第十九章 平面直角坐标系（单元复习 4大易错+5大压轴）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（冀教版）

第十九章 平面直角坐标系 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　已知点所在的象限求参数 1 易错题型二　已知点到坐标轴的距离求点坐标的多解题 4 易错题型三　点平面直角坐标系中旋转的多解题 6 易错题型四　平面直角坐标系中点的特征 10 【压轴题型】 15 压轴题型一　平面直角坐标系中的新定义型问题 15 压轴题型二　平面直角坐标系中的动点面积问题 24 压轴题型三　平面直角坐标系中点的规律探究问题 31 压轴题型四　平面直角坐标系中旋转规律探究问题 33 压轴题型五　平面直角坐标系中与平移的综合问题 38 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　已知点所在的象限求参数 例题：（福建省三明市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）在平面直角坐标系中，点在轴上，则 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了轴上点的坐标特点，根据在轴上的点纵坐标为0进行求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点在轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）若点在坐标轴上，则m的值是 ． 【答案】2或/或2 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，正确掌握坐标轴上点的坐标特点是解题关键．x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．分两种情况求解即可． 【详解】解：当点在x轴上时， ， ∴． 当点在y轴上时， ， ∴． 故答案为：2或． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若点在第一象限，且到轴的距离为7，到轴的距离为8，则 ， ． 【答案】 2 3 【知识点】加减消元法、已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，点到坐标轴的距离，以及象限内点的坐标特征，熟练运用象限内点的坐标特征是解决此题的关键， 根据点到坐标轴的距离可知点P横坐标的绝对值是5，纵坐标的绝对值是2，根据第一象限内的点横纵坐标都为正数得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：点在第一象限， ∴， ∴点到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点P到轴的距离为7，到轴的距离为8， ∴， ∴， 故答案为：2，3． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）若点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据第二象限内点的坐标特点，列出关于a的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，点在第四象限角平分线上，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、角平分线的性质定理、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据角平分线上的点到角的两边距离相等以及第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数求出m，第四象限内点的纵坐标是负数求出n，然后求和再求解平方根即可． 【详解】解：∵点在第一象限的角平分线上， ∴， ∵点在第四象限角平分线上， ∴， ∴， ∴的平方根为； 故答案为：． 易错题型二　已知点到坐标轴的距离求点坐标的多解题 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且点N到x轴的距离等于4，则点N的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于轴的直线上的点的横坐标相同的性质，难点在于要分情况讨论． 根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，再分情况讨论求出点的横坐标，然后求解即可． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于y轴的直线上， ， ∵点到x轴的距离为4， 或， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如果点到横坐标和纵坐标的距离相等，则 【答案】或 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查点到坐标轴的距离．熟练掌握点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值是解题的关键． 根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵点到横坐标和纵坐标的距离相等， ∴ 解得：或， 故答案为：或． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知点在轴的上方，且到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是 ． 【答案】或/或 【知识点】判断点所在的象限、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是先判断出点在第一或第二象限，再根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：∵点在轴的上方， ∴点在第一或第二象限，即点的纵坐标为正数， ∵点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴点的横坐标为或，纵坐标为， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）若点的坐标满足等式，则称该点A为“和谐点”．若某个“和谐点”到x轴的距离为3，则该点的坐标为 【答案】或 【知识点】求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据到轴的距离为3，求出的值，然后分别代入等式，计算求解，进而可表示出该点的坐标．本题考查了点的坐标，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题的关键． 【详解】解：到轴的距离为3， 或， 当时，， 解得， 该点的坐标为 当时，， 解得， 该点的坐标为 故答案为：或 4．（23-24七年级下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点B到y轴的距离为3，若线段与x轴平行，则线段的长为 ． 【答案】8或 【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键． 先根据线段与x轴平行得出点B的纵坐标为2，再由点B到y轴的距离为3可得出其横坐标，进而得出结论． 【详解】解：线段与x轴平行，且点， 点B的纵坐标为2， 点B到y轴的距离为3， 点B的横坐标为3或， 或， 或． 故答案为：8或 易错题型三　点平面直角坐标系中旋转的多解题 例题：（24-25九年级上·青海西宁·期中）在平面直角坐标系中、将点绕点旋转，得到的点的坐标为 ． 【答案】或 /或 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了点关于原点旋转的点的坐标，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意作图，将点绕点逆时针旋转得点，逆时针旋转得点，可证，得到，且点在第一象限，根据坐标与图形即可求解；根据点与点关于原点对称，可得点的坐标，由此即可求解． 【详解】解：根据题意作图，，将点绕点逆时针旋转得点，逆时针旋转得点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵点在第一象限， ∴， ∵， ∴点与点关于原点对称， ∴， 综上所述，将点绕点旋转，得到的点的坐标为或， 故答案为：或 ． 巩固训练 1．（2023九年级·河南驻马店·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直角三角板的顶点C与原点重合，直角边放在x轴上，，顶点，点M为边的中点，将直角三角板绕点O旋转后点M的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，分顺时针旋转90度和逆时针旋转90度两种情况，求出A、B对应点的坐标，再根据两点中点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ①当线段绕点逆时针旋转后点的对应点为， ∴ ∵点为线段的中点， ∴点为线段的中点， 点的坐标． ②当线段绕点顺时针旋转后点的对应点为，如图， 同理可得点的坐标． 综上所述：点的坐标为或， 故答案为：或． 2．（2023·海南海口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，把点向左平移4个单位得到点，再将点绕原点O旋转得到点，则点的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】由平移方式确定点的坐标、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，先根据平移方式得到，再分顺时针和逆时针旋转，两种情况结合图形求解即可． 【详解】解：∵把点向左平移4个单位得到点， ∴， 当将点绕原点O顺时针旋转得到点时，则， 当将点绕原点O逆时针旋转得到点时，则， 综上所述，点的坐标是或， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）在平面直角坐标系中，，线段的中点绕旋转后对应点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，先求得线段的中点，然后分类讨论，画出图形，结合图形，即可求解． 【详解】解：∵，设为的中点， ∴， 如图所示，当绕点逆时针旋转得到，过点分别作的垂线，垂足分别为，    ∴， ∴， ∴， ∴即 当绕顺时针旋转时，同理可得 故答案为：或． 易错题型四　平面直角坐标系中点的特征 例题：（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，则点P的坐标为______； (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解此题的关键． （1）根据x轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可； （2）根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，结合第二象限内点的符号特征，列出方程求出的值，代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ∴，解得：， ∴， ∴点P的坐标为， 故答案为：； （2）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴， 解得：， 把代入． 巩固训练 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知点． (1)若P点在第二象限，求m的取值范围． (2)点P在过点，且与x轴平行的直线上，求P点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了平面直角坐标内点的坐标， 对于（1），根据第二象限内的点，横坐标小于0，纵坐标大于0，列出不等式组，解之即可； 对于（2），令纵坐标为，求得m的值，代入点P的坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵P点在第二象限， ∴，     解得：； （2）令， 解得， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·河北保定·期中）已知点， (1)若点A在x轴上，求a的值； (2)若点B的坐标为，且轴，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知点所在的象限求参数、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是熟练掌握点的坐标特征； （1）根据点在x轴上可知纵坐标为0，进而问题可求解； （2）根据平行于y轴的线上所有的点的横坐标相等可得方程，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵点A在x轴上， ∴， ∴， ∴a的值为． （2）∵点B的坐标为，且轴， ∴，得． ∴， ∴点A的坐标为． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，已知点P坐标为． (1)若点P在x轴下方且到x轴的距离为11，求m的值． (2)若点P在二、四象限的角平分线上，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． （1）根据点P在x轴下方且到x轴的距离为且x轴的距离为1得出，进而得出答案； （2）根据点P在二、四象限的角平分线上，进而得出答案． 【详解】（1）解：点在轴下方且到轴的距离为且轴的距离为11， （2）解：点在二、四象限的角平分线上， 点的坐标为． 4．（24-25八年级上·江西九江·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点的坐标为，且直线轴，求出点的坐标； (2)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，第二象限内点的坐标特点，实数的运算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据平行于x轴的直线上的点纵坐标相同得到，求出a的值，进而求出即可得到答案； （2）根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为x轴的绝对值结合第二象限横坐标为负，纵坐标为正列出方程求出a的值，然后代值计算即可． 【详解】（1）解：直线轴，点的坐标为， 点的纵坐标为3， ， ， ，即点的横坐标为． 点的坐标为． （2）点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，解得． ． 5．（24-25八年级上·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，已知点．根据下列条件回答问题： (1)当点M在x轴或y轴上时，分别求出点M的坐标； (2)当点M在第四象限的角平分线上，求a的值； (3)若经过点M，的直线与x轴平行，且，求点M，N的坐标． 【答案】(1)在轴上，的坐标是；在轴上，的坐标是； (2)1 (3)或． 【知识点】已知点所在的象限求参数、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）根据轴，轴上点坐标特征，分别列出关于的方程，求得的值，即可得答案； （2）根据第四象限的角平分线上点坐标的特征列出关于的方程，即可解得答案； （3）根据直角坐标系中平行于轴的直线上的点坐标特征，列出关于的方程可得的坐标，由可得的坐标． 本题考查直角坐标系中的点的坐标，解题的关键是掌握直角坐标系中点坐标的特征． 【详解】（1）解：若在轴上，则， ， ， 若在轴上，则， ， ， 在轴上，的坐标是；在轴上，的坐标是； （2）解：在第四象限的角平分线上， ， 解得， 的值为1； （3）解：经过点，的直线与轴平行， ， 解得， ， ， ， 解得或， 或． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　平面直角坐标系中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·广东江门·期中）定义“点P的k阶点”：若点P的坐标为，则把坐标为的Q点称为点P的k阶点（其中k为正整数），例如：点的2阶点为点即． (1)若点的3阶点为点，求点P的坐标； (2)若点的2阶点为点Q，将点Q先向右移动6个单位，再向下移动5个单位得到点，点在第一象限的角平分线上，且到x轴的距离为4，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标 【知识点】坐标与图形、构造二元一次方程组求解、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系与二元一次方程组，平面直角坐标系与平移，掌握平面直角坐标系与平移是解题的关键． （1）根据“点的阶点”的定义列方程解方程解答即可； （2）根据“点的阶点”的定义得到，再根据平移的规律得到，然后根据点在第一象限的角平分线上，且到x轴的距离为4，列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵点的阶点为点， ∴， 解得：， ∴． （2）解：∵点的阶点为点， ∴， 即， ∵点先向右移动个单位，再向下移动5个单位得到点， ∴， 即， ∵点在第一象限的角平分线上，且到x轴的距离为4， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标． 巩固训练 1．（22-23七年级下·福建厦门·期末）定义：若点满足，则称点P为关于x，y的二元一次方程的“坐标点”． (1)若点为方程的“坐标点”，则___________； (2)将向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点Q，若点P与点Q都是关于x，y的二元一次方程的“坐标点”，求的值； (3)是否存在满足的实数r，s，t使得点与点都是方程的“坐标点”，并说明理由． 【答案】(1)1 (2) (3)不存在，见解析 【知识点】新定义下的实数运算、其他问题(二元一次方程组的应用)、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了多元一次方程组，理解材料中的定义，并进行计算是解题的关键． （1）把，代入方程中，进行计算即可解答； （2）求出把向左平移3个单位，再向上平移2个单位后的坐标为，，代入方程中，整理可得，然后将，代入得到，即可解答； （3）把点与点代入方程，整理得到，根据，即可解答． 【详解】（1）解：∵点为方程的“坐标点”， ， 解得； （2）解：∵将向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点Q， ∴Q的坐标为， ∵点P与点Q都是关于x，y的二元一次方程的“坐标点”， ∴， 整理②得：③， 把①代入③得：， ， ∴ ∴的值为； （3）解：不存在满足的实数r，s，t，使得点与点都是方程的“坐标点”，理由如下： 若点与点都是方程的“坐标点”， 则， 由①得， 由②得， 把，代入得：， 整理得：， ∵， ∴不存在r，使成立， ∴不存在满足的实数r，s，t，使得点与点都是方程的“坐标点”． 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点、， 若点满足：,  ，那么称点T 是点A、B 的“伴A 伴随点”．例如：、，当点满足, 时，则点是点A、B的“伴A 伴随点”． (1)已知点、， 点是点M、N的“伴M伴随点”，求y与x 的关系式（用含x的式子表示y) (2)已知点、． ①点P是点A、B的“伴A伴随点”，则点P的坐标为__________    ②在①的条件下，平面直角坐标系内有一点，满足，求k的值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】新定义下的实数运算、坐标与图形、列代数式、利用平行线间距离解决问题 【分析】（1）根据题中点T 是点A、B 的“伴A 伴随点”类似的表示出点M、N的“伴M伴随点”即可解题； （2）①解题方法与（1）类似；②根据点的坐标在坐标系中画出草图，利用得到，利用割补法表示出面积，并建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：对于任意两点、， 若点满足：，  ，那么称点T 是点A、B 的“伴A 伴随点”． 点M、N的“伴M伴随点” 满足：，  ， ． （2）解：①点、，点P是点A、B的“伴A伴随点”， 则点P的坐标为：，即； 故答案为：． ②， ， 点、，P， ， ， ， 解得． 【点睛】本题考查新定义，代数式表示，平行线之间的距离处处相等，一元一次方程运用，割补法求面积，解题的关键在于理解题干“伴A 伴随点”的概念． 3．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）定义：以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象的关联点． (1)在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有______________；（填序号） (2)已知A，C两点是方程图象的关联点，B，C两点是方程图象的关联点．若点A在x轴上，点B在y轴上，求四边形的面积． (3)若，，三点是二元一次方程图象的关联点，探究m，n，p，q之间的关系，请直接写出你的结论． 【答案】(1)①③； (2)； (3)． 【知识点】二元一次方程的解、构造二元一次方程组求解、坐标与图形 【分析】（1）将①；②；③三点，分别代入方程，利用图象的关联点定义即可解决问题； （2）根据图象的关联点定义，解方程组求出点，，三点坐标，进而可以利用割补法求四边形的面积； （3）将，，三点分别代入二元一次方程即可求得与的大小关系． 【详解】（1）解：将①；②；③三点，分别代入方程， ①， ②， ③， 在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有①③， 故答案为：①③； （2）∵，两点是方程图象的关联点，，两点是方程图象的关联点， ， 解得， ， 点在轴上， 当时，， ， ， 点在轴上， 当时，， ， ，， 四边形的面积； （3），，三点是二元一次方程图象的关联点， 将，代入 得 整理，得①， 将代入 得②， ①②得， 解得 将代入 得 即 解得， 将代入 得 即 解得， ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，二元一次方程组的解及其直线方程的图象，解题的关键是学会利用图象法解决问题． 4．（23-24七年级下·福建福州·期中）定义：在平面直角坐标系中，将点变换为，（其中k，b为常数），我们把这种变换称为“L变换”． (1)当时，点经过“L变换”得到的点P′的坐标为______． (2)已知点，，经过“L变换”的对应点分别是，，． ①已知，，且．求出M，N两点的坐标； ②点Q在x轴上，的面积是三角形面积的2倍，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①，或，；②点Q的坐标为或． 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查坐标与图形： （1）解析根据新定义求得P的坐标，即可求解 （2）先根据题意和“L变换”的定义，分别求得的坐标，画出图形；①根据且，建立二元一次方程组求得m，n的值，即可求解； ②根据题意可得：的面积是2，当Q在x轴上时，的面积为4，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点经过“L变换”得到的点的坐标为 故答案为：； （2）①∵点经过“L变换”得到的点是， ∴， 解得：， ∴将点变换为 ∵即经过“L变换”的对应点，即 ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴即经过“L变换”的对应点， 如图所示： ①∵，, ∴轴，则M，N横坐标相等，即①，， ， ∵， ∴， ∴②， 联立①②得：或， 解得：或， ∴或； ②∵， ∴， ∵的面积是三角形面积的2倍， ∴的面积是4， 设， ∵， ∴， 解得，或 ∴点Q的坐标为或． 压轴题型二　平面直角坐标系中的动点面积问题 例题：（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)或 【知识点】坐标与图形、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标系中的面积问题、中点坐标公式等，解题的关键是根据题意熟练应用上述知识． （1）依据题意，由，可得，进而计算可以得解； （2）作轴于点，由三点的坐标可知，再根据代入计算即可； （3）依据题意，可分为当点在线段上时、点在的延长线上和点在的反向延长线上三种情况，分别进行讨论即可得解． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）如图，作轴于点， 由（1）可得，，， ， ， ． （3）由题意，①如图，当点在线段上时， ， ， ， 边上的高是边上的高的3倍， ， 的纵坐标为2， ， ， ， 边上的高是边上的高的， ， 的横坐标为2， ； ②如图，当点在的延长线上时， ， 是线段的中点， 设， ，， ，， ，， ； ③当点在的反向延长线上时， 不成立，不合题意； 综上所述，或． 巩固训练 1．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)；或 【知识点】坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）根据非负数的性质得，据此可得出，的长； （2）过点C作轴于E，则，进而得，然后根据可得出答案； （3）连接，过点D作于M，于N，根据点D在线段AB上，且，可得，从而可求出，进而可得点D的坐标；根据点Q在x轴上且，可分为两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：过点C作轴于E，如图1所示： ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：9． （3）解：连接，过点D作于M，于N，如图2所示： ∵点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵点Q在x轴上且， ∴有以下两种情况： 设， ①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作轴于P，如图3所示： ∵点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴点Q的坐标为； ①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作轴于P，如图4所示： ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上所述：点Q的坐标为或． 压轴题型三　平面直角坐标系中点的规律探究问题 例题：（23-24七年级下·云南大理·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点坐标规律探索，根据蚂蚁的运动规律找出“蚂蚁每运动12个单位长度是一圈”是解题的关键．先求出的长，再用2024除以上述长度，利用余数来确定蚂蚁的位置. 【详解】解：点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， ， 则，余数为8， 故可判断蚂蚁爬了168个循环后，停在了点， 故选：C． 巩固训练 1．（23-24七年级下·北京·期末）如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解题的关键．根据题意得： ，，，，……，由此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ，，，，……， 由此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律为， ∵， ∴点的坐标为． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 【答案】(1)2，0，4，0 (2)，0 (3) 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律求解，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）由图即可求解； （2）根据点的坐标规律可知，即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可直接写出，， 故答案为2，0，4，0． （2）解：根据点的坐标规律可知，， 故答案为，0． （3）解：∵， ∴． 压轴题型四　平面直角坐标系中旋转规律探究问题 例题：（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形．如果点C坐标为，那么点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律即可解决问题．根据正方形的运动发现点的对应点的坐标按旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，据此即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，且点C坐标为， 点的坐标为，则， 点的坐标为， 依次类推， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， 由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现， 由，得到点的坐标为， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图所示，在平面直角标系中，是等腰直角三角形，点，，且，把绕点顺时针旋转得到；把绕点顺时针旋转，得到……依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与旋转规律问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转、等腰三角形的性质、图形的规律等知识点，发现各点坐标的变化规律是解题的关键． 根据题意可以求得的坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，，从而发现其中的变化的规律，然后根据规律即可解答． 【详解】解：如图：作轴于H， ∵点，， ， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴的纵坐标为1， ∵把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到， ∴的坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为， ∴， 当时，． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，……，绕点连续旋转24次得到线段，那么线段的长度为 ． 【答案】3 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】根据旋转的性质，得到线段每旋转4次，回到初始位置，即可求出旋转24次线段的位置，即可求解， 本题考查了，旋转的性质，坐标与图形，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质． 【详解】解：由题意可得，线段每旋转4次，回到初始位置， ∵， ∴线段与线段重合，点与点重合， ∴， 故答案为：3． 3．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转的位置，点在x轴上……依次进行下去．若点，，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、坐标与旋转规律问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查坐标与图形的变化旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题．首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，、、，由图象可知点在轴上，，根据这个规律可以求得的坐标． 【详解】解：由图象可知点在轴上， ，，， ， ，，，， ，， ， ， ． 故答案为:． 4．（24-25八年级上·全国·期末）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】本题主要考查图形的旋转规律，坐标与图形，掌握题中规律是解题的关键．根据得，由绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位，可知第2025次旋转结束时，相当于由此位置旋转，进而可求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位， ∴， ∴第2025次旋转结束时，相当于由此位置旋转， ∴第2025次旋转结束时，点对应点与点A关于原点对称， ∴点对应点的坐标为． 故答案为：． 压轴题型五　平面直角坐标系中与平移的综合问题 例题：（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，，，，，． (1)求的面积； (2)如图，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，、、在同一直线上，求的值； (3)如图，点在线段上，将点向右平移个单位长度至点，若的面积等于，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】坐标与图形、平移综合题(几何变换)、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）由非负数的性质求出，求出，由三点的坐标可求出答案； （2）根据三角形的面积关系可得出答案； （3）连接，设，由三角形面积关系得出，由平移的性质得出，根据三角形的面积关系可求出答案． 【详解】（1），，， ，， ，， ， ，，， ，， ； （2）由题意知：，， ， ， ． （3）连接，， 设， ， ， ， 点向右平移个单位长度得到点， ， ， ， ， ， 【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，平移的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 巩固训练 1．（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．且a，b满足，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K． (1)点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CA上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论． (2)连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)，证明见详解 (2)存在，M点坐标为，，， 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标、平移综合题(几何变换)、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）根据平方与绝对值的非负性即可求出a、b的值，过点P作，由平移的性质可得，利用平行线的性质即可求解； （2）先求出的面积，再根据Q在x轴上与y轴上分别求解． 【详解】（1）解：，证明如下： 证明：∵ ∴，，解得，， ∴，， ∵将点A、B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到对应点C、D， ∴，， 过点P作，由平移的性质可得， ∴， ∴，， ∴， 即． （2）解：存在，M点坐标为，，，．理由如下： 的面积为， ①M在x轴上，根据的高与相等的高， ∴， ∴点M坐标为，， ②M在y轴上，的高为，的面积为5， 即 ∴ 又∵， ∴点M坐标为，． 故存在符合条件的M点坐标为，，，． 【点睛】本题主要考查直角坐标系中点的平移及图形面积的计算和坐标轴上点的特征，根据题目已知平移方式得到点的坐标与面积的计算是解答本题的关键． 2．（23-24七年级下·天津滨海新·期末）在平面直角坐标系中，为原点，点． (1)如图①，则三角形的面积为______； (2)如图②，将线段向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到平移后的线段连接，． ①求三角形的面积； ②是一动点，若，请直接写出点坐标． 【答案】(1)3 (2)①；② 【知识点】平移综合题(几何变换) 【分析】（1）判断出，的长，利用三角形面积公式求解． （2）①利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．②利用三角形面积公式，构建方程求解即可． 【详解】（1）∵A(0，-3)，B(-2，0)， ∴OA=3，OB=2， ∴， 故答案为：． （2）如图：， 由题意，， ， ∴P（-1，10）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，学会利用参数构建方程解决问题． 3．（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）在平面直角坐标系中，点满足． (1)直接写出点A的坐标； (2)如图1，将线段沿y轴向下平移a个单位后得到线段(点O与点B对应)，过点C作轴于点D．若，求a的值； (3)如图2，点在y轴上，连接，将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段(点O与点F对应)，交于点P．y轴上是否存在点Q，使？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，点Q坐标为或． 【知识点】由平移方式确定点的坐标、平移综合题(几何变换)、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了二次根式和绝对值的非负性，平移变换，四边形的面积等知识，掌握面积切割法，分类讨论，利用参数构建方程是解决的关键． （1）根据二次根式和绝对值的非负性即可求得的值； （2）根据平移的性质，得到，，，结合，用坐标表示距离，分情况讨论即可求解； （3）连接，过点P作x轴的平行线，交于点M，交y轴于点N，由三角形的面积得出方程求解即可． 【详解】（1） 点满足， ，， ，， ． （2）将线段向下平移a个单位后得到线段，， 点O与点B对应，点与点对应，轴于点D， ，，， ，， ， ①当点D位于x轴上方时，即， ， ，解得； ②当点D位于x轴下方时，即 ， ，解得； 综上所述或； （3）连接，过点P作x轴的平行线，交于M，交y轴于N， 依题意得，， 将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段, 四边形为平行四边形， ， 又 ， ，， ， ，解得， 设，则， 即， 解得，即， 解得或， 综上所述，点Q坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 平面直角坐标系 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　已知点所在的象限求参数 1 易错题型二　已知点到坐标轴的距离求点坐标的多解题 4 易错题型三　点平面直角坐标系中旋转的多解题 6 易错题型四　平面直角坐标系中点的特征 10 【压轴题型】 15 压轴题型一　平面直角坐标系中的新定义型问题 15 压轴题型二　平面直角坐标系中的动点面积问题 24 压轴题型三　平面直角坐标系中点的规律探究问题 31 压轴题型四　平面直角坐标系中旋转规律探究问题 33 压轴题型五　平面直角坐标系中与平移的综合问题 38 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　已知点所在的象限求参数 例题：（福建省三明市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）在平面直角坐标系中，点在轴上，则 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）若点在坐标轴上，则m的值是 ． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若点在第一象限，且到轴的距离为7，到轴的距离为8，则 ， ． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）若点在第二象限，则的取值范围是 ． 4．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，点在第四象限角平分线上，则的平方根为 ． 易错题型二　已知点到坐标轴的距离求点坐标的多解题 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且点N到x轴的距离等于4，则点N的坐标是 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如果点到横坐标和纵坐标的距离相等，则 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知点在轴的上方，且到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是 ． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）若点的坐标满足等式，则称该点A为“和谐点”．若某个“和谐点”到x轴的距离为3，则该点的坐标为 4．（23-24七年级下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点B到y轴的距离为3，若线段与x轴平行，则线段的长为 ． 易错题型三　点平面直角坐标系中旋转的多解题 例题：（24-25九年级上·青海西宁·期中）在平面直角坐标系中、将点绕点旋转，得到的点的坐标为 ． 巩固训练 1．（2023九年级·河南驻马店·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直角三角板的顶点C与原点重合，直角边放在x轴上，，顶点，点M为边的中点，将直角三角板绕点O旋转后点M的对应点的坐标是 ． 2．（2023·海南海口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，把点向左平移4个单位得到点，再将点绕原点O旋转得到点，则点的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）在平面直角坐标系中，，线段的中点绕旋转后对应点的坐标为 ． 易错题型四　平面直角坐标系中点的特征 例题：（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，则点P的坐标为______； (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 巩固训练 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知点． (1)若P点在第二象限，求m的取值范围． (2)点P在过点，且与x轴平行的直线上，求P点的坐标． 2．（24-25八年级上·河北保定·期中）已知点， (1)若点A在x轴上，求a的值； (2)若点B的坐标为，且轴，求点A的坐标． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，已知点P坐标为． (1)若点P在x轴下方且到x轴的距离为11，求m的值． (2)若点P在二、四象限的角平分线上，求点P的坐标． 4．（24-25八年级上·江西九江·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点的坐标为，且直线轴，求出点的坐标； (2)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 5．（24-25八年级上·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，已知点．根据下列条件回答问题： (1)当点M在x轴或y轴上时，分别求出点M的坐标； (2)当点M在第四象限的角平分线上，求a的值； (3)若经过点M，的直线与x轴平行，且，求点M，N的坐标． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　平面直角坐标系中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·广东江门·期中）定义“点P的k阶点”：若点P的坐标为，则把坐标为的Q点称为点P的k阶点（其中k为正整数），例如：点的2阶点为点即． (1)若点的3阶点为点，求点P的坐标； (2)若点的2阶点为点Q，将点Q先向右移动6个单位，再向下移动5个单位得到点，点在第一象限的角平分线上，且到x轴的距离为4，求点P的坐标． 巩固训练 1．（22-23七年级下·福建厦门·期末）定义：若点满足，则称点P为关于x，y的二元一次方程的“坐标点”． (1)若点为方程的“坐标点”，则___________； (2)将向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点Q，若点P与点Q都是关于x，y的二元一次方程的“坐标点”，求的值； (3)是否存在满足的实数r，s，t使得点与点都是方程的“坐标点”，并说明理由． 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点、， 若点满足：,  ，那么称点T 是点A、B 的“伴A 伴随点”．例如：、，当点满足, 时，则点是点A、B的“伴A 伴随点”． (1)已知点、， 点是点M、N的“伴M伴随点”，求y与x 的关系式（用含x的式子表示y) (2)已知点、． ①点P是点A、B的“伴A伴随点”，则点P的坐标为__________    ②在①的条件下，平面直角坐标系内有一点，满足，求k的值． 3．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）定义：以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象的关联点． (1)在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有______________；（填序号） (2)已知A，C两点是方程图象的关联点，B，C两点是方程图象的关联点．若点A在x轴上，点B在y轴上，求四边形的面积． (3)若，，三点是二元一次方程图象的关联点，探究m，n，p，q之间的关系，请直接写出你的结论． 4．（23-24七年级下·福建福州·期中）定义：在平面直角坐标系中，将点变换为，（其中k，b为常数），我们把这种变换称为“L变换”． (1)当时，点经过“L变换”得到的点P′的坐标为______． (2)已知点，，经过“L变换”的对应点分别是，，． ①已知，，且．求出M，N两点的坐标； ②点Q在x轴上，的面积是三角形面积的2倍，直接写出点Q的坐标． 压轴题型二　平面直角坐标系中的动点面积问题 例题：（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 巩固训练 1．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 压轴题型三　平面直角坐标系中点的规律探究问题 例题：（23-24七年级下·云南大理·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·北京·期末）如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标是 ． 2．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 压轴题型四　平面直角坐标系中旋转规律探究问题 例题：（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形．如果点C坐标为，那么点的坐标为 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图所示，在平面直角标系中，是等腰直角三角形，点，，且，把绕点顺时针旋转得到；把绕点顺时针旋转，得到……依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为 ． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，……，绕点连续旋转24次得到线段，那么线段的长度为 ． 3．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转的位置，点在x轴上……依次进行下去．若点，，则点的坐标为 ． 4．（24-25八年级上·全国·期末）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为 ． 压轴题型五　平面直角坐标系中与平移的综合问题 例题：（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，，，，，． (1)求的面积； (2)如图，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，、、在同一直线上，求的值； (3)如图，点在线段上，将点向右平移个单位长度至点，若的面积等于，求点坐标． 巩固训练 1．（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．且a，b满足，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K． (1)点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CA上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论． (2)连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由． 2．（23-24七年级下·天津滨海新·期末）在平面直角坐标系中，为原点，点． (1)如图①，则三角形的面积为______； (2)如图②，将线段向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到平移后的线段连接，． ①求三角形的面积； ②是一动点，若，请直接写出点坐标． 3．（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）在平面直角坐标系中，点满足． (1)直接写出点A的坐标； (2)如图1，将线段沿y轴向下平移a个单位后得到线段(点O与点B对应)，过点C作轴于点D．若，求a的值； (3)如图2，点在y轴上，连接，将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段(点O与点F对应)，交于点P．y轴上是否存在点Q，使？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$