压轴专题05 导数应用基础核心技巧（11大题型）-2025年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）

压轴题05 导数应用基础核心技巧 总论 一．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 二．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 三．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 四.函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线的斜率，即f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 五．切线方程的求法 (1)已知切点时求切线方程的方法： ①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). (2)切点未知时的解题通法： ①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； ②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； ③将已知条件代入②中的切线方程求解. 六、与切线有关的问题的求解技巧 1、会利用导数的几何意义，即曲线在点处的切线的斜率为； 2. 注意切点坐标的“一拖三”（切点与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上）． 3.解决两曲线的公切线问题的关键是分别求出切线，然后利用方程思想解题. 压轴题型一：导数计算 √满分技法 导数计算技巧： 1. 任何导数值，都是具体的数，求导时候，可以作为常数对待。 2. 复杂函数求导，可以利用整体代换法来换元对待。 1．已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A．11520 B．23040 C．11520 D．23040 3．已知是的导函数，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，且，则实数（    ） A．2024 B．2023 C． D． 5．已知在等比数列中，，，若函数，则（    ） A．2 B． C． D． 压轴题型二：导数几何意义比大小 √满分技法 导数的几何意义，在实际做题思维中，有两个方向： 1. 导数就是切线斜率。需要注意的是原函数增减，不仅仅对应着导函数正负，还要适当的对比，原函数的上凸下凹，还对应着导函数函数值的绝对值大小，可以适当借鉴物理学中的加速度来让学生理解。 2. 导函数作为切线斜率，还要用极限思想，对应着割线的斜率。注意对应的极限逼近数值逼近思维。 1．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　）    A． B． C． D． 5．如图，直线是曲线在处的切线，则（    ） A． B． C． D． 压轴题型三：“过点”切弦条数判断 √满分技法 求“过点”型，如下图， 求导过程与计算如下，切线条数判断经验型标准：有几个切点，即有几条切线 1．已知函数，过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知函数，过点可作曲线切线的条数为 A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 4．已知函数过点作曲线的切线，则切线的条数为 ． 5．已知函数，过点作曲线的切线，则切线的条数为 ． 压轴题型四：“过点”切线条数求参 √满分技法 “过点”型切线条数求参，有如下几个方向： 1. 如果有可能，可以简单求导画出图像，根据图像凸凹情况“目测”型判断（但易误判） 2. 可以采取“参变分离”方法，转化为水平线与函数图像交点求最值（极值）型 3. 可以采取求导分类讨论型求解，此时要注意一些题型会有可能需要处理“隐零点”的转化。 1．已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则（    ） A． B． C． D．或 2．若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 4．过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 . 5．若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为 . 压轴题型五：切线法：分界求参 √满分技法 涉及到交点个数题型，可以有三个思路： 1. 全部移项到一侧，含参型，分类讨论，这是属于“小题大做”型，思维简单，讨论参数时较麻烦。 2. 可以采取“参变分离”，转化为不含参函数图像，以及含参的“水平线”法来解决交点个数问题，必要时候，可以用“洛必达”法则来处理“断点”型函数值不存在的问题。 3. 特殊技巧，就是“分涵”，分离函数来处理，分离函数型，多分离成为不含参的曲线，与含参的直线型，此时求交点来判断，要注意的是，含参直线，多有“含参直线过定点”这个特殊性质，也就是参数起到了“旋转”直线的动态过程。 1．已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 4．已知函数，若恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若关于的不等式（是自然对数的底数）在上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 压轴题型六：切线法：距离转化应用 √满分技法 高中数学有“三大几何意义”型公式，隐藏的比较深，如下三种形式： 1. 距离型。多是借助距离公式（平方和形式），如这种形式。可以处理为（a，b）与（c，d）两点的距离的平方。 2. 分式型，多为斜率公式。 3. 带绝对值型，可以用点到直线距离公式来凑配转化。 1．已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为 A． B． C． D． 2．已知实数，，，满足，则的最小值为（    ） A． B．8 C．4 D．16 3．若＝＝1，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为（    ） A． B． C． D．e4＋5e2＋5 4．已知，，则的最小值为 ． 5．已知，则的最小值为 . 压轴题型七：求曲线公切线 √满分技法 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切， 然后分别设切点，求对应的切线，两条切线再用待定系数法求切点坐标或者对应关系。 1．曲线与的公切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 2．函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．函数与函数公切线的纵截距为（    ） A．1或0 B．-1或0 C．1或 D．-1或 4．已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 . 5．曲线与曲线的公切线方程为 ． 压轴题型八： 公切线求参 1．若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 压轴题型九：切线法：双切线两根型 √满分技法压轴题型八： 公切线求参 √满分技法 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点. 不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))， 则f′(x1)＝g′(x2)（平行），或者f′(x1)*g′(x2)=-1（垂直）等条件转换 1．已知直线与曲线和分别相切于点，.有以下命题：（1）(为原点)；（2）；（3）当时，.则真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，，直线分别与曲线和曲线相切于点，，且直线也与曲线，都相切，则（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线E：的焦点为F，过F的直线交E于点，，E在B处的切线为，过A作与平行的直线，交E于另一点，记与y轴的交点为D，则（    ） A． B． C． D．面积的最小值为16 5．已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（    ） A． B． C． D． 压轴题型十： 切线法：切线逼近求零点 √满分技法压轴题型九： √满分技法 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 1．已知函数，在上有个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（          ） A． B． C． D． 4．函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 ． 6．已知函数函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是 . 压轴题型十一：切线法：切线逼近不等式整数解 √满分技法压轴题型八： 公切线求参 √满分技法 对于不等式含参型整数解，多转化为切线逼近求不等式整数解，。 转化目标： 1. 一侧是可求导画图的函数 2. 一侧是含参型动直线。 3. 通过动直线与函数图像的关系，代入整数值，寻找满足整数解的参数范围 4. 要注意的是，因为是满足的整数解，所以代入点时，要“跳跃型”代入。 1．设函数（）（为自然对数的底数），若关于的不等式的正整数解有且只有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．定义在上的偶函数满足，且，关于的不等式的整数解有且只有个，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 结束 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题05 导数应用基础核心技巧 总论 一．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 二．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 三．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 四.函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线的斜率，即f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 五．切线方程的求法 (1)已知切点时求切线方程的方法： ①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). (2)切点未知时的解题通法： ①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； ②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； ③将已知条件代入②中的切线方程求解. 六、与切线有关的问题的求解技巧 1、会利用导数的几何意义，即曲线在点处的切线的斜率为； 2. 注意切点坐标的“一拖三”（切点与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上）． 3.解决两曲线的公切线问题的关键是分别求出切线，然后利用方程思想解题. 压轴题型一：导数计算 √满分技法 导数计算技巧： 1. 任何导数值，都是具体的数，求导时候，可以作为常数对待。 2. 复杂函数求导，可以利用整体代换法来换元对待。 1．已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义，列方程组求解即可. 【详解】由题意知， 所以，解得， 又， 所以，解得，所以. 故选：C. 2．已知函数，则（    ） A．11520 B．23040 C．11520 D．23040 【答案】A 【分析】令，则，对函数求导后结合导数的定义可得结果. 【详解】令， 则，则， 所以 . 故选：A 3．已知是的导函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导数，再分别计算后可求解答案. 【详解】因为，所以， 故，即， ，即， 故． 故选：A 4．已知函数，且，则实数（    ） A．2024 B．2023 C． D． 【答案】A 【分析】观察函数特征，不妨令，所以，则，再代入运算即可. 【详解】令，所以， 所以， 所以， 解得． 故选：． 5．已知在等比数列中，，，若函数，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用导数的运算法则及等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】由， 可知， 又，，所以， 故选：B. 压轴题型二：导数几何意义比大小 √满分技法 导数的几何意义，在实际做题思维中，有两个方向： 1. 导数就是切线斜率。需要注意的是原函数增减，不仅仅对应着导函数正负，还要适当的对比，原函数的上凸下凹，还对应着导函数函数值的绝对值大小，可以适当借鉴物理学中的加速度来让学生理解。 2. 导函数作为切线斜率，还要用极限思想，对应着割线的斜率。注意对应的极限逼近数值逼近思维。 1．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义及直线的斜率公式结合图形可得结果. 【详解】根据导数的几何意义， 如图，分别表示在点处切线的斜率, 又，由图可知，故选：B. 2．已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由导数的几何意义结合函数图象即可求解. 【详解】由导数的几何意义可知，表示曲线在处的切线斜率， 表示曲线在处的切线斜率， 表示，两点连线的斜率， 由图可知，当从0变化到1时，切线斜率越来越大， 所以，对比选项可知，D正确. 故选：D. 3．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用曲线上两点所在直线的斜率和过两点的切线斜率的比较即可得到. 【详解】    如图，设函数的图象上有两点，经过点的切线分别为, 则直线的斜率依次为， 由图知直线的倾斜角满足，， 因函数在上递增，故， 即. 故选：B. 4．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作曲线在点，，处的切线，结合导数的几何意义比较的大小，可得结论. 【详解】作曲线在点，，处的切线，记其斜率依次为， 结合图象可得，由导数的几何意义可得， 所以.故选：D.   5．如图，直线是曲线在处的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点斜率公式可得，即可由导数的几何意义求解. 【详解】由图可知：直线与相切于，且经过， 故，因此，故选：A 压轴题型三：“过点”切弦条数判断 √满分技法 求“过点”型，如下图， 求导过程与计算如下，切线条数判断经验型标准：有几个切点，即有几条切线 1．已知函数，过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出的导函数，设切点坐标为，写出切线方程，把代入，得到关于的方程，根据方程解的个数即可得出切线的条数． 【详解】解法一  由，得．设切点坐标为， 则切线方程为， 把代入可得，即， 因为，所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条． 解法二  由，得，令，得． 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，且，则点在曲线的下方，   数形结合可知，过点可作曲线的2条切线．故选：B 2．已知函数，过点可作曲线切线的条数为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义及切线所过点求出切点个数，从而可得答案. 【详解】设切点为 ， 所以 ，整理得； 令，由，得， 当时，为单调递增函数； 当时，为单调递减函数； 所以； 又，， 所以有两个不同的根，即切线的条数为2， 故选：C. 3．已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出a，再求出函数的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答. 【详解】因函数是奇函数，则由得恒成立，则， 即有，， 设过点向曲线所作切线与曲线相切的切点为， 而点不在曲线上，则，整理得， 即，解得或，即符合条件的切点有3个， 所以过点向曲线可作的切线条数是3. 故选：C 4．已知函数过点作曲线的切线，则切线的条数为 ． 【答案】2 【分析】分与两种情况，设出切点，写出切线方程，把点代入切线方程，求出相应答案即可. 【详解】当时，，设切点为，，又 故过的切线方程为,将代入可得, 解得或4，均大于0，满足要求；当时，，设切点为， 又，故过的切线方程为 将代入，可得解得或4，均大于0，不合要求，舍去． 故答案为：2． 5．已知函数，过点作曲线的切线，则切线的条数为 ． 【答案】1 【分析】分与两种情况，设出切点，写出切线方程，将代入，求出相应答案. 【详解】当时，，设切点为，，其中， 故过的切线方程为， 将代入，可得，解得，满足要求， 当时，，设切点为，，其中， 故过的切线方程为， 将代入，可得，解得，不合要求，舍去；故答案为：1 压轴题型四：“过点”切线条数求参 √满分技法 “过点”型切线条数求参，有如下几个方向： 1. 如果有可能，可以简单求导画出图像，根据图像凸凹情况“目测”型判断（但易误判） 2. 可以采取“参变分离”方法，转化为水平线与函数图像交点求最值（极值）型 3. 可以采取求导分类讨论型求解，此时要注意一些题型会有可能需要处理“隐零点”的转化。 1．已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】设切点为，再根据导数的几何意义结合两点间的斜率公式可得有3个解，构造函数，求导分析单调性与极值可得的取值范围. 【详解】，设经过点且与曲线相切的切点为，则.又切线经过，故由题意有3个解. 化简有，即有3个解. 设，则，令有或，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减. 又，，且，，故要有3个解，则. 故选：A 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 2．若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是， 故选：D 3．若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，，求导，根据导数的几何意义可得有两个正根，利用判别式及根与系数关系列不等式可得解. 【详解】设切点为，，又，所以切线斜率， 所以切线方程为，又切线过点，则，， 即，由过点可作两条切线，所以有两个正根， 即，整理可得，故选：C. 4．过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设切点，即可求解切线方程， 将代入切线方程中得，构造，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】由得， 设直线与曲线的切点为，则切线方程为， 将代入切线方程中得. 令，则，令，解得， 所以在和单调递减，在单调递增， 且当时，，当时，，而，， 要使只有一个实数根，则. 故答案为： 5．若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求得曲线过坐标原点的切线方程，再列出关于实数a的不等式，进而求得实数a的取值范围. 【详解】设切点坐标为：， 所以切线斜率为， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以， 整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得， 又因为，所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 压轴题型五：切线法：分界求参 √满分技法 涉及到交点个数题型，可以有三个思路： 1. 全部移项到一侧，含参型，分类讨论，这是属于“小题大做”型，思维简单，讨论参数时较麻烦。 2. 可以采取“参变分离”，转化为不含参函数图像，以及含参的“水平线”法来解决交点个数问题，必要时候，可以用“洛必达”法则来处理“断点”型函数值不存在的问题。 3. 特殊技巧，就是“分涵”，分离函数来处理，分离函数型，多分离成为不含参的曲线，与含参的直线型，此时求交点来判断，要注意的是，含参直线，多有“含参直线过定点”这个特殊性质，也就是参数起到了“旋转”直线的动态过程。 1．已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，，可将问题转化为方程组有且只有一组实数根.后通过研究曲线，及曲线过原点与的切线，可得答案. 【详解】令，则 ，令，则 ，令，则. 令在上单调递增； 在上单调递减； 又，，则有且只有两根，分别为. 则函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点， 等价于方程组有且只有一组实数根.令，则， 当时，，则此时在上递增，又.即，则有且只有一组实数根. 当时，方程组有且只有一组实数根，等价于函数图象与直线图象有两个交点，临界情况为两条直线与图象相切. 当与相切，设对应切点为，因 ，则相应切线方程为 ；当与相切，设对应切点为，则相应切线方程为 ，则.综上，.故选：A 【点睛】关键点睛：本题涉及同构以及用导数，函数思想研究函数图象的交点.同构时，需仔细观察，巧用指对互化，将相同结构放在一起以便简化问题，对于函数零点问题，常可转化为相关图象交点问题来解决. 2．若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将题干中的不等式变形为，由题意可知直线恒位于函数图象的上方，函数的图象的下方，代表直线在轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过且与曲线相切时，最小，设切点坐标为，求出的值，即可得出的最小值. 【详解】令，其中，则， 当时，，则函数在上单调递增，且，令，则， 因为函数在上单调递增，，， 所以，存在，使得，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，如下图所示： 由题意得，直线恒位于的图象上方，的图象下方， 代表直线在轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过且与曲线相切时，最小．设切点为，则，整理可得， 令，则，， 而当时，，，所以，， 所以当时，，则函数在上单调递增，所以有唯一的零点， 所以，此时直线方程为，故.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的最值，解题的关键在于将不等式变形为，通过作出图象，找出直线与函数相切时，最小，然后利用导数法进行求解. 3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】 讨论的取值范围，利用函数图象，结合导数求出，构造函数，利用导数求出函数的最值，进而得解. 【详解】设，，若，对任意恒成立，则，对任意恒成立，当时，在同一坐标系中作出函数的图象， 显然，由图可知，对任意不恒成立； 当时，在同一坐标系中作出函数的图象， 由图可知，临界条件是直线与曲线的图象相切时， 由，求导，设，解得，且， ∴当的切线斜率为1时，切点坐标为故，所以 即两边同除以，，令 求导令，得，即 当，，函数单调递增，当，，函数单调递减， 所以当，函数取到最大值，且故的最大值为故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立求参数取值范围问题，需要结合图象分类讨论，构造函数将问题转化，考查数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是难题. 4．已知函数，若恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由在和上的单调性，画出的图象，分别求得当与相切时，当和相切时，切点的坐标，求得对应的值，结合函数图象即可求得范围． 【详解】解：恒成立可以转化为函数的图象不在图象的下方， 当时，，，在上单调递减，且（2）， 又当时，，在上单调递增，且（2）， 画出函数图象如下图所示，令， 当和相切时，设切点的横坐标为， ，即，解得，切点坐标为，此时，结合图象可知， 当和相切时，设切点的横坐标为， ，即，解得，切点坐标为， 此时，结合图象可知，所以实数的取值范围为.故选：C． 5．已知函数，若关于的不等式（是自然对数的底数）在上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图像处理恒成立问题. 【详解】在上恒成立，等价于的图像恒在 直线的上方，画出的图像： 直线恒过定点，当直线 与，相切时，设切点，求导 得，可得，由， 解得，则切线的斜率为2.当直线与 ，相切时，直线与半圆 相切，由，解得， 由图可知，的取值范围是.故A，B，C错误. 故选：D. 压轴题型六：切线法：距离转化应用 √满分技法 高中数学有“三大几何意义”型公式，隐藏的比较深，如下三种形式： 1. 距离型。多是借助距离公式（平方和形式），如这种形式。可以处理为（a，b）与（c，d）两点的距离的平方。 2. 分式型，多为斜率公式。 3. 带绝对值型，可以用点到直线距离公式来凑配转化。 1．已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知得点在直线上，点在曲线上，的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方，由此能求出的最小值. 【详解】实数满足， ， 点在直线上，点在曲线上， 的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方， 考查曲线平行于直线的切线， ，令， 解得，切点为， 该切点到直线的距离，就是所求的直线与曲线间的最小距离，故的最小值为. 故选：D 【点睛】本题主要考查了代数式最小值的求法，曲线的切线，导数的几何意义，点到直线的距离，两点间距离公式，属于难题. 2．已知实数，，，满足，则的最小值为（    ） A． B．8 C．4 D．16 【答案】B 【分析】利用绝对值的性质及两点间的距离公式，结合导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由得，，，即，， 的几何意义为曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方， 不妨设曲线，直线，设与直线平行且与曲线相切的直线方程为， 显然直线与直线的距离的平方即为所求， 由，得，设切点为，，则，解得， 直线与直线的距离为， 的最小值为8．故选：B. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是将问题转化为求曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方，进而再转化为求曲线上的点到直线上点的距离的平方，利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可. 3．若＝＝1，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为（    ） A． B． C． D．e4＋5e2＋5 【答案】C 【分析】问题转化为曲线（）上的点与直线上的点之间的距离的平方，由曲线的单调性及同一平面直角坐标系中画出两解析式图象，得到曲线的切线与直线平行时，此时切点到直线的距离的平方即为所求，求出切点坐标，利用点到直线距离公式求得答案. 【详解】由得：（），，则表示曲线（）上的点与直线上的点之间的距离的平方，（），当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，且，在同一平面直角坐标系中画出两解析式，如图所示：当曲线的切线与直线平行时，此时切点到直线的距离即为曲线（）上的点与直线上的点之间的距离的最小值，令，解得：，其中，所以切点为，其中，则即为答案. 故选：C 4．已知，，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】设，把问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值，再利用导数的几何意义求解即可； 【详解】， 设，则在函数的图象上，在函数的图象上，且与关于直线对称， 所以问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值， ，令，则，由对称性可得最小时，， ， 所以的最小值为. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够把所求代数式转化为求与图象上两点距离的平方的最小值. 5．已知，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由题意知，点在曲线上，点在直线上，由两点之间距离公式得，故可知的最小值就是曲线与直线之间最小距离的平方，然后利用导数求出曲线的切点，最后利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】因为，所以点在曲线上，因为， 所以点在直线上，所以， 所以，如图所示，的最小值就是曲线与直线之间最小距离的平方，由得，，因为与平行的切线斜率为， 解得（舍去）或，把代入，得，所以切点为， 切点到直线的距离为：，所以， 所以的最小值为.   【点睛】关键点点睛：本题主要考查了代数和的最小值的求法，解题的关键是分析出的最小值就是曲线与直线之间最小距离的平方，然后需要利用导数求切点以及点到直线的距离公式. 压轴题型七：求曲线公切线 √满分技法 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切， 然后分别设切点，求对应的切线，两条切线再用待定系数法求切点坐标或者对应关系。 1．曲线与的公切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义分别求的切线，结合题意列式求解即可. 【详解】因为，则， 设切点坐标为，切线斜率为， 可得切线方程为，即； 因为，则， 设切点坐标为，切线斜率为， 可得切线方程为，即； 由题意可得：，解得， 所以公切线的斜率为. 故选：A. 2．函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点P的横坐标为（），先根据导数几何意义列方程组，可得，再根据导数求其单调性，根据单调性确定其解，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】由，，则，， 设切点P的横坐标为（），则根据题意可得， 得，即，设，， 因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，又， 所以方程有唯一解，所以切点P坐标为，切线斜率， 则切线方程为.故选：D. 3．函数与函数公切线的纵截距为（    ） A．1或0 B．-1或0 C．1或 D．-1或 【答案】B 【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可. 【详解】设切点分别为，,且导数为， 所以切斜方程为既为，也为， 所以，所以，所以， 所以或，所以公切线的纵截距为或.故选：B. 【点睛】本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率. 4．已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 . 【答案】或(写出其中一条即可) 【分析】分别设、并利用导数几何意义写出切线方程，根据所得切线相同列方程求参数，即可得切线方程. 【详解】设公切线与相切于点，与相切于点， ，，则公切线斜率，公切线方程为或，整理得或， 所以，即，，解得或，公切线方程为或. 故答案为：或<(写出其中一条即可) 5．曲线与曲线的公切线方程为 ． 【答案】（或） 【分析】设公切线为，与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的几何意义得到，，结合，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到，即可求解. 【详解】设，的公切线为， 且与曲线相切于点，与曲线相切于点， 由，得，则，即①． 由，得，则，即②． 易得，即③，将②③代入①，可得， 令，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立，则， 所以，， 故曲线与曲线的公切线方程为，即， 故答案为：（或） 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设出公切线，与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的何意义得到，，进则得到，构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，得到，进而可求出，即可求解. 压轴题型八： 公切线求参 1．若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】设公切线与函数,的图象分别切于点，求出，，可得公切线方程为和，则有，可得，令，利用导数可得，则，即可解得实数的值. 【详解】设公切线与函数,的图象分别切于点， 因为，所以，所以公切线方程为， 即，因为，所以，所以公切线方程为， 即，因为函数与的图象有且只有一条公切线， 所以，由 得,代入， 则，整理得， 令，则，当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减，所以时，， 则当时，函数与的图象有且只有一条公切线， 即，解得.故选：B. 【点睛】关键点点睛：因为函数与的图象有且只有一条公切线，设切点分别为，分别得出与的公切线后，通过斜率，纵截距相等得到方程组，得到关于和的关系后，利用导数得到关于的函数的最大值，即可得到的值. 2．若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点，根据导数求解斜率，可得和，进而将问题转化为与函数的图象有交点，即可根据导数求解. 【详解】由得，曲线在点处的切线斜率为 由得在点处的切线斜率为，如果两条曲线存在公共切线，那么．又由斜率公式可得，由此得到，则有解， 所以直线与函数的图象有交点即可．当直线与函数的图象相切时， 设切点为，则，且，得，即有切点，此时， 故实数a的取值范围是．  故选：D． 3．若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出直线与曲线和的切点分别为和，由公切线得到方程解出切点坐标，计算求解即可. 【详解】由，得，由，得. 设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点， 则，故.又， 解得，所以直线过点，斜率为1，即直线的方程为.故选：A 4．若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设曲线切点为，的切点为，求出切线方程，根据有两条公切线转化为方程具有两个解，构造函数利用导数求解取值范围，判断选项. 【详解】设曲线切点为，的切点为， 则曲线在点处的切线方程为，即， 同理，在点处的切线方程为，根据与有两条公切线， 则，所以，化简可得 具有两个交点， 转化为有两个解，构造函数，则， 当，，单调递增；当，，单调递减， 故在时有极大值即为最大值，故， 当时，，当时，，故的取值范围为，故选：A 5．已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先可判断不为，设出公切线与函数的切点，根据导数的几何意义可得切线方程，再与曲线联立，利用判别式为，可得与的关系，结合导数工具可得解. 【详解】当时，，，不符合题意； 设的图像与公切线的切点为，， 由，则切线斜率，切线方程为，即， 又切线与，联立， 可得，即， 可得，设，，，， 又函数在上单调递减，且， 即有当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减；所以， 即，的最大值为，故选：A. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 压轴题型九：切线法：双切线两根型 √满分技法压轴题型八： 公切线求参 √满分技法 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点. 不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))， 则f′(x1)＝g′(x2)（平行），或者f′(x1)*g′(x2)=-1（垂直）等条件转换 1．已知直线与曲线和分别相切于点，.有以下命题：（1）(为原点)；（2）；（3）当时，.则真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】先利用导数求斜率得到直线的方程，可得出，分类讨论的符号，计算化简并判断其符号即得命题①正确；由结合指数与对数的互化，得到，即得的范围，得命题②错误；构造函数，研究其零点，再构造函数并研究其范围，即得到，得到命题③正确. 【详解】，，所以直线的斜率，直线的方程为，即，同理根据可知，直线的方程为，故，得. 命题①中，若，由可得，此时等式不成立，矛盾； 时，，因此， 若，则，有，此时； 若，则，有，此时. 所以根据数量积定义知，，即，故①正确； 命题②中，由得，得或，故②错误； 命题③中，因为，由②知，，或， 故当时，即，设，则，故 在是增函数，而，，故的根，因为，故构造函数，，则，故在上单调递减，所以，故，故③正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用导数几何意义求曲线的切线，考查了利用函数的单调性研究函数的零点问题，属于函数的综合应用题，属于难题. 2．已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可知且，令即总存在在上有两个不同的解，则，利用基本不等式求的范围即可. 【详解】由题设，且，令， 要使上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行， ∴若，， ∴在上总存在有两个解分别为、，而的对称轴， 故，而， ∴，整理得，上， ∴即可. 故选：B 【点睛】关键点点睛：由题设求及定义域，令有，结合已知条件：总存在在上有两个不同的解，即，应用基本不等式求范围. 3．已知函数，，直线分别与曲线和曲线相切于点，，且直线也与曲线，都相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】选项A，B：先利用导数的几何意义分别写出曲线与过点 ，的切线方程，并与直线比较，即可得到，之间的关系，判断A，B选项． 选项C，D：根据对称性得到与曲线的切点与点之间的关系，即可判断C，D选项． 【详解】选项A，B：易知，，所以，则， 则曲线在点处的切线方程为，即， 则． 曲线在点处的切线方程为， 即，则，所以， 所以，，故A正确，B错误； 选项C，D：曲线与曲线关于直线对称，根据对称性可知，关于直线的对称点是与曲线的切点，则，， 所以，则，，故C错误，D正确． 故选：AD 4．已知抛物线E：的焦点为F，过F的直线交E于点，，E在B处的切线为，过A作与平行的直线，交E于另一点，记与y轴的交点为D，则（    ） A． B． C． D．面积的最小值为16 【答案】ACD 【分析】A选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之积，从而求出；B选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到；C选项，求出，，结合焦半径公式求出，C正确；D选项，作出辅助线，结合B选项，得到，表达出，利用基本不等式求出最小值，从而得到面积最小值. 【详解】A选项，由题意得，准线方程为， 直线的斜率存在，故设直线的方程为， 联立，得，，故，A正确； B选项，，直线的斜率为，故直线的方程为， 即，联立，得，故， 所以B错误； C选项，由直线的方程，令得， 又，所以， 故，故， 又由焦半径公式得，所以C正确； D选项，不妨设，过B向作平行于y轴的直线交于M， 根据B选项知，， 故， 根据直线的方程， 当时，， 故， 故， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的面积最小值为16，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 5．已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设切点坐标，利用导数的几何意义确定切线方程，参变分离得方程有两不同解，构造函数，判定其单调性求其最小值，化为解，构造函数，判定其单调性从而解得化简待求式得，即可得结果. 【详解】因为，设切点坐标为，则曲线在该点处的切线方程为：，又在切线上，即， 则方程有两不同解，令， 易知时，单调递增不合理，故． 当时，，当时，单调递减，时，单调递增，故为极小值； 要使有两解，则，即， 令在上单调递增，又因为，所以 易知，又因为为方程的解，故有，代入可得，故所求取值范围为．故选：A 【点睛】思路点睛：由导数的几何意义转化为方程有两解，分别构造函数，利用导数研究单调性及极最值得的取值范围，再化简待求式得即可. 压轴题型十： 切线法：切线逼近求零点 √满分技法压轴题型九： √满分技法 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 1．已知函数，在上有个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，函数与的图象在上有三个交点，对实数的取值进行分类讨论，数形结合可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数在上有个不同的零点， 所以，关于的方程在上有个不同的实数根， 作出函数的图象如下图所示：函数的图象恒过点， 当时，函数的图象与轴的交点为，①当时，即当时，函数与的图象在上仅有个不同的交点，如下图所示： ②当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，在上有个交点，如下图所示： ③当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，在上有个交点，如下图所示： ④当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，如下图所示： ⑤当时，要使得函数与的图象在上有个交点， 则与的图象在上有个交点， 则与函数在上的图象有两个交点， 即方程在上有两个不等的实根， 设，则在上有两个零点， 可得，解得，此时. 且与的图象在上有一个交点，则，解得. 由上可知，； ⑥当时，，如下图所示： 直线与函数在上的图象有三个交点. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 2．若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原不等式转化为函数的图象一定有部分在直线的下方，且该部分图象横坐标中没有整数，根据导数的几何意义求出直线与曲线相切时的斜率，画出函数图象，利用数形结合可得答案. 【详解】原不等式可化为，设， 则直线过定点， 因为不等式的解集非空，所以函数的图象一定有部分在直线的下方， 又因为不等式的解集中无整数解，所以该部分图象横坐标中没有整数， ∵，∴．设直线与曲线相切于点， 则有，消去a整理得，解得或， 若，则切点横坐标为1，若不等式的解集非空，解集中一定含有整数1，所以不合题意，舍去； 故，则切线的斜率为，解得． 又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当时，，， 当时，解得，当直线绕着点旋转时， 要使不等式的解集非空，且解集中无整数解，必有得，故实数的取值范围是． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两点：一是正确理解不等式的解集非空且不包含整数；二是数形结合思想的应用，将不等式问题转化为图象间的位置关系. 3．函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（          ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件判断函数周期为，求出函数在一个周期内的解析式，将函数的零点转化为与直线只有一个交点，结合函数图像，即可求解. 【详解】函数是定义在上的奇函数，且为偶函数， ，， 即，的周期为. 时，，，， ，周期为4，， 当，当， 做出函数图像，如下图所示：令，当，，，两边平方得， ，此时直线与在函数图像相切，与函数有两个交点， 同理，直线与在函数图像相切，与函数有两个交点， 则要使函数在内与直线只有一个交点，则满足，周期为4， 范围也表示为， 所以所有的取值范围是. 故选:D. 【点睛】本题考查函数零点的应用，根据函数的性质求出函数的周期性和对称性，利用数形结合思想是解决问题的关键，综合性较强，属于难题. 4．函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为偶函数,为奇函数,所以 ,即周期为4 由与相切得;由与相切得;由图可知有三个零点时实数的取值范围是， 故选：C. 5．设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】对实数的取值进行分类讨论，分别画出不同取值情况的的函数图象，函数恰有4个零点，说明的图象与的图象有四个交点，通过斜率的变化即可确定实数的取值范围. 【详解】因为函数恰有4个零点， 所以的图象与的图象有四个交点， 当时，如图所示， 的图象与的图象仅有两个交点，与题意不符； 当时，如图所示， 在上，当与相切时， 联立，得， 则，得（舍去）， 由图可知，当时，与在有一个交点，在有两个交点，与题意不符， 所以当时，与在无交点，在有两个交点，与题意不符， 当时，与在无交点，在有三个交点，与题意不符， 当时，与在无交点，在有四个交点，符合题意； 当时，如图所示， 在上，当与相切时， 联立，得， 则，得（舍去）， 由图可知，当 时，与在有两个交点，在有四个交点，与题意不符， 当时，与在有两个交点，在有三个交点，与题意不符， 当时，与在有两个交点，在有两个交点，符合题意， 当时，与在有一个交点，在有两个交点，与题意不符. 综上所述， 或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的应用，关键在于数形结合与分类讨论的思想，需要通过讨论取值范围的不同，结合范围的限制，判断交点个数，然后推出的范围即可. 6．已知函数函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】采用等价转换的思想，将函数零点个数问题转化为方程根的个数问题，进一步转为为两个函数交点个数问题，可得结果. 【详解】由函数恰有3个零点，则方程，即 有3个不同的实数根，等价于图像有3个交点， 如图 由图像要有3个交点，根据图像可知：，当时，所以，即， 当直线与相切时，设切点为， 且，所以，可得，所以， 可得或（舍），所以可知故答案为： 【点睛】本题考查函数零点个数求参数的问题，采用数形结合以及等价转换的思想，正确画出图形，灵活应用，属难题. 压轴题型十一：切线法：切线逼近不等式整数解 √满分技法压轴题型八： 公切线求参 √满分技法 对于不等式含参型整数解，多转化为切线逼近求不等式整数解，。 转化目标： 1. 一侧是可求导画图的函数 2. 一侧是含参型动直线。 3. 通过动直线与函数图像的关系，代入整数值，寻找满足整数解的参数范围 4. 要注意的是，因为是满足的整数解，所以代入点时，要“跳跃型”代入。 1．设函数（）（为自然对数的底数），若关于的不等式的正整数解有且只有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题化为在上有且只有两个正整数解，利用导数研究的性质，结合的性质得，即可求参数范围. 【详解】由题设在上有且只有两个正整数解， 所以，在上有且只有两个正整数解，令且，则， 当，，则递减；当，，则递增；故极小值， 又恒过，只需，故实数的取值范围是.故选：B 【点睛】关键点点睛：问题化为在上有且只有两个正整数解为关键. 2．定义在上的偶函数满足，且，关于的不等式的整数解有且只有个，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，且该函数为周期函数，周期为，根据题意可知不等式在上有且只有个整数解，数形结合可得出关于实数的不等式组，即可得解. 【详解】因为定义在上的偶函数满足， 所以，函数的图象关于直线对称， 则，即函数为周期函数，且周期为， 令，该函数的定义域为，则，即函数为偶函数， 因为，则，即满足， 又因为不等式有个整数解， 所以，不等式在上有且只有个整数解，如下图所示： 所以，，即，解得. 故选：A. 3．已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】原不等式等价于，设，，然后转化为函数的交点结合图象可求. 【详解】原不等式等价于，设，，所以，得．当时，， 所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，当时，取极大值. 又，且时，，因此与的图象如下，直线恒过点. 当时，显然不满足条件；当时，只需要满足，即，解得． 故选：D. 4．已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，作出函数图象，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 令，则其图象为开口向下，对称轴为的抛物线； 由关于x的不等式， 可知，当时，，即有； 当时，，即有； 作出函数图象如图： 要使关于x的不等式的整数解有且仅有2个， 显然不能满足题意，故需满足，即， 解得，即的取值范围为， 故选：A 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于作出函数图象，从而列出相应不等式组，求得答案. 结束 2 学科网（北京）股份有限公司 $$