2.3 第1课时 半角公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

本高中数学讲义聚焦半角公式这一核心知识点，以二倍角公式为基础推导半角公式，系统梳理正弦、余弦、正切半角公式的结构形式，构建从公式推导到符号确定再到求值、化简、证明的学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学设计，通过微点助解中半角符号确定的表格解析培养学生逻辑推理能力，题型示例的思维建模引导学生用数学语言规范表达。课中助力教师分层教学，课后针对训练帮助学生巩固知识，弥补薄弱环节。

2.3　简单的三角恒等变换 第1课时　半角公式(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标] 1.能用二倍角公式推导半角公式，了解半角公式的结构形式. 2.能熟练运用半角公式解决简单的求值、化简或证明问题. 　　正弦、余弦、正切的半角公式 三角函数 公式 正弦 sin=± 余弦 cos=± 正切 tan=± == |微|点|助|解|　 关于半角公式的几点说明 (1)理解半角的含义 角是角α的半角，角α是角2α的半角，角2α是角4α的半角. (2)确定半角的正弦、余弦、正切值正、负号的方法 ①若给出的角已确定其终边所在的象限，则可根据下表确定符号. α sin cos tan 第一象限 第一、三象限 +、- +、- + 第二象限 第一、三象限 +、- +、- + 第三象限 第二、四象限 +、- -、+ - 第四象限 第二、四象限 +、- -、+ - ②若给出角α的范围(即某一区间)，可先求出的范围，然后再根据的范围确定符号. ③若给出的角的象限不确定，则需分类讨论. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin 15°=± . (　　) (2)cos 15°=. (　　) (3)tan=. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2.已知180°<α<360°，则cos的值为 (　　) A.- B. C.- D. 解析：选C　因为cos2=，180°<α<360°，所以90°<<180°.所以cos=-. 3.tan 15°等于 (　　) A.2+ B.2- C.+1 D.-1 解析：选B　由tan=，得tan 15°==2-. 题型(一)　利用半角公式求值 [例1]　已知cos α=，α为第四象限角，求sin，cos，tan. 解：∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角.当为第二象限角时，sin==，cos=-=-，tan=-=-; 当为第四象限角时，sin=-=-， cos==，tan=-=-. |思|维|建|模| 利用半角公式求值的思路 (1)观察角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan==，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2=，cos2=计算. (4)下结论：结合(2)求值. 　　[针对训练] 1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α=，则sin = (　　) A. B. C. D. 解析：选D　因为α为锐角，所以sin>0，sin==. 2.已知α为锐角，cos α=，则tan= (　　) A. B. C.2 D.3 解析：选D　∵α为锐角，cos α=，∴sin α=. ∴tan===. ∴tan===3. 题型(二)　三角函数式的化简 [例2]　化简： (-π<α<0). 解：原式 = = ==. 因为-π<α<0，所以-<<0. 所以sin<0. 所以原式==cos α. |思|维|建|模| 探究三角函数式化简的要求、思路和方法 (1)化简的要求：①能求出值的应求出值;②尽量使三角函数种数最少;③尽量使项数最少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数. (2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式;对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式;对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法. 　　[针对训练] 3.设α∈，化简：. 解：∵α∈∈，∴cos α>0，cos<0.故原式=====-cos. 题型(三)　三角恒等式的证明 [例3]　求证：+=. 证明：法一：左边=+=+ ===右边. 所以原式成立. 法二：左边 = = ===右边. 所以原式成立. |思|维|建|模|　三角恒等式证明的5种常用方法 执因索果法 证明的形式一般化繁为简 左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子 拼凑法 针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同 比较法 设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1” 分析法 从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立 　　 [针对训练] 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A=，求证：=. 证明：因为cos A=， 所以1-cos A=， 1+cos A=. 所以=. 而==tan2==tan2，所以tan2=·tan2， 即=. 学科网（北京）股份有限公司 $