专题04 一元一次不等式的实际问题（6题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪科版2024）

专题04 一元一次不等式的实际问题 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解不等式; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 压轴题型一：行程问题 √满分技法 （1） 三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 （2） （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度 逆流速度=静水速度－水流速度 顺水速度－逆水速度＝2×水速 Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3） 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 1．（21-22七年级下·山东烟台·期末）某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都收7元车费），超过3千米以后，超过部分每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x千米，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）某种出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.2元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元，设甲地到乙地路程是x干米，则x的范围是 ． 3．（20-21七年级下·湖北咸宁·期末）为支援武汉抗击新冠肺炎，甲地捐赠了600吨的救援物资并联系了一家快递公司进行运送．快递公司准备安排、两种车型把这批物资从甲地快速送到武汉、其中，从甲地到武汉，型货车5辆、型货车6辆，一共需补贴油费3800元；型货车3辆、型货车2辆，一共需补贴油费1800元． （1）从甲地到武汉，、两种型号的货车，每辆车需补贴油费分别是多少元? （2）A型货车每辆可装15吨物资，型货车每辆可装12吨物资，安排的型货车的数量是型货车的2倍还多4辆，且型车最多可安排16辆．运送这批物资，不同安排中，补贴总的油费最少是多少? 压轴题型二：工程问题 √满分技法 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．（2024九年级下·河南·学业考试）为实现“乡村振兴”的战略目标，幸福乡实施了“村村亮化”工程． 计划投入40万元分三批次购买甲、乙两种型号的路灯（每种型号的路灯单价不变）安装在村公路两旁．第一批次购买甲型路灯300盏、乙型路灯400盏，共花资金150000元； 第二批次购买甲型路灯400盏，乙型路灯300盏，共花资金144000元． (1)求甲、乙两种型号路灯的单价分别是多少元； (2)由于工程的需要，第三批次购买的甲型路灯不能少于350盏，那么第三批次最多能购进乙型路灯多少盏？ 5．（21-22七年级下·安徽亳州·阶段练习）某工程队承包一项工程，先后购进A型设备机3台，B型设备机2台，一共花费资金54万元．已知每台B型设备机的价格是A型设备机的四分之三． (1)求A、B两种设备机的价格． (2)由于后期工期原因需要该工程队提前完成这项工程任务，该工程队决定再购进A、B两种设备机共8台，预算本次购买资金不超过84万元．在后期设备工作期间，每台A型设备机每月可生产设备200件，每台B型设备机每月可生产设备160件，在后期生产过程中每月生产设备不少于1300件，那么该工程队有哪些购买方案？ (3)在生产过程中每台设备机都会有受损，经检测得知，每年用于A型设备机维护费用为1万元，每年用于B型设备机维护费用为万元．在（2）的方案中，哪种购买方案能使得每年花费的维护费用最少？ 6．（21-22七年级下·四川凉山·阶段练习）西昌北环线建设正在紧张的进行，现在有大量的连砂石需要运输，某车队有载重量为80吨和100吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输1100吨连砂石． (1)求80吨、100吨的卡车各有多少辆？ (2)随着工程的进行，该车队需要一次运输连砂石1840吨，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共8辆，则车队有多少种购买方案？请一一写出． 压轴题型三：经济问题 √满分技法 （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 7．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（规定每辆汽车满载，并且只装一种水果）．下表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润． 甲 乙 丙 每辆汽车能装的数量（吨） 每吨水果可获利润（万元） (1)用辆汽车装运乙、丙两种水果共吨到地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？ (2)水果基地计划用辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共吨到地销售（每种水果不少于一车），假设装运甲水果的汽车为辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆（结果用含的式子表示）？ (3)在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？ 8．（23-24七年级下·吉林白山·期末）“天青色等烟雨”形容的就是青花瓷中最上等的天青色，古时只能在下雨天烧制，不同釉色的瓷器价格也是大不相同，下表是某瓷器专卖店近两个月两款瓷器的销售情况： 销售时间 釉色销售数量 釉色销售数量 总售价 第1个月 7套 6套 6530元 第2个月 9套 5套 6550元 (1)求釉色，两款瓷器每套的售价分别为多少元？ (2)若釉色瓷器的进价为300元，釉色瓷器的进价为600元，现专卖店计划用不超过8500元购进釉色，两款瓷器一共20套，且釉色瓷器的数量不少于釉色瓷器数量的一半，请你帮忙计算有哪几种进货方案？（瓷器数量为整数） (3)在（2）的条件及进货方案下，求该商店卖出这些瓷器的最大利润． 9．（23-24七年级下·四川乐山·期末）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进2个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要100元；购进3个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要90元． (1)分别求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； (2)该销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不少于30个，同时不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为40元，每个“天宫”模型的售价为30元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ 压轴题型四：分配问题 10．（23-24八年级下·全国·课后作业）将两个班学生编成人数相等的8组，若每组分配人数比预定多1名，则总数超过100人；若每组分配比预定人数少1名，则总数不足90人，问预定每组分配多少名学生？ 11．（2024七年级·全国·竞赛）某工厂生产1件甲型号产品需要1个工人和4台机器，生产1件乙型号产品需要2个工人和3台机器． (1)现有162个工人和340台机器，若要生产两种型号的产品共100件，其中生产甲型号产品件． ①根据题意，完成下表： 甲型号产品数量（件） 乙型号产品数量（件） 工人数量（个） 机器数量（台） ②按甲、乙两种型号产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？ (2)若有162个工人和台机器可投入生产甲、乙两种型号的产品，工人和机器恰好都分配完．如果，那么的值为多少？ 12．（2022·浙江温州·一模）某公司在甲、乙工厂代工同一产品，表1是两个工厂产品的收费标准，表2是两个工厂的代工记录（a，b为常数，m，n都为不大于10的正整数），代工费用由加工费和制版费两部分组成，制版费与件数无关．已知甲、乙两工厂第一次代工合计500件，且两工厂收费相同． 表1 收费内容 工厂 单件加工费 制版费 甲 10元 2000元 乙 25元 0 表2 时间 甲工厂代工记录 乙工厂代工记录 第一次 a件 b件 第二次 （a+100m）件 （b+100n）件 (1)求a，b的值． (2)若m+n＝12，第二次分配到甲工厂的代工件数小于分配到乙工厂的代工件数的2倍，求甲、乙两工厂第二次代工总费用的最小值． (3)若甲工厂代工效率为20件每小时，乙工厂代工效率为40件每小时，第二次甲、乙两工厂代工总费用估计在42000到44000元之间（包括42000，44000），求出所有满足条件的代工分配方案，并指出哪种方案代工总时长最短． 压轴题型五：方案选择问题 √满分技法 选择设计方案的一般步骤： （1）运用二元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）二元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论. 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）某市教育局计划购买台阅卷扫描仪，有，两种型号可供选择，其中型号功能多一点．已知购买台型号和台型号共需要万元；购买台型号和台B型号共需要万元． (1)求，两种型号阅卷扫描仪的单价； (2)若购买阅卷扫描仪的费用不超过万元，请你通过计算说明，共有哪几种购买方案； (3)在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择哪种方案？ 14．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元． (1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元． (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ (3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 15．（2024八年级上·浙江·专题练习）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 压轴题型六：阶梯收费问题 16．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 17．（2019·浙江杭州·一模）甲市居民生活用水收费按阶梯式水价计量：20立方米及以下，按基本水价计收，20﹣30立方米（包括30立方米）的部分，按基本水价的1.5倍计收，30立方米以上的部分，按基本水价的2倍计收．从2018年7月1日起，该市居民生活用水基本水价将进行调整，收费方式仍按原来阶梯式水价计量．小明读到有关新闻后立刻对他家两个月的水费进行计算，得到下表： 请根据以上信息，回答以下问题： 月份 用水量（立方米） 按调整前水价计费（元） 若按调整后水价计费（元0 2 16 45.6 52.8 3 22 65.55 75.9 （1）求本次基本水价调整提幅的百分率？（保留3个有效数字） （2）小明家07年7月的水费是128.25元，该月用水量若按调整后水价计费需缴多少元？ （3）小明又上网查了有关资料发现：甲市取水点分散，引水管线合计350千米，而同类城市乙市只有一座水库供水，引水管线合计70千米．若两市每年每千米引水管线的运行成本都为150万元，乙市的现行基本水价为2.35元，甲市共有200万户家庭，乙市共有180万户家庭．若甲乙两市都按平均每户每月用水量为11.21立方米计算，请你确定出甲市的基本水价至少调整为多少时甲市自来水公司的年收入（全市居民总水费﹣引水管线运行成本）不低于乙市？（保留3个有效数字） 18．（17-18七年级下·江苏镇江·期末）为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每月用水不超过15立方米时，按基本价格x元/立方米进行收费；超过15立方米时，加价收费，超过的部分按y元/立方米收费.该市某户居民今年3、4、5月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量(立方米) 水费(元) 3 16 50 4 20 70 5 m 不低于36元且不超过95元 (1)求x、y的值； (2)求该居民5月份用水量m的范围. 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分4本，那么余9本；如果前面的每个学生分6本，那么最后一人能分到但分不到3本，因此共有学生（    ） A．5人 B．6人 C．7人 D．6人或7人 2．（23-24八年级下·河南郑州·期末）一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为公斤，公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班，此时公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过公斤时警示音响起，则的取值范围可用下列哪一个不等式表示（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·河南安阳·期末）某运行程序如图所示，从“输入m”到“结果是否大于71”为一次程序操作，若进行两次程序操作后输出了结果，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）数学著作《算数研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，例如：，，，给出如下结论： ①； ②若，则x的取值范围是； ③当时，的值为1或2．其中正确的结论有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．② 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利14万元，则A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，则工厂有哪几种生产方案？ 6．（23-24八年级下·全国·期中）某熟食加工厂为扩大生产经营，计划新进8台真空包装机，现有甲、乙两种机器可供选择，每种机器的价格和包装速度信息如下表，公司为本次采购准备的预算资金共万元． 甲 乙 价格 元/台 元/台 包装速度 480包/时 720包/时 (1)在不超过公司预算资金的条件下，求该公司共有几种购进方案可供选择； (2)若考虑到在春节前期，公司的订单会迅猛增加，为满足客户需求，每台机器每天可连续工作10个小时，要求每天的包装量不低于2400箱（每箱装17包），问：公司应该如何购买这两种机器，才能既满足公司要求，又最节约资金？ 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格与产能如下表： 甲 型 乙 型 价格（万元/台） x y 产能（吨/月） 240 200 某公司决定购买10台生产设备．经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元． (1)求x、y的值； (2)如果公司购买设备的资金不超过105万元，且每月产能不低于2040吨，问该公司应该如何购买． 8．（23-24七年级下·全国·期末）某奶茶店推出A、B两款新品奶茶，已知购买5杯A奶茶和4杯B奶茶共花费130元，购买3杯A奶茶和2杯B奶茶共花费72元． (1)求A、B两款奶茶的单价各为多少元？ (2)学校决定为参加社会实践活动的名师生购买下午茶，恰逢A、B两款新品奶茶搞促销活动，其中A奶茶在原来单价的基础上优惠元，B奶茶在原来单价的基础上打八折，在学校不超过648元经费的情况下，若B奶茶的数量不少于杯，且所有参加活动的师生均有下午茶享用，则共有哪几种购买方案？ 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，辆大货车与辆小货车一次可以运输箱；辆大货车与辆小货车一次可以运输箱． (1)求辆大货车和辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为元，每辆小货车运输一次所需费用为元，若大货车的数量不少于辆，总费用小于元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 10．（2024·湖南长沙·模拟预测）为提高学生综合素养，我市某中学拟组织学生进行红色之旅研学活动，相关组织老师发现：若按原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人将没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则比原计划可少租6辆，且恰好坐满． (1)求本次红色之旅研学活动共有多少人参加？原计划租用种客车多少辆？ (2)若该校更改计划，同时租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且座位有剩余，则有哪些租车方案？ (3)在（2）的条件下，若种客车租金每辆300元，种客车租金为每辆220元，应该怎样租车才最合算？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元一次不等式的实际问题 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解不等式; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 压轴题型一：行程问题 √满分技法 （1） 三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 （2） （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度 逆流速度=静水速度－水流速度 顺水速度－逆水速度＝2×水速 Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3） 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 1．（21-22七年级下·山东烟台·期末）某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都收7元车费），超过3千米以后，超过部分每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x千米，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知从甲地到乙地共需支付车费19元，从甲地到乙地经过的路程为x千米，从而根据题意列出不等式组，解之即得出答案． 【详解】根据题意可知， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出不等式是解题的关键． 2．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）某种出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.2元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元，设甲地到乙地路程是x干米，则x的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 设甲地到乙地的路程为千米，根据题意列出一元一次不等式组，并求解即可获得答案． 【详解】解：设甲地到乙地的路程为千米， 根据题意，可得， 解得：． 故答案为：． 3．（20-21七年级下·湖北咸宁·期末）为支援武汉抗击新冠肺炎，甲地捐赠了600吨的救援物资并联系了一家快递公司进行运送．快递公司准备安排、两种车型把这批物资从甲地快速送到武汉、其中，从甲地到武汉，型货车5辆、型货车6辆，一共需补贴油费3800元；型货车3辆、型货车2辆，一共需补贴油费1800元． （1）从甲地到武汉，、两种型号的货车，每辆车需补贴油费分别是多少元? （2）A型货车每辆可装15吨物资，型货车每辆可装12吨物资，安排的型货车的数量是型货车的2倍还多4辆，且型车最多可安排16辆．运送这批物资，不同安排中，补贴总的油费最少是多少? 【答案】（1）每辆A型货车补贴油费400元，每辆B型货车补贴油费300元；（2）16200元 【分析】（1）设从甲地到武汉，每辆A型货车补贴油费x元，每辆B型货车补贴油费y元，根据“从甲地到武汉，A型货车5辆、B型货车6辆，一共需补贴油费3800元；A型货车3辆、B型货车2辆，一共需补贴油费1800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设安排A型货车m辆，则安排B型货车（2m+4）辆，根据A型车最多可安排18辆且安排的车辆总的装载量不低于600吨，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出m的值，再求出各安排方案所需补贴的总的油费，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设从甲地到武汉，每辆A型货车补贴油费x元，每辆B型货车补贴油费y元， 依题意，得：， 解得：， 答：从甲地到武汉，每辆A型货车补贴油费400元，每辆B型货车补贴油费300元． （2）设安排A型货车m辆，则安排B型货车（2m+4）辆， 依题意，得：， 解得：≤m≤18． ∵m为正整数， ∴m=15，16，17，18 当m=15时，补贴的总的油费为400×15+300×（15×2+4）=16200（元）； 当m=16时，补贴的总的油费为400×16+300×（16×2+4）=17200（元）； 当m=17时，补贴的总的油费为400×17+300×（17×2+4）=18200（元）； 当m=18时，补贴的总的油费为400×18+300×（18×2+4）=19200（元）． ∵16200＜17200＜18200＜19200， ∴运送这批物资，不同安排中，补贴的总的油费最少是16200元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 压轴题型二：工程问题 √满分技法 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．（2024九年级下·河南·学业考试）为实现“乡村振兴”的战略目标，幸福乡实施了“村村亮化”工程． 计划投入40万元分三批次购买甲、乙两种型号的路灯（每种型号的路灯单价不变）安装在村公路两旁．第一批次购买甲型路灯300盏、乙型路灯400盏，共花资金150000元； 第二批次购买甲型路灯400盏，乙型路灯300盏，共花资金144000元． (1)求甲、乙两种型号路灯的单价分别是多少元； (2)由于工程的需要，第三批次购买的甲型路灯不能少于350盏，那么第三批次最多能购进乙型路灯多少盏？ 【答案】(1)甲型路灯的单价是元，乙型路灯的单价是元； (2)第三批次最多能购进乙型路灯盏． 【分析】（1）设甲型路灯的单价是元，乙型路灯的单价是元，依题意列出方程组求解即可； （2）设第三批次最多能购进乙型路灯盏，依题意列出不等式求解即可． 本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型路灯的单价是元，乙型路灯的单价是元，依题意得： ， 解得：， 答：甲型路灯的单价是元，乙型路灯的单价是元； （2）解：第三批次的资金为： （元）， 设第三批次最多能购进乙型路灯盏，则 ， 解得：， 答：第三批次最多能购进乙型路灯盏． 5．（21-22七年级下·安徽亳州·阶段练习）某工程队承包一项工程，先后购进A型设备机3台，B型设备机2台，一共花费资金54万元．已知每台B型设备机的价格是A型设备机的四分之三． (1)求A、B两种设备机的价格． (2)由于后期工期原因需要该工程队提前完成这项工程任务，该工程队决定再购进A、B两种设备机共8台，预算本次购买资金不超过84万元．在后期设备工作期间，每台A型设备机每月可生产设备200件，每台B型设备机每月可生产设备160件，在后期生产过程中每月生产设备不少于1300件，那么该工程队有哪些购买方案？ (3)在生产过程中每台设备机都会有受损，经检测得知，每年用于A型设备机维护费用为1万元，每年用于B型设备机维护费用为万元．在（2）的方案中，哪种购买方案能使得每年花费的维护费用最少？ 【答案】(1)A型设备机的价格是每台12万元，则每台B型设备机的价格是9万元. (2)工程队有4种购买方案：①购买A型设备机1台，购买B型设备机7台；②购买A型设备机2台，购买B型设备机6台；③购买A型设备机3台，购买B型设备机5台；④购买A型设备机4台，购买B型设备机4台； (3)方案④的维修费用最小. 【分析】（1）设A型设备机的价格是每台元，则每台B型设备机的价格是元，根据“购进A型设备机3台，B型设备机2台，一共花费资金54万元．”列方程解题即可； （2）设购进A种设备机台，则购进B种设备机台，根据“购买资金不超过84万元，每月生产设备不少于1300件”列不等式组，再解不等式组即可； （3）把每个方案的维修费用计算出来，再比较即可. 【详解】（1）解：设A型设备机的价格是每台万元，则每台B型设备机的价格是万元，则 ， 解得：，则， 答：A型设备机的价格是每台12万元，则每台B型设备机的价格是9万元. （2）设购进A种设备机台，则购进B种设备机台，则 ， 解得：， ∵为整数， ∴或2或3或4； ∴该工程队有4种购买方案： ①购买A型设备机1台，购买B型设备机7台； ②购买A型设备机2台，购买B型设备机6台； ③购买A型设备机3台，购买B型设备机5台； ④购买A型设备机4台，购买B型设备机4台； （3）方案①的维修费用为：（万元）； 方案②的维修费用为：（万元）； 方案③的维修费用为：（万元）； 方案④的维修费用为：（万元）； ∴方案④的维修费用最小. 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键. 6．（21-22七年级下·四川凉山·阶段练习）西昌北环线建设正在紧张的进行，现在有大量的连砂石需要运输，某车队有载重量为80吨和100吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输1100吨连砂石． (1)求80吨、100吨的卡车各有多少辆？ (2)随着工程的进行，该车队需要一次运输连砂石1840吨，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共8辆，则车队有多少种购买方案？请一一写出． 【答案】(1)载重量为80吨的卡车有5辆，100吨的卡车有7辆； (2)①载重量为80吨的卡车购买1辆，100吨的卡车购买7辆；②载重量为80吨的卡车购买2辆，100吨的卡车购买6辆；③载重量为80吨的卡车购买3辆，100吨的卡车购买5辆． 【分析】（1）根据“车队有载重量为80吨、100吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输1100吨沙石”为等量关系列出方程组，求解即可； （2）利用“该车队需要一次运输沙石1840吨”得出不等式求出购买方案即可． 【详解】（1）解：设车队载重量为80吨、100吨的卡车分别有x辆、y辆， 根据题意得： ， 解之得：． 答：载重量为80吨的卡车有5辆，100吨的卡车有7辆； （2）解：设载重量为80吨的卡车增加了z辆， 依题意得：80(5+z)+100(7+8-z)≥1840， 解之得：z≤3， ∵z＞0且为整数， ∴z=1，2，3； ∴8-z=7，6，5． ∴车队共有3种购车方案：①载重量为80吨的卡车购买1辆，100吨的卡车购买7辆； ②载重量为80吨的卡车购买2辆，100吨的卡车购买6辆； ③载重量为80吨的卡车购买3辆，100吨的卡车购买5辆． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，根据已知得出正确的方程组与不等式是解题关键． 压轴题型三：经济问题 √满分技法 （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 7．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（规定每辆汽车满载，并且只装一种水果）．下表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润． 甲 乙 丙 每辆汽车能装的数量（吨） 每吨水果可获利润（万元） (1)用辆汽车装运乙、丙两种水果共吨到地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？ (2)水果基地计划用辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共吨到地销售（每种水果不少于一车），假设装运甲水果的汽车为辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆（结果用含的式子表示）？ (3)在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)装运乙种水果的汽车有辆、丙种水果的汽车有辆 (2)装运乙种水果的汽车是辆，丙种水果的汽车是辆 (3)安排运甲水果的车辆，运乙水果的车辆，运丙水果的车辆，可使水果基地获得最大利润，最大利润为万元 【分析】本题考查二元一次方程组，代数式表示式子，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意和表格中的数据可以用关于的代数式表示出装运乙、丙两种水果的汽车数量； （3）根据题意可以写出利润关于的关系式，再根据的取值范围即可解答本题． 【详解】（1）解：设装运乙、丙水果的汽车分别为辆，辆， 由题意得， 解得 答：装运乙种水果的汽车有辆、丙种水果的汽车有辆． （2）设装运乙、丙水果的汽车分别为a辆，b辆， 由题意得 解得 答：装运乙种水果的汽车是辆，丙种水果的汽车是辆． （3）设总利润为万元， 则． ． 又为正整数， ，，． 将，，依次代入中， 可得当时，最大，此时． 答：安排运甲水果的车辆，运乙水果的车辆，运丙水果的车辆，可使水果基地获得最大利润，最大利润为万元． 8．（23-24七年级下·吉林白山·期末）“天青色等烟雨”形容的就是青花瓷中最上等的天青色，古时只能在下雨天烧制，不同釉色的瓷器价格也是大不相同，下表是某瓷器专卖店近两个月两款瓷器的销售情况： 销售时间 釉色销售数量 釉色销售数量 总售价 第1个月 7套 6套 6530元 第2个月 9套 5套 6550元 (1)求釉色，两款瓷器每套的售价分别为多少元？ (2)若釉色瓷器的进价为300元，釉色瓷器的进价为600元，现专卖店计划用不超过8500元购进釉色，两款瓷器一共20套，且釉色瓷器的数量不少于釉色瓷器数量的一半，请你帮忙计算有哪几种进货方案？（瓷器数量为整数） (3)在（2）的条件及进货方案下，求该商店卖出这些瓷器的最大利润． 【答案】(1)釉色A瓷器每套售价350元，釉色B瓷器每套售价680元 (2)见解析 (3)1240元 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解决实际问题，涉及解二元一次方程组、一元一次不等式组等知识，读懂题意，找准题中的等量关系及不等关系列式求解是解决问题的关键． （1）设釉色瓷器每套售价元，釉色瓷器每套售价元，找到等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设购进釉色瓷器套，则购进釉色瓷器套，由不等关系列不等式组求解即可得到答案； （3）根据（2）中的情况，分类求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设釉色瓷器每套售价元，釉色瓷器每套售价元， 根据题意得，解得， 答：釉色瓷器每套售价350元，釉色瓷器每套售价680元； （2）解：设购进釉色瓷器套，则购进釉色瓷器套， 根据题意得，解得， 为整数， 可以取12，13，故可以有两种进货方案： ①购进釉色瓷器12套，则购进釉色瓷器8套； ②购进釉色瓷器13套，则购进釉色瓷器7套； （3）解：当进货方案为方案①时，此时的利润为（元）； 当进货方案为方案②时，此时的利润为（元）； ， 该商店卖出这些瓷器的最大利润是1240元． 9．（23-24七年级下·四川乐山·期末）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进2个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要100元；购进3个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要90元． (1)分别求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； (2)该销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不少于30个，同时不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为40元，每个“天宫”模型的售价为30元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个“神舟”模型的进货价格为20元，每个“天宫”模型的进货价格为15元 (2)购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，为1665元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式组是解题关键． （1）设每个“神舟”模型的进货价格为元，每个“天宫”模型的进货价格为元，根据“购进2个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要100元；购进3个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要90元”列二元一次方程组求解即可； （2）设购进个“神舟”模型，则购进个“天宫”模型，列一元一次不等式组求出的取值范围，再分别求出利润，比较大小即可． 【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进货价格为元，每个“天宫”模型的进货价格为元， 由题意得， 解得， 每个“神舟”模型的进货价格为20元，每个“天宫”模型的进货价格为15元； （2）解：设购进个“神舟”模型，则购进个“天宫”模型， 则有， 解得， 由题意知，取整数， ，，， 由（1）可知，每个“神舟”模型的进货价格为20元，每个“天宫”模型的进货价格为15元； 销售一个“神舟”模型和“天宫”模型分别获利20和15元，则： ①当时，利润为元 ②当时，利润为元 ③当时，利润为元 ④当时，利润为元 当即购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，为1665元． 压轴题型四：分配问题 10．（23-24八年级下·全国·课后作业）将两个班学生编成人数相等的8组，若每组分配人数比预定多1名，则总数超过100人；若每组分配比预定人数少1名，则总数不足90人，问预定每组分配多少名学生？ 【答案】预定每组分配12名学生 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，弄清题意，根据关键语句“分配给每组的人数比预定人数多1名，那么学生总数超过100人；如果每组分配的人数比预定人数少1名，那么学生人数不到90人”得到学生总数的两个关系式是解决本题的关键．首先设预定每组分配x人，根据题意可得关系式为：（预定每组分配的人数+1）×组数；（预定每组分配的人数-1）×组数，把相关数值代入后可得到不等式组，解不等式组后，取整数解即可． 【详解】解：设预定每组分配x名学生，得 ， 解得， ∴整数． 答：预定每组分配12名学生． 11．（2024七年级·全国·竞赛）某工厂生产1件甲型号产品需要1个工人和4台机器，生产1件乙型号产品需要2个工人和3台机器． (1)现有162个工人和340台机器，若要生产两种型号的产品共100件，其中生产甲型号产品件． ①根据题意，完成下表： 甲型号产品数量（件） 乙型号产品数量（件） 工人数量（个） 机器数量（台） ②按甲、乙两种型号产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？ (2)若有162个工人和台机器可投入生产甲、乙两种型号的产品，工人和机器恰好都分配完．如果，那么的值为多少？ 【答案】(1)①见解析；②生产甲、乙两种型号产品有3种生产方案，分别为38件、62件或39件、61件或40件、60件； (2)或298或303． 【分析】本题考查了不等式组和方程组的应用． （1）①根据题意，列出代数式即可；②根据题意，列出不等式组，解不等式组即可求解； （2）设生产甲、乙两种型号的产品分别为m件、n件，根据题意列出二元一次方程组，根据m和n以及为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：①根据题意，填表如下： 甲型号产品数量（件） 乙型号产品数量（件） 工人数量（个） 机器数量（台） ②由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴生产甲、乙两种型号产品有3种生产方案，分别为38件、62件或39件、61件或40件、60件； （2）解：设生产甲、乙两种型号的产品分别为m件、n件， 由题意得， ∴， ∵为正整数，且， ∴或298或303． 12．（2022·浙江温州·一模）某公司在甲、乙工厂代工同一产品，表1是两个工厂产品的收费标准，表2是两个工厂的代工记录（a，b为常数，m，n都为不大于10的正整数），代工费用由加工费和制版费两部分组成，制版费与件数无关．已知甲、乙两工厂第一次代工合计500件，且两工厂收费相同． 表1 收费内容 工厂 单件加工费 制版费 甲 10元 2000元 乙 25元 0 表2 时间 甲工厂代工记录 乙工厂代工记录 第一次 a件 b件 第二次 （a+100m）件 （b+100n）件 (1)求a，b的值． (2)若m+n＝12，第二次分配到甲工厂的代工件数小于分配到乙工厂的代工件数的2倍，求甲、乙两工厂第二次代工总费用的最小值． (3)若甲工厂代工效率为20件每小时，乙工厂代工效率为40件每小时，第二次甲、乙两工厂代工总费用估计在42000到44000元之间（包括42000，44000），求出所有满足条件的代工分配方案，并指出哪种方案代工总时长最短． 【答案】(1)a=300，b=200 (2)28000元 (3)当甲代工1000件，乙代工1200件，代工总时长最短，具体方案见解析 【分析】（1）根据“甲、乙两工厂第一次代工合计500件，且两工厂收费相同”，可列方程，求解即可； （2）根据“第二次分配到甲工厂的代工件数小于分配到乙工厂的代工件数的2倍”，列不等式求解，由m，n都为不大于10的正整数，知m的最大值为8，进一步求解即可； （3）根据“第二次甲、乙两工厂代工总费用估计在42000到44000元之间”可列不等式，整理可得，由m，n都为不大于10的正整数，可求n=10，7≤m≤9，按照三种方案计算，作出判断即可． 【详解】（1）解：由题意知：b=500-a， 则10a+2000=25（500-a） 解得a=300 故a=300，b=500-a=200 （2）解：由（1）知：a=300，b=200，n=12-m ∴300+100m<2[200+100(12-m)] 解得： ∵m，n都为不大于10的正整数 ∴m的最大值为8 代工费为：W= 当m=8时，W=28000（元） （3）解：由题意得： 即 ∴ ∵m，n都为不大于10的正整数 ∴， 解得 ∴n=10，7≤m≤9 ∴共有三种方案， 当m=7，n=10时，甲代工300+100×7=1000件，乙代工200+100×10=1200件， 代工时长为 1000÷20+1200÷40=80小时； 当m=8，n=10时，甲代工300+100×8=1100件，乙代工200+100×10=1200件， 代工时长为 1100÷20+1200÷40=85小时； 当m=9，n=10时，甲代工300+100×9=1200件，乙代工200+100×10=1200件， 代工时长为 1200÷20+1200÷40=90小时； 所以当甲代工1000件，乙代工1200件，代工总时长最短． 【点睛】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式（组）的应用，理解题意找到相等关系列出方程或不等式是解题的关键． 压轴题型五：方案选择问题 √满分技法 选择设计方案的一般步骤： （1）运用二元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）二元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论. 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）某市教育局计划购买台阅卷扫描仪，有，两种型号可供选择，其中型号功能多一点．已知购买台型号和台型号共需要万元；购买台型号和台B型号共需要万元． (1)求，两种型号阅卷扫描仪的单价； (2)若购买阅卷扫描仪的费用不超过万元，请你通过计算说明，共有哪几种购买方案； (3)在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择哪种方案？ 【答案】(1)型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台 (2)有三种购买方案．方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案二：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案三：购买型号阅卷扫描仪台 (3)选择方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设型号阅卷扫描仪的单价是万元，B型号阅卷扫描仪的单价是万元，根据题意列出方程组并求解； （2）设购买型号阅卷扫描仪台，根据题意列出不等式即可； （3）写出所有可能的方案，然后选出型号最多的方案． 【详解】（1）设型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台， 根据题意，得解得 答：型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台． （2）设购买型号阅卷扫描仪台，则购买型号阅卷扫描仪台． 根据题意，得， 解得． ∵m为正整数，， ∴m可取，，，对应的值为，，． ∴有三种购买方案．方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案二：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案三：购买型号阅卷扫描仪台． （3）在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台． 14．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元． (1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元． (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ (3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元 (2)见解析 (3)学校在第二次购买活动中最多需要元资金 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）设A种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球单价比种足球多花元”可得出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设第二次购买种足球个，则购买种足球个，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球不小于个”可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，由此即可得出结论； （3）分析第二次购买时，、种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最多，求出花费最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 依题意得：，解得：． 答：购买一个种品牌的足球需要元，购买一个种品牌的足球需要元． （2）解：设第二次购买种足球个，则购买种足球个， 依题意得：， 解得：． 故这次学校购买足球有五种方案： 方案一：购买A种足球个，B种足球个； 方案二：购买A种足球个，B种足球个； 方案三：购买A种足球个，B种足球个． 方案四：购买A种足球个，B种足球个． 方案五：购买A种足球个，B种足球个． （3）解：∵第二次购买足球时，A种足球单价为(元)，B种足球单价为(元)， ∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多． ∴(元)． 答：学校在第二次购买活动中最多需要元资金． 15．（2024八年级上·浙江·专题练习）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 (2)见解析 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式组的运用， （1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）． ∵， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1． 压轴题型六：阶梯收费问题 16．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 【答案】(1)1.8，2.4，3.5； (2)小青家该月份的用水量为28吨； (3)用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 【分析】本题主要考查一元一次方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据居民生活到户水价=居民生活自来水费+居民生活污水处理费，从小青家的用水信息即可得出答案； （2）设小青家该月份的用水量为x吨，然后根据题意可列方程进行求解； （3）设用水量为y吨，然后根据题意可列不等式组进行求解． 【详解】（1）解：根据表格得： 每月用水20吨及以内为（元/吨）；每月用水20~30吨（含30吨）为（元/吨）；30吨及以上为（元/吨）； 故答案为1.8；2.4；3.5； （2）解：由（1）可知：当用水量为30吨时，则水费为（元）， 设小青家该月份的用水量为x吨，由可知： ， 解得：； 答：小青家该月份的用水量为28吨． （3）解：设用水量为y吨，由题意得： 解得：； 答：用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 17．（2019·浙江杭州·一模）甲市居民生活用水收费按阶梯式水价计量：20立方米及以下，按基本水价计收，20﹣30立方米（包括30立方米）的部分，按基本水价的1.5倍计收，30立方米以上的部分，按基本水价的2倍计收．从2018年7月1日起，该市居民生活用水基本水价将进行调整，收费方式仍按原来阶梯式水价计量．小明读到有关新闻后立刻对他家两个月的水费进行计算，得到下表： 请根据以上信息，回答以下问题： 月份 用水量（立方米） 按调整前水价计费（元） 若按调整后水价计费（元0 2 16 45.6 52.8 3 22 65.55 75.9 （1）求本次基本水价调整提幅的百分率？（保留3个有效数字） （2）小明家07年7月的水费是128.25元，该月用水量若按调整后水价计费需缴多少元？ （3）小明又上网查了有关资料发现：甲市取水点分散，引水管线合计350千米，而同类城市乙市只有一座水库供水，引水管线合计70千米．若两市每年每千米引水管线的运行成本都为150万元，乙市的现行基本水价为2.35元，甲市共有200万户家庭，乙市共有180万户家庭．若甲乙两市都按平均每户每月用水量为11.21立方米计算，请你确定出甲市的基本水价至少调整为多少时甲市自来水公司的年收入（全市居民总水费﹣引水管线运行成本）不低于乙市？（保留3个有效数字） 【答案】（1）15.8%；（2）148.5元；（3）甲市的基本水价至少调整为3.68元/立方米时，甲市自来水公司的年收入不低于乙市． 【分析】（1）基本水价调整提幅的百分率为：（3月份的基本水价−2月份的基本水价）2月份的基本水价×100%； （2）应先判断出是否超过基本用水单位，若超过基本用水单位，应先算出用水量，则：新付费为：3.3×20+3.3×10×1.5+（用水数-30）×3.3×2； （3）关系式为：甲市水费收入-运营成本≥乙市水费收入-运营成本． 【详解】解：（1）调整前基本水价为：45.6÷16＝2.85（元）； 调整后基本水价为：52.8÷16＝3.3（元）； ∴本次水价调整提幅为：×100%≈15.8%； （2）∵2.85×20+2.85×1.5×10＝99.75＜128.25， ∴用水量超过30m3， 设小明家09年7月的用水量为x立方米． 2.85×20+2.85×10×1.5+（x﹣30）×2.85×2＝128.25， 解得：x＝35， ∴新付费为：3.3×20+3.3×10×1.5+（35﹣30）×3.3×2＝148.5（元）； （3）设基本水价为y元/立方米，则 11.21×12×y×200﹣350×150≥11.21×12×2.35×180﹣70×150， 解得y≥3.68， 答：甲市的基本水价至少调整为3.68元/立方米时，甲市自来水公司的年收入不低于乙市． 【点睛】此类题目是一元一次方程和不等式的综合题目,旨在考查学生对一元一次方程和不等式求解的掌握程度,所以掌握解一元一次方程和不等式的一般步骤是解题的关键. 18．（17-18七年级下·江苏镇江·期末）为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每月用水不超过15立方米时，按基本价格x元/立方米进行收费；超过15立方米时，加价收费，超过的部分按y元/立方米收费.该市某户居民今年3、4、5月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量(立方米) 水费(元) 3 16 50 4 20 70 5 m 不低于36元且不超过95元 (1)求x、y的值； (2)求该居民5月份用水量m的范围. 【答案】(1) ； (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解答本题的关键是根据题意列出x和y的二元一次方程组； （1）设基本水费价格为：x元/立方米，超过的部分的水费价格为：y元/立方米，列出方程组求解即可； （2）根据所交水费，列出不等式组求解即可 【详解】（1）设基本水费价格为：x元/立方米，超过的部分的水费价格为：y元/立方米， 根据题意得，， 解这个方程组得； （2）根据题意得， 解得：， ∴该居民5月份用水量m的范围是 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分4本，那么余9本；如果前面的每个学生分6本，那么最后一人能分到但分不到3本，因此共有学生（    ） A．5人 B．6人 C．7人 D．6人或7人 【答案】C 【分析】本题考查不等式组的实际应用，设共有学生人，根据每个学生分6本，那么最后一人能分到但分不到3本，列出不等式组，求出正整数解，即可． 【详解】解：设共有学生人，由题意，得： ， 解得：， ∵人数为正整数， ∴； 故选C． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期末）一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为公斤，公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班，此时公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过公斤时警示音响起，则的取值范围可用下列哪一个不等式表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组即可求解，根据题意正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得， 故选：． 3．（23-24七年级下·河南安阳·期末）某运行程序如图所示，从“输入m”到“结果是否大于71”为一次程序操作，若进行两次程序操作后输出了结果，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由由程序运行一次的结果小于等于及程序运行两次的结果大于，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：依题意，， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故选：C． 4．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）数学著作《算数研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，例如：，，，给出如下结论： ①； ②若，则x的取值范围是； ③当时，的值为1或2．其中正确的结论有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．② 【答案】B 【分析】本题考查了不等式组、方程的解法，理解题意和学会分类讨论是解决本题的关键． ①根据定义即可判定；②可根据题意中的规定判断；③当，，时，分类讨论得结论． 【详解】解：表示不大于的最大整数， 当时，，， ①不正确； 若，则的取值范围是，故②是正确的； 当时，， 当时，， 当时，，综上③是正确的． 故选：B． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利14万元，则A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，则工厂有哪几种生产方案？ 【答案】(1)生产种产品8件，种产品2件． (2)见解析 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用． （1）设生产种产品件，则生产种产品件，根据“工厂计划生产，两种产品共10件，工厂计划获利14万元”列出方程组即可得出结论； （2）设生产产品件，则生产产品件，根据题意，列出一元一次不等式组，求出m的取值范围，即可求出方案． 【详解】（1）解：设生产种产品件，则生产种产品件， 根据题意，得解得 答：应该生产种产品8件，种产品2件． （2）解：设生产产品件，则生产产品件， 根据题意，得 解得． 为正整数， 的值为5，6或7， 该工厂有三种生产方案： 方案①：生产种产品5件，种产品5件； 方案②：生产种产品6件，种产品4件； 方案③：生产种产品7件，种产品3件． 6．（23-24八年级下·全国·期中）某熟食加工厂为扩大生产经营，计划新进8台真空包装机，现有甲、乙两种机器可供选择，每种机器的价格和包装速度信息如下表，公司为本次采购准备的预算资金共万元． 甲 乙 价格 元/台 元/台 包装速度 480包/时 720包/时 (1)在不超过公司预算资金的条件下，求该公司共有几种购进方案可供选择； (2)若考虑到在春节前期，公司的订单会迅猛增加，为满足客户需求，每台机器每天可连续工作10个小时，要求每天的包装量不低于2400箱（每箱装17包），问：公司应该如何购买这两种机器，才能既满足公司要求，又最节约资金？ 【答案】(1)四种，详见解析； (2)7台甲种机器，1台乙种机器． 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用．正确的列出不等式，是解题的关键． （1）设购进甲种机器台，则购进乙种机器台，根据本次购买机器所用资金不能超过万元，列出不等式，求出非负整数解即可； （2）根据该公司购进的8台机器的日生产量不能低于箱（每箱17包），列出不等式，结合（1）中结果，求出的取值范围，确定方案，再求出每种方案花费的费用，进行判断即可． 【详解】（1）解：设购进甲种机器台，则购进乙种机器台，由题意，得： ， 解得：， ∴不等式的非负整数解为：5，6，7，8； ∴共有4种方案： 方案一：购进5台甲种机器，3台乙种机器； 方案二：购进6台甲种机器，2台乙种机器； 方案三：购进7台甲种机器，1台乙种机器； 方案四：购进8台甲种机器. （2）解：由题意，得：， 解得：， ∴有3种方案可以选择： 方案一：购进5台甲种机器，3台乙种机器，所需费用为：（元）； 方案二：购进6台甲种机器，2台乙种机器，所需费用为：（元）； 方案三：购进7台甲种机器，1台乙种机器，所需费用为：（元）； ∵， ∴应购进7台甲种机器，1台乙种机器．能既满足公司要求，又最节约资金． 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格与产能如下表： 甲 型 乙 型 价格（万元/台） x y 产能（吨/月） 240 200 某公司决定购买10台生产设备．经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元． (1)求x、y的值； (2)如果公司购买设备的资金不超过105万元，且每月产能不低于2040吨，问该公司应该如何购买． 【答案】(1) (2)购买甲型设备1台，乙型设备9台；或甲型设备2台，乙型设备8台 【分析】本题主要考查了购买方案问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，列二元一次方程组，列一元一次不等式组，是解决问题的关键． （1）根据表中数据，结合“一台甲型设备比一台乙型设备多2万元， 2台甲型设备比3台乙型设备少6万元”列二元 一次方程组解答； （2）根据“资金不超过105万元，且每月产能不低于2040吨”列一元一次不等式组解答． 【详解】（1）根据题意，得， 解得， 故x、y的值分别是12和10； （2）设买甲型设备a台，买乙型设备台， 根据题意，得， 解得， ∴， ∵a为整数， ∴或， ∴或． 故该公司应该购买甲型设备1台，乙型设备9台；或甲型设备2台，乙型设备8台． 8．（23-24七年级下·全国·期末）某奶茶店推出A、B两款新品奶茶，已知购买5杯A奶茶和4杯B奶茶共花费130元，购买3杯A奶茶和2杯B奶茶共花费72元． (1)求A、B两款奶茶的单价各为多少元？ (2)学校决定为参加社会实践活动的名师生购买下午茶，恰逢A、B两款新品奶茶搞促销活动，其中A奶茶在原来单价的基础上优惠元，B奶茶在原来单价的基础上打八折，在学校不超过648元经费的情况下，若B奶茶的数量不少于杯，且所有参加活动的师生均有下午茶享用，则共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A奶茶的单价为14元，B奶茶的单价为15元 (2)共有种购买方案：方案一：购买A奶茶杯，购买B奶茶杯；方案二：购买A奶茶杯，购买B奶茶杯；方案三：购买A奶茶杯，购买B奶茶杯． 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组解决实际问题． （1）设A奶茶的单价为x元，B奶茶的单价为y元，根据“购买5杯A奶茶和4杯B奶茶共花费130元，购买3杯A奶茶和2杯B奶茶共花费72元”列出方程组，求解即可； （2）设购买A奶茶m杯，则购买B奶茶杯，根据“在学校不超过648元经费的情况下，若B奶茶的数量不少于杯，且所有参加活动的师生均有下午茶享用”列出不等式组，求解后根据m为整数即可解答． 【详解】（1）解：设A奶茶的单价为x元，B奶茶的单价为y元， 由题意可得 ， 解得：， 答：A奶茶的单价为14元，B奶茶的单价为15元． （2）解：设购买A奶茶m杯，则购买B奶茶杯，根据题意，得： ， 解得：， ∵m为正整数， ∴m可以为，，， ∴共有种购买方案： 方案一：购买A奶茶杯，购买B奶茶杯； 方案二：购买A奶茶杯，购买B奶茶杯； 方案三：购买A奶茶杯，购买B奶茶杯． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，辆大货车与辆小货车一次可以运输箱；辆大货车与辆小货车一次可以运输箱． (1)求辆大货车和辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为元，每辆小货车运输一次所需费用为元，若大货车的数量不少于辆，总费用小于元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资 (2)方案见解析，当有辆大货车，辆小货车时，费用最小，最小费用为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资，根据辆大货车与辆小货车一次可以运输箱；辆大货车与辆小货车一次可以运输箱，列出方程组，解方程组即可； （2）设有辆大货车，辆小货车，根据大货车的数量不少于辆，总费用小于元列出不等式组，解不等式组，得出a的取值范围，根据取正整数，得出，，，然后分别求出三种情况下的总费用，再进行比较，得出答案即可． 【详解】（1）解：设辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资． 由题意可得：， 解得：． 答：辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资． （2）解：设有辆大货车，辆小货车， 由题意可得：， ∴， 取正整数， ，，， 有三种运输方案： 方案一：有辆大货车，辆小货车，此时费用元， 方案二：有辆大货车，辆小货车，此时费用元， 方案三：有辆大货车，辆小货车，此时费用元， ， 当有辆大货车，辆小货车时，费用最小，最小费用为元． 10．（2024·湖南长沙·模拟预测）为提高学生综合素养，我市某中学拟组织学生进行红色之旅研学活动，相关组织老师发现：若按原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人将没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则比原计划可少租6辆，且恰好坐满． (1)求本次红色之旅研学活动共有多少人参加？原计划租用种客车多少辆？ (2)若该校更改计划，同时租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且座位有剩余，则有哪些租车方案？ (3)在（2）的条件下，若种客车租金每辆300元，种客车租金为每辆220元，应该怎样租车才最合算？ 【答案】(1)1200人；26辆 (2)方案1： B种：6辆，A种：19辆；方案2：B种：7辆，A种客：18辆 (3)B种：6辆，A种：19辆 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）设原计划租用种客车辆，则这次研学去了人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的种客车不超过7辆”，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆种客车的租金租用种客车的辆数每辆种客车的租金租用种客车的辆数，可分别求出选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了人， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：原计划租用4种客车26辆，这次研学去了1200人； （2）解：设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆， 根据题意得：， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y可以为6，7，     ∴该学校共有2种租车方案， 方案1：租用6辆B种客车，19辆A种客车； 方案2：租用7辆B种客车，18辆A种客车； （3）解：选择方案1的总租金为（元）； 选择方案2的总租金为（元）． ∵， ∴租用6辆B种客车，19辆A种客车最合算． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$