8.4 乘法公式（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版2024）

8.4 乘法公式（1） 第1课时　完全平方公式 学习目标 1. 能推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算； 2. 通过几何图形面积的计算，了解完全平方公式的几何意义，感悟数形结合的思想. 2 知识回顾 如何进行多项式乘多项式的运算？ 知识回顾 多项式乘多项式的运算法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. (a＋b) (c＋d) ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd 4 知识回顾 计算：(1) (a＋b)(a＋b)； (2) (mn－3)(mn－3). 解：(1) (a＋b)(a＋b) ＝a2＋ab＋ba＋b2 ＝a2＋2ab＋b2； (2) (mn－3)(mn－3) ＝m2n2－3mn－3mn＋9 ＝m2n2－6mn＋9. 5 问题情境 如何计算下图的面积？ 如果把图看成一个大正方形，那么它的面积为__________. (a＋b)2 如果把图看成由2个小长方形和2个小正方形组成的，那么它的面积为______________. a2＋2ab＋b2 两个代数式之间有何关系？ b a b a 6 讨论与交流 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 你能从运算的角度说明这个等式成立吗？ (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b) ＝a2＋ab＋ba＋b2 ＝a2＋2ab＋b2. 多项式乘多项式法则 合并同类项 7 尝试与交流 解法1： (a－b)2＝(a－b)(a－b) ＝a2－ab－ba＋b2 ＝a2－2ab＋b2. 计算：(a－b)2. 解法2： (a－b)2＝[a＋(－b)]2 ＝a2＋2·a·(－b)＋(－b)2 ＝a2－2ab＋b2. 8 归纳与总结 完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2. 完全平方公式有什么特点？ 左边：两个数的和（或差）的平方； 右边：这两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的2倍. 记忆口诀： 首平方，尾平方， 首尾的2倍放中央，符号看前方. 9 例题讲解 (1) (5＋3p)2； 例1 用完全平方公式计算： (a＋b)2 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 解：(1)原式＝ 52 ＋ 5·3p 2× ＋ (3p)2 ＝ 25＋30p＋9p2； 10 例题讲解 (2) (2x－7y)2； 例1 用完全平方公式计算： (a－b)2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 解：(2)原式＝ (2x)2－2·2x·7y＋(7y)2 ＝4x2－28xy＋49y2； 11 例题讲解 (3) (－2a－5)2. 例1 用完全平方公式计算： (a－b)2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 解：(3)原式＝ (－2a)2－2·(－2a)·5＋52 ＝4a2＋20a＋25. 还有其他计算方法吗？ 12 例题讲解 (3) (－2a－5)2. 例1 用完全平方公式计算： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 解：(3)原式＝[－(2a＋5)]2 ＝(2a)2＋2·2a·5＋52 ＝4a2＋20a＋25. 其实(－2a－5)2与(2a＋5)2相等，先变形再化简会更方便. ＝(2a＋5)2 13 新知巩固 1. 下面的计算是否正确？如有错误，请改正. (1) (x＋y)2＝x2＋y2； (2) (－x－y)2＝－x2－2xy＋y2； × × x2＋2xy＋y2 x2＋2xy＋y2 (3) (－m＋n)2＝－m2 ＋n2. × (－m＋n)2 ＝ (－m)2＋2•(－m)•n＋n2 ＝ m2－2mn＋n2 [－(m－n)]2 ＝(m－n)2 ＝m2－2mn＋n2 14 新知巩固 2. 用完全平方公式计算： (1) (1＋x)2； (2) (y－3)2； y2－6y＋9 1＋2x＋x2 (3) (－3x＋2)2； (4) . 9x2－12x＋4 x2－xy＋ y2 15 例题讲解 例2 用完全平方公式计算： (1) 1992； 解：(1)1992＝(200－1)2 ＝2002－2×200×1＋12 ＝40 000－400＋1 ＝39 601； (2) 2012. (2)2012＝(200＋1)2 ＝2002＋2×200×1＋12 ＝40 000＋400＋1 ＝40 401. 16 新知巩固 用完全平方公式计算： (1) 1022； (2) 1972. 解：(1)1022 ＝(100＋2)2 ＝1002＋2×100×2＋22 ＝10000＋400＋4 ＝10404； (2)1972 ＝(200－3)2 ＝2002－2×200×3＋32 ＝40000－1200＋9 ＝38809. 17 探究与思考 1. 一个奇数的平方一定是奇数吗？请说明理由. 解：设这个奇数为2n＋1(n为整数)，则 (2n＋1)2＝4n2＋4n＋1＝2(2n2＋2n)＋1. ∵n为整数， ∴2n2＋2n为整数， ∴2(2n2＋2n)＋1为奇数， ∴(2n＋1)2为奇数. ∴一个奇数的平方一定是奇数. 18 探究与思考 2. 计算 （a＋b＋c)2 解：(a＋b＋c)2 ＝[(a＋b)＋c]2 ＝(a＋b)2+2·(a＋b)·c＋c2 ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2 ＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. 把a＋b看成一个整体. 还有其他算法吗？ 19 例3 用不同的代数式表示图中草坪的面积. 由此，你能得到怎样的等式？试用乘法公式说明这个等式成立. 解：观察图形可知， S＝20×20－2a×20＋a2＝400－40a＋a2， 将图中的两条路平移至两边后，可得 S＝(20－a)2， ∴ (20－a)2＝400－40a＋a2. 拓展与提高 20 拓展与提高 例4 已知m＋n＝8，mn＝6，求m2＋n2，(m－n)2 . 解：∵(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn，m＋n＝8，mn＝6， ∴ m2＋n2＝(m＋n)2－2mn ＝82－2×6 ＝52， ∴ (m－n)2＝m2＋n2－2mn ＝52－2×6 ＝40. 21 拓展与提高 变式 已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3. 求：a2＋b2，ab的值. 解：∵ (a＋b)2＝7，(a－b)2＝3， ∴ a2＋2ab＋b2＝7，① a2－2ab＋b2＝3，② ∴①＋②得 2a2＋2b2＝10， 解得 a2＋b2＝5， ①－②得 4ab＝4， 解得 ab＝1. 22 拓展与提高 常见的完全平方公式的变形： 完全平方公式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 常见变形 ① a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ② a2＋b2＝(a－b)2＋2ab ③ 2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2) ④ 2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2 ⑤ (a－b)2＝(a＋b)2－4ab ⑥ (a＋b)2＝(a－b)2＋4ab 23 完全平方公式的特点 完全平方公式的几何意义 课堂总结 完全平方公式的运用 当堂检测 基础过关 1.计算： (1) (2a＋3b)2； (2) (2x－5y)2； (3) 3 (a－b)2； (4) (－x－2y)2. 4a2＋12ab＋9b2 4x2－20xy＋25y2 a2－2ab＋3b2 x2＋4xy＋4y2 25 当堂检测 2. 填空： (1) (a＋_____)2 ＝a2＋4ab＋4b2； (2) (2a＋____)2 ＝4a2＋4ab＋b2； (3) (3x－____)2 ＝9x2－12xy＋_____； (4) (－x－___)2 ＝x2＋____＋1. 2b b 2y 4y2 1 2x 基础过关 26 3. 边长为am(a＞6) 的正方形花圃，如果边长减少6m，那么花圃的面积减少了多少？ 6cm 6cm a 当堂检测 解：a2－(a－6)2 ＝a2－(a2－12a＋36) ＝a2－a2＋12a－36 ＝(12a－36)m2. 答：花圃的面积减少了(12a－36)m2. 基础过关 27 当堂检测 能力提升 1. 已知(y＋a)2＝y2－8y＋b，那么a，b的值分别为 (　　) A．4，16 B．－4，－16 C．4，－16 D．－4，16 D 28 当堂检测 能力提升 2. 小兵计算一个二项整式的平方式时，得到正确结果是4x2＋ ＋25y2，但中间一项不慎被污染了，这一项应是 ( ) A . 10xy B. 20xy C. ±10xy D. ±20xy D 29 当堂检测 能力提升 3．若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为_______． 4ab 4．已知a＋＝4，则a2＋的值是________． 14 5．若a＋b＝3，ab＝2，则a－b＝_____． ±1 30 当堂检测 能力提升 6. 先化简，再求值：(x－1)(3x＋1)－(x＋2)2＋5，其中x2－3x－1＝0. 解：原式＝3x2＋x－3x－1－x2－4x－4＋5＝2x2－6x. ∵ x2－3x－1＝0， ∴ x2－3x＝1. ∴ 原式＝2(x2－3x)＝2×1＝2. 31 当堂检测 能力提升 7．已知a＋b＝8，ab＝3，求(a－b)2的值． 解： (a－b)2 ＝(a＋b)2－4ab ＝82－4×3 ＝52. 32 当堂检测 能力提升 8. 图①是一个长为2m，宽为2n(m＞n)的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． 按要求填空：①图②中阴影部分正方形的边长等于________． ① ② m n n m m m n n m－n 33 当堂检测 能力提升 8. 图①是一个长为2m，宽为2n(m＞n)的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． ②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积． 方法1：________________； 方法2：________________． ① ② m n n m m m n n (m－n)2 (m＋n)2－4mn 34 当堂检测 能力提升 8. 图①是一个长为2m，宽为2n(m＞n)的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． ③观察图②，请写出(m＋n)2，(m－n)2，4mn这三个代数式之间的等量关系：______________________． ① ② m n n m m m n n (m－n)2＝(m＋n)2－4mn 35 2021 Blues 4800.0 $$