2025届广东省惠州市惠东县高三三模数学试题

高三数学 第 1 页 共 4 页 惠东县 2024-2025 学年第二学期高三年级第三次质量检测 数 学 （2025.02） 试卷共 4 页，卷面满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷 类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作 答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1．若集合  1,0,1,2,3,4A   ，  2 1B y y x x A   ， ，则 A B  （ ） A． 1,0,2 B． 0,1,3 C． 1,0,3 D． 0,1,3 2．把函数  ln 1y x  的图象按向量 (2,0)m  平移，得到 ( )y f x 的图象，则 ( )f x （ ） A．  ln 1x  B．  ln 3x  C．  ln 1 2x   D．  ln 1 2x   3．函数   3 tan(2 7)f x x   的最小正周期为（ ） A． π 4 B． π 2 C． π D．2π 4．已知空间向量m n ， 满足 (1, 2,3) (0, 2,1)m n m n       ， ，则 2 2| | | |m n   （ ） A． 2 B．1 C．0 D． 1 5．已知 , Ra b ，且 a b ，则（ ） A． 2 2a b B． 1 b a  C．  lg 0a b  D． 1 1 2 2 a b            6.球面上有三点 , ,A B C ，若 6, 8, 10AB BC AC   ，且球心到 ABCV 所在平面的距离，等于球的半径的 一半，则该球的球面面积为（ ） A．1200π B．300π C． 400π 3 D．1600π 高三数学 第 2 页 共 4 页 7．10 ≤ �1＜�2＜�3＜�4 ≤ 104，�5＝105随机变量 1 取值 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x 的概率均为 0.2，随机变量 2 取值 2 3 3 4 4 5 5 11 22 2 2 2 2 x x x x x x x xx x     ， ， ， ， 的概率也为 0.2，若记 1 1D ,D 分别为 1 、 2 的方差，则（ ） A． 1D ＞ 2D B． 1D ＝ 2D C． 1D ＜ 2D D． 1D 和 2D 的关系与 1 2 3 4, , ,x x x x 取值有关 8．有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字。现在规定：当牌的一 面写着数字 7 时，另外一面必须写着字母 H。你的任务是：为了检验下面 4 张卡牌是否有违反规定 的写法，你需要翻看哪些牌？（ ） ① ② ③ ④ A．①② B．②③ C．②④ D．④③ 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错得 0分。 9．有一组样本数据 1x ， 2x ，…， nx ，由这组数据得到新样本数据 1y ， 2y ，…， ny ，其中 i iy x c  ( 1, 2, , ),i n c  为非零常数，则（ ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 10．已知等差数列  na 与等比数列  nb 的前 n 项和分别为 n nS T， ，则下列结论中正确的是（ ） A．数列  2 na 是等比数列 B． nT 可能为 2 1n  C．数列 1 nS n       是等差数列 D．数列  2nb 是等比数列 11．曲线 C是平面内与三个定点  1 1,0F  ，  2 1,0F 和  3 0,1F 的距离的和等于 2 2的点的轨迹，P为 C 上一点，则（ ） A．曲线 C关于 x轴对称 B．存在点 P，使得 3 2PF  C． 1 2F PF 面积的最大值是 1 D．存在点 P，使得 1 2FPF 为钝角 高三数学 第 3 页 共 4 页 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分 12．已知向量 , ,a b c   在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为 1，则 ( )a b c     13．函数 2( )f x ax bx c   ，若 a，b，c成等比数列且 (0) 4f   ，则 ( )f x 值域为 ． 14．设 [ ]x 表示不超 x的最大整数（如 5[2] 2, 1 4      ）．对于给定的 n N ，定义 ( 1) ( [ ] 1)C , [1, ) ( 1) ( [ ] 1) x n n n n x x x x x x            ，则 3 2 8C  ；当 [2,3)x 时，函数 8C x的值域是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13 分）在 ABC 中， 360 , 7 A c a   ． （1）求 sinC的值； （2）若 7a  ，求 ABC 的面积． 16．（15 分）已知函数 2( ) 1f x ax  （ 0a  ）， 3( )g x x bx  （1）若曲线 ( )y f x 与曲线 ( )y g x 在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求 a,b 的值 （2）当 3, 9a b   时，若函数 ( ) ( )f x g x 在区间[k,2]上的最大值为 28，求 k的取值范围. 17（15 分）．如图，正三棱柱 1 1 1ABC ABC 的所有棱长都为 2，D为 1CC 中点． （1）求证： 1AB 平面 1ABD； （2）求平面 1 1A ACC 与面 1ABD所成角的余弦值． 高三数学 第 4 页 共 4 页 18．（17分）甲、乙两超市同时开业，第一年两个超市全年销售额都为 a万元（a＞0），由于经 营方式不同，甲超市前 n年的总销售额为 2 a (n2－n＋2)万元，乙超市第 n年的销售额比前一年销售 额多 a 12( ) 3 n 万元． （1）求甲、乙两超市第 n年销售额的表达式； （2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的 50%，则该超市将被另一超市收购， 判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？ 19．（17 分）在学习解析几何过程中知道椭圆、双曲线的定义分别是平面内到两定点距离之和、 距离之差的绝对值等于某个定值，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现到两定点距 离之积为常数的点的轨迹，称之为卡西尼卵形线. 若定点    1 2,0 , ,0F c F c ，动点 P满足 21 2PF PF a  ， 其中 ,a c均为正数，记该卡西尼卵形线为曲线C，它的轨迹方程为    22 2 2 2x y x y     . （1）求参数 , 的值（用含 ,a c的式子表示）； （2）若  ,P x y 为曲线上一点，求证： 2 2 ay c  ， 2 2x a c  ； （3）若 3 2 2 a c  ，求证：曲线C恰经过3个整点（横、纵坐标均为整数的点） 惠东县2024-2025学年第一学期高三年级第三次质参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D D C A B CD ABD 题号 11 答案 CD 12． 0 13． 14． （第一个空2分，第二个空3分） 7．=t， ++++)=t， ++++] ； 记，，…，，同理得 ， 只要比较与有大小， ，所以，故选A. （善于观察的同学，更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值，故比第一组更“集中”、更“稳定”，根据方差的涵义，立得＞而迅即攻下此题.） 8. 该题为逻辑题：数字7后面一定是字母H，H后面可以不是数字7，M后面是数字7就违反规则！所以只用看7和M，其他卡牌无此顾虑！ 11．【详解】设曲线C上任意一点，由题意可知C的方程为. 因为点在曲线C上，而点不在曲线C上，所以曲线C不关于x轴对称，故A错误；若，则，所以这不存在这样，故B不正确； ，P应该在椭圆D：内（含边界）， 曲线C与椭圆D有唯一的公共点，此时，，当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故C正确；取曲线C上点，此时，在曲线C上再寻找一个特殊点，，则，即，两边平方并整理得，解得， 即或.因为，则取点，此时，故D正确. 13.由已知得，，a，b，c成等比数列，，a<0， 所以，有最大值，最大值为，值域为 14. 【详解】，当时，，所以 15．（1）在中，由正弦定理………………………………2分 得………………………………5分 （2）因为，所以，………………………………6分 由余弦定理………………………………8分 得，解得或（舍），………………………………10分 面积.…………………13分（面积公式1分，结果2分） 16. （1）,……………2分 因为它们的交点处具有公共切线，所以,……………4分 所以;……………………………………………………………6分 （2） 当时，，，，令，则，……………7分 令，得，…………………………………………………9分 所以在与上单调递增，在上单调递减，……………11分 其中为极大值，所以如果在区间最大值为，……………13分 即区间包含极大值点，所以．…………………………………15分 17. （1）（备注：第一问用几何法或者其他方法酌情给分） 证明：取中点，连结.为正三角形， , 正三棱柱中，平面平面，平面,……………………………1分 以 为原点，的方向为轴的建立空间直角坐标系，……2分（没有文字，画出坐标轴也得1分） 则 ,……………………5分（每个向量1分） …………………………6分 平面………………………………………7分（备注：其他用几何法酌情给分） （2）由（1）可得，设平面的法向量为， ……………………………………………………9分 ，，………………………………11分 令得为平面的一个法向量，……………………………………12分 由（1）知，为平面的法向量.…………………………………13分 设求面与面所成角所为， ，（公式1分，结果1分）………15分 18. (1)假设甲超市前n年总销售额为Sn，则Sn＝(n2－n＋2)(n≥2)，因为n＝1时，a1＝a，则n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n＋2)－[(n－1)2－(n－1)＋2]＝a(n－1)，………2分 故………3分 又b1＝a，n≥2时，bn－bn－1＝a，………4分 故bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn-1)＝a＋a＋a＋…＋a＝a＝a＝a，…………………7分 显然n＝1也适合，故bn＝a，(n∈N*)．………………………8分 (2) 当n＝2时，a2＝a，b2＝a，有a2>b2；………………………………9分 n＝3时，a3＝2a，b3＝a，有a3>b3；…………………………………10分 当n≥4时，an≥3a，而bn<3a，故乙超市有可能被甲超市收购．……………11分（结论1分） 当n≥4时，令an>bn，则(n－1)a>a，……………………………13分 n－1>6－4·.即n>7－4·.又当n≥7时，0<4·<1，………………15分 故当n∈N*且n≥7时，必有n>7－4·. 即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．……………17分 19．（1）设为曲线上一点，则由可得.……………………………………1分 整理可得，…………………………3分 结合题意可知：，.………………………………4分 （2）据（1）的结论有. 一方面，，……5分 故.可得，即；………………………………………………7分 另一方面，，………………8分 从而，即.……………………………9分 从而，所以.………………………………10分 （3）将代入，可得的轨迹方程为.   同时据（2）的结论有，.…………………………………………………………11分 若均为整数，则由，可知.………………………………12分 若，则，即，故.……13分 故或，但和都不是整数的平方，矛盾.……………………………………14分 所以，从而，这就得到， 所以可以取.…………………………………………………………………………15分 这表明曲线经过的整点只可能有，，.经验证，曲线经过这个整点，结论得证.……………………………………………………………………………………………17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$