专题02 与实数有关的规律探索（2题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪科版2024）

专题02 与实数有关的规律探索 压轴题型一：实数的开方与小数点的移动规律 √满分技法 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）观察下表，被开方数a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律． a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 若，则 （   ） A． B． C． D．1414 2．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就（    ） A．向右移动一位 B．向右移动两位 C．向左移动一位 D．向左移动两位 3．（22-23八年级上·山西太原·阶段练习） (1)填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律： a 0.0036 0.36 36 3600 (2)根据你发现的规律填空： ① 已知：2.775，8.775.则 ， ； ②  已知：5.385，若53.85.则x= ． (3)将你发现的规律用文字语言表述出来. 4．（21-22八年级上·河南郑州·开学考试）如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律符合一定的规律，若=180，且=1.8，则被开方数a的值为 ． a … 0.000001 0.01 1 100 10000 1000000 … … 0.001 0.1 1 10 100 1000 … 5．（19-20七年级下·北京海淀·期末）如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律符合一定的规律，若＝180，且＝﹣1.8，则被开方数a的值为 ． a … 0.000001 0.01 1 100 10000 1000000 … … 0.001 0.1 1 10 100 1000 … 6．（23-24七年级下·重庆梁平·期末）（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位． （3）规律运用： ①已知，则______； ②已知，则m＝______． 7．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）观察下表，并解决问题． a 0.000 1 0.01 1 100 10 000 0.01 0.1 1 10 100 (1)①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律； ②已知 则 ． (2)①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想； ② 已知 请用含 m 的式子表示n． 8．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 9．（22-23七年级下·湖北咸宁·期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ (2)①已知，则______； ②已知，则______； (3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，用含的代数式表示． 10．（23-24八年级·全国·假期作业）观察下列规律回答问题：，，，，， (1)则　　；　　；按上述规律，已知数小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？ (2)已知，若，用含的代数式表示，则　　； (3)根据规律写出与a的大小情况． 11．（2022七年级下·上海·专题练习）填写下表，并回答问题： a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … … （1）数a与它的立方根的小数点的移动有何规律？ （2）根据这个规律，若已知，求a的值． 12．（22-23八年级上·江苏·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)= ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求的值． 13．（19-20七年级下·浙江·期中）（1）已知，，则____________． （2）已知，则_________． （3）从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向_________移动____________位． （4）如果，则_________，____________． 压轴题型二：数与式的规律探究 √满分技法 14．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律计算：（   ） A． B．1275 C．1326 D．1378 15．（23-24七年级下·全国·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级上·广西玉林·期中）根据图中数字的规律，若第n个图中的，则p的值为（   ） A．144 B．121 C．100 D．81 17．（23-24九年级下·云南昆明·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（    ） A． B． C． D．2024 18．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 19．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 21．（2024八年级上·全国·专题练习）小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 22．（23-24九年级下·江苏南通·期末）符号是一种运算，它对一些数字的运算结果如下： 若； ． 利用以上的规律计算：   ． 23．（24-25七年级上·重庆·开学考试）对于正整数．如果各位上的数字和是一个多位数（含两位数），那么我们再算这个多位数的各位上的数字和，直至得到一个一位数为止，我们将这个一位数记作，例如2018，因为，，所以．大家注意，根据以上算法，，，，有趣的是也等于7．这是偶然的巧合还是必然的规律？ (1)根据以上材料，你能提出一个猜想吗？从等式（*）左边数的个数和数的位数入手考虑，尽量使你的猜想适用范围更广． (2)请证明你的猜想． (3)请举出以上结论的一个应用． 24．（2024八年级上·江苏·专题练习）观察：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请你运用上述规律解决下面的问题： (1)规定用符号表示实数m的整数部分，例如：，，按此规定的值为 ； (2)如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． 25．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 26．（23-24八年级下·广东江门·期末）计算： （1），________，________，________，________． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来． （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则________； ②________． 27．（24-25八年级上·福建宁德·期中）探究发散： (1)完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． (2)根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 1．（21-22七年级下·广东湛江·期末）各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出，的值分别为（    ） 0 3 2 5 4 7 6 4 13 6 31 8 57 A．9，10 B．9，91 C．10，91 D．10，110 2．（21-22七年级上·湖南岳阳·期末）观察下列等式：，，，，，……根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 3．（20-21八年级上·四川乐山·期中）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是（    ） ． A． B． C． D．2S2-2 4．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期中）有一列数按如下规律排列：则第2017个数是（　　） A． B． C． D． 5．（21-22七年级下·山东德州·期末）观察：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述规律后解决问题：规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．按此规定，那么的值为 ． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知：，，，根据此规律 ． 7．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）有一列数按如下规律排列：，，，，，，…则第10个数是 ，第个数是 ． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 9．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）观察下表： a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 m 2 20 n … (1)表格中的______，______． (2)表中a与存在的规律为把a的小数点向左（或向右）移动两位，的小数点相应的向左（或向右）移动______位． (3)利用（2）中的规律，解答下列问题： ①已知，则______； ②已知，若，求a的值． 10．（23-24七年级下·河南安阳·期末）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 与实数有关的规律探索 压轴题型一：实数的开方与小数点的移动规律 √满分技法 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）观察下表，被开方数a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律． a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 若，则 （   ） A． B． C． D．1414 【答案】B 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键．根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就（    ） A．向右移动一位 B．向右移动两位 C．向左移动一位 D．向左移动两位 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据被开方数的小数点向右每移动两位，算术平方根的小数点向右平移1位，作答即可． 【详解】解：如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就向右移动一位； 故选：A． 3．（22-23八年级上·山西太原·阶段练习） (1)填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律： a 0.0036 0.36 36 3600 (2)根据你发现的规律填空： ① 已知：2.775，8.775.则 ， ； ②  已知：5.385，若53.85.则x= ． (3)将你发现的规律用文字语言表述出来. 【答案】(1) 0.06 0.6 6 60 (2) 87.75 0.02775 2900 (3)被开方数小数点每向右（左）移动两位，则算术平方根的小数点向相同的方向移动一位，反之亦然 【分析】(1)根据算术平方根的定义计算即可． (2) ① 根据发现的被开方数，算术平方根的小数点移动规律计算即可； ②根据发现的被开方数，算术平方根的小数点移动规律计算即可． (3)根据被开方数小数点移动，算术平方根的小数点移动两个方面去思考． 【详解】（1）因为，，，， 故答案为：0.06，0.6，6，60． （2）①因为77的小数点向右移动了2位，得到7700， 所以算术平方根的小数点向右移动1位， 因为． 所以； 因为7.7的小数点向左移动4位，得到0.00077， 所以算术平方根的小数点向左移动2位； 因为， 所以0.02775， 故答案为：87.75，0.02775． ②因为5.385小数点向右移动一位得到53.85， 所以被开方数小数点向右移动2位， 因为， 所以， 故x=2900， 故答案为：2900． （3）根据前面的解答，发现规律如下： 被开方数小数点每向右移动两位，则算术平方根的小数点向相同的方向移动一位，反之亦然． 【点睛】本题考查了被开方数与算术平方根的关系，准确理解二者的小数点移动规律是解题的关键． 4．（21-22八年级上·河南郑州·开学考试）如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律符合一定的规律，若=180，且=1.8，则被开方数a的值为 ． a … 0.000001 0.01 1 100 10000 1000000 … … 0.001 0.1 1 10 100 1000 … 【答案】32400 【分析】根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得a的值． 【详解】解：∵＝180，且＝1.8， ∴＝180， ∴a＝32400， 故答案为：32400． 【点睛】此题考查的是算术平方根的探索规律题，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键． 5．（19-20七年级下·北京海淀·期末）如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律符合一定的规律，若＝180，且＝﹣1.8，则被开方数a的值为 ． a … 0.000001 0.01 1 100 10000 1000000 … … 0.001 0.1 1 10 100 1000 … 【答案】32400 【分析】根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得a的值． 【详解】解：∵＝180，且﹣＝﹣1.8， ∴＝1.8， ∴＝180， ∴a＝32400， 故答案为：32400． 【点睛】此题考查的是算术平方根的探索规律题，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键． 6．（23-24七年级下·重庆梁平·期末）（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位． （3）规律运用： ①已知，则______； ②已知，则m＝______． 【答案】（1）0.1；10  （2）右；1   （3）① ②25 【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）直接计算即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】解：（1），， 故答案为：，10； （2）由表格中的数据可知被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右，1； （3）①已知，则， ②已知，，则， ∴ 故答案为：①22.4；②25． 7．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）观察下表，并解决问题． a 0.000 1 0.01 1 100 10 000 0.01 0.1 1 10 100 (1)①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律； ②已知 则 ． (2)①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想； ② 已知 请用含 m 的式子表示n． 【答案】(1)①被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位；②0.447； (2)①被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根的变化规律，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）①从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律； ②根据（1）的规律即可得出答案； （2）①仿照算术平方根的规律探讨被开方数与其立方根小数点移动规律；②根据①所求规律解决此题即可． 【详解】（1）解：①观察表格可知，被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位； ②∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴规律是：被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位； ②∵， ∴． 8．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 【答案】（1）0.1，10；（2）右，1；（3）22.4，50 【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）直接计算即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】解：（1），， 故答案为：，10； （2）被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右，1； （3）①已知，则， ②已知，，则， 故答案为：22.4，50． 9．（22-23七年级下·湖北咸宁·期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ (2)①已知，则______； ②已知，则______； (3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，用含的代数式表示． 【答案】(1)数的小数点每移动两位它的算术平方根的小数点相应移动一位； (2)①0.447；②36800； (3)． 【分析】（1）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律； （2）根据规律即可得出答案； （3）先探讨被开方数与其立方根小数点移动规律，再根据规律解决此题． 【详解】（1）∵， ∴规律是：数a的小数点每每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位； （2）①∵， ∴； ②∵，， ∴． 故答案为：①0.447；②36800； （3）∵， ∴规律是：被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位； ∵， ∴． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根，规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规律是解决本题的关键． 10．（23-24八年级·全国·假期作业）观察下列规律回答问题：，，，，， (1)则　　；　　；按上述规律，已知数小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？ (2)已知，若，用含的代数式表示，则　　； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1) (2)﹣ (3)当或时，；当或时，；当或时，． 【分析】（1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：； （2）解：由（1）中规律可得，已知，若， 则的绝对值是的且符号相反； 用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3）解：，，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或时，； 当或时，． 【点睛】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． 11．（2022七年级下·上海·专题练习）填写下表，并回答问题： a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … … （1）数a与它的立方根的小数点的移动有何规律？ （2）根据这个规律，若已知，求a的值． 【答案】填表见解析；（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点相应地向右或向左移动一位解答； （2）根据（1）总结的规律解答． 【详解】 a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … （1）由题可知，被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点相应地向右或向左移动一位； （2）由（1）总结的规律可知：0.1738的小数点向右移动了一位， ∴0.00525的小数点应向右移动三位，得到． 【点睛】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格． 12．（22-23八年级上·江苏·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)= ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，；，；， 【分析】（1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据立方根的性质，立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：，即， ∴或1或 解得：或3或1 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查求一个负数的立方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． 13．（19-20七年级下·浙江·期中）（1）已知，，则____________． （2）已知，则_________． （3）从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向_________移动____________位． （4）如果，则_________，____________． 【答案】（1）200（2）0.05（3）左或右；1．（4）； 【分析】（1）观察式子发现，当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位，可以理解为被开方数小数点向右移动3位后又向右移动3位，则立方根的小数点向右移动1位后又向右移动1位，直接写出得数即可． （2）当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位，可以理解为被开方数小数点向左移动3位后又向左移动3位，则立方根的小数点向左移动1位后又向左移动1位，直接写出得数即可． （3）通过前两个小题的观察、验证，总结规律，被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位． （4）把发现、总结的规律进行应用，直接写出得数即可． 【详解】解：（1）根据题意，观察式子发现，当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位． 可以看作为被开方数8的小数点向右移动3位后又向右移动3位， 则立方根2的小数点向右移动1位后又向右移动1位， ∴． （2）根据题意，观察式子发现，当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位， 可以理解为被开方数125的小数点向左移动3位后又向左移动3位， 则立方根5的小数点向左移动1位后又向左移动1位， ∴． （3）通过前两个小题的观察、验证， 总结规律：被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位． （4）根据以上小题发现的规律， 可看作被开方数向右移动3位， ，的立方根向右移动1位， ∴； ∵， 可看作被开方数向左移动3位， ，的立方根向左移动1位， ∴． 【点睛】本题考查了立方根的实际应用，根据观察得出规律，被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位，观察发现并总结应用规律是解题关键． 压轴题型二：数与式的规律探究 √满分技法 14．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律计算：（   ） A． B．1275 C．1326 D．1378 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根与数字的变化规律．先分别求出①②③④的结果，发现的规律，据此求解即可． 【详解】解：①； ②； ③； ④， …… ∴， ∴， 故选：C． 15．（23-24七年级下·全国·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，观察题目找出解题点是解题的关键．根据数阵的规律可知：被开方数是连续的正整数，根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数，可得结论． 【详解】解：第1行的最后一个数是， 第2行的最后一个数是， 第3行的最后一个数是， …… 第8行最后一个数字为， ∴第8行倒数第三个数是， 故选：C． 16．（24-25七年级上·广西玉林·期中）根据图中数字的规律，若第n个图中的，则p的值为（   ） A．144 B．121 C．100 D．81 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索、运用平方根解方程等知识点，发现数字的排列规律成为解题的关键． 观察可知第k个图右上角的数为k，左上角的数为，下方的数为，由此可得方程，解方程求出，则，据此即可解答． 【详解】解：第1个图左上方的数为1，下方的数为， 第2个图左上方的数为4，下方的数为， 第3个图左上方的数为9，下方的数为， …… 第k个图左上方的数为，下方的数为， ∵， ∴，解得：， ∴． 故选A． 17．（23-24九年级下·云南昆明·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（    ） A． B． C． D．2024 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、立方根以及数字的变化类．根据这列数据的排列规律即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，；，，；，，；， 每三个相邻的数为一组， 由于， 2024处在第674组后的第2个数，因此可得， 第2024个数应是． 故选：C． 18．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，据此规律求解即可； 【详解】解：，，，，，，，，， ……， 以此类推可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， ∵， ∴第11个数应是， 故选：A． 19．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可． 【详解】解：，，，， ∴第个数为， ∴第8个数为； 故选C． 20．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出．先计算出前4个式子，进而得出规律，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察发现， ， 故答案为：，． 21．（2024八年级上·全国·专题练习）小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 【答案】73 【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：73． 22．（23-24九年级下·江苏南通·期末）符号是一种运算，它对一些数字的运算结果如下： 若； ． 利用以上的规律计算：   ． 【答案】1 【分析】本题是对数字变化规律的考查，新定义运算，观察出“”对整数和分数的不同运算方法是解题的关键． 根据“”的运算方法，对整数运算为整数减1，对分数运算，为分数的倒数列式计算即可得解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ， ， ． 故答案为：1． 23．（24-25七年级上·重庆·开学考试）对于正整数．如果各位上的数字和是一个多位数（含两位数），那么我们再算这个多位数的各位上的数字和，直至得到一个一位数为止，我们将这个一位数记作，例如2018，因为，，所以．大家注意，根据以上算法，，，，有趣的是也等于7．这是偶然的巧合还是必然的规律？ (1)根据以上材料，你能提出一个猜想吗？从等式（*）左边数的个数和数的位数入手考虑，尽量使你的猜想适用范围更广． (2)请证明你的猜想． (3)请举出以上结论的一个应用． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了新定义： （1）根据题意可猜想若，则，即，其中m、n为自然数，更一般的猜想为； （2）以四位数为例，设一个四位数，则，即，进一步得到对于任意的正整数k，表示的就是k除以9之后的余数，则，，据此可证明结论； （3）可以验证两个或多个较大的数相乘，其结果是否正确，具体见解析． 【详解】（1）解：猜想：若，则，即，其中m、n为自然数，更一般的猜想为； （2）证明：以四位数为例，设一个四位数， ∴， ∴， ∴， 同理，当数字数位增多时，上述结论仍然成立， ∴对于任意的正整数k，表示的就是k除以9之后的余数， ∴，， ∴， 同理可证明； （3）解：（1）（2）的结论可以验证两个或多个较大的数相乘，其结果是否正确： 例如：需要验证是否正确， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴原式计算不正确． 24．（2024八年级上·江苏·专题练习）观察：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请你运用上述规律解决下面的问题： (1)规定用符号表示实数m的整数部分，例如：，，按此规定的值为 ； (2)如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【答案】(1)4 (2)3 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义： （1）仿照题意可得，进而可得，再根据新定义即可得到答案； （2）先仿照题意得到，，则，，据此求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干例举的等式，即可答案； （2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案； （3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：； （3）解：原式 ． 26．（23-24八年级下·广东江门·期末）计算： （1），________，________，________，________． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来． （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则________； ②________． 【答案】（1），0，6，；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了算术平方根的定义，实数的绝对值，规律的探索及规律的应用；正确掌握算术平方根的定义是关键． （1）直接计算算术平方根即可； （2）根据（1）中的计算即可得到规律，并可用字母表示出来； （3）①直接利用总结出的规律计算即可； ②直接利用总结出的规律计算即可． 【详解】（1）解：，，，； 故答案为：，0，6，； （2）解：规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值；用字母表示为：； （3）解：①当时，， ； 故答案为：； ②； 故答案为：． 27．（24-25八年级上·福建宁德·期中）探究发散： (1)完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． (2)根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 【答案】(1)6； (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．． （1）先计算平方，再计算算术平方根即可； （2）结合（1）中计算可知，不一定等于a，并发现其中规律即可； （3）由a、b、c在数轴上的位置可知，，，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：6；； （2）解：不一定等于a， 规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 （3）解：由a、b、c在数轴上的位置可知，，， ，， ． 1．（21-22七年级下·广东湛江·期末）各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出，的值分别为（    ） 0 3 2 5 4 7 6 4 13 6 31 8 57 A．9，10 B．9，91 C．10，91 D．10，110 【答案】C 【分析】分析前三个图形，有：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，由此即可求出a、b、c 【详解】由前三个图形，有：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1， 故选：C 【点睛】本题考查规律中的数字变换，分析前面的图形，得出：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，找出给定的数之间的关系时解题关键． 2．（21-22七年级上·湖南岳阳·期末）观察下列等式：，，，，，……根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分析71 = 7，72=49，73=343， 74 = 2401，75= 16807，…，得出个位数字是4个数7，9，3，1循环，由2021÷4 = 505余1即可得出的结果的个位数字是7． 【详解】解：∵71 = 7，72=49，73=343， 74 = 2401，75= 16807，…， ∴个位数字是7，9，3，1循环， ∵2021÷4 = 505余1， ∴的结果的个位数字是7． 故选： C． 【点睛】本题考查了规律型尾数特征，解题关键是分析给出的等式规律，判定出尾数规律． 3．（20-21八年级上·四川乐山·期中）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是（    ） ． A． B． C． D．2S2-2 【答案】A 【分析】根据已知条件和，将按一定规律排列的一组数：，，，，，，求和，即可用含的式子表示这组数据的和． 【详解】解：， ． 故选A． 【点睛】本题考查了规律型数字的变化类、列代数式，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 4．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期中）有一列数按如下规律排列：则第2017个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，则可得分子、分母的规律及符号的规律，从而可得结果． 【详解】解：，符号两项负一项正循环，而，则第2017项的符号为负；分子是从2开始的连续自然数的算术平方根，即，则第2017项的分子为；分母是以2为底数的乘方，且指数从1开始，且分子的被开方数比分母指数大1，即，则第2017项的分母为，综合得第2017个数是； 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数规律的探索，找到规律是解题的关键． 5．（21-22七年级下·山东德州·期末）观察：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述规律后解决问题：规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．按此规定，那么的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求实数的近似值，掌握无理数的估算方法并能熟练运算是解题关键． 的整数部分为3，的整数部分则为4． 【详解】解：∵，即， ∴的整数部分为3，的整数部分则为4． 表示实数的整数部分， ∴． 故答案为：4． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知：，，，根据此规律 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的化简，根据已知的式子得到规律是解题的关键．根据前边的三个式子可以得到，所得结果的整数部分是1，后边的部分的分子为1，分母是两个相邻的整数的乘积，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得． 故答案为：． 7．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）有一列数按如下规律排列：，，，，，，…则第10个数是 ，第个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律问题，先判断序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分子为2的序号数次方，分母为序号数加上1的算术平方根，即可得出第10个数，进而得出第n个数． 【详解】解：∵一列数按如下规律排列：，，，，，，…， ∴序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分子为2的序号数次方，分母为序号数加上1的算术平方根， 则第10个数是，第个数是． 故答案为：，． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． （1）利用算术平方根定义计算，填表即可； （2）归纳总结得到一般性规律，求出的值即可； （3）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）根据题意得：， ， ． （2）当（为整数）时，； （3）若，则①； ②． 9．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）观察下表： a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 m 2 20 n … (1)表格中的______，______． (2)表中a与存在的规律为把a的小数点向左（或向右）移动两位，的小数点相应的向左（或向右）移动______位． (3)利用（2）中的规律，解答下列问题： ①已知，则______； ②已知，若，求a的值． 【答案】(1)， (2)一 (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）根据算术平方根求解即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】（1）解：根据表格数据，，， （2）根据表格数据，被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，相应的算术平方根的小数点就向左（或向右）移动一位． （3）①已知，则， ②已知，若，则． 10．（23-24七年级下·河南安阳·期末）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了无理数的估算． （1）先估算出，得到，根据定义即可得到答案； （2）先估算出的小数部分，的整数部分为，进一步计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）∵， 即， ∴的整数部分为2，小数部分．     ∵，即， ∴的整数部分．      ∴．    ∴． ∴． 1 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