专题03 简单的三角恒等变换知识归纳与题型突破（10类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

专题03 简单的三角恒等变换知识归纳与题型突破 知识点1 半角公式 sin＝±， cos＝±　， tan＝±.符号由所在的象限决定． 另：tan＝＝.不含被开方数，且不涉及符号问题，但应用时需要注意该公式成立的条件． 知识点2 万能公式 设，则，，（ α≠2kπ＋π (k∈Z)）可结合图中直角三角形的边角关系理解记忆. 知识点3 积化和差公式 sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． 知识点4 和差化积公式 sinx＋siny＝2sincos， sinx－siny＝2cossin， cosx＋cosy＝2coscos， cosx－cosy＝－2sinsin． 题型一 半角公式的应用 【例1】（2023·四川攀枝花·一模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、sin2x的降幂公式及应用 【分析】根据降幂公式化简题设可得，进而结合可得，进而结合同角三角函数关系求解即可. 【详解】由，则， 即，即， 解得或， 因为，所以， 则， 所以. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、半角公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由两角差的正弦公式、平方关系依次得，，由半角公式即可求解. 【详解】由已知及正弦公式得，， 是第三象限角，． ． 故选：A. 【变式1-2】（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）已知，，则 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、半角公式、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式、半角公式以及两角和的正弦公式即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高三上·吉林长春·期末）若，且，是的两个根，则 . 【答案】/ 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、半角公式 【分析】先根据韦达定理得到，再由，然后结合同角的平方关系求得，求出，再利用半角的余弦公式即可求解. 【详解】因为、为关于x的方程的两个根， 所以， 又因为， 所以， 又，所以， ， 故答案为： 题型二 万能公式的应用 【例2】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式、万能公式 【分析】应用诱导公式和二倍角正余弦公式得，再由二倍角正切公式可得，再应用齐次式法求. 【详解】由， 得， 则，而． 故选：B 【变式2-1】（24-25高一上·全国·课后作业）以表示的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式 【分析】将转化为，根据万能公式和计算. 【详解】． 故选：D. 【变式2-2】（2023·湖北·二模）已知，则（    ） A． B．－1 C． D． 【答案】C 【知识点】正、余弦齐次式的计算、诱导公式五、六、万能公式、给值求值型问题 【分析】应用诱导公式、商数关系可得，再由和角正切公式展开求得，最后由求值即可. 【详解】由， 所以，则， 所以，则，故， 由. 故选：C 【变式2-3】（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量，，且，则 ． 【答案】 【知识点】万能公式、数量积的坐标表示 【分析】由向量垂直的坐标表示可得，再由万能公式有求即可. 【详解】向量，，且， ∴，即，则， ∴． 题型三 积化和差公式的应用 【例3】（24-25高一下·全国·课堂例题）把下列各式化成和或差的形式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】积化和差公式 【分析】（1）根据正弦的积化和差公式即可求解， （2）根据余弦的积化和差公式即可求解. 【详解】（1）原式. （2）原式 【变式3-1】（辽宁省部分重点高中2024-2025学年高三8月阶段性测试数学试题），则的值为（    ） A． B．1 C． D．以上都不对 【答案】A 【知识点】积化和差公式、二倍角的余弦公式 【分析】运用二倍角余弦，结合积化和差公式可解. 【详解】 . 故选：A. 【变式3-2】（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）计算 . 【答案】2 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、积化和差公式、和差化积公式 【分析】根据二倍角公式以及和差化积公式化简求解分母，再利用二倍角公式及两角和与差的余弦公式化简分子，求得结果. 【详解】分母 ， 分子 ， 所以原式. 故答案为：2. 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课前预习）求的值． 【答案】 【知识点】积化和差公式 【分析】利用积化和差可求三角函数式的值. 【详解】 题型四 和差化积公式的应用 【例4】（23-24高一下·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，试求的值； 【答案】（1）；（2）. 【知识点】万能公式、和差化积公式 【分析】（1）先用和差化积公式分别将进行变形，求出，再用万能公式求得的值； （2）先用和差化积公式分别将进行变形，求出，再用万能公式求得的值； 【详解】（1）. 又. 由①②，得，即. ； （2）因为，所以.① 又因为，所以.  ② 因为， 所以由①②，得，即. 所以 . 【变式4-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】和差化积公式 【分析】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得. 【详解】依题意，，则， 又，则 所以. 故选：B 【变式4-2】（24-25高一上·江苏南京·期末）如图所示，已知角α，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则以下结论正确的有 . ①； ②； ③点的坐标为； ④点的坐标为 【答案】①②③ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、和差化积公式 【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D. 【详解】，①正确； 依题意，知为的中点，，②正确； 又为劣弧的中点，， 又，点的坐标为，③正确： 为的中点，，则点的坐标为， ， ， 点的坐标为，④错误. 故答案为：①②③. 【变式4-3】（24-25高三上·江西上饶·期中）已知，满足，，则 . 【答案】/0.6 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、和差化积公式 【分析】将两式平方相加，可得，平方相减，可得与的关系，结合和差化积公式把化成，可得的值. 【详解】因为， 所以，， 相加得， 即，所以， 相减得 ， 又， ， 所以， 所以， 所以， 解得. 故答案为： 题型五 三角函数式的化简、求值 【例5】（2024·陕西榆林·三模）化简下列各式 (1) (2); (3)； (4). 【答案】(1); (2); (3); (4) 【知识点】辅助角公式、三角恒等变换的化简问题、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）利用切化弦、辅助角公式、诱导公式来求解即可； （2）利用切化弦，再利用二倍角公式和诱导公式求解即可； （3）利用二角的降次升倍公式，再利用两角和差公式求解即可； （4）利用二倍角公式和半角公式求解即可. 【详解】（1） ; （2） ; （3） ; （4） , 因为，所以，即， 即上式. 【变式5-1】（24-25高一上·全国·课后作业）求的值． 【答案】 【知识点】积化和差公式、和差化积公式、二倍角的余弦公式 【分析】由余弦的二倍角公式、和差化积、积化和差公式化简即可求解. 【详解】原式 ． 【变式5-2】（24-25高一上·吉林长春·期末）化简下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由诱导公式代入计算，化简，即可得到结果； （2）由恒等变换公式公式代入计算，化简，即可得到结果. 【详解】（1）原式 （2）原式 【变式5-3】（24-25高一上·吉林长春·期末）如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形. (1)求的值； (2)化简，并求其值. 【答案】(1) (2)； 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角恒等变换的化简问题、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，数形结合，由三角函数的定义求出答案； （2）利用诱导公式化简得到，凑角法，结合，得到答案. 【详解】（1） ， 由图知：角对应的终边为，因为点的坐标为， 且圆为单位圆，由三角函数定义得． （2）． 其中， 由（1）知：， 所以． 题型六 给角求值问题 【例6】（2024高一下·湖南株洲·竞赛） ． 【答案】 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、给角求值型问题 【分析】利用二倍角公式及和差角公式计算可得. 【详解】 . 故答案为： 【变式6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】和差化积公式 【分析】利用和差化积公式，即可求值. 【详解】． 故选：A. 【变式6-2】（23-24高三下·甘肃·阶段练习）计算（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】诱导公式二、三、四、给角求值型问题 【分析】根据题意利用诱导公式和倍角公式可得，分子、分母同乘，结合倍角公式运算求解. 【详解】因为 . 故选：D. 【变式6-3】（21-22高一下·全国·课后作业）求 . 【答案】/0.5 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角恒等变换的化简问题、给角求值型问题 【分析】首先切化弦，然后辅助角公式、诱导公式及二倍角公式化简求值即可. 【详解】 故答案为：. 题型七 给值求值问题 【例7】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，，均为锐角且，求的值． 【答案】 【知识点】给值求值型问题 【分析】利用简单的三角恒等变换公式求出，再利用二倍角的正切公式即可求解. 【详解】，， ，. 【变式7-1】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积化和差公式 【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可. 【详解】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C 【变式7-2】（24-25高三上·辽宁·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】给值求值型问题、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】根据题意，利用辅助角公式，二倍角公式及其诱导公式综合化简求值即可 【详解】由于 ， 代入原式中得：，解得：； 又. 故选：D 【变式7-3】（24-25高一下·全国·随堂练习）若，，则 ． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、半角公式 【分析】根据给定条件，求出，再利用半角的正切公式求出. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 题型八 给值求角问题 【例8】（21-22高一下·江西南昌·期中）已知． (1)求的值； (2)已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】正、余弦齐次式的计算、万能公式、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】（1）由已知，利用二倍角余弦公式及商数关系可得，再应用万能公式即可求目标式的值. （2）由题设得，结合判断的范围，利用差角正切公式求得，即可确定的值． 【详解】（1）由题设，，则， 又. （2）由题设，，，则，故， 又且，则，则 而， 故. 【变式8-1】（23-24高一上·甘肃武威·期末）若，，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】辅助角公式、给值求角型问题、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式和辅助角公式可得（其中），进而（），由诱导公式化简得，即可求解. 【详解】由，得， 所以（其中）， 得，所以，， 所以， 解得. 故选：B 【变式8-2】（24-25高一上·福建福州·期末）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、给值求角型问题、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，以及结合角的范围，诱导公式，即可求解. 【详解】， 因为，所以， 所以，得. 故选：D 【变式8-3】（24-25高一上·山西·期末）若，则 . 【答案】/ 【知识点】给值求角型问题 【分析】为求角的大小，只需算出的三角函数值. 【详解】， 故由，得. 又， 又， 则 ， 又，所以. 故答案为：. 题型九 判断三角形形状 【例9】（23-24高一下·福建福州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理边化角以及三角公式变形整理即可. 【详解】由得， 即， 即， 所以， 在中，，所以，， 即的形状为直角三角形. 故选：B. 【变式9-1】（23-24高一下·河北沧州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则这个三角形是（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的正弦公式、利用三角恒等变换判断三角形的形状、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用两次正弦定理和二倍角的正弦公式可得，结合诱导公式计算即可求解. 【详解】由正弦定理，得，则， 即，由正弦定理，得， 即．所以或． 解得或， 所以这个三角形是等腰三角形或直角三角形. 故选：A． 【变式9-2】（21-22高一下·陕西渭南·期中）在中，已知，则的形状为（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】诱导公式五、六、利用三角恒等变换判断三角形的形状、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用三角形内角和，诱导公式，二倍角公式化简计算，分析即得结论. 【详解】因, 故，， 则，即， 整理得，，因，故，故是直角三角形. 故选：C. 【变式9-3】（23-24高一下·上海·假期作业）在中，若，则是 三角形； 【答案】等腰 【知识点】积化和差公式、利用三角恒等变换判断三角形的形状、二倍角的余弦公式 【分析】根据两角和差的余弦公式结合二倍角余弦公式化简已知等式，可得，即可推出，即得答案. 【详解】由，得， 所以，，即， 由于为三角形内角，故， 所以，即， 则是等腰三角形， 故答案为：等腰 题型十 三角恒等式的证明问题 【例10】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明下列三角恒等式： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用正切差角公式及同角三角函数关系进行化简，得到答案； （2）利用二倍角公式，化弦为切，证明出结论. 【详解】（1）∵， ∴ ， ∴. （2） . 【变式10-1】（24-25高一下·全国·课前预习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】半角公式 【分析】根据半角公式证明即可． 【详解】证明：因为，所以，， 所以，， 所以左边右边， 所以等式成立． 【变式10-2】（19-20高一上·山东烟台·期末）某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数， ； ； . (1)求出这个常数； (2)结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)当时，，证明见详解 【知识点】给角求值型问题、有条件的恒等式证明、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解. （2）根据将用表示，再利用两角差的余弦、正弦展开化简即可证明. 【详解】（1）因为 ， 故常数为； （2）推广：当时，． 证明：因为，则， ． 【变式10-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、积化和差公式 【分析】（1）运用积化和差公式化简，变形即可； （2）运用弦化切公式计算证明即可. 【详解】（1）， ， 则，即． （2）由（1）知， 则，则． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 简单的三角恒等变换知识归纳与题型突破 知识点1 半角公式 sin＝±， cos＝±　， tan＝±.符号由所在的象限决定． 另：tan＝＝.不含被开方数，且不涉及符号问题，但应用时需要注意该公式成立的条件． 知识点2 万能公式 设，则，，（ α≠2kπ＋π (k∈Z)）可结合图中直角三角形的边角关系理解记忆. 知识点3 积化和差公式 sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． 知识点4 和差化积公式 sinx＋siny＝2sincos， sinx－siny＝2cossin， cosx＋cosy＝2coscos， cosx－cosy＝－2sinsin． 题型一 半角公式的应用 【例1】（2023·四川攀枝花·一模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 【变式1-2】（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）已知，，则 . 【变式1-3】（24-25高三上·吉林长春·期末）若，且，是的两个根，则 . 题型二 万能公式的应用 【例2】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·全国·课后作业）以表示的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·湖北·二模）已知，则（    ） A． B．－1 C． D． 【变式2-3】（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量，，且，则 ． 题型三 积化和差公式的应用 【例3】（24-25高一下·全国·课堂例题）把下列各式化成和或差的形式： (1)； (2). 【变式3-1】（辽宁省部分重点高中2024-2025学年高三8月阶段性测试数学试题），则的值为（    ） A． B．1 C． D．以上都不对 【变式3-2】（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）计算 . 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课前预习）求的值． 题型四 和差化积公式的应用 【例4】（23-24高一下·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，试求的值； 【变式4-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D．1 【变式4-2】（24-25高一上·江苏南京·期末）如图所示，已知角α，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则以下结论正确的有 . ①； ②； ③点的坐标为； ④点的坐标为 【变式4-3】（24-25高三上·江西上饶·期中）已知，满足，，则 . 题型五 三角函数式的化简、求值 【例5】（2024·陕西榆林·三模）化简下列各式 (1) (2); (3)； (4). 【变式5-1】（24-25高一上·全国·课后作业）求的值． 【变式5-2】（24-25高一上·吉林长春·期末）化简下列各式． (1)； (2)． 【变式5-3】（24-25高一上·吉林长春·期末）如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形. (1)求的值； (2)化简，并求其值. 题型六 给角求值问题 【例6】（2024高一下·湖南株洲·竞赛） ． 【变式6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高三下·甘肃·阶段练习）计算（   ） A．2 B． C． D． 【变式6-3】（21-22高一下·全国·课后作业）求 . 题型七 给值求值问题 【例7】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，，均为锐角且，求的值． 【变式7-1】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高三上·辽宁·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高一下·全国·随堂练习）若，，则 ． 题型八 给值求角问题 【例8】（21-22高一下·江西南昌·期中）已知． (1)求的值； (2)已知，，，求的值． 【变式8-1】（23-24高一上·甘肃武威·期末）若，，则（   ） A． B． C．1 D． 【变式8-2】（24-25高一上·福建福州·期末）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高一上·山西·期末）若，则 . 题型九 判断三角形形状 【例9】（23-24高一下·福建福州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【变式9-1】（23-24高一下·河北沧州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则这个三角形是（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式9-2】（21-22高一下·陕西渭南·期中）在中，已知，则的形状为（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式9-3】（23-24高一下·上海·假期作业）在中，若，则是 三角形； 题型十 三角恒等式的证明问题 【例10】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明下列三角恒等式： (1)； (2). 【变式10-1】（24-25高一下·全国·课前预习）已知，求证：． 【变式10-2】（19-20高一上·山东烟台·期末）某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数， ； ； . (1)求出这个常数； (2)结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 【变式10-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求证： (1)； (2)． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$