精品解析：山东省聊城市莘县四校联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年九年级上学期 期中水平调研数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．每小题的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，、分别是的、上的点，则下列条件不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在等腰三角形中，，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，的面积为42，则四边形DBCE的面积是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 3. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( ) A. （）3 B. （）7 C. （）6 D. （）6 4. 如图，在Rt中，，延长到，使，连接，则（ ） A. B. C. D. 5. 下图1是某地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4） A. 2.6m B. 2.8m C. 3.4m D. 4.5m 7. 如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线为10，轮子的吃水深度为3，则该桨轮船的轮子半径为（ ） A. B. C. D. 6 8. 如图，四边形内接于，连接，，，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（ ）cm A. 1，2 B. 1， C. 2， D. 2，2 10. 如图，切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，，若内接正方形的边长是x，则h、c、x的数量关系为（ ） A. B. C. D. 12. 在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 如图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足∠ACD=∠ABC，若 AC=2，AD=1，则 DB=________． 14. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 15. 如图，在中，，，，则边的长为______． 16. 如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，，从测得船在北偏东45°的方向，从测得船在北偏东的方向，则船离海岸线的距离（即的长）为_____． 17. 如图，是的切线，切点分别是点A和B，是的直径．若，则的长为______． 18. 如图，点I为的内心，连接并延长，交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为___． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 求下列各式的值： （1）． （2）． （3）． 20. 如图，在中，，，；求的长． 21. 如图，在中，D是边上一点，且满足，． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 23. 如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)． (1)求教学楼AB的高度； (2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)． (参考数据：sin22º≈，cos22º≈，tan22º≈) 24. 如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC于E． （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）若ED，AB的延长线相交于F，且AE＝5，EF＝12，求⊙O的半径． 25. 根据素材解决问题： 设计货船通过拱桥的方案 素材1 左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离． 素材2 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径； 任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级上学期 期中水平调研数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．每小题的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，、分别是的、上的点，则下列条件不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故该选项正确，符合题意； B．∵， ∴，故该选项正确，符合题意； C．∵条件，，不能判定与相似， 故该选项不正确，不符合题意； D．∵， ∴，故该选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 2. 如图，在等腰三角形中，，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，的面积为42，则四边形DBCE的面积是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】利用得到，所以则，解得，从而得到，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积． 【详解】如图， 根据题意得， ∴ 设，则， ∴，解得， ∴， ∴四边形DBCE的面积． 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质． 3. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( ) A. （）3 B. （）7 C. （）6 D. （）6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，确定与△AOB位似的三角形为△GOH，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30° ∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°， ∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上， ∴与△AOB位似的三角形为△GOH， 设OA=x， 则OB=， ∴OC=， ∴OD=， … ∴OG=， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键． 4. 如图，在Rt中，，延长到，使，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型．设，则，根据计算即可． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 故选：A 5. 下图1是某地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图所示过作于，过作于， 则 中，， ∴， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：D． 6. 如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4） A. 2.6m B. 2.8m C. 3.4m D. 4.5m 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案． 【详解】∵FD⊥AB，AC⊥EB， ∴DF∥AC， ∵AF∥EB， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∵∠ACD＝90°， ∴四边形ACDF是矩形， ∴DF＝AC， 在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°， ∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m）， ∴DF＝AC＝1.12（m）， 在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°， ∴tan∠PEB＝≈0.4， ∴DE≈＝2.8（m）， 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键． 7. 如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线为10，轮子的吃水深度为3，则该桨轮船的轮子半径为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理求的长，设该桨轮船的轮子半径为，利用勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】解：由垂径定理，得， 设该桨轮船的轮子半径为， 在中，，， 由，得 ， 解得， ∴该桨轮船的轮子半径为， 故选：B． 8. 如图，四边形内接于，连接，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理可得，再根据计算即可． 【详解】∵四边形内接于， ∴ ， 由圆周角定理得， ， ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 9. 已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（ ）cm A. 1，2 B. 1， C. 2， D. 2，2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，三角形的内切圆圆心到三条边的距离相等，三角形的外接圆圆心到三个顶点的距离相等，熟记相关结论即可求解.由题意得是直角三角形，设的内切圆半径和外接圆半径分别为，则，直角三角形外接圆圆心为斜边的中点，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 设的内切圆半径和外接圆半径分别为， 则， 解得：； ∵直角三角形外接圆圆心为斜边的中点， ∴ 故选：B 10. 如图，切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了切线长定理，由于PA、FG、PB都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解，掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：根据切线长定理可得：，，， ∴的周长， ， ， ， 故选：C． 11. 如图，在中，，，，若内接正方形的边长是x，则h、c、x的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方形的性质得到，继而证明，根据相似三角形的性质即可列出比例式，再通过证明四边形DHMG是矩形表示出CM的长度，即可求解． 【详解】解：设CH与GF交于点M， 正方形， ，， ， ， ， ， 四边形DHMG是矩形， ， ，，正方形的边长是x， ， ， ， 整理得， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 12. 在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：先求出∠C，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式S圆=． 方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，由三角形内角和可求∠C=60°，由圆周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性质，∠OAB=∠OBA=，由垂径定理可求AD=BD=，利用三角函数可求OA=，利用圆的面积公式S圆=． 【详解】解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°， 有题意可知， ∴， ∴S圆=． 方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D， ∵∠A=75°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°， ∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=， ∵OD⊥AB，AB为弦， ∴AD=BD=， ∴AD=OAcos30°， ∴OA=， ∴S圆=． 故答案为A． 【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 如图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足∠ACD=∠ABC，若 AC=2，AD=1，则 DB=________． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答即可． 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴ ， ∵AC=2，AD=1， ∴， 解得DB=3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质及对应边长成比例，难点在于找对应边． 14. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，则边的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．过点作于点，解得，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：2． 16. 如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，，从测得船在北偏东45°的方向，从测得船在北偏东的方向，则船离海岸线的距离（即的长）为_____． 【答案】. 【解析】 【分析】构造点B的正北方向，交AC于点E，利用特殊角和已知条件，可证AB=BE=EC，三角形ACD是等腰直角三角形，从而问题得证. 【详解】构造点B的正北方向，交AC于点E，如图所示， 根据题意，得∠BAE=∠AEB=∠ACD=45°，∠EBC=∠ECB=22.5°， ∴AB=BE=EC=4,AD=CD, ∴AE=4， ∴AC=AE+EC=4+4， ∴CD==2+4， 故答案为:2+4. 【点睛】本题考查了方位角视角下的解直角三角形，熟记特殊角的函数值，灵活运用方位角知识，规范解直角三角形是解题的关键. 17. 如图，是的切线，切点分别是点A和B，是的直径．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线长定理，结合已知条件，可得为等边三角形，继而求得的长度，结合切线的性质定理与圆周角定理，利用解直角三角形即可求解． 【详解】 解：如图，连接， 是的切线， ， ， 为等边三角形， ， 是的切线， ， ， 是的直径， ， 在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线性质定理，圆周角定理，等边三角形性质，解直角三角形的知识点，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 18. 如图，点I为的内心，连接并延长，交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为___． 【答案】4 【解析】 【分析】延长到，使，连接．通过内心和圆周角可得，进而得到，根据勾股定理求出，证明是的中位线即可解决问题． 【详解】解：延长到，使，连接， 是的内心， ，， ，，， ， ， ， ∴， ∵， ， ∵，， ， ， ，即点为的中点， ， 是的中位线， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 求下列各式的值： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）先计算正弦与余弦，再计算乘法与减法即可得； （2）先计算正弦、余弦与正切，再计算二次根式的乘法，最后计算加法即可得； （3）先计算特殊角三角函数，再计算二次根式的乘法，最后计算加减法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 20. 如图，在中，，，；求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图所示，过点C作于D，先解得到，，再解得到，进而由求出结果． 【详解】解：如图所示，过点C作于D， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在中，D是边上一点，且满足，． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定与性质． （1）根据，为公共角，即可证明； （2）根据可得，进而得到，由（1）知，可得，求出，再根据，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：，， ； 【小问2详解】 解：， ， 设，则， ， ， 由（1）知， ， ， ， （负值舍去）， ， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）是，如图画出， M的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 23. 如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)． (1)求教学楼AB的高度； (2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)． (参考数据：sin22º≈，cos22º≈，tan22º≈) 【答案】（1）12m（2）27m 【解析】 【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用，求出即可． （2）利用Rt△AME中，，求出AE即可． 【详解】解：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M． 设AB为x． 在Rt△ABF中，∠AFB=45°， ∴BF=AB=x， ∴BC=BF＋FC=x＋13． 在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB－BM=AB－CE=x－2， 又∵ ∴， 解得：x≈12． ∴教学楼的高12m． （2）由（1）可得ME=BC=x+13≈12+13=25． 在Rt△AME中，， ∴AE=． ∴A、E之间的距离约为27m． 24. 如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC于E． （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）若ED，AB的延长线相交于F，且AE＝5，EF＝12，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，判断出OD∥AE，即可得出结论； （2）先利用勾股定理求出AF，进而利用相似三角形的性质建立方程即可求出圆O的半径． 【详解】（1）证明：∵DE⊥AC， ∴∠AEF=90°， 连接OD，如图： ∴OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAC=∠DAB， ∴∠DAE=∠ODA， ∴OD∥AC， ∴∠ODF=∠AEF=90°， ∴OD⊥EF， ∵点D在⊙O上， ∴ED是⊙O的切线； （2）在Rt△AEF中， 根据勾股定理得， ， 设⊙O的半径为r， ∴OD=r，OF=13-r， 由（1）知，OD∥AE， ∴△OFD∽△AFE， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，角平分线的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，判断出OD∥AE是解本题的关键． 25. 根据素材解决问题： 设计货船通过拱桥的方案 素材1 左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离． 素材2 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径； 任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 【答案】(1) (2) 10吨 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，任务1，设 圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，设桥拱的半径为，则，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题； 任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数． 【详解】解：任务1，设圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，如图， 设桥拱的半径为，则， ， ， ， ， ， 圆形拱桥的半径为． 任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加吨的货物才能通过．理由： 当是的弦时，与的交点为，连接，，如图， 四边形为矩形， ， ， ∵，， ． ， ， ， ， 根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱， 船在水面部分可以下降的高度为． 货船的载重量每增加吨，则船身下降， 吨， 至少要增加10吨的货物才能通过． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $