内容正文:
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淮南五中高三开学考质量检测
数学试题卷
考试时间:120 分钟;满分:150 分 命题人:徐王军 审题人:卢培梅
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上.
写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将答题卡交回.
第 I卷(选择题)
一、单选题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.复数�在复平面内对应的点为( − 2,1),则|� + 3�| =( )
A. 8 B. 4 C. 2 2 D. 2
2.已知集合� = {�| 12 < 2
� < 32},� = {�| � < 2},则� ∪ � =( )
A. −2,1 B. −1,2 C. ⌀ D. −2,5
3.函数�(�)是定义在�上的奇函数,当� > 0 时�(�) = �2 + 1,则�(0) + �( − 1) =( )
A. 3 B. −1 C. 2 D. −2
4.已知向量� = (2, − 1),� = (�, 2).若� //� ,则� =( )
A. −1 B. 1 C. −4 D. 4
5.设双曲线�
2
�2 −
�2
�2 = 1 � > 0, � > 0 的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程为( )
A. � =± 2� B. � =± 2� C. � =± 12 � D. � =±
2
2 �
6.已知 sin(� + �) = 2cos(� − �),tan� + tan� = 43,则 tan� ⋅ tan� =( )
A. 3 B. −3 C. 13 D. −
1
3
7.如图,准备用 4 种不同的颜色给�、�、�、�、�五块区域涂色,要求每个区域随机用一种颜色涂色,且
相邻区域(有公共边的)所涂颜色不能相同,则不同涂色方法的种数共有( )
A. 96 B. 114 C. 168 D. 240
8.已知点�(2,1)在直线�� + �� − 1 = 0 � > 0, � > 0 上,若存在满足该条件的�,�使得不等式1� +
2
� ≤ �
2 +
2�成立,则实数�的取值范围是( )
A. ( −∞, − 4]⋃[2, + ∞) B. ( − ∞, − 2]⋃[4, + ∞)
C. ( − ∞, − 6]⋃[4, + ∞) D. ( −∞, − 4]⋃[6, + ∞)
二、多选题:本题共 3小题,共 18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.在����中,角�,�,�的对边分别为�,�,�,下列结论中正确的选项有( )
A.若� > �,则���� > ����
B. � = 2 3,� = 2,� = 2�3,则� = 4
C.若����� − ����� = �,则△ ���定为直角三角形
D.若� = �3 , � = 2 且该三角形有两解,则�的取值范围是( 3, 2)
10.在递增的等比数列 �� 中,已知公比为�,��是其前�项和,若�1�4 = 32,�2 + �3 = 12,则下列说法正
确的是( )
A. � = 2 B.数列 �� + 2 是等比数列
C. �8 = 510 D.数列 lg �� 是公差为 2 的等差数列
11.设 2� − 1 7 = �0 + �1� + �2�2 +⋅⋅⋅+ �6�6 + �7�7,则下列结论正确的是( )
A. �2 + �5 = 588 B. �1 + �2 +⋅⋅⋅+ �7 = 1
C. �1 + �3 + �5 + �7 =
1+37
2 D. �1 + �2 +⋅⋅⋅+ �7 = 3
7 − 1
第 II卷(非选择题)
三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分。
12.投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为45,且各次
投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 . (用分数表示)
13.已知函数�(�) = − �
2 + 2ax − 2�, (� ≥ 1)
ax + 1, (� < 1) 满足对任意�1 ≠ �2,都有
�(�1)−�(�2)
�1−�2
< 0 成立,则实数�的取
值范围是______.
14.针对“中学生追星问题”,某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关“作了一次调查,其中女生人
数是男生人数的
1
2,男生追星的人数占男生人数的
1
3,女生追星的人数占女生人数的
2
3,若
根据� = 0.05 的独立性检验,认为中学生追星与性别有关,则男生至少有 人.
参考数据及公式如下:
附:�2 = �(��−��)
2
(�+�)(�+�)(�+�)(�+�),其中� = � + � + � + �,
�(�2⩾3.841) ≈ 0.05
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四、解答题:本题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ ���中,角�,�,�的对边分别为�,�,�,且(� + �)(���� − ����) = (� + �)����.
(1)求角�的大小;
(2)若点�是��的中点,且�� = 2,求△ ���的面积的最大值.
16.(本小题 15 分)
已知{��}为等差数列,且�3 = 6,�6 = 0.
(Ⅰ)求{��}的通项公式;
(Ⅱ)若等比数列{��}满足�1 = 3,�2 = �4 + �5,求{��}的前�项和公式.
17.(本小题 15 分)
已知函数�(�) = 12 �
2 − 2� − 3���.
(Ⅰ)求曲线� = �(�)在点(1, �(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求�(�)的单调区间.
18.(本小题 17 分)
已知等腰直角△ �′��,�′� = �� = 4,�′� ⊥ ��,�,�分别为�′�,�′�的中点,将△ �′��沿��
折到△ ���的位置,�� = 2 2,取线段��的中点为�.
(Ⅰ)求证:��//平面���;
(Ⅱ)求平面���和平面���的夹角的余弦值.
19.(本小题 17 分)
在平面直角坐标系���中,已知椭圆�: �
2
�2 +
�2
�2 = 1 � > � > 0 的离心率为
2
2 且短轴长为 2.
(1)求椭圆�的标准方程;
(2)若直线�与椭圆�交于�,�两点,� 0,1 ,直线��与直线��的斜率之积为16,证明直线�过定点并求出该
定点坐标.
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淮南五中高三开学考质量检测数学试题卷答案
一、单选题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题给出的选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.复数�在复平面内对应的点为( − 2,1),则|� + 3�| =( )
A. 8 B. 4 C. 2 2 D. 2
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查共轭复数的概念,复数的模,考查复数的代数表示及其几何意义,属基础题.
根据复数的几何意义可得� =− 2 − �,再根据复数的基本运算法则化简,然后结合模长
公式即可求解.
【解答】
解:由已知得� =− 2 + �,所以� =− 2 − �,
所以|� + 3�| = | − 2 + 2�| = ( − 2)2 + 22 = 2 2.
故选 C.
2.已知集合� = {�| 12 < 2
� < 32},� = {�| � < 2},则� ∪ � =( )
A. −2,1 B. −1,2 C. ⌀ D. −2,5
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了并集及其运算,属于基础题.
首先求出集合�、�,根据并集的运算即可得答案.
【解答】
解:集合� = {�| 12 < 2
� < 32} = {�| − 1 < � < 5},
� = {�| � < 2} = {�| − 2 < � < 2},
则� ∪ � = −2,5 ,
故选 D.
3.函数�(�)是定义在�上的奇函数,当� > 0 时�(�) = �2 + 1,则�(0) + �( − 1) =( )
A. 3 B. −1 C. 2 D. −2
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查奇函数的奇偶性,函数值的求法,属于基础题.
直接由奇函数的性质由�( − 1) =− �(1),�(0) = 0 可求值.
【解答】
解:∵函数�(�)是定义在�上的奇函数,则�(0) = 0,
又当� > 0 时,�(�) = �2 + 1,
∴ �( − 1) =− �(1) =− (12 + 1) =− 2.
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则�(0) + �( − 1) =− 2.
故选 D.
4.已知向量� = (2, − 1),� = (�, 2).若� //� ,则� =( )
A. −1 B. 1 C. −4 D. 4
【答案】C
【解析】解:∵ � //� ;
∴ 4 + � = 0;
∴ � =− 4.
故选:�.
根据� //� 即可得出 2 ⋅ 2 − ( − 1) ⋅ � = 0,解出�即可.
考查向量坐标的概念,平行向量的坐标关系.
5.设双曲线�
2
�2 −
�2
�2 = 1 � > 0, � > 0 的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方
程为( )
A. � =± 2� B. � =± 2� C. � =± 12 � D. � =±
2
2 �
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的求法,考查运算能力,属于基础题.
由题意可得�,�,由双曲线的�,�,�的关系可得�,再由双曲线的渐近线方程,即可得
到.
【解答】解:
由题意可得,双曲线的� = 1,� = 3,
则� = �2 − �2 = 2,
则双曲线的渐近线方程为� =± �� �,
即为� =± 22 �.
故选 D.
6.已知 sin(� + �) = 2cos(� − �),tan� + tan� = 43,则 tan� ⋅ tan� =( )
A. 3 B. −3 C. 13 D. −
1
3
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了两角和与差的三角函数公式,同角三角函数的基本关系,属于基础题.
根据两角和与差的三角函数公式将已知式子展开,再根据同角三角函数的基本关系化简,
即可求解.
【解答】
解:∵ sin(� + �) = 2cos(� − �),
∴ sin�cos� + cos�sin� = 2cos�cos� + 2sin�sin�,
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等号两边同时除以 cos�cos�,
得到 tan� + tan� = 2 + 2tan�tan�,
即 tan�tan� = tan�+tan�2 − 1 =−
1
3,
故选 D.
7.如图,准备用 4 种不同的颜色给�、�、�、�、�五块区域涂色,要求每个区域随机用
一种颜色涂色,且相邻区域(有公共边的)所涂颜色不能相同,则不同涂色方法的种数共
有( )
A. 96 B. 114 C. 168 D. 240
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查两个计数原理的综合应用,属于中档题.
由题意,可分四步进行涂色,分别考虑�、�、�和 后的�、�区域,依据题设条件注意
相邻区域所涂颜色不能相同,分别得到各个区域涂色方法,综合可得答案.
【解答】
根据题意,涂色分 4 步进行分析:
对于�区域,有 4 种颜色可选,即有 4 种情况,
对于�区域,与�区域相邻,有 3 种情况,
对于�区域,与�、�区域相邻,有 2 种情况,
对于�、�区域,分 2 种情况讨论:
若�区域与�区域涂色的颜色相同,则�区域有 3 种颜色可选,即有 3 种情况,
此时�、�区域有 1 × 3 = 3 种情况;
若�区域与�区域所涂的颜色不相同,则�区域有 2 种情况,�区域有 2 种情况,
此时�、�区域有 2 × 2 = 4 种情况,则�、�区域共有 3 + 4 = 7 种情况,
则不同涂色的方案种数共有 4 × 3 × 2 × 7 = 168 种.
故选 C.
8.已知点�(2,1)在直线�� + �� − 1 = 0 � > 0, � > 0 上,若存在满足该条件的�,�使得
不等式
1
� +
2
� ≤ �
2 + 2�成立,则实数�的取值范围是( )
A. ( −∞, − 4]⋃[2, + ∞) B. ( − ∞, − 2]⋃[4, + ∞)
C. ( − ∞, − 6]⋃[4, + ∞) D. ( −∞, − 4]⋃[6, + ∞)
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查存在性问题及利用基本不等式求 值是解题的关键.
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根据题意得 2� + � = 1,利用基本不等式求出1� +
2
�的 小值,则�
2 + 2� ≥ ( 1� +
2
� )���,
解之即可.
【解答】
解:因为点�(2,1)在直线�� + �� − 1 = 0(� > 0, � > 0)上,
所以 2� + � = 1,
又� > 0,� > 0,
所以
1
� +
2
� = 2� + �
1
� +
2
�
= �� +
4�
� + 4 ≥ 2
�
� ×
4�
� + 4 = 8,
当且仅当
�
� =
4�
�,即� =
1
4,� =
1
2时等号成立,
所以�2 + 2� ≥ 8 ⇒ � ≤− 4 或� ≥ 2.
故选 A.
二、多选题:本题共 3小题,共 18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.在����中,角�,�,�的对边分别为�,�,�,下列结论中正确的选项有( )
A.若� > �,则���� > ����
B. � = 2 3,� = 2,� = 2�3,则� = 4
C.若����� − ����� = �,则△ ���定为直角三角形
D.若� = �3 , � = 2 且该三角形有两解,则�的取值范围是( 3, 2)
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查正弦定理,余弦定理及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
根据正余弦定理和三角形内角和判断各选项即可.
【解答】
解:对于�:在△ ���中,由� > �,则� > �,
而���� = �2� , ���� =
�
2�,�为外接圆半径,即���� > ����,故 A正确;
对于�:∵在△ ���中, �sin� =
�
sin�,即
2 3
��� 2�3
= 2����,
∴ sin� = 12,
又∵ 0 < � < �3,
∴ � = �6,� =
�
6,
∴ � = � = 2,
故 B错误;
对于�,����� − ����� = �,
由余弦定理可得:� × �
2+�2−�2
2�� − � ×
�2+�2−�2
2�� = �,
化简可得:�² = �² + �²,
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所以△ ���为直角三角形,故 C正确;
对于�:在△ ���中,
因为三角形有两解,
即�·���� < � < �,
所以 3 < � < 2,故 D正确.
故选 ACD.
10.在递增的等比数列 �� 中,已知公比为�,��是其前�项和,若�1�4 = 32,�2 + �3 = 12,
则下列说法正确的是( )
A. � = 2
B.数列 �� + 2 是等比数列
C. �8 = 510
D.数列 lg �� 是公差为 2 的等差数列
【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的求和,等差数列的判定与证明,等比数列的判定与证明,属于中
档题.
计算可得� = 2,故选项 A正确;�8 = 510,�� + 2 = 2�+1,所以数列 �� + 2 是等比数
列,故选项 B,C正确;lg �� = � ⋅ lg 2,所以数列 lg �� 是公差为 lg 2 的等差数列,故
选项 D错误.
【解答】
解: �� 为递增的等比数列,
由
�1�4 = 32,
�2 + �3 = 12,
得
�2�3 = �1�4 = 32,
�2 + �3 = 12,
解得
�2 = 4,
�3 = 8
或
�2 = 8,
�3 = 4,
∵ �� 为递增数列,
∴ �2 = 4,�3 = 8
∴ � = �3�2
= 2, �1 =
�2
� = 2,故选项 A正确;
∴ �� = 2�,�� =
2×(1−2�)
1−2 = 2
�+1 − 2,
∴ �8 = 29 − 2 = 510,�� + 2 = 2�+1,
∴数列 �� + 2 是等比数列,故选项 B、C正确;
又 lg �� = lg 2� = � ⋅ lg 2,
∴数列 lg �� 是公差为 lg 2 的等差数列,故选项 D错误.
故选:���.
11.设 2� − 1 7 = �0 + �1� + �2�2 +⋅⋅⋅+ �6�6 + �7�7,则下列结论正确的是( )
A. �2 + �5 = 588
B. �1 + �2 +⋅⋅⋅+ �7 = 1
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C. �1 + �3 + �5 + �7 =
1+37
2
D. �1 + �2 +⋅⋅⋅+ �7 = 37 − 1
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查二项式定理,属较难题.
利用赋值法取� = 0,1,−1,求得�0,和所有项的系数和及交替和,进而求得���中的
式子的值,进而判定,对于�,利用二项式定理求得�2, �5,然后计算并判定.
【解答】
解:(2� − 1)7的通项公式为:��+1 = ( − 1)��7�·27−�·�7−�,(� = 0,1,2, . . . , 7)
∴ �2 = ( − 1)5�75·22 =− 84,�5 = ( − 1)2�72·25 = 672,
∴ �2 + �5 = 588,故 A正确;
在(2� − 1)7 = �0 + �1� + �2�2 +⋅⋅⋅+ �6�6 + �7�7中,
取� = 0 得�0 =− 1①,取� = 1 得�0 + �1 + �2 +⋅⋅⋅+ �7 = 1②,
取� =− 1 得�0 − �1 + �2 −⋅⋅⋅+ �6 − �7 =− 37③,
由①②的�1 + �2 +⋅⋅⋅+ �7 = 2,故 B错误;
由②③得�1 + �3 + �5 + �7 =
1+37
2 ,故 C正确;
又∵当�为奇数时,7 − �为偶数,得到展开式中偶次项的系数为负值,当�为偶数时,7 − �
为奇数,得到展开式中的奇次幂的系数为正值,即�0, �2, �4, �6为负数,�1, �3, �5, �7为正
数,
�0 − �1 + �2 −⋅⋅⋅+ �6 − �7 = �0 − (�1 − �2 +⋅⋅⋅− �6 + �7) =− 37,
|�1| + |�2| +⋅⋅⋅+ |�7| = �1 − �2 + �3 − �4 + �5 − �6 + �7 = �0 + 37 = 37 − 1,
故 D正确;
故选 ACD.
三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分。
12.投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中
的概率为
4
5,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为__. (用分数表
示)
【答案】
112
125
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件的概率乘法公式及�次独立重复试验中恰好发生�次的概率公式,
解答本题关键是判断出所研究的事件是那一种概率模型,属于基础题.
分类讨论,利用�次独立重复试验中恰好发生�次的概率公式,计算求得结果.
【解答】
解:投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.
某同学每次投篮投中的概率为
4
5,且各次投篮是否投中相互独立,
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则该同学通过测试的概率为:
� = 45
3
+ �32(
4
5 )
2( 15 ) =
112
125.
故答案为:
112
125.
13.已知函数�(�) = − �
2 + 2ax − 2�, (� ≥ 1)
ax + 1, (� < 1) 满足对任意�1 ≠ �2,都有
�(�1)−�(�2)
�1−�2
< 0
成立,则实数�的取值范围是______.
【答案】[ − 2,0)
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的应用,函数的单调性,是函数图象和性质的综合应用,难度中档.
由已知可得函数�(�)在�上为减函数,则分段函数的每一段均为减函数,且在分界点左
段函数不小于右段函数的值,进而得到实数�的取值范围.
【解答】
解:对任意�1 ≠ �2,都有
�(�1)−�(�2)
�1−�2
< 0 成立,则函数�(�)在�上为减函数,
∵函数�(�) = − �
2 + 2�� − 2�, (� ≥ 1)
�� + 1, (� < 1)
故
� < 0
− 2�−2 ≤ 1
−1 + 2� − 2� ≤ � + 1
,
解得:� ∈ [ − 2,0),
故答案为[ − 2,0).
14.针对“中学生追星问题”,某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关“作了一
次调查,其中女生人数是男生人数的
1
2,男生追星的人数占男生人数的
1
3,女生追星的人
数占女生人数的
2
3,若
根据� = 0.05 的独立性检验,认为中学生追星与性别有关,则男生至少有 人.
参考数据及公式如下:
附:�2 = �(��−��)
2
(�+�)(�+�)(�+�)(�+�),其中� = � + � + � + �,
�(�2⩾3.841) ≈ 0.05
【答案】30
【解析】【分析】
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题,也考查了运算求解能力,是中档题.
设男生人数为�,由题意得列联表,计算�2,对照临界值列出不等式,求出�的取值范围.
【解答】解:设男生人数为�,由题意得列联表如下;
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喜欢追星
不喜欢追
星
合计
男生
1
3�
2
3�
�
女生
1
3�
1
6�
1
2�
合计
2
3�
5
6�
3
2�
计算�2 =
3
2�⋅(
1
3�⋅
1
6�−
2
3�⋅
1
3�)
2
�⋅12�⋅
2
3�⋅
5
6�
= 320 �⩾3.841,
解得�⩾ 20×3.8413 ≈ 26;
又� = 6�,� ∈ �,�⩾1,
所以���� = 30,
即根据� = 0.05 的独立性检验,认为中学生追星与性别有关,所以男生至少有 30 人.
故答案为:30.
四、解答题:本题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ ���中,角�,�,�的对边分别为�,�,�,且(� + �)(���� − ����) = (� + �)����.
(1)求角�的大小;
(2)若点�是��的中点,且�� = 2,求△ ���的面积的 大值.
【答案】解:(1)由题意,可得(� + �) (� − �) = (� + �) �,
∴ �2 + �2 − �2 =− ��,
∴ cos� =− 12,又� ∈ (0, �),
∴ � = 2�3.
(2)�� = 12 (��
+ �� ),
��
2
=
1
4 (��
2 + ��
2
+ 2�� ⋅ �� )
=
1
4 (��
2 + ��2 − �� ⋅ ��)
≥
1
4 (2�� ⋅ �� − �� ⋅ ��)
当且仅当�� = ��时等号成立,
∴ �� ⋅ �� ≤ 8,
�△��� =
1
2 �� ⋅ �� ⋅ sin120
∘ ≤ 12 × 8 ×
3
2 = 2 3,故△ ���面积的 大值为 2 3 ⋅
【解析】本题考查正弦定理和余弦定理的应用,考查三角形面积公式,求三角函数 值,
考查基本不等式求 值,是基础题
(1)利用正弦定理将边角关系统一,结合余弦定理求解;
首先利用正弦定理可得可得(� + �) (� − �) = (� + �) �得出�2 + �2 − �2 =− ��,,然后
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利用余弦定理可求解;
(2)由题可得�� = 12 (��
+ �� ),将其平分,再结合基本不等式解出�� ⋅ �� ≤ 8,当且
仅当�� = ��时等号成立,进而得出�△��� =
1
2 �� ⋅ �� ⋅ sin120
∘ ≤ 12 × 8 ×
3
2 = 2 3,
故△ ���面积的 大值为 2 3 ⋅
16.(本小题 15 分)
已知{��}为等差数列,且�3 = 6,�6 = 0.
(Ⅰ)求{��}的通项公式;
(Ⅱ)若等比数列{��}满足�1 = 3,�2 = �4 + �5,求{��}的前�项和公式.
【答案】解:(Ⅰ) ∵ {��}为等差数列,且�3 = 6,�6 = 0,设公差为�,
∴ �3 = �1 + 2� = 6�6 = �1 + 5� = 0
,
解得� =− 2,�1 = 10,
∴ �� = 10 + (� − 1) × ( − 2) =− 2� + 12.
(Ⅱ) ∵等比数列{��}满足�1 = 3,设公比为�,
�2 = �4 + �5 = ( − 8 + 12) + ( − 10 + 12) = 6,
∴ � = �2�1
= 63 = 2,
∴ {��}的前�项和公式为:�� =
3(1−2�)
1−2 = 3 × 2
� − 3.
【解析】本题考查等差数列的通项公式和等比数列前�项和公式的求法,考查等差数列
的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
(Ⅰ)利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公差,由此能求出��.
(Ⅱ)求出等比数列{��}的公比,由此能求出{��}的前�项和公式.
17.(本小题 15 分)
已知函数�(�) = 12 �
2 − 2� − 3���.
(Ⅰ)求曲线� = �(�)在点(1, �(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求�(�)的单调区间.
【答案】解:由题意可知函数�(�)的定义域为(0, + ∞).
(Ⅰ)因为�(�) = 12 �
2 − 2� − 3���,
所以�′(�) = � − 2 − 3�,�′(1) =− 4.
因为�(1) =− 32,
所以曲线� = �(�)在点(1, �(1))处的切线方程为 8� + 2� − 5 = 0.
(Ⅱ) �(�)的定义域为(0, + ∞).
因为�′(�) = � − 2 − 3� =
�2−2�−3
� =
(�+1)(�−3)
� ,
由�′(�) = 0,得�1 =− 1,�2 = 3.
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因为函数�(�)的定义域为(0, + ∞),
当�变化时,�′(�),�(�)的变化情况如下表:
� (0,3) 3 (3, + ∞)
�′(�) − 0 +
�(�) 单调递减↘ 极小值 单调递增↗
所以,�(�)的单调递增区间为(3, + ∞),�(�)的单调递减区间为(0,3).
【解析】本题主要考查了导数的几何意义及导数与单调性关系的简单应用,属于中档试
题.
(Ⅰ)先对函数求导,然后结合导数的几何意义可求切线的斜率,进而可求切线方程;
(Ⅱ)先对函数求导,然后结合导数与单调性的关系即可求解.
18.(本小题 17 分)
已知等腰直角△ �′��,�′� = �� = 4,�′� ⊥ ��,�,�分别为�′�,�′�的中点,
将△ �′��沿��折到△ ���的位置,�� = 2 2,取线段��的中点为�.
(Ⅰ)求证:��//平面���;
(Ⅱ)求平面���和平面���的夹角的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)证明:取��中点�,连接��,��,
∵ �为��的中点,则�� = ��,�� = ��,∴ ��//��,�� = 12 ��,
又∵ �,�分别为�′�,�′�的中点,则��//��,�� = 12��,
∴ �� = ��,��//��,
∴四边形����为平行四边形,则��//��.
∵ �� ⊄平面���,�� ⊂平面���,
∴ ��//平面���;
(Ⅱ)由题知,�� = �� = 2,�� = 2 2,
所以��2 + ��2 = ��2,则�� ⊥ ��,
∵在△ �′��1中,�′� ⊥ ��,�,�分别为�′�,�′�的中点,
∴ �′� ⊥ ��,∴ �� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
∴ ��,��,��两两互相垂直.
如图所示,以�为坐标原点,分别以��,��,��所在直线为�轴、�轴、的轴建立空间
直角坐标系�−���,
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则�(2,0,0),�(0,2,0),�(0,0,2),�(2,4,0),�(1,2,1),
�� = (1,0,1),�� = (2, − 2,0),�� = (2,2,0),
设平面���,平面���的法向量分别为� = (�1, �1, �1),� = (�2, �2, �2),
则
� ⋅ �� = �1 + �1 = 0
� ⋅ �� = 2�1 − 2�1 = 0
,取�1 = 1,可得� = (1,1, − 1);
� ⋅ �� = �2 + �2 = 0
� ⋅ �� = 2�2 + 2�2 = 0
,取�2 =− 1,得� = (1, − 1, − 1).
∴ cos < � , � >= � ⋅� |� |⋅|� | =
1−1+1
3× 3 =
1
3,
∴平面���和平面���的夹角的余弦值为13.
【解析】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用
空间向量求解二面角的平面角,属于中档题.
(Ⅰ)取��中点�,连接��,��,易知�� = ��,��//��,即四边形����为平行四边形,
则��//��,再由线面平行的判定可得��//平面���;
(Ⅱ)由已知可得��,��,��两两互相垂直,分别以��,��,��为�,�,�轴建立空间
直角坐标系� − ���,分别求出平面���与平面���的法向量,由两法向量所成角的余
弦值可得二面角� − �� − �的平面角的余弦值.
19.(本小题 17 分)
在平面直角坐标系���中,已知椭圆�: �
2
�2 +
�2
�2 = 1 � > � > 0 的离心率为
2
2 且短轴长为
2.
(1)求椭圆�的标准方程;
(2)若直线�与椭圆�交于�,�两点,� 0,1 ,直线��与直线��的斜率之积为16,证明直
线�过定点并求出该定点坐标.
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【答案】解:(1)因为椭圆�: �
2
�2 +
�2
�2 = 1(� > � > 0)的离心率为
2
2 且短轴长为 2,
所以
�
� =
2
2
2� = 2
�2 = �2 + �2
,解得
� = 2
� = 1
� = 1
,
因此椭圆�的标准方程为�
2
2 + �
2 = 1.
(2)假设直线�的斜率不存在.
设�(�, �),则 1 − �2 = �
2
2.
因为直线�与椭圆�交于�,�两点,所以�(�, − �),而�(0,1),
因此��� ⋅ ��� =
�−1
� ×
−�−1
� =
1−�2
�2 =
1
2�
2
�2 =
1
2,与题设矛盾,
所以直线�的斜率必存在.
设直线�: � = �� + �,�(�1, �1),�(�2, �2),
由
� = �� + �
�2
2 + �
2 = 1
得(2�2 + 1)�2 + 4��� + 2�2 − 2 = 0,
而直线�与椭圆�交于�,�两点,
因此� = 4�� 2 − 8 2�2 + 1 �2 − 1 = 8(2�2 − �2 + 1) > 0,
且�1 + �2 =−
4��
2�2+1,�1�2 =
2�2−2
2�2+1.
因为��� ⋅ ��� =
�1−1
�1
⋅ �2−1�2
= �1�2−(�1+�2)+1�1�2
=
�2�1�2 + �(�− 1)(�1 + �2) + (�− 1)2
�1�2
=
�2· 2�
2 − 2
2�2 + 1 − � �−1 ·
4��
2�2 + 1 + (�− 1)
2
2�2 − 2
2�2 + 1
=
2�2 �2 − 1 − 4��2 �− 1 + (�− 1)2 2�2 + 1
2�2 − 2
= �−1
2
2�2−2,
而直线��与直线��的斜率之积为16,
所以
�−1 2
2�2−2 =
1
6且�
2 − 1 ≠ 0,即�2 − 3� + 2 = 0,
解得� = 2 或� = 1(舍去),
因此直线�的方程为� = �� + 2,即直线�恒过定点 0,2 .
【解析】本题考查了直线的倾斜角与斜率,椭圆的概念及标准方程,椭圆的性质及几何
意义,直线与椭圆的位置关系,直线系方程及其应用和圆锥曲线中的定点问题,属于较
难题.
(1)利用椭圆�的标准方程,结合椭圆�的离心率和短轴长得
�
� =
2
2
2� = 2
�2 = �2 + �2
, 后计算得
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结论;
(2)当直线�的斜率不存在时,设�(�, �)得�(�, − �),再利用过两点直线的斜率得��� ⋅
��� =
1
2,与题设矛盾,从而得直线�的斜率必存在,设直线�: � = �� + �,�(�1, �1),
�(�2, �2),把直线�方程代入椭圆�方程,再利用过两点直线的斜率得��� ⋅ ��� =
�−1 2
2�2−2,
结合题目条件得
�−1 2
2�2−2 =
1
6,计算得� = 2,从而得直线�的方程为� = �� + 2,再利用直
线系方程得结论.