专题03 根的判别式和根与系数的关系（3题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪科版）

专题03 根的判别式和根与系数的关系 1 根的判别式的应用 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． （1）判断根的情况：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac. （2）求字母的值或取值范围：根据判别式，确定与0的关系，直接代入解不等式即可。 （3）与三角形结合：一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等腰三角形结合。 （4）与一次函数结合：通过一次函数与方程和不等式的关系，观察图像即可。 2.完全平方公式及变形 （a＋b）²＝a²＋2ab＋b²， （a- b）²＝a²-2ab＋b²， 变形； a²＋b²＝（a＋b）²-2ab＝（a-b）²＋2ab; （a＋b）²＝（a-b）²＋4ab; （a- b）²＝（a＋b）²-4ab; （a＋b）²＋（a-b）＝2（a＋b）²； （a＋b）²-（a-b）²＝4ab; 3 根与系数的关系方法 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 压轴题型一：根据判别式判断根的情况 √满分技法 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． （1）判断根的情况：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac. （2）求字母的值或取值范围：根据判别式，确定与0的关系，直接代入解不等式即可。 （3）与三角形结合：一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等腰三角形结合。 （4）与一次函数结合：通过一次函数与方程和不等式的关系，观察图像即可。 1．（24-25九年级上·山西太原·期末）课堂上，同学们围绕一元二次方程的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（    ） A．无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根 B．无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根 C．无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根 D．因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的方程，下列说法中正确的是（　　） A．当时，方程无解 B．当时，方程有两个不相等的实根 C．当时，方程有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）若实数a，b，t满足，，则t的最大值与最小值的和为（   ） A． B．1 C．2 D．4 4．（24-25九年级上·河北保定·期中）已知关于的一元二次方程，其中，满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（   ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 5．（24-25九年级上·山东青岛·期中）若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 6．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一元二次方程的一对“颠倒方程”．如的“颠倒方程”是，则下列结论不正确的是（    ） A．若方程M有实数根，则方程N也有实数根 B．若6是方程M的一个根，则方程N一定有一个根是 C．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是1 D．若，则方程M与方程N都有实数根 7．（21-22九年级·浙江·自主招生）关于x的方程，给出下列四个题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根       ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根       ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）对于多项式记为，即；若令，，即；下面几个结论正确的个数有（    ）个． （1）存在实数x使成立，则k的取值范围是； （2）若，则； （3）若，则或； （4）存在整数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 9．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 10．（2019·福建泉州·一模）已知关于的方程． (1)求证：不论为何值，方程必有实数根； (2)当为整数时，方程是否有有理根？若有求出的值，若没有请说明理由． 压轴题型二：根据根的情况求参数 √满分技法 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． （1）判断根的情况：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac. （2）求字母的值或取值范围：根据判别式，确定与0的关系，直接代入解不等式即可。 （3）与三角形结合：一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等腰三角形结合。 11．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 12．（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）满足的所有实数对，使取最大值，此最大值为（　　） A． B． C． D． 13．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知为正整数，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（21-22九年级·浙江·自主招生）满足方程的整数对有（    ） A．0对 B．2对 C．4对 D．6对 15．（21-22九年级上·新疆·期中）满足的所有实数对，使取最大值，此最大值为（        ） A． B． C． D． 16．（21-22八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（    ） A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1 C．若0＜a＜1，则 D．若，则-1＜a＜0 17．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（    ） A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1 C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1 18．（2021·湖北荆门·中考真题）抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（），下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 19．（2024九年级上·全国·专题练习）求方程的实数解 20．（24-25九年级上·福建泉州·期中）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； (2)已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． (3)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 压轴题型三：根与系数的关系 √满分技法 完全平方式： （a＋b）²＝a²＋2ab＋b²， （b- b）²＝a²-2ab＋b²， 变形； a²＋b²＝（a＋b）²-2ab＝（a-b）²＋2ab; （a＋b）²＝（a-b）²＋4ab; （b- b）²＝（a＋b）²-4ab; （a＋b）²＋（a-b）＝2（a＋b）²； （a＋b）²-（a-b）²＝4ab; 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2 21．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知为互不相等的实数，且，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．2 22．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（   ） A． B． C． D． 23．（21-22九年级下·浙江·期末）若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（    ） A． B． C．1 D．4 24．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A． B． C． D． 25．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（    ） A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④ 26．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（    ） A．0 B． C． D． 27．（21-22八年级下·浙江杭州·期中）下列给出的四个命题，真命题的有（    ）个 ①若方程两根为-1和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 28．（2022·河南·模拟预测）已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论： ①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根； ②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3. 以上4个结论中，正确的为（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 29．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在中，，已知，． (1)求的面积； (2)点M为的中点，P、Q分别为上的动点，求的最小值． 30．（24-25九年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）已知m、n是方程的两个根，则的值为 ． 2．（24-25九年级上·河南周口·期中）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为 ． 3．（湖南省娄底市“思齐杯”2025年初中毕业学业考试模拟数学试题卷）已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且满足，则m的值为 ． 4（24-25九年级上·四川内江·期末）若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为 ． 5．（24-25九年级上·重庆大足·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为 ． 6．（24-25九年级上·重庆万州·期末）若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 7．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）关于的一元二次方程根的情况是 ． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）有四组一元二次方程：和；和；和；和．这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程： ． 9．（24-25九年级上·四川内江·期中）下列四个小题中，正确的有 个（填个数） ①把根号外的因式移入根号内的结果是； ②若是方程的解，则m的值为2或； ③一元二次方程．不论m取何值，方程都有实数根； ④已知：，则A的值为． 10．（24-25九年级上·河北沧州·期中）定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是 ．（填序号） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 根的判别式和根与系数的关系 1 根的判别式的应用 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． （1）判断根的情况：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac. （2）求字母的值或取值范围：根据判别式，确定与0的关系，直接代入解不等式即可。 （3）与三角形结合：一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等腰三角形结合。 （4）与一次函数结合：通过一次函数与方程和不等式的关系，观察图像即可。 2.完全平方公式及变形 （a＋b）²＝a²＋2ab＋b²， （a- b）²＝a²-2ab＋b²， 变形； a²＋b²＝（a＋b）²-2ab＝（a-b）²＋2ab; （a＋b）²＝（a-b）²＋4ab; （a- b）²＝（a＋b）²-4ab; （a＋b）²＋（a-b）＝2（a＋b）²； （a＋b）²-（a-b）²＝4ab; 3 根与系数的关系方法 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 压轴题型一：根据判别式判断根的情况 √满分技法 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． （1）判断根的情况：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac. （2）求字母的值或取值范围：根据判别式，确定与0的关系，直接代入解不等式即可。 （3）与三角形结合：一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等腰三角形结合。 （4）与一次函数结合：通过一次函数与方程和不等式的关系，观察图像即可。 1．（24-25九年级上·山西太原·期末）课堂上，同学们围绕一元二次方程的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（    ） A．无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根 B．无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根 C．无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根 D．因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出判别式得到，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：由，可知， 无论取何值， 一定有两个不相等的实数根． 故选：B 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的方程，下列说法中正确的是（　　） A．当时，方程无解 B．当时，方程有两个不相等的实根 C．当时，方程有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据一元一次方程和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：当时，方程为， 此方程为一元一次方程，且解为． 故选项不符合题意． 当时，方程为一元二次方程， 则． 当时，， 所以方程有两个不相等的实根． 故选项符合题意． 当时，， 所以方程有两个相等的实根． 故选项不符合题意． 当，但时，方程有两个相等的实根， 故选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）若实数a，b，t满足，，则t的最大值与最小值的和为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根据一元二次方程解的情况求未知系数的取值范围，由题可得，代入原式整理得，然后根据方程有实数根得到，即，然后求出t的取值范围，解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 整理得：， ∵存在实数b， ∴方程有实数根， ∴，即， 整理得， 解得， 所以的最大值为，最小值为，最大值和最小值的和为， 故选：C． 4．（24-25九年级上·河北保定·期中）已知关于的一元二次方程，其中，满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（   ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，根据题意求出，再求出的符号即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程无实数根， 故选：A． 5．（24-25九年级上·山东青岛·期中）若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 【答案】B 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，熟记解题步骤是解题的关键．设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：， 当时，， 即， 此时； 当时，， 即， 此时； 此时方程无实数根； 故选：B． 6．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一元二次方程的一对“颠倒方程”．如的“颠倒方程”是，则下列结论不正确的是（    ） A．若方程M有实数根，则方程N也有实数根 B．若6是方程M的一个根，则方程N一定有一个根是 C．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是1 D．若，则方程M与方程N都有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式即可判断A；根据一元二次方程的解即可判断B、C；根据解一元二次方程即可判断D，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、方程的根的判别式为，方程的根的判别式为， ∴若方程M有实数根，则方程N也有实数根，故A选项正确，不符合题意； B、若6是方程M的一个根，则有， 若是方程N的一个根，则有，即，故B选项正确，不符合题意； C、若方程M和方程N有一个相同的根，则， ∴， ∴或，故C选项错误，符合题意； D、方程M的根为， ， 若，则， 方程的根为：，， 若，则，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 7．（21-22九年级·浙江·自主招生）关于x的方程，给出下列四个题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根       ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根       ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】首先将分类讨论得到两个方程，然后根据根的判别式得出根的个数即可． 【详解】解:时，或 方程化为：① 时， 方程化为：② 当，即时， 方程①的根为： 方程②的根为： 分析可得时，即：时，有5个不相等的实根 时， 则 中，不符合题意，故有2个实数根 中，，均不符合题意 故时，有2个实数根 共有8个不相等的实数根 当，即时， 方程①的根为：， 方程②的根为：， 故共有4个不相等的实数根 当，即时， 方程没有实数根 综上，方程可能有个、个、个、个实数根 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程跟的情况，相关知识点有：根的判别式、绝对值、分类思想等，分类讨论是本题的解题关键． 8．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）对于多项式记为，即；若令，，即；下面几个结论正确的个数有（    ）个． （1）存在实数x使成立，则k的取值范围是； （2）若，则； （3）若，则或； （4）存在整数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由，得，根据，得，可判断①正确；由，得同号，可判断②错误；由，则可得或，当时，，当时，3，可判断③错误；若，可得，由y为整数，知x不是整数，可判断④错误． 【详解】解：若，则，即， ∵存在实数x使成立， ∴有实数根，即， ∴， 解得，故①正确，符合题意； 若， ∴， ∴同号， ∴或，故②错误，不符合题意； 若； ∴， ∴或， 当时，， 当时，3， ∴③错误，不符合题意； 若 ，则， ∴， ∴ ， ∴， 即， 若y为整数，则x不是整数， ∴不存在整数x、y，使成立，故④错误，不符合题意； ∴正确的有①，共1个； 故选：A． 【点睛】本题考查不等式的解集，涉及一元二次方程根的判别式，不等式，代数式的值等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式及代数式的变形． 9．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识． （1）计算一元二次方程根的判别式，即可得到无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）利用公式法求出方程的解为或，根据得到，把变形为，根据为整数， m为整数即可得到或，即可求出m的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：， ∵， ∴方程都有两个不相等的实数根， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴也为整数， ∵m为整数， ∴或， ∴整数m所有可能的值为，，，． 10．（2019·福建泉州·一模）已知关于的方程． (1)求证：不论为何值，方程必有实数根； (2)当为整数时，方程是否有有理根？若有求出的值，若没有请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)没有有理根，理由见详解 【分析】（1）①当时，方程为一元一次方程，即可求解；②当时，方程为二元一次方程，由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根；据此进行求解即可． （2）①当时，即：，即可求解；②当时，当为整数时，假设方程有有理根，则需满足：是完全平方数，设(为整数)，则有，即可求解． 或或或， 【详解】（1）解：由题意得 ①当时，即：， 方程为一元一次方程：， 此时方程必有实数根； ②当时，即：， 此时方程为一元二次方程， ，，， ， ， ， ， 故不论为何值，方程必有实数根； 综上所述：不论为何值，方程必有实数根． （2）解：当为整数时，方程没有有理根，理由如下： ①当时，即：， 方程为一元一次方程，方程有有理根， 为整数， 此情况不存在； ②当时， 当为整数时，假设方程有有理根， 则需满足：是完全平方数， 设(为整数)，则有 ， 或或或， 解得：或， 此时与为整数矛盾， 当为整数时，方程没有有理根； 综上所述：当为整数时，方程没有有理根． 【点睛】本题考查了根的判别式，含有参数方程的特殊解法，掌握解法是解题的关键． 压轴题型二：根据根的情况求参数 √满分技法 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． （1）判断根的情况：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac. （2）求字母的值或取值范围：根据判别式，确定与0的关系，直接代入解不等式即可。 （3）与三角形结合：一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等腰三角形结合。 11．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：当为底时，由题意得， 解得， 此时一元二次方程为， 解得， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去； 当为腰时，将代入方程得， ， 解得或， 当时，一元二次方程为， 解得，， 三边长为，可以构成三角形； 当时，一元二次方程为， 解得，， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去， 综上，， 故选：． 12．（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）满足的所有实数对，使取最大值，此最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令 ，则 ，代入 进行变形整理得到 ，再求出 ，得出 ，求出 的解集即可解答； 【详解】解：先令 ，则 ， 代入 可变形为：， 整理得 ， 则 ， 即 ， 由 即：(i) ，或 (ii) ， 由(i) 解得：，由(ii) 解得：无解； ∴ 的解集为：， 故 取最大值，此最大值为 ； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程和根的判别式，掌握当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程由两个相等的实数根； ，方程所有实数根； 同时运用 解决函数图象交点的个数问题和一元二次方程的解法是本题的关键． 13．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知为正整数，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知方程整理为一元二次方程，结合方程根的情况，得出的取值范围，再代入方程即可求解． 【详解】解：变形得，， ∵为正整数， ∴存在正整数，使得①， ∴，即， ∴②， 设关于的方程为③，方程有两个正整数解， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴的值为，可证为时方程③无正整数根， ∴当时，方程得，，解得，，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查将分式转化为一元二次方程方程，根据根的情况解一元二次方程的参数，再代入计算，掌握以上相关知识的运用是解题的关键． 14．（21-22九年级·浙江·自主招生）满足方程的整数对有（    ） A．0对 B．2对 C．4对 D．6对 【答案】C 【分析】利用一元二次方程有解判断出的范围，根据是整数求出的值，进而求出的值，利用也是整数判断即可得出结论． 【详解】解：原方程可化为， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∵是整数， ∴，，，0，1，2，3， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴或， 当时，原方程可化为， ∴或， ∴原方程的整数解为：或或或， 即：方程的整数对为、、，共四对， 故选：C． 【点睛】此题是非一次不定方程，主要考查了一元二次方程的有整数根问题．解题的关键是将原方程变形，利用判别式求解． 15．（21-22九年级上·新疆·期中）满足的所有实数对，使取最大值，此最大值为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，代入进行变形整理得到，再求出，得出，求出t的解集即可解答． 【详解】解：先令，则， 代入可变形为：， 整理得， 则 即 由知： 或 由解得：，由解得：无解， ∴的解集为： 故取最大值，此最大值为； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程和根的判别式，掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程由两个相等的实数根；，方程没有实数根；同时运用了解决函数图像交点的个数问题和一元二次方程的解法是本题的关键． 16．（21-22八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（    ） A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1 C．若0＜a＜1，则 D．若，则-1＜a＜0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，再代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根k， ∴ ， ， 又∵， ∴a-b-1=0，即a=b+1， ∴ax2-2ax+a=0， 解得：x1=x2=1， ∴k=1， 当时，即， 即， ∴a（a-1）<0， 即或 解得0<a<1 当时，即， 即， ∴a（a-1）>0， 即或 解得：a>1或a<0． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键． 17．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（    ） A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1 C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k， ∴Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a( a−b−1)＝0， 又∵ab≠0， ∴a−b−1＝0， 即a＝b＋1， ∴ax2＋2ax＋a＝0， 解得：x1＝x2＝−1， ∴k＝−1， ∵＝， ∴当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0， 此时＞0，即； 当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0， 此时＜0，即； 故A、C错误； 当时，即＞0， ＞0， 解得：a＞1或a＜0， 故B错误； 当时，即＜0， ＜0， 解得：0＜a＜1， 故D正确 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键． 18．（2021·湖北荆门·中考真题）抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（），下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据已知条件可判断，，据此逐项分析解题即可． 【详解】解：抛物线开口向下 把，代入得 ①，故①正确； ②，故②正确； ③，故③正确；； ④若方程有两个不相等的实数根， 即 ，故④正确，即正确结论的个数是4， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与系数a、b、c关系，涉及一元二次方程根的判别式，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 19．（2024九年级上·全国·专题练习）求方程的实数解 【答案】 【分析】本题考查了换元法一元二次方程解，先把方程化为关于x的方程，利用根的判别式求出的值，然后代入原方程即可求解出的值，转化为一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：将方程化为关于x的方程， 该方程的根的判别式， 即， ∵方程有实数解， ∴， ∴， 解得 将代入原方程， 得，即， ∴， 解得， 故原方程的实数解是． 20．（24-25九年级上·福建泉州·期中）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； (2)已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． (3)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设所求方程的根为y，根据题意可得，所以，把代入方程，即可得出答案； （2）设原方程的根为x，则，所以，代入方程，得，再用反证法证明即可； （3）设所求方程的根为y，则，所以，代入原方程，得，由方程有两个实数根可得，于是可得，进而可得，用公式法解一元二次方程可得，由根是整数可知为偶数且为完全平方数，因而可得或，代入方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设所求方程的根为y，根据题意可得： ， ， 把代入方程， 得：， 故答案为：； （2）解：设原方程的根为x，则，所以， 代入方程，得： ， 去分母，得：， 若，则有：， 即：， 于是，方程有一个根为0，这不合题意， ， 原方程为：； （3）解：设所求方程的根为y，则，所以， 代入原方程，得：， 去分母，得：， ， ， 又， ， ， 根是整数， 为偶数且为完全平方数， 或， 所求方程为： ，即：， 或，即：． 【点睛】本题主要考查了相反数的应用，等式的性质，一元二次方程的解，倒数，等式的性质，提公因式法分解因式，反证法，根据一元二次方程根的情况求参数，公式法解一元二次方程等知识点，深刻理解“换根法”并能加以运用是解题的关键． 压轴题型三：根与系数的关系 √满分技法 完全平方式： （a＋b）²＝a²＋2ab＋b²， （b- b）²＝a²-2ab＋b²， 变形； a²＋b²＝（a＋b）²-2ab＝（a-b）²＋2ab; （a＋b）²＝（a-b）²＋4ab; （b- b）²＝（a＋b）²-4ab; （a＋b）²＋（a-b）＝2（a＋b）²； （a＋b）²-（a-b）²＝4ab; 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2 21．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知为互不相等的实数，且，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．由题意可求出，，即说明m和n可以看作方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵为互不相等的实数， ∴m和n可以看作方程的两个根， ∴， ∴． 故选A． 22．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设原方程为，两个根为和．新方程为，两个根为2和．则可得，，．将①②联立可解得．则可得或，再与联立可得a、b、c之间的关系．由根与系数的关系可求出与的值，进而可求出的值． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，推导出a、b、c之间的关系是解题的关键． 【详解】解：设原方程为，两个根为和． 新方程为，两个根为2和． 则，，， 得， 由题意得， ∴， ∴， ∴． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 综上，原方程两根的平方和是． 故选：D． 23．（21-22九年级下·浙江·期末）若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程有正实数根与判别式的关系、一元二次方程根与系数的关系，由等式整理得到关于的方程，根据存在正实数，，求出的最大值即可；熟知这些知识点是关键． 【详解】解： 或① 或 解得，② 故的取值范围是： 的最大值是， 故选：A． 24．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根与系数的关系得出，，再设方程的为，，根据根与系数的关系得出，，从而得出方程的两根为，，然后由，求出，的取值范围，从而得出结论． 【详解】解：方程有两个根和， ，， 设方程的两根为，， 则，， ，， ， 方程的两根为，， ，， ，， ，， ， 方程的较小根的范围为． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是利用根与系数的关系得出两个方程根之间的关系． 25．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（    ） A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除． 【详解】解：①若，则是方程的解，故①正确； ②方程有两个不相等的实根， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根， 故②错误； ③∵方程两根为，且满足， ∴， 令，， ∴方程有两个实数根，令两根分别为， ∴， ， ∴方程，必有实根，， 故③正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得：， ， ， 故④正确． 故正确的有①③④， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键． 26．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，进而推出，则，，即可推出，然后代入，得到，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴不符合题意， ∴ ∴符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 27．（21-22八年级下·浙江杭州·期中）下列给出的四个命题，真命题的有（    ）个 ①若方程两根为-1和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】①根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判断；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判断；④利用根与系数的关系进行判断． 【详解】①若方程两根为-1和2， 则，则，即；故此选项符合题意； ②∵a2﹣5a+5＝0， ∴a＝＞1或a＝＞1， ∴1﹣a＜0， ∴；此选项符合题意； ③∵， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解，故此选项符合题意； ④若方程x2+px+q＝0的两个实根中有且只有一个根为0， ∴两根之积为0， 那么p≠0，q＝0，故此选项符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关系等，熟记各计算方法是解题的关键． 28．（2022·河南·模拟预测）已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论： ①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根； ②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3. 以上4个结论中，正确的为（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当a＞-1时，方程有两个不相等的实根，故①正确； 当a＞0时，两根之积，故方程的两根异号，故②说法错误； 由一元二次方程的求根公式得， ∵a＞-1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确； 由③知，当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确， ∴正确的结论有：①③④ 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，抛物线与轴的交点等知识，理解题意，熟练运用所学知识是解题的关键． 29．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在中，，已知，． (1)求的面积； (2)点M为的中点，P、Q分别为上的动点，求的最小值． 【答案】(1)120 (2) 【分析】（1）把，两边平方，运用完全平方公式变形，根据三角形面积公式求解即可； （2）可知是方程的二根，，设点M关于的对称点为点N，过点N作于点D，连接，当时，可得，根据，得，得的最小值为；当时，只有点P，Q与点A重合时，取得最小值．为，，即得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∵， ∴ 是方程的二根， ∴， 当时， 设点M关于的对称点为点N，过点N作于点D，连接， ∵M是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当点P，Q在上时，取得最小值，最小值为； 当时，点D不在边上， 只有点P，Q与点A重合时，取得最小值．为， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形综合．熟练掌握勾股定理，完全平方公式变形求值，三角形面积公式，轴对称路径最短，面积法求三角形高，分类讨论，是解题的关键． 30．（24-25九年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解； （）结合（）的结果，再根据即可求解； （）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）根据学习材料提示得， ， ， ， ∴，， ∴的值为； （）∵的三个根分别为，，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴，， ∵是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴正数的最小值为． 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）已知m、n是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程有两，，则，是解题的关键． 先由根与系数的关系求得，，再计算，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵m、n是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·河南周口·期中）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 3．（湖南省娄底市“思齐杯”2025年初中毕业学业考试模拟数学试题卷）已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且满足，则m的值为 ． 【答案】0或8/8或0 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得或，分两种情况：①和②，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ①当时，这个方程有两个相等的实数根， 则这个方程根的判别式， 解得或； ②当时，则，符合题意； 综上，的值为0或8， 故答案为：0或8． 4（24-25九年级上·四川内江·期末）若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为 ． 【答案】2030 【分析】本题考查根与系数的关系，根据，是两个不相等的实数，且满足，，可以得到、的值和，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，是两个不相等的实数，且满足，， ∴，可以看作方程的两个根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：2030． 5．（24-25九年级上·重庆大足·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先根据一元二次方程有两个不相等实数解可得m的取值范围，再解分式方程得到且，最后结合整数解可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等实数解， ∴，且， 即且， 解关于y的分式方程，可得； ∴或或， ∵且，，y为整数，即， ∴或或， ∴足条件的所有整数m的和为：． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·重庆万州·期末）若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】8 【分析】本题考查解不等式组，一元二次方程根的判别式，掌握不等式组的解法和根的判别式是解题的关键． 先求解不等式组，再根据不等式组有且仅有4个整数解，求出a的取值范围，然后根据一元二次方程有实数根，求出a的取值范围，最后根据两个取值范围求整数a的值，即可求解． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴ 解得：； ∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， ∴且， ∴整数a的值为，0，2，3，4， ∴所有满足条件的整数a的值之和． 故答案为：8． 7．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）关于的一元二次方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，把原方程整理成一般形式，算出一元二次方程根的判别式的值，即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解： 整理得到， ∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）有四组一元二次方程：和；和；和；和．这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的判别式，掌握相关知识并且理解题中定义的“相关方程”是解题的关键． 根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，从而得解． 【详解】解：根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，再根据条件“有两个不相等实数根”可知，是满足条件的一元二次方程， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（24-25九年级上·四川内江·期中）下列四个小题中，正确的有 个（填个数） ①把根号外的因式移入根号内的结果是； ②若是方程的解，则m的值为2或； ③一元二次方程．不论m取何值，方程都有实数根； ④已知：，则A的值为． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质，一元二次方程的解，根与系数的关系，分式的化简求值．根据二次根式的性质，一元二次方程的解，根与系数的关系，分式的化简求值求解即可判断． 【详解】解：①把根号外的因式移入根号内的结果是；①的说法错误； ②若是方程的解， ∴，解得或； 即m的值为2或；②的说法正确； ③一元二次方程， ，， 当时，方程都有实数根；③的说法错误； ④当时， ∵，，， ； 当时， ．④的说法错误； 综上，只有②的说法正确，共1个； 故答案为：1． 10．（24-25九年级上·河北沧州·期中）定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】①将代入的倒方程求出的值即可作出判断； ②利用和根的判别式进行判断即可； ③确定倒方程的判别式与零的关系即可作出判断； ④解一元二次方程与它的倒方程构成的方程组即可作出判断； 【详解】解：①∵的倒方程是， 又∵是的倒方程的解， ∴， 解得：，故结论①正确； ②一元二次方程是一元二次方程的倒方程， ∵， ∴， ∴这两个方程都有两个不相等的实数根，故结论②正确； ③∵一元二次方程无解， ∴， ∴， ∵一元二次方程的倒方程是， 又∵， ∴它的倒方程也无解，故结论③正确； ④∵一元二次方程与它的倒方程有相同的根， ∴ 解得：， ∴这个根一定是，故结论④错误， 综上所述，正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查倒方程的定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元一次方程，解方程组．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$