专题01 无理数的估算（3题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪科版2024）

专题01 无理数的估算 1.无理数的类型 （1）开方开不尽的数，如，... （2）含有的数，如π，2π... （3）以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2121121112每相邻两个2之间1的个数逐次加1). 2.判定一个实数是无理数的方法 (1)若是一个小数的形式，确定是无限小数并且是不循环小数； (2)若是一个方根的形式，确定是含有开方开不尽的二次或三次方根； (3)是一个含有π的数。 3.实数和数轴上的点的对应关系及无理数的找法 1、 实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示． 数轴上的每一个点都可以表示一个实数． 2、的画法：画边长为1的正方形的对角线 在数轴上表示无理数通常有两种情况： ① 尺规可作的无理数，如 ② 尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001…… 4.实数的大小比较 1、实数大小比较的方法（常用）： ①法则 法则是：正数都大于零，零大于一切负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小。 ②平方法 根据：对任意正实数a、b,有a²>b²⇔|a|＞|b|; 推广得：对任意两个实数a、b.有a²>b²⇔|a|＞|b|. ③数形结合方法 根据：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. ④做差法 做差法比较大小的思路是：设a、b为任意两个实数， 若a-b>0.则a>b; 若a-b=0,则a＝b; 若a-b<0.则a＜b; ⑤做商法 做商法比较大小的思路是：设a、b为任意两个实数， 若>1.则a＞b； 若=1，则a=b； 若＜1，则a＜b。 ⑥倒数法 倒数法的基本思路是：设a、b为任意两个正实数，先分别求出a、b的倒数，. 若，则a＞b , 若，则a＜b , 若，则a＝b 。 ⑦估算法 估算法的基本思路是：通过估算判断两数的大小。 ⑧比较被开方数法 基本思路是：若比较a和(a、b、c、d均为正数)的大小，除了可以用平方法，也可先将根号外面的因数平方后移入到根号内，再根据被开方数的大小进行比较被开方数越大二次根式值越大。 ⑨特殊值法 比较含有某个字母的几个代数式值的大小，可以通过取特殊值的方法进行比较，这种方法可以快速解决选择、填空等题型。 ⑩分子有理化 ⑪比较几个负数的大小，都先比较它们的绝对值。 5.实数的三个非负性及性质：  （1）、在实数范围内，正数和零统称为非负数。 （2）、非负数有三种形式  ①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0 （3）、非负数具有以下性质 ①非负数有最小值零； ②非负数之和仍是非负数； ③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 6.实际问题中的实数运算 在实际生活中，实数经常需要取近似值进行计算，一般地，在计算中间尽量不使用近似数，当计算进行到最后一步时，才按要求确定近似值，有些实际问题，数据多是小数，那就需要在计算过程中使用计算器计算。 压轴题型一：利用夹逼法估算无理数 √满分技法 估算算术平方根的取值范围的一般步骤：①将算术平方根平方；②找出其结果在哪两个相邻的完全平方数之间；③确定算术平方根的取值范围. 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）估算的整数部分是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）已知，则整数n的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025七年级下·全国·专题练习）45的算术平方根在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）小云的作业中有这样一道题： 请画出数轴并把实数，，，在数轴上表示出来，再把这几个数按照从小到大的顺序排列． (1)你认为表示的点在______到______之间（填整数）； (2)如图是小云所画的数轴，请你帮助小云完成剩下的任务． 5．（24-25八年级上·河北沧州·期末）（1）如图1是方格，其中每个小正方形的边长为1，中间阴影部分正方形的边长为______；面积为______． （2）如图2是方格，请在方格中画出边长为的正方形（顶点在格点上），并涂上阴影； （3）若两个连续整数x，y满足，求的算术平方根． 压轴题型二：实数的大小比较 √满分技法 1、实数大小比较的方法（常用）： ①法则 法则是：正数都大于零，零大于一切负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小。 ②平方法 根据：对任意正实数a、b,有a²>b²⇔|a|＞|b|; 推广得：对任意两个实数a、b.有a²>b²⇔|a|＞|b|. ③数形结合方法 根据：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大; ④做差法 做差法比较大小的思路是：设a、b为任意两个实数， 若a-b>0.则a>b 若a-b=0,则a＝b 若a-b<0.则a＜b ⑤做商法 做商法比较大小的思路是：设a、b为任意两个实数， 若>1.则a＞b； 若=1，则a=b； 若＜1，则a＜b。 ⑥倒数法 倒数法的基本思路是：设a、b为任意两个正实数，先分别求出a、b的倒数，. 若，则a＞b , 若，则a＜b , 若，则a＝b 。 ⑦估算法 估算法的基本思路是：通过估算判断两数的大小。 ⑧比较被开方数法 基本思路是：若比较a和(a、b、c、d均为正数)的大小，除了可以用平方法，也可先将根号外面的因数平方后移入到根号内，再根据被开方数的大小进行比较被开方数越大二次根式值越大。 ⑨特殊值法 比较含有某个字母的几个代数式值的大小，可以通过取特殊值的方法进行比较，这种方法可以快速解决选择、填空等题型。 ⑩分子有理化 ⑪比较几个负数的大小，都先比较它们的绝对值。 6．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在数轴上，点表示实数，则可能是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·四川成都·期末）用“＞”“＝”或“＜”填空：． （1） 4； （2） ． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）比较大小： （用“”，“”或“”填空）． 9．（24-25八年级上·福建漳州·期末）比较大小： ．（填“”，“”或“”） 10．（24-25八年级上·江西吉安·期末）比较大小： 9．（填“＞”、“＜”或“＝”） 11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）比较大小： (1) 10； (2) 3.14； (3) ； (4) ． 压轴题型三：估算无理数的整数部分和小数部分 √满分技法 解答这类问题，关键是要先估算整数部分，再用这个无理数减去整数部分，其结果就是小数部分. 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，网格中小正方形的边长均为1，把阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．若的整数部分和小数部分分别是，则（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是的小数部分，则代数式的值为 ． 14．（24-25七年级下·全国·随堂练习）估算的整数部分的数值是 ． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读《无理数》课堂实录，解决问题： 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全地写出来，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数字之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下，的小数部分； (2)若为的小数部分，为的小数部分，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的平方根． 16．（23-24七年级下·广东广州·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)填空：_______，_________，________； (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）数轴上点A表示的数是2，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）在0，，，，五个数中，最大的数是（   ） A．0 B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·广东佛山·阶段练习）比较大小： （填“>”“<”“=”）． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知为两个连续的整数，且，则 ， ． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）若将三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 ． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，且是两个连续的整数，则 ． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列材料，解决相关任务： 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第六位的人，他给出的两个分数形式的近似值：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值． 例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． 任务： (1)约率是（   ） A．无理数    B．有限小数    C．整数    D．有理数 (2)已知，请使用两次“调日法”，求的近似分数． 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数， 次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 无理数的估算 1.无理数的类型 （1）开方开不尽的数，如，... （2）含有的数，如π，2π... （3）以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2121121112每相邻两个2之间1的个数逐次加1). 2.判定一个实数是无理数的方法 (1)若是一个小数的形式，确定是无限小数并且是不循环小数； (2)若是一个方根的形式，确定是含有开方开不尽的二次或三次方根； (3)是一个含有π的数。 3.实数和数轴上的点的对应关系及无理数的找法 1、 实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示． 数轴上的每一个点都可以表示一个实数． 2、的画法：画边长为1的正方形的对角线 在数轴上表示无理数通常有两种情况： ① 尺规可作的无理数，如 ② 尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001…… 4.实数的大小比较 1、实数大小比较的方法（常用）： ①法则 法则是：正数都大于零，零大于一切负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小。 ②平方法 根据：对任意正实数a、b,有a²>b²⇔|a|＞|b|; 推广得：对任意两个实数a、b.有a²>b²⇔|a|＞|b|. ③数形结合方法 根据：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. ④做差法 做差法比较大小的思路是：设a、b为任意两个实数， 若a-b>0.则a>b; 若a-b=0,则a＝b; 若a-b<0.则a＜b; ⑤做商法 做商法比较大小的思路是：设a、b为任意两个实数， 若>1.则a＞b； 若=1，则a=b； 若＜1，则a＜b。 ⑥倒数法 倒数法的基本思路是：设a、b为任意两个正实数，先分别求出a、b的倒数，. 若，则a＞b , 若，则a＜b , 若，则a＝b 。 ⑦估算法 估算法的基本思路是：通过估算判断两数的大小。 ⑧比较被开方数法 基本思路是：若比较a和(a、b、c、d均为正数)的大小，除了可以用平方法，也可先将根号外面的因数平方后移入到根号内，再根据被开方数的大小进行比较被开方数越大二次根式值越大。 ⑨特殊值法 比较含有某个字母的几个代数式值的大小，可以通过取特殊值的方法进行比较，这种方法可以快速解决选择、填空等题型。 ⑩分子有理化 ⑪比较几个负数的大小，都先比较它们的绝对值。 5.实数的三个非负性及性质：  （1）、在实数范围内，正数和零统称为非负数。 （2）、非负数有三种形式  ①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0 （3）、非负数具有以下性质 ①非负数有最小值零； ②非负数之和仍是非负数； ③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 6.实际问题中的实数运算 在实际生活中，实数经常需要取近似值进行计算，一般地，在计算中间尽量不使用近似数，当计算进行到最后一步时，才按要求确定近似值，有些实际问题，数据多是小数，那就需要在计算过程中使用计算器计算。 压轴题型一：利用夹逼法估算无理数 √满分技法 估算算术平方根的取值范围的一般步骤：①将算术平方根平方；②找出其结果在哪两个相邻的完全平方数之间；③确定算术平方根的取值范围. 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）估算的整数部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数大小的估算，熟练掌握无理数大小的估算方法是解题的关键． 根据无理数大小的估算方法即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴的整数部分是， 故选： A． 2．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）已知，则整数n的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解决本题的关键是估算出的取值范围，首先得出，得出的取值范围，即可得出n的值． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）45的算术平方根在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】B 【分析】此题主要考查了算术平方根及无理数的估值，正确把握算术平方根的定义是解题关键．直接利用算术平方根的定义得出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴45的算术平方根在6和7之间． 故选：B． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）小云的作业中有这样一道题： 请画出数轴并把实数，，，在数轴上表示出来，再把这几个数按照从小到大的顺序排列． (1)你认为表示的点在______到______之间（填整数）； (2)如图是小云所画的数轴，请你帮助小云完成剩下的任务． 【答案】(1)2；3 (2)图见解析， 【分析】本题考查无理数的估算、在数轴上表示实数．（1）根据估算的取值范围即可； （2）先化简绝对值，并估算，然后把数值表示在数轴上表示出来． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：2；3； （2）解：． ， ， ． 将4个实数在数轴上表示出来如图所示． 由图可知． 5．（24-25八年级上·河北沧州·期末）（1）如图1是方格，其中每个小正方形的边长为1，中间阴影部分正方形的边长为______；面积为______． （2）如图2是方格，请在方格中画出边长为的正方形（顶点在格点上），并涂上阴影； （3）若两个连续整数x，y满足，求的算术平方根． 【答案】（1），5；（2）见解析；（3）3 【分析】本题考查作图一应用与设计作图，估算无理数的大小，算术平方根的应用： （1）阴影部分的面积等于大正方形面积减去四周小三角形的面积，再根据算术平方根求出边长即可； （2）参照图（1）即可作图； （3）估算的大小，得出和y的值，进而即可求解． 【详解】（1）整个方格的面积为， 四周四个直角三角形的面积之和为：（每个直角三角形的两条直角边分别为1和2）， 那么中间阴影部分正方形的面积就等于整个方格的面积减去四周四个直角三角形的面积，即，所以阴影部分正方形的面积为5，其边长为5算术平方根：， 故答案为：，5； （2）如图： （3）解：， ， ， ，， ∴9的算术平方根为3． 压轴题型二：实数的大小比较 √满分技法 1、实数大小比较的方法（常用）： ①法则 法则是：正数都大于零，零大于一切负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小。 ②平方法 根据：对任意正实数a、b,有a²>b²⇔|a|＞|b|; 推广得：对任意两个实数a、b.有a²>b²⇔|a|＞|b|. ③数形结合方法 根据：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大; ④做差法 做差法比较大小的思路是：设a、b为任意两个实数， 若a-b>0.则a>b 若a-b=0,则a＝b 若a-b<0.则a＜b ⑤做商法 做商法比较大小的思路是：设a、b为任意两个实数， 若>1.则a＞b； 若=1，则a=b； 若＜1，则a＜b。 ⑥倒数法 倒数法的基本思路是：设a、b为任意两个正实数，先分别求出a、b的倒数，. 若，则a＞b , 若，则a＜b , 若，则a＝b 。 ⑦估算法 估算法的基本思路是：通过估算判断两数的大小。 ⑧比较被开方数法 基本思路是：若比较a和(a、b、c、d均为正数)的大小，除了可以用平方法，也可先将根号外面的因数平方后移入到根号内，再根据被开方数的大小进行比较被开方数越大二次根式值越大。 ⑨特殊值法 比较含有某个字母的几个代数式值的大小，可以通过取特殊值的方法进行比较，这种方法可以快速解决选择、填空等题型。 ⑩分子有理化 ⑪比较几个负数的大小，都先比较它们的绝对值。 6．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在数轴上，点表示实数，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是实数与数轴，实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键．根据数轴可得，再逐一分析各选项的数据即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 故A符合题意； ，， ，， 故B，C不符合题意； ， ，故D不符合题意； 故选：A． 7．（24-25八年级上·四川成都·期末）用“＞”“＝”或“＜”填空：． （1） 4； （2） ． 【答案】 ＜ ＜ 【分析】此题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． （1）将4变形为，从而进行比较； （2）将变形为，从而进行比较； 【详解】解：（1）∵，且， ∴； （2）∵，且， ∴， 故答案为：＜；＜ 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）比较大小： （用“”，“”或“”填空）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题关键．首先分析出，易得，然后比较和大小即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·福建漳州·期末）比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，熟练掌握平方法是解题的关键： 先求出两数的平方，然后比较即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江西吉安·期末）比较大小： 9．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小的比较．首先把两个数平方，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）比较大小： (1) 10； (2) 3.14； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查实数的大小比较，算术平方根： （1）比较与即可； （2）比较与即可； （3）将两数均平方比较； （4）先求出，再与比较． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，而， ∴， 故答案为：； （4）解：， 故答案为：． 压轴题型三：估算无理数的整数部分和小数部分 √满分技法 解答这类问题，关键是要先估算整数部分，再用这个无理数减去整数部分，其结果就是小数部分. 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，网格中小正方形的边长均为1，把阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．若的整数部分和小数部分分别是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了算术平方根和估算无理数的大小，根据三角形面积公式，求阴影部分的面积个三角形面积的和，再求其算术平方根；把a的值代入中，表示出x和y，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是的小数部分，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，结合，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的小数部分， ∴， 则， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·全国·随堂练习）估算的整数部分的数值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握估算方法是解题的关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴的整数部分的数值是4， 故答案为：4 ． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读《无理数》课堂实录，解决问题： 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全地写出来，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数字之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下，的小数部分； (2)若为的小数部分，为的小数部分，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能够熟练运用夹逼法是解题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，再求出a、b的值，再代入求解即可； （3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的小数部分为； （2）解：， ，， ，， ； （3）解： ， ∴， ∴， 又∵，其中是整数，且， ∴， ∴， ∴的平方根是． 16．（23-24七年级下·广东广州·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)填空：_______，_________，________； (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了估算无理数的大小，求代数式的值，立方根的定义，算术平方根的定义，解二元一次方程组等知识点，能得出关于，的方程组是解（1）的关键，能估算出的范围是解（2）的关键． （1）根据平方根和立方根的定义得出方程组，求出方程组的解，再根据算术平方根求出即可； （2）先估算出的范围，再求出，的值，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是， ， 解得：，， ， ， （2）解：， ，的整数部分是，小数部分是， ，， ． 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）数轴上点A表示的数是2，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的大小比较等知识点，熟练掌握数轴及实数的相关知识是解题的关键． 根据题意直接列式计算即可． 【详解】解：由题意可知，点C表示的数是： ， 故选：． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）在0，，，，五个数中，最大的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数大小比较，掌握无理数的估算是解题的关键．根据实数的大小比较求解即可，四个数中正数比0和负数大，即只比较，，即可． 【详解】解：， 在0，，，，五个数中，最大的数是， 故选：D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是一道有关实数大小比较的题目，关键是熟记实数大小的比较方法．比较两个数的大小，先求出各数的绝对值，再根据“正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小”进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．（22-23八年级上·广东佛山·阶段练习）比较大小： （填“>”“<”“=”）． 【答案】> 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握同分母的分数分子大的就大，逼进法比较实数大小，是解题的关键． 根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故， 故答案为：>． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知为两个连续的整数，且，则 ， ． 【答案】 2 3 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是． 根据，即，求解即可． 【详解】解：， ， ∵， ，， 故答案为：2；3． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）若将三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，解题的关键在于得出无理数的取值范围．首先利用估算的方法分别得到，，前后的整数（即它们分别在那两个整数之间），从而可判断出被覆盖的数． 【详解】解：，，，且墨迹覆盖的范围是， 能被墨迹覆盖的数是． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，且是两个连续的整数，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根的计算，掌握算术平方根的计算是解题的关键． 根据无理数的估算可确定的值，再代入求算术平方根即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是两个连续的整数， ∴， ∴， 故答案为：3 ． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列材料，解决相关任务： 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第六位的人，他给出的两个分数形式的近似值：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值． 例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． 任务： (1)约率是（   ） A．无理数    B．有限小数    C．整数    D．有理数 (2)已知，请使用两次“调日法”，求的近似分数． 【答案】(1)D (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，读懂题意是解本题的关键． （1）是正分数，是有理数； （2）根据“调日法”的计算规则，计算求值即可． 【详解】（1）解：是正分数，是有理数． 故选：D； （2）解：， 首次利用“调日法”后得到的一个更为精确的近似分数为． 且， ， 再次利用“调日法”后得到的一个更为精确的近似分数为， 的近似分数为． 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数， 次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】 ，， 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数大小估算等知识点，读懂题意，理解根整数的定义是解题的关键． （1）先估算和的大小，再根据新定义即可得出答案； （2）根据定义可得，进而可得到满足题意的的整数值； （3）根据定义对连续求根整数，即可得出答案； （4）由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进而可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，于是得解． 【详解】解：（1）∵，，， ， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）∵，且， ∴， ∴满足题意的的整数值为：，，， 故答案为：，，； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：； （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中最大的是，理由如下： 由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∴对一个正整数进行次连续求根整数运算后结果为，这个正整数最大值为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$