第十九章 平面直角坐标系（单元复习 6个知识点+10类题型突破）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（冀教版）

第十九章 平面直角坐标系 01 思维导图 02 知识速记 知识点一 确定平面上物体的位置 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作． 注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，和表示的意义是不同的． 知识点二 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： 特别说明：（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. （2） 在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化. （3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征： ① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零． ② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等； 平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等． ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数． ④ 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数． 注：反之亦成立． （4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|． ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|； y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． ③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|； 平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． （5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补. 知识点三 坐标与图形的位置与变化 1．用坐标表示地理位置 (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 特别说明：(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置． (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度． 2．用坐标表示平移、旋转 （1）点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 特别说明：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换． （2）图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 特别说明：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 03 题型归纳 题型一　定位法的应用 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期末）元旦期间，小明想去王阳明故居纪念馆参观，以下表示王阳明故居纪念馆位置最合理的是（   ） A．东经，北纬 B．在余姚博物馆的东北方向 C．距离余姚北站6公里 D．在浙江省 巩固训练 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）下列数据中不能确定物体位置的是(    ) A．电影票上的“5排8号” B．小明住在某小区3号楼7号 C．南偏西 D．东经，北纬的城市 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）根据下列表述，能准确确定位置的是（    ） A．郑州位于东经 B．教室里，小涵的座位在第三排 C．教学楼在升旗台的南偏西方向100m处 D．此刻，风筝停留在25m的高空 3．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）如图，如果点B的位置用数对表示为，那么下面描述不正确的是（　　）． A．线段绕O点顺时针旋转，A、B两点重合 B．点B在点A东偏北方向上 C．点A的位置用数对表示为 D．点A向正南方向移动，再向正西方向移动，点A 到达点B 的位置 题型二　点所在的象限 例题：（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列各点中，位于第四象限的是：（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则点在（   ） A．轴或轴上 B．第一或第二象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于平面直角坐标系中的任意两点，定义一种新的运算“*”，．若在第一象限，在第二象限，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型三　点到坐标轴的距离 例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）点到轴的距离是 ，到轴的距离是 ，到原点的距离是 巩固训练 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）点到轴的距离是 ；点到原点的距离是 ． 2．（23-24七年级下·西藏拉萨·期末）已知点P的坐标是，且点P到两坐标轴的距离相等，则 ． 3．（23-24七年级下·山东德州·期末）在平面直角坐标系第四象限内有一点，它到轴的距离为3，到轴的距离为6，则点的坐标为 ． 4．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）在平面直角坐标系中，对于不同的两点M，N，若点到轴、轴的距离的较大值等于点到轴、轴的距离的较大值，则称点M，N互为“最距等点”．例如：点，互为“最距等点”；点，互为“最距等点”．已知点与点互为“最距等点”，则的值为 ． 题型四　点在平面直角坐标系中的特征 例题：（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标： (2)点的坐标为，直线轴；求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 巩固训练 1．（24-25八年级上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点的坐标． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知点，根据下列条件求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的横坐标比纵坐标小4； (3)点在第一、三象限的角平分线上． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点到轴的距离等于，求点的坐标． 4．（24-25八年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标； (3)若点的横坐标比纵坐标大，则点在第几象限? 题型五　根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 例题：（23-24七年级下·四川广安·期末）如图是广安市部分市、区（县）所在地的示意图，图中每个小正方形的边长代表1个单位长度．若岳池县的坐标为，华蓥市的坐标为．    (1)请建立平面直角坐标系，并写出广安区和邻水县的坐标； (2)顺次连接武胜县、岳池县、广安区所对应的点，将所得的三角形先向下平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度，画出平移后的三角形． 巩固训练 1.（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如图是一所学校的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个主要位置恰好落在整格点．若实验楼的坐标为，图书馆的坐标为．      (1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出校门的坐标： (2)若食堂的坐标为，请在坐标系中标出食堂的位置． 2.（23-24七年级下·浙江台州·期末）周末到了，小华和小军相约去九龙湖游玩．小华和小军对着如图所示的部分景区示意图分别描述玖珑花海的位置（图中小正方形的边长代表300米长，所有景点都在格点上）． 小华说：“玖珑花海在听雨轩古宅的东北方向约420米处．” 小军说：“玖珑花海的坐标是．” (1)小华是用________和________描述玖珑花海的位置； (2)小军同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？请在图上做出平面直角坐标系； (3)在（2）的基础上，请写出以下景点的坐标：生态湿地________，音乐喷泉广场________． 3.（23-24七年级下·广东阳江·期末）广东省广州市的长隆野生动物世界是国内最大的野生动物保护基地之一，拥有超过500种、逾2万只陆生动物，是游客们了解广州必到的胜地．如图是长隆野生动物世界部分景点的分布示意图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，并且“五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是和． (1)根据题意，画出正确的平面直角坐标系． (2)“百虎山”的坐标为______；“熊猫乐园”的坐标为______． (3)小明现在在“熊猫乐园”，想要前往“百虎山”（只能走网格，每个网格为一个单位长度），可以先向上走______个单位长度，再向______走______个单位长度． 题型六　点在平面直角坐标系中的平移 例题：（24-25九年级上·四川眉山·期中）在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点，则点的坐标为 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东惠州·期中）将点向下平移3个单位，向右平移2个单位后，得到点，则点的坐标为 ． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点，再把A点绕原点旋转得到B点，那么B点的坐标是 ． 3．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，一块的直角三角板的直角顶点与原点O重合，顶点A的坐标为，现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到，则点B的对应点的坐标为 ． 题型七　求点在平面直角坐标系中旋转后的坐标 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，点A到x轴的距离为4，将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标是 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点的坐标为 ． 2．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，点A坐标为，点C坐标为，将线段绕点C逆时针旋转至，则点B的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，以为旋转中心，将点按逆时针方向旋转得到点Q，则点Q的坐标是 ． 题型八　平面直角坐标系中的平移及旋转作图 例题：（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）在边长为的小正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出关于轴对称的； (2)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出； (3)观察和，它们关于__________成__________对称． 巩固训练 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是．    (1)将向下平移5个单位长度后得到，请画出（点A，B，C的对应点分别为点） (2)将绕原点O 逆时针旋转后得到，请画出；（点A，B，C的对应点分别为点） (3)判断以O，，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于原点对称的（点的对应点分别为）． (2)请画出绕原点顺时针旋转后得到的（点的对应点分别为）． 3．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)若将点A沿x轴正方向平移5个单位长度，则平移后的点的坐标是______； (2)将绕某点旋转后得到，其中点A的对应点是，则旋转中心的坐标是______； (3)画出关于原点O对称的． 题型九　在平面直角坐标系中求图形的面积 例题：（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，图中的网格是由边长相等的小正方形组成，点的坐标分别为，，． (1)请写出点的坐标； (2)求图中阴影部分的面积． 巩固训练 1.（22-23七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线轴，垂足为C，交线段于点D，过点A作，垂足为E，连接． (1)求的面积； (2)点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标． 2.（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，． (1)点C到y轴的距离为______； (2)求的面积； (3)若点P的坐标为， ①直接写出线段的长为______；（用含m的式子表示） ②当时，求点P的坐标． 题型十　平面直角坐标系中的平移及几何变换问题 例题：（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒. (1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______； (2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由. 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． (1)如图1所示，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为______； (2)平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，如图2所示，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，将线段平移至，点在轴的正半轴上移动（不与点重合），连接，且． (1)直接写出点的坐标； (2)点在运动过程中，是否存在点，满足，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，请直接写出三者之间存在的数量关系． 3．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　 　）． (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 平面直角坐标系 01 思维导图 02 知识速记 知识点一 确定平面上物体的位置 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作． 注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，和表示的意义是不同的． 知识点二 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： 特别说明：（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. （2） 在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化. （3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征： ① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零． ② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等； 平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等． ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数． ④ 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数． 注：反之亦成立． （4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|． ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|； y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． ③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|； 平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． （5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补. 知识点三 坐标与图形的位置与变化 1．用坐标表示地理位置 (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 特别说明：(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置． (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度． 2．用坐标表示平移、旋转 （1）点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 特别说明：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换． （2）图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 特别说明：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 03 题型归纳 题型一　定位法的应用 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期末）元旦期间，小明想去王阳明故居纪念馆参观，以下表示王阳明故居纪念馆位置最合理的是（   ） A．东经，北纬 B．在余姚博物馆的东北方向 C．距离余姚北站6公里 D．在浙江省 【答案】A 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了利用有序数对表示位置，理解坐标的实际意义与应用是解题关键．根据利用有序数对表示位置解答即可． 【详解】解：A东经，北纬是有序数对，故符合题意； B．只有方向没有距离，故不符合题意； C．只有距离没有方向，故不符合题意； D．不能表示具体位置，故不符合题意． 故选A． 巩固训练 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）下列数据中不能确定物体位置的是(    ) A．电影票上的“5排8号” B．小明住在某小区3号楼7号 C．南偏西 D．东经，北纬的城市 【答案】C 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键．根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断即可得． 【详解】解：A、电影票上的“5排8号”，位置明确，则此项不符合题意； B、小明住在某小区3号楼7号，位置明确，则此项不符合题意； C、南偏西，位置不明确，则此项符合题意； D、东经，北纬的城市，位置明确，则此项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）根据下列表述，能准确确定位置的是（    ） A．郑州位于东经 B．教室里，小涵的座位在第三排 C．教学楼在升旗台的南偏西方向100m处 D．此刻，风筝停留在25m的高空 【答案】C 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了有序数对表示位置，解题的关键是理解有序数对表示位置．根据有序数对表示位置即可得． 【详解】解：A．郑州位于东经，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； B．教室里，小涵的座位在第三排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； C．教学楼在升旗台的南偏西方向100m处，能确定具体位置，故本选项符合题意； D．此刻，风筝停留在25m的高空，不能确定具体位置，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）如图，如果点B的位置用数对表示为，那么下面描述不正确的是（　　）． A．线段绕O点顺时针旋转，A、B两点重合 B．点B在点A东偏北方向上 C．点A的位置用数对表示为 D．点A向正南方向移动，再向正西方向移动，点A 到达点B 的位置 【答案】B 【知识点】用有序数对表示位置、方向角的表示、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了图形的旋转，用方位角和有序数对表示位置，根据所给图形结合点B的有序数对逐一判断即可． 【详解】解：A、由题意得线段绕O点顺时针旋转，A、B两点重合，原说法正确，不符合题意； B、点B在点A西偏南方向上，原说法错误，符合题意； C、点A的位置用数对表示为，原说法正确，不符合题意； D、点A向正南方向移动，再向正西方向移动，点A 到达点B 的位置，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 题型二　点所在的象限 例题：（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列各点中，位于第四象限的是：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：A．在第四象限，故A符合题意； B．在第一象限，故B不符合题意； C．在第三象限，故C不符合题意； D．在第二象限，故D不符合题意． 故选：A． 巩固训练 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系点所在象限， 判断出点的横，纵坐标的符号，再根据各象限的符号特征即可求解． 【详解】解：∵， ∴点在第二象限. 故选：． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则点在（   ） A．轴或轴上 B．第一或第二象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算、判断点所在的象限 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征．第一象限内点的坐标特征为，第二象限内点的坐标特征为，第三象限内点的坐标特征为，第四象限内点的坐标特征为，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．由得到或，即点的横、纵坐标的符号相反，然后根据各象限点的坐标特点进行判断． 【详解】解：∵， 或， ∴点在第一或第三象限． 故选C． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于平面直角坐标系中的任意两点，定义一种新的运算“*”，．若在第一象限，在第二象限，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据新运算，求出的坐标，判断横纵坐标的符号，进而得到结果即可． 【详解】解：∵在第一象限，在第二象限， ∴，， ∵的坐标为：，， ∴在第四象限； 故选D． 题型三　点到坐标轴的距离 例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）点到轴的距离是 ，到轴的距离是 ，到原点的距离是 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了点的坐标的几何意义， 横坐标的绝对值就是到y轴的距离， 纵坐标的绝对值就是到x轴的距离.求得P的纵坐标绝对值即可求得P点到x轴的距离， 求得P的横坐标绝对值即可求得P点到y轴的距离， 求点的长度可得出到原点的距离． 【详解】解： 点P坐标为， 点P到 x轴的距离是； 到y轴的距离， 到原点的距离为， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）点到轴的距离是 ；点到原点的距离是 ． 【答案】 3 13 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知两点坐标求两点距离 【分析】此题考查了点的坐标，勾股定理：根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，再利用勾股定理列式求出到原点的距离． 【详解】解：点到轴的距离是， 到原点的距离是， 故答案为3；13． 2．（23-24七年级下·西藏拉萨·期末）已知点P的坐标是，且点P到两坐标轴的距离相等，则 ． 【答案】1或 【知识点】求点到坐标轴的距离、绝对值方程 【分析】此题考查了点到坐标轴的距离，根据到两坐标轴的距离相等得到，解绝对值方程即可得到答案． 【详解】解：∵点P的坐标是，且点P到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：1或 3．（23-24七年级下·山东德州·期末）在平面直角坐标系第四象限内有一点，它到轴的距离为3，到轴的距离为6，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查点的坐标特征，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键． 根据点A在第四象限可得点A的横坐标为正，纵坐标为负，再根据题干中到x轴和y轴的距离即可求解． 【详解】解：∵点A在第四象限， ∴点A的横坐标为正，纵坐标为负， ∵点A到轴的距离为3，到轴的距离为6， ∴点A的坐标为， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）在平面直角坐标系中，对于不同的两点M，N，若点到轴、轴的距离的较大值等于点到轴、轴的距离的较大值，则称点M，N互为“最距等点”．例如：点，互为“最距等点”；点，互为“最距等点”．已知点与点互为“最距等点”，则的值为 ． 【答案】0或4 【知识点】绝对值方程、一元一次方程解的综合应用、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标，解一元一次方程，绝对值的计算，理解“最距等点”的定义，采用分类讨论的思想是解此题的关键．根据“最距等点”的定义得出或，分别解方程即可得出答案． 【详解】解： 点与点互为“最距等点”， 或， ①当时，或， 当时，解得， ，，符合题意， 当时，解得， ，，符合题意， ②当时，或， 当时，解得， ，，符合题意， 当时，解得， ，，不符合题意，舍去． 综上所述，或． 故答案为：0或4． 题型四　点在平面直角坐标系中的特征 例题：（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标： (2)点的坐标为，直线轴；求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，写出直角坐标系中点的坐标，代数式求值等知识点，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）由轴上的点的坐标特征可知点的纵坐标为，进而可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，然后代入即可求出点的横坐标，于是得解； （2）由直线轴可知点、的横坐标相等，进而可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，然后代入即可求出点的纵坐标，于是得解； （3）由“点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等”可知点的横纵坐标之和为，进而可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：点在轴上， 点的纵坐标为， ， 解得：， ， ； （2）解：直线轴， 点、的横坐标相等， ， 解得：， ， ； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ， 解得：， ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，第一象限内点的坐标特点，在y轴上的点的坐标特点，熟练掌握是解答本题的关键． （1）在轴上的点横坐标为，据此列出方程求解即可； （2）第一象限内的点横纵坐标都为正，点到轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此求出点到两坐标轴的距离，再根据点到两坐标轴的距离之和为9建立方程求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：点在轴上， ， ； （2）解：在第一象限， 点到轴的距离为，到轴的距离为， 点到两坐标轴的距离之和为9， ， ， ， 点的坐标为． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知点，根据下列条件求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的横坐标比纵坐标小4； (3)点在第一、三象限的角平分线上． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握特殊点的特征，是解题的关键： （1）根据轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可； （3）根据第一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， 点的纵坐标为0，即，解得， ， 点的坐标为； （2）解：∵点的横坐标比纵坐标小4， ，解得， ，， 点的坐标为． （3）解：点在第一、三象限的角平分线上， 点的横坐标与纵坐标相同， ，解得， ，， 点的坐标为． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点到轴的距离等于，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特点，点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据轴上的点横坐标为求出，进而求出纵坐标，即可求解； （2）根据点到轴的距离是该点的纵坐标的绝对值，即可列式作答． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得：， ． 点M的坐标为； （2）点，且点到轴的距离等于， ， 解得：或， 当时，，； 当时，，； 点的坐标为或． 4．（24-25八年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标； (3)若点的横坐标比纵坐标大，则点在第几象限? 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)点在第四象限 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握相关知识并熟练使用，同时注意在解题过程中需注意的相关事项是解题的关键． （1）因为点在轴上，所以纵坐标为，解得值并代入横坐标的代数式中即可得到答案； （2）因为点在过点且与轴平行的直线上，所以、两点的横坐标相同，令点横坐标为，解得的值并代入纵坐标的代数式中即可； （3）根据题意列出方程，即可得到答案． 【详解】（1）解： 点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标为； （2） 点在过点且与轴平行的直线上， 点的横坐标为， ， 解得， ， 点的坐标为； （3）由题意得， 解得， ,， 点的坐标为， 点在第四象限． 题型五　根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 例题：（23-24七年级下·四川广安·期末）如图是广安市部分市、区（县）所在地的示意图，图中每个小正方形的边长代表1个单位长度．若岳池县的坐标为，华蓥市的坐标为．    (1)请建立平面直角坐标系，并写出广安区和邻水县的坐标； (2)顺次连接武胜县、岳池县、广安区所对应的点，将所得的三角形先向下平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度，画出平移后的三角形． 【答案】(1)图见解析，广安区的坐标为，邻水县的坐标为 (2)见解析 【知识点】实际问题中用坐标表示位置、平移(作图) 【分析】本题考查作图-平移变换，坐标确定位置，解决本题的关键是掌握平移的性质． （1）根据给出的两地坐标建立直角坐标系，即可得出结果； （2）顺次连接武胜县、岳池县、广安区所对应的点，根据题目要求进行平移作图即可． 【详解】（1）解：建立直角坐标系，如下图：    由坐标系可知：广安区的坐标为，邻水县的坐标为； （2）如图：三角形即为所求．    巩固训练 1.（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如图是一所学校的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个主要位置恰好落在整格点．若实验楼的坐标为，图书馆的坐标为．      (1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出校门的坐标： (2)若食堂的坐标为，请在坐标系中标出食堂的位置． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】此题考查了坐标确定位置，正确找到原点坐标是解答本题的关键． （1）将实验楼的坐标向上平移三个单位即可得到原点坐标，据此即可作出坐标轴，再根据坐标轴即可找到校门的坐标； （2）根据食堂的坐标，在坐标系中标明即可． 【详解】（1）作图如下：    根据坐标系可知校门的坐标为； （2）食堂为位置如图所示：    2.（23-24七年级下·浙江台州·期末）周末到了，小华和小军相约去九龙湖游玩．小华和小军对着如图所示的部分景区示意图分别描述玖珑花海的位置（图中小正方形的边长代表300米长，所有景点都在格点上）． 小华说：“玖珑花海在听雨轩古宅的东北方向约420米处．” 小军说：“玖珑花海的坐标是．” (1)小华是用________和________描述玖珑花海的位置； (2)小军同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？请在图上做出平面直角坐标系； (3)在（2）的基础上，请写出以下景点的坐标：生态湿地________，音乐喷泉广场________． 【答案】(1)方向，距离 (2)见解析 (3)， 【知识点】实际问题中用坐标表示位置、用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，确定位置等等： （1）根据题意可知，小华是用方向和距离描述玖珑花海的位置； （2）根据玖珑花海的坐标画出对应的坐标系即可； （3）根据（2）所求写出对应位置的坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，小华是用方向和距离描述玖珑花海的位置； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由（2）可知生态湿地的坐标为，音乐喷泉广场的坐标为． 3.（23-24七年级下·广东阳江·期末）广东省广州市的长隆野生动物世界是国内最大的野生动物保护基地之一，拥有超过500种、逾2万只陆生动物，是游客们了解广州必到的胜地．如图是长隆野生动物世界部分景点的分布示意图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，并且“五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是和． (1)根据题意，画出正确的平面直角坐标系． (2)“百虎山”的坐标为______；“熊猫乐园”的坐标为______． (3)小明现在在“熊猫乐园”，想要前往“百虎山”（只能走网格，每个网格为一个单位长度），可以先向上走______个单位长度，再向______走______个单位长度． 【答案】(1)详见解析 (2)， (3)5，左，1 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查坐标与图形性质，能根据题意建立平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据“五彩广场”和“考拉园”的坐标，建立平面直角坐标系即可． （2）根据（1）中所建坐标系即可解决问题． （3）根据“熊猫乐园”和“百虎山”的坐标即可确定； 【详解】（1）解：因为“五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是和， 所以平面直角坐标系如图所示． （2）解：由（1）中所建平面直角坐标系可知， “百虎山”的坐标为，“熊猫乐园”的坐标为．   故答案为：，． （3）解：根据“熊猫乐园”的坐标为， “百虎山”的坐标为，可以得出从“熊猫乐园”前往“百虎山”可以先向上走5个单位长度，再向左走1个单位长度， 故答案为：5 ； 左 ； 1． 题型六　点在平面直角坐标系中的平移 例题：（24-25九年级上·四川眉山·期中）在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 本题考查了坐标系中点的平移规律．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点， 则点的坐标为，即． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东惠州·期中）将点向下平移3个单位，向右平移2个单位后，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化－平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】解：将点向下平移3个单位，向右平移2个单位后，得到点， 根据题意，将点向上平移3个单位，向左平移2个单位后，得到点， 所以点的坐标是，即， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点，再把A点绕原点旋转得到B点，那么B点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查点的平移和中心对称的性质，设，由平移得，再利用旋转可得，，即可得解． 【详解】解：设点的坐标为， 点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点， ∴， 把点绕原点旋转得到点， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，一块的直角三角板的直角顶点与原点O重合，顶点A的坐标为，现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到，则点B的对应点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查坐标与平移，勾股定理，含30度角的直角三角形，先根据含30度的直角三角形的性质，结合勾股定理，求出点坐标，再根据平移规则，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵顶点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将该三角板向右平移使点A与点O重合， ∴三角板向右平移了个单位， ∴点B的对应点的坐标为； 故答案为：． 题型七　求点在平面直角坐标系中旋转后的坐标 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，点A到x轴的距离为4，将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质说明线段或角相等、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，再证明，于是可得，，从而求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ，点到轴的距离为4， ， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 巩固训练 1．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了旋转的性质．根据题意作轴，轴，证即可求解． 【详解】解：如图所示：作轴，轴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的坐标为， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，点A坐标为，点C坐标为，将线段绕点C逆时针旋转至，则点B的坐标是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，D，证明，得出，求出，即可得出点B的坐标． 【详解】解：如图，分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，D，则． ∵点A坐标为，点C坐标为， ， 根据旋转可知：，， ∴， ∴， ∴， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，以为旋转中心，将点按逆时针方向旋转得到点Q，则点Q的坐标是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，三角形全等的判定和性质，过点A作轴，过点P，作于点C，过点Q作于点B，根据，，得出，，证明，得出，，即可得出答案． 【详解】解：过点A作轴，过点P，作于点C，过点Q作于点B，如图所示： 则， ∵，， ∴，， 根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即 故答案为：． 题型八　平面直角坐标系中的平移及旋转作图 例题：（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）在边长为的小正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出关于轴对称的； (2)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出； (3)观察和，它们关于__________成__________对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)直线（或一、三象限角平分线等），轴 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查作图—轴对称、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）根据图形成轴对称即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： ； （2）解：如图所示，即为所求： ； （3）解：观察和，它们关于直线（或一、三象限角平分线）成轴对称， 故答案为：直线（或一、三象限角平分线等），轴． 巩固训练 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是．    (1)将向下平移5个单位长度后得到，请画出（点A，B，C的对应点分别为点） (2)将绕原点O 逆时针旋转后得到，请画出；（点A，B，C的对应点分别为点） (3)判断以O，，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是以点O 为直角顶点的等腰直角三角形，理由见解析 【知识点】已知两点坐标求两点距离、判断三边能否构成直角三角形、由平移方式确定点的坐标、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定： （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点的坐标，描出并顺次连接即可； （2）根据所给旋转方式和网格的特点找到A、B、C对应点的位置， 描出并顺次连接即可； （3）利用两点距离计算公式求出，，，再利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求；    （3）解：是以点O 为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下： ∵将向下平移5个单位长度后得到，， ∴， ∵， ∴，， ， ∴，， ∴是以点O 为直角顶点的等腰直角三角形． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于原点对称的（点的对应点分别为）． (2)请画出绕原点顺时针旋转后得到的（点的对应点分别为）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知本题考查了旋转作图，原点对称作图，正确理解旋转的性质，原点性质是解题的关键． （1）根据原点对称，横坐标、纵坐标都变成原坐标的相反数，故，确定位置，作图即可． （2）根据旋转的性质：，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，即为所求． 3．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)若将点A沿x轴正方向平移5个单位长度，则平移后的点的坐标是______； (2)将绕某点旋转后得到，其中点A的对应点是，则旋转中心的坐标是______； (3)画出关于原点O对称的． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】由平移方式确定点的坐标、找旋转中心、旋转角、对应点、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】本题考查作图-平移变换，中心对称及旋转变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，中心对称及旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质进行求解即可． （2）分别连接，并分别作出的垂直平分线，其交点即为旋转中心，据此求解即可； （3）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：将点沿x轴正方向平移5个单位长度，则平移后的点的坐标是， 故答案为：； （2）解：如图，旋转中心坐标为， 故答案为：； （3）解：如图，即为所求， 题型九　在平面直角坐标系中求图形的面积 例题：（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，图中的网格是由边长相等的小正方形组成，点的坐标分别为，，． (1)请写出点的坐标； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)，，， (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，明确三角形和四边形的面积计算，并数形结合是解题的关键． （1）观察图象可得出点的坐标． （2）用一个长方形的面积减去四个空白三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由图象可得，点的坐标分别为，，，． （2）解：如图：连接，过点作垂直于的延长线于点． 阴影部分的面积为： ． ∴图中阴影部分的面积为． 巩固训练 1.（22-23七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线轴，垂足为C，交线段于点D，过点A作，垂足为E，连接． (1)求的面积； (2)点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)6 (2)或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形： （1）先证明轴， 再由点A和点B的坐标得到，，据此根据三角形面积计算公式求解即可； （2）先求出，，则，，设， 再分点P在x轴上方和x轴下方两种情况，画出对应的图形求解即可． 【详解】（1）解：轴，， 轴， 点A的坐标为，点B的坐标为 ，， ； （2）解：点坐标为， ，， ， ∴， 设，如图所示： 当点在轴上方时，则点P一定在点E上方， ∴ ， ， ， 点的坐标为； 当点在轴下方时， 过点作轴于N， ∴ ， ， 或（舍去）， 点的坐标为：； 点的坐标为：或． 2.（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，． (1)点C到y轴的距离为______； (2)求的面积； (3)若点P的坐标为， ①直接写出线段的长为______；（用含m的式子表示） ②当时，求点P的坐标． 【答案】(1)1 (2) (3)①；②或 【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查图形与坐标，结合图形，理解题意是解决问题的关键． （1）根据点的坐标即可求解； （2）利用长方形减去周围三个小直角三角形的面积即可求解； （3）①根据，两点坐标即可求解； ②根据，，，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点到轴的距离为1， 故答案为：1； （2）的面积为； （3）①∵，， ∴， 故答案为：； ②∵，，， ∴，即， ∴或， ∴点的坐标为或． 题型十　平面直角坐标系中的平移及几何变换问题 例题：（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒. (1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______； (2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)； ； (2)点在上运动时，，点P在上运动时， (3)存在，或. 【知识点】列代数式、平移综合题(几何变换)、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题是平移综合题，考查了三角形的面积，动点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据题意，，进而求出点的坐标；由题意得，，，点在上，且，进而表示出点的坐标； （2）当点在上运动时，当点在上运动时，分别表示出点的坐标即可作答； （3）先求出四边形的面积,点在上运动时列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标是，点的坐标为， 由平移的性质得， 点的坐标， ； 由题意得，，， 点的运动速度为每秒2个单位长度， 出发5秒时，运动的距离为10个单位长度， 此时点在上，且， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：当点在上运动时， ， 点的坐标为； 当点在上运动时， ， 点的坐标为， 点的坐标为； （3）解：四边形的面积为， ， 当点在上运动时，边上的高为4， 即， 解得， 点的坐标为或， 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． (1)如图1所示，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为______； (2)平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，如图2所示，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在点，其坐标为或 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标、平移综合题(几何变换)、坐标与图形、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形平移的规律，几何图形的面积的计算方法是解题的关键． （1）根据点，点的坐标可得平移规律，再根据平移规律即可求解； （2）根据点可得平移规律，连接，根据可求点的平移，再求出点的坐标； （3）根据题意，先计算出，再根据题意，分类讨论：①当P在x轴上方时；②当在轴下方时；根据几何图形面积的计算即可求解． 【详解】（1）解：已知点的坐标为，点的坐标为，平移后点的对应点为，若点的坐标为， 平移后的对应点， 设，， ，， 即：点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴，， 点平移后的对应点； （2）解：点在轴上，点在第二象限，，， ∴点向左平移个单位， ∴点向左平移个单位，横坐标为：，即点的横坐标为， ∵对应点在第二象限， ∴设点向上平移了个单位， 线段向左平移个单位，再向上平移个单位，符合题意， ，， ∴，， 如图所示，连接， ∴， ∴， ， ， ，； （3）解：由（2）得， ∵，， ∴， ①当P在x轴上方时，如图1， ， ， ∴； ②当在轴下方时，如图2， ， ， ∴， 存在点，其坐标为或． 2．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，将线段平移至，点在轴的正半轴上移动（不与点重合），连接，且． (1)直接写出点的坐标； (2)点在运动过程中，是否存在点，满足，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，请直接写出三者之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2)存在点满足，点的坐标为或 (3)点在运动过程中，或． 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、平移综合题(几何变换)、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图象的变换，掌握图形的平移规律，几何图形面积的计算方法，平行线的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据平移的性质可得点向左边平移了6个单位，由此即可求解； （2）根据题意，设点，则，用含的式子表示，根据绝对值的性质即可求解； （3）根据题意，图形结合，分类讨论，当点在上时；当点在点的右边时；根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：已知点，点，将线段平移至， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴； （2）解：存在，理由如下， 设点，则，且，， ∴，， ∵， ∴，整理得，， 当时，， 解得，，则； 当时，， 解得，，则； 综上所述，存在点满足，点的坐标为或； （3）解：已知点在轴的正半轴上移动（不与点重合）， 第一种情况，当点在上时，如图所示，作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 第二种情况，当点在点的右边时，如图所示，作， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，点在运动过程中，或． 3．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　 　）． (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】(1)，3；， (2)秒 (3)见解析 【知识点】平移综合题(几何变换) 【分析】 （1）利用平移变换的性质求解； （2）设秒后轴，构建方程求解； （3）分三种情形：①如图1中，当点在直线的左侧时，②如图2中，当点在直线的左侧或直线上且在直线的右侧时，③如图3中，当点在直线的右侧时，分别求解即可． 【详解】（1） 解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得：，， 故答案为：，3；，； （2） 设秒后轴，则有， 解得，时，轴； （3） ①如图1中，当点在直线的左侧或上时，， ． ②如图2中，当点在直线的右侧且在直线的右侧时，， ③如图3中，当点在直线的右侧时，， ． 综上所述，与的关系为：或或． 【点睛】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$