( 1 3�⋅ 1 6�− 2 3�⋅ 1 3�) 2 �⋅12�⋅ 2 3�⋅ 5 6� = 320 �⩾3.841, 解得�⩾ 20×3.8413 ≈ 26; 又� = 6�,� ∈ �,�⩾1, 所以���� = 30, 即根据� = 0.05 的独立性检验,认为中学生追星与性别有关,所以男生至少有 30 人. 故答案为:30. 四、解答题:本题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 在△ ���中,角�,�,�的对边分别为�,�,�,且(� + �)(���� − ����) = (� + �)����. (1)求角�的大小; (2)若点�是��的中点,且�� = 2,求△ ���的面积的 大值. 【答案】解:(1)由题意,可得(� + �) (� − �)  = (� + �) �, ∴ �2 + �2 − �2 =− ��, ∴ cos� =− 12,又� ∈ (0, �), ∴ � = 2�3. (2)�� = 12 (�� + �� ), �� 2 = 1 4 (�� 2 + �� 2 + 2�� ⋅ �� ) = 1 4 (�� 2 + ��2 − �� ⋅ ��) ≥ 1 4 (2�� ⋅ �� − �� ⋅ ��) 当且仅当�� = ��时等号成立, ∴ �� ⋅ �� ≤ 8, �△��� = 1 2 �� ⋅ �� ⋅ sin120 ∘ ≤ 12 × 8 × 3 2 = 2 3,故△ ���面积的 大值为 2 3 ⋅ 【解析】本题考查正弦定理和余弦定理的应用,考查三角形面积公式,求三角函数 值, 考查基本不等式求 值,是基础题 (1)利用正弦定理将边角关系统一,结合余弦定理求解; 首先利用正弦定理可得可得(� + �) (� − �)  = (� + �) �得出�2 + �2 − �2 =− ��,,然后 第 9页,共 13页 利用余弦定理可求解; (2)由题可得�� = 12 (�� + �� ),将其平分,再结合基本不等式解出�� ⋅ �� ≤ 8,当且 仅当�� = ��时等号成立,进而得出�△��� = 1 2 �� ⋅ �� ⋅ sin120 ∘ ≤ 12 × 8 × 3 2 = 2 3, 故△ ���面积的 大值为 2 3 ⋅ 16.(本小题 15 分) 已知{��}为等差数列,且�3 = 6,�6 = 0. (Ⅰ)求{��}的通项公式; (Ⅱ)若等比数列{��}满足�1 = 3,�2 = �4 + �5,求{��}的前�项和公式. 【答案】解:(Ⅰ) ∵ {��}为等差数列,且�3 = 6,�6 = 0,设公差为�, ∴ �3 = �1 + 2� = 6�6 = �1 + 5� = 0 , 解得� =− 2,�1 = 10, ∴ �� = 10 + (� − 1) × ( − 2) =− 2� + 12. (Ⅱ) ∵等比数列{��}满足�1 = 3,设公比为�, �2 = �4 + �5 = ( − 8 + 12) + ( − 10 + 12) = 6, ∴ � = �2�1 = 63 = 2, ∴ {��}的前�项和公式为:�� = 3(1−2�) 1−2 = 3 × 2 � − 3. 【解析】本题考查等差数列的通项公式和等比数列前�项和公式的求法,考查等差数列 的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. (Ⅰ)利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公差,由此能求出��. (Ⅱ)求出等比数列{��}的公比,由此能求出{��}的前�项和公式. 17.(本小题 15 分) 已知函数�(�) = 12 � 2 − 2� − 3���. (Ⅰ)求曲线� = �(�)在点(1, �(1))处的切线方程; (Ⅱ)求�(�)的单调区间. 【答案】解:由题意可知函数�(�)的定义域为(0, + ∞). (Ⅰ)因为�(�) = 12 � 2 − 2� − 3���, 所以�′(�) = � − 2 − 3�,�′(1) =− 4. 因为�(1) =− 32, 所以曲线� = �(�)在点(1, �(1))处的切线方程为 8� + 2� − 5 = 0. (Ⅱ) �(�)的定义域为(0, + ∞). 因为�′(�) = � − 2 − 3� = �2−2�−3 � = (�+1)(�−3) � , 由�′(�) = 0,得�1 =− 1,�2 = 3. 第 10页,共 13页 因为函数�(�)的定义域为(0, + ∞), 当�变化时,�′(�),�(�)的变化情况如下表: � (0,3) 3 (3, + ∞) �′(�) − 0 + �(�) 单调递减↘ 极小值 单调递增↗ 所以,�(�)的单调递增区间为(3, + ∞),�(�)的单调递减区间为(0,3). 【解析】本题主要考查了导数的几何意义及导数与单调性关系的简单应用,属于中档试 题. (Ⅰ)先对函数求导,然后结合导数的几何意义可求切线的斜率,进而可求切线方程; (Ⅱ)先对函数求导,然后结合导数与单调性的关系即可求解. 18.(本小题 17 分) 已知等腰直角△ �′��,�′� = �� = 4,�′� ⊥ ��,�,�分别为�′�,�′�的中点, 将△ �′��沿��折到△ ���的位置,�� = 2 2,取线段��的中点为�. (Ⅰ)求证:��//平面���; (Ⅱ)求平面���和平面���的夹角的余弦值. 【答案】解:(Ⅰ)证明:取��中点�,连接��,��, ∵ �为��的中点,则�� = ��,�� = ��,∴ ��//��,�� = 12 ��, 又∵ �,�分别为�′�,�′�的中点,则��//��,�� = 12��, ∴ �� = ��,��//��, ∴四边形����为平行四边形,则��//��. ∵ �� ⊄平面���,�� ⊂平面���, ∴ ��//平面���; (Ⅱ)由题知,�� = �� = 2,�� = 2 2, 所以��2 + ��2 = ��2,则�� ⊥ ��, ∵在△ �′��1中,�′� ⊥ ��,�,�分别为�′�,�′�的中点, ∴ �′� ⊥ ��,∴ �� ⊥ ��,�� ⊥ ��, ∴ ��,��,��两两互相垂直. 如图所示,以�为坐标原点,分别以��,��,��所在直线为�轴、�轴、的轴建立空间 直角坐标系�−���, 第 11页,共 13页 则�(2,0,0),�(0,2,0),�(0,0,2),�(2,4,0),�(1,2,1), �� = (1,0,1),�� = (2, − 2,0),�� = (2,2,0), 设平面���,平面���的法向量分别为� = (�1, �1, �1),� = (�2, �2, �2), 则 � ⋅ �� = �1 + �1 = 0 � ⋅ �� = 2�1 − 2�1 = 0 ,取�1 = 1,可得� = (1,1, − 1); � ⋅ �� = �2 + �2 = 0 � ⋅ �� = 2�2 + 2�2 = 0 ,取�2 =− 1,得� = (1, − 1, − 1). ∴ cos < � , � >= � ⋅�|� |⋅|� | = 1−1+1 3× 3 = 1 3, ∴平面���和平面���的夹角的余弦值为13. 【解析】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用 空间向量求解二面角的平面角,属于中档题. (Ⅰ)取��中点�,连接��,��,易知�� = ��,��//��,即四边形����为平行四边形, 则��//��,再由线面平行的判定可得��//平面���; (Ⅱ)由已知可得��,��,��两两互相垂直,分别以��,��,��为�,�,�轴建立空间 直角坐标系� − ���,分别求出平面���与平面���的法向量,由两法向量所成角的余 弦值可得二面角� − �� − �的平面角的余弦值. 19.(本小题 17 分) 在平面直角坐标系���中,已知椭圆�: � 2 �2 + �2 �2 = 1 � > � > 0 的离心率为 2 2 且短轴长为 2. (1)求椭圆�的标准方程; (2)若直线�与椭圆�交于�,�两点,� 0,1 ,直线��与直线��的斜率之积为16,证明直 线�过定点并求出该定点坐标. 第 12页,共 13页 【答案】解:(1)因为椭圆�: � 2 �2 + �2 �2 = 1(� > � > 0)的离心率为 2 2 且短轴长为 2, 所以 � � = 2 2 2� = 2 �2 = �2 + �2 ,解得 � = 2 � = 1 � = 1 , 因此椭圆�的标准方程为� 2 2 + � 2 = 1. (2)假设直线�的斜率不存在. 设�(�, �),则 1 − �2 = � 2 2. 因为直线�与椭圆�交于�,�两点,所以�(�, − �),而�(0,1), 因此��� ⋅ ��� = �−1 � × −�−1 � = 1−�2 �2 = 1 2� 2 �2 = 1 2,与题设矛盾, 所以直线�的斜率必存在. 设直线�: � = �� + �,�(�1, �1),�(�2, �2), 由 � = �� + � �2 2 + � 2 = 1 得(2�2 + 1)�2 + 4��� + 2�2 − 2 = 0, 而直线�与椭圆�交于�,�两点, 因此� = 4�� 2 − 8 2�2 + 1 �2 − 1 = 8(2�2 − �2 + 1) > 0, 且�1 + �2 =− 4�� 2�2+1,�1�2 = 2�2−2 2�2+1. 因为��� ⋅ ��� = �1−1 �1 ⋅ �2−1�2 = �1�2−(�1+�2)+1�1�2 = �2�1�2 + �(�− 1)(�1 + �2) + (�− 1)2 �1�2 = �2· 2� 2 − 2 2�2 + 1 − � �−1 · 4�� 2�2 + 1 + (�− 1) 2 2�2 − 2 2�2 + 1 = 2�2 �2 − 1 − 4��2 �− 1 + (�− 1)2 2�2 + 1 2�2 − 2 = �−1 2 2�2−2, 而直线��与直线��的斜率之积为16, 所以 �−1 2 2�2−2 = 1 6且� 2 − 1 ≠ 0,即�2 − 3� + 2 = 0, 解得� = 2 或� = 1(舍去), 因此直线�的方程为� = �� + 2,即直线�恒过定点 0,2 . 【解析】本题考查了直线的倾斜角与斜率,椭圆的概念及标准方程,椭圆的性质及几何 意义,直线与椭圆的位置关系,直线系方程及其应用和圆锥曲线中的定点问题,属于较 难题. (1)利用椭圆�的标准方程,结合椭圆�的离心率和短轴长得 � � = 2 2 2� = 2 �2 = �2 + �2 , 后计算得 第 13页,共 13页 结论; (2)当直线�的斜率不存在时,设�(�, �)得�(�, − �),再利用过两点直线的斜率得��� ⋅ ��� = 1 2,与题设矛盾,从而得直线�的斜率必存在,设直线�: � = �� + �,�(�1, �1), �(�2, �2),把直线�方程代入椭圆�方程,再利用过两点直线的斜率得��� ⋅ ��� = �−1 2 2�2−2, 结合题目条件得 �−1 2 2�2−2 = 1 6,计算得� = 2,从而得直线�的方程为� = �� + 2,再利用直 线系方程得结论.

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