第07章 锐角三角函数 章节整合练习（11个知识点+40题练习） - 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第07章 锐角三角函数 章节整合练习（11个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点3．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点4．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点5．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点6．计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 知识点7．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点8．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点9．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点10．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点11．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 章节题型整合练习 一、单选题 1．△ABC中，∠C＝90，若AB＝2，∠A＝，则AC的长为（ ） A．2sin B．2cos C． D． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD是△ABC的高，则tan∠BCD的值是（    ） A． B． C． D． 3．运用我们课本上采用的计算器进行计算时，下列说法不正确的是（   ） A．计算的按键顺序依次为 B．要打开计算器并启动其统计计算功能应按的键是 C．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键 D．用计算器计算时，依次按如下各键，最后显示结果是0.5 4．某水坝的坡度i=1：，坡长AB=20米，则坝的高度为（　　） A．10米 B．20米 C．40米 D．20 5．如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是(     ) A． B． C． D． 7．如图，梯子地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（    ） A．的值越小，梯子越陡 B．的值越小，梯子越陡 C．梯子的长度决定倾斜程度 D．梯子倾斜程度与的函数值无关 8．如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是（    ） A． B．平分 C． D． 9．要使式子有意义，则α可以取下列数值中的(   ) A．17° B．19° C．21° D．24° 10．已知在 Rt ABC 中， C 90°，AC 8, BC 15 ，那么下列等式正确的是（    ） A． B．cosA= C．tan A = D．cot A= 11．如图所示，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）�是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是（  ） A．6米 B．3米 C．3米 D．12米 12．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔2海里的点处.若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置处，则海轮航行的距离的长是（    ）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 13．如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为45°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为60°（A，B，C三点在一条直线上），则建筑物CD的高度为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为（   ） A． B． C． D． 15．最近央视纪录片《航拍中国》中各地的美景震撼了全国观众，如图是航拍无人机从A点俯拍在坡比为3：4的斜坡CD上的景点C，此时的俯角为30°，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高200米到达B点，此时的俯角变为45°．已知无人机与斜坡CD的坡底D的水平距离DE为400米，则斜坡CD的长度为（　　）米（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73） A．91.1 B．91.3 C．58.2 D．58.4 16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结HG、CH．给出下列五个结论中正确的选（       ） （1）H是FK的中点         （2）△HGD≌△HEC （3）S△AHG：S△DHC＝9：16     （4）DK＝ （5）HG⊥HC A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 17．比较大小： （选填“＞”、“＝”或“＜”）． 18．在中，． 19．在中，若，，则是 三角形. 20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝ 21．在Rt△ABC中，∠C=90°，其中一个锐角为60°，AB=10．若点Q在直线AB上(不与点A、B重合)，当∠QCB=30°时，CQ的长为 ． 22．桔棉，亦叫“桔皋”，我国古代井上汲水的工具.它是在井旁架上设一杠杆，杠杆上竹竿一端A处系绳子，绳子另一端悬绑汲器，竹竿另一端B处绑石块等重物，用不大的力量即可将灌满水的汲器提起，桔棒的使用体现了我国古代劳动人民的智慧.如图是《天工开物·水利》中的桔棉图，若竹竿A，B两处的距离为，当汲器伸到井口时，绳子受重力作用垂直于水平面，此时竹竿与绳子的夹角为，则绑重物的B端与悬绑汲器的绳子之间的距离是 m.（忽略提水时竹竿产生的形变）（参考数据：） 23．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正切值是 ．    24．如图，△ABC中∠A＝60°，AC＝8，AB＝14，点D、E分别是AB、BC边上两点，连接DE，将△BDE沿着DE翻折，点B的对应点B' 恰好落在AC中点，连接BB' ，交DE于点F，则DF＝ ． 25．如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是 km. 26．如图，已知在中，，，，点P是斜边上一点，过点P作交边于点M，过点P作的平行线，与过点M作的平行线交于点Q．如果直线，那么的长为 ．    27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cos∠α＝，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）    28．如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点（C始终在第一象限），且tan∠BAC=．则当点A从A0（0，10）滑动到O（0，0），B从O（0，0）滑动到B0（10，0）的过程中，点C运动的路径长为 ． 三、解答题 29．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值． 30．如图，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC．（结果保留根号） 31．计算： （1）； （2）； （3）． 32．求图中避雷针的长度（结果精确到）． 33．计算：﹣sin45°•tan45° 34．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.5米．当起重臂AC长度为8米，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度．（结果保留小数点后一位）【参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53】 35．在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即．利用上述结论可以求解如下题目．如： 在中，若，，，求． 解：在中， 问题解决： 如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，且乙船从处按北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里． (1)判断的形状，并给出证明． (2)乙船每小时航行多少海里？ 36．如图，水坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为，背水坡的坡度为，坝顶宽米，坝高5米． 求： (1)坝底宽的长（结果保留根号）； (2)在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶加宽米，背水坡的坡度改为，求横截面增加的面积（结果保留根号） 37．如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点． (1)【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由． (2)【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值． (3)【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）． 38．为了建设绿色郑州，改善城市生态环境，郑州市绿化部门计划在一块梯形空地上种植草皮，梯形空地如图所示，已知，，，，．如果这种草皮每平方米造价元，则购买这种草皮需多少钱？（参考数据：） 39． 如图，AB和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°, 求楼CD的高． 40．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB． （1）求AC的长和点D的坐标； （2）说明△AEF与△DCE相似； （3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07章 锐角三角函数 章节整合练习（11个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点3．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点4．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点5．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点6．计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 知识点7．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点8．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点9．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点10．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点11．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 章节题型整合练习 一、单选题 1．△ABC中，∠C＝90，若AB＝2，∠A＝，则AC的长为（ ） A．2sin B．2cos C． D． 【答案】B 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵∠C=90°，AB=2，∠A=， ∴cos=， 故AC=AB•cos=2cos． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握边角之间的关系是解题关键． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD是△ABC的高，则tan∠BCD的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得∠A=∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°． ∴∠A=∠BCD． ∴tan∠BCD=tan∠A=． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值． 3．运用我们课本上采用的计算器进行计算时，下列说法不正确的是（   ） A．计算的按键顺序依次为 B．要打开计算器并启动其统计计算功能应按的键是 C．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键 D．用计算器计算时，依次按如下各键，最后显示结果是0.5 【答案】D 【分析】根据计算器的使用方法依次判断各个选项即可． 【详解】解：A选项，计算的按键顺序正确，本选项不符合题意； B选项，要打开计算器并启动其统计计算功能应按的键正确，本选项不符合题意， C选项，启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键，说法正确，本选项不符合题意， D选项，用计算器计算时，依次按如下各键，最后显示结果是，不是，原说法错误，本选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查计算器的基础知识，熟练掌握计算器的使用是解题的关键． 4．某水坝的坡度i=1：，坡长AB=20米，则坝的高度为（　　） A．10米 B．20米 C．40米 D．20 【答案】A 【详解】设水坝的高度AC=x，则BC=x， ∴AB=2x， ∵AB=20， ∴x=10， ∴坝高10米. 故选A. 5．如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接BD，根据三角形中位线定理求出EF，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC=90°，根据正弦的定义计算即可． 【详解】连接， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴△BCD是直角三角形，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理、解直角三角形的知识，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 6．如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作交于，得到DE，在中，，求出AE，从而求出AB 【详解】过作交于， 在中， 故选C 【点睛】本题主要考查解直角三角形，能够构造出直角三角形是本题解题关键 7．如图，梯子地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（    ） A．的值越小，梯子越陡 B．的值越小，梯子越陡 C．梯子的长度决定倾斜程度 D．梯子倾斜程度与的函数值无关 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的增减性即可得到答案． 【详解】解：A选项，sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，故错误； B选项，cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡，故正确； C选项，梯子的长度不能决定倾斜程度，故错误； D选项，梯子倾斜程度与的函数值有关，故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦和正切函数，函数值随角度的增大而增大；对于余弦函数，函数值随角度的增大而减小． 8．如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法，对选项逐个判定即可． 【详解】解：A、∵ ∴ 又∵ ∴，选项不符合题意； B、∵平分 ∴ ∴，选项不符合题意； C、根据得不到三角形的某个角相等，选项符合题意； D、∵根据三角函数的定义可得， ∵，∴ ∴，∴，选项不符合题意； 故答案为C 【点睛】此题考查了相似三角形的判定方法，涉及了三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 9．要使式子有意义，则α可以取下列数值中的(   ) A．17° B．19° C．21° D．24° 【答案】D 【详解】根据题意得，≥0，解得≥0.4，α≈23.58°， 故选：D. 10．已知在 Rt ABC 中， C 90°，AC 8, BC 15 ，那么下列等式正确的是（    ） A． B．cosA= C．tan A = D．cot A= 【答案】D 【分析】根据锐角三角函数的定义进行作答. 【详解】由勾股定理知，AB=17；A. ,所以A错误；B.，所以，B错误；C.，所以，C错误；D.=，所以选D. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键. 11．如图所示，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）�是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是（  ） A．6米 B．3米 C．3米 D．12米 【答案】B 【分析】利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离． 【详解】解：∵相邻两树间的水平距离是6 m，坡度为1：2． ∴垂直高度为3m． 根据勾股定理可得斜坡上相邻两树间的坡面距离是=（m） 故选B． 【点睛】此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平宽度． 12．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔2海里的点处.若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置处，则海轮航行的距离的长是（    ）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】首先由方向角的定义及已知条件可以得出∠NPA=50°，PA=2海里，∠ABP=90°，再根据AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=50°，然后解Rt△ABP，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，∠NPA=50°，PA=2海里，∠ABP=90°， ∵AB∥NP，∴∠A=∠NPA=50°． 在Rt△ABP中， ∵∠ABP=90°，∠A=50°，PA=2海里， ∴AB海里． 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，还有平行线的性质和三角函数的定义． 13．如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为45°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为60°（A，B，C三点在一条直线上），则建筑物CD的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在与中表示出与的长，由建立等量关系，列方程求解． 【详解】解：在中，； 在中，． ， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数的简单应用，根据题目所给信息列出等量关系是解题的关键． 14．如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可知，故；由三角形的内角和定理及平角的知识即可得到，最后根据进行计算，即可得到结论． 【详解】解：在中，，， ， 由折叠的性质得到：， ， ， ， ． 又， ， 在Rt中，， ． 故选A． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；灵活运用全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识是解题的关键． 15．最近央视纪录片《航拍中国》中各地的美景震撼了全国观众，如图是航拍无人机从A点俯拍在坡比为3：4的斜坡CD上的景点C，此时的俯角为30°，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高200米到达B点，此时的俯角变为45°．已知无人机与斜坡CD的坡底D的水平距离DE为400米，则斜坡CD的长度为（　　）米（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73） A．91.1 B．91.3 C．58.2 D．58.4 【答案】B 【分析】作CP⊥BE、CQ⊥DE，设AP＝x，知CP＝x，根据BP＝CP建立方程求出x的值，即可得CP＝QE＝100+300，QD＝CP﹣DE＝100﹣100，由＝知＝，从而得CD＝QD，即可得出答案． 【详解】解：如图，作CP⊥BE于点P，作CQ⊥DE于点Q， 由题意知∠ACP＝30°，∠BCP＝45°， 设AP＝x，则CP＝＝＝x， ∵∠BCP＝45°， ∴BP＝CP，即x＝200+x， 解得：x＝100+100， ∴CP＝x＝100+300， ∵DE＝400， ∴QD＝QE﹣DE＝CP﹣DE＝100+300﹣400＝100﹣100， ∵＝， ∴＝， 则CD＝QD＝（100﹣100）≈91.3（米）， 故选B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法． 16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结HG、CH．给出下列五个结论中正确的选（       ） （1）H是FK的中点         （2）△HGD≌△HEC （3）S△AHG：S△DHC＝9：16     （4）DK＝ （5）HG⊥HC A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】（1）先证明△ABE≌△DAF，得∠AFD＋∠BAE＝∠AEB＋∠BAE＝90°，AH⊥FK，由垂径定理，得：FH＝HK，即H是FK的中点； （2）只要证明题干任意一组对应边不相等即可； （3）由余弦三角函数和勾股定理算出HM，HT，再算面积，即得S△AHG：S△DHC＝9：16； （4）由余弦三角函数和勾股定理算出FK，即可得DK． （5）由(2)可得出，因为△HGD和△HEC不全等，进而可以得出，则，即HG⊥HC是错误的． 【详解】解：（1）在△ABE与△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴∠AFD＝∠AEB， ∴∠AFD＋∠BAE＝∠AEB＋∠BAE＝90°， ∴AH⊥FK， 由垂径定理，得：FH＝HK， 即H是FK的中点，故（1）正确； （2）如图，过H作HM⊥AD于M，交BC于N， ∵AB＝4，BE＝3， ∴AE＝＝5， ∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM， ∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM， ∴ ， ∴AH＝，HM＝ ， ∴HN＝4−＝， 即HM≠HN， ∵MNCD， ∴MD＝CN， ∵HD＝ ， HC＝ ， ∴HC≠HD， ∴△HGD≌△HEC是错误的，故（2）不正确； （3）过H作HT⊥CD于T， 由（2）知，AM＝， ∴DM＝4−， ∵MNCD， ∴MD＝HT＝， ∴，故（3）正确； （4）由（2）知，HF＝ ， ∴FK＝2HF＝ ， ∴DK＝DF−FK＝ ，故（4）正确． （5）由(1)可知， ， ∴ ， 由（2）知△HGD和△HEC不全等， ∴ ， ∴ ， ∴ 即HG⊥HC是错误的，故（5）不正确． 故选：B． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三角形，熟练应用三角函数快速计算是本题关键． 二、填空题 17．比较大小： （选填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】＜ 【分析】根据特殊角锐角三角函数值计算，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴． 故答案为：＜ 【点睛】本题主要考查了求特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 18．在中，． 【答案】6 【分析】根据，即可求得AB的长. 【详解】∵， ∴AB===6. 故答案为6. 【点睛】本题考点：锐角的正弦函数. 19．在中，若，，则是 三角形. 【答案】等腰直角 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A和∠B的度数，再结三角形的内角和定理可得出结论. 【详解】解：∵，， ∴∠A=∠B=45°. ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=90°. 故是等腰直角三角形. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和等腰直角三角形的判定.记熟特殊角的三角函数值是解题的关键. 20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝ 【答案】 【分析】根据正弦的定义解得即可． 【详解】∵∠C=90°，AB=5，BC=4， ∴sinA=， 故答案为：． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 21．在Rt△ABC中，∠C=90°，其中一个锐角为60°，AB=10．若点Q在直线AB上(不与点A、B重合)，当∠QCB=30°时，CQ的长为 ． 【答案】5或或 【分析】分∠ABC=60、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可． 【详解】解：（1）当∠ABC=60°时，则BC=AB=5， 当点Q在线段AB上时，    ∵∠QCB=30°， ∴CQ⊥AB， 则QC=BCcos30°=5×=； 当点Q（Q′）在AB的延长线上时， ∵∠Q′CB=30°，∠ABC=60°， ∴Q'C=2QC=． （2）当∠ABC=30°时，如图， ∵∠QCB=30°，∠ACB=90°， ∴∠ACQ=60°， ∵∠BAC=60°， ∴△QAC为等边三角形． ∴QC=AC， ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴AC=AB=5． ∴QC=5． 综上，QC的长为：5或或． 故答案为：5或或． 【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键． 22．桔棉，亦叫“桔皋”，我国古代井上汲水的工具.它是在井旁架上设一杠杆，杠杆上竹竿一端A处系绳子，绳子另一端悬绑汲器，竹竿另一端B处绑石块等重物，用不大的力量即可将灌满水的汲器提起，桔棒的使用体现了我国古代劳动人民的智慧.如图是《天工开物·水利》中的桔棉图，若竹竿A，B两处的距离为，当汲器伸到井口时，绳子受重力作用垂直于水平面，此时竹竿与绳子的夹角为，则绑重物的B端与悬绑汲器的绳子之间的距离是 m.（忽略提水时竹竿产生的形变）（参考数据：） 【答案】 【分析】过点B作垂直悬绑汲器的绳子于C，将实际问题转化成解直角三角形，然后解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，过点B作垂直悬绑汲器的绳子于C， 由题意得，在中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形相关知识是解题的关键． 23．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正切值是 ．    【答案】1 【分析】连接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的长，判断△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案． 【详解】解：连接AB， 由勾股定理得：AB＝，AO＝，OB＝， ∴AB＝AO，， ∴△ABO是以OB为斜边的等腰直角三角形， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理在网格中的应用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 24．如图，△ABC中∠A＝60°，AC＝8，AB＝14，点D、E分别是AB、BC边上两点，连接DE，将△BDE沿着DE翻折，点B的对应点B' 恰好落在AC中点，连接BB' ，交DE于点F，则DF＝ ． 【答案】 【分析】过作H⊥AB与H，可得AH＝2，B'H=2，设BD=x，则B'D=x，利用勾股定理，列出方程，求出x的值，结合折叠的性质，即可求解． 【详解】解： 过作H⊥AB与H， ∴∠A＝60°，AC＝8，将△BDE沿着DE翻折，点B的对应点B' 恰好落在AC中点， ∴A B' =4，AH＝A B'×cos60°=4×=2，B'H= A B'×sin60°=4×=2， 设BD=x，则B'D=x， ∵在中，， ∴，解得：x=，即：BD=，DH=14-2-=， ∴BH=BD+DH=12， ∴， 由折叠的性质，可知：BF=，DF⊥， ∴DF＝ 故答案是：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 25．如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是 km. 【答案】20－20 【详解】分析：根据图形，直接利用锐角三角函数的定义得出LR=AR×cos∠ARL，代入数据求出LR的长，接下来，利用锐角三角函数关系得出BL=LR×tan∠BRL，再利用AL=ARsin∠ARL，求出AL的值，进而得出答案. 详解：在Rt△ALR中，AR=40km，∠ARL=30°， ∵cos∠ARL=， ∴LR=AR×cos∠ARL=40×cos30°≈20（km）. 在Rt△BLR中，LR=20km，∠BRL=45°， ∵tan∠BRL=， ∴BL=LR×tan∠BRL=20×tan45°≈20×1=20（km）， 又∵sin∠ARL=， ∴AL=ARsin∠ARL=40×sin30°=20（km）， ∴AB=BL-AL=（20-20）km. 故答案为（20-20）km. 点睛：本题重点考查解直角三角形的应用---仰角俯角问题，解题的关键是熟熟练掌握锐角三角函数的概念. 26．如图，已知在中，，，，点P是斜边上一点，过点P作交边于点M，过点P作的平行线，与过点M作的平行线交于点Q．如果直线，那么的长为 ．    【答案】 【分析】如图，设．证明，根据，构建方程求解． 【详解】解：如图，设．    ∵， ， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 在在中，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验是分式方程的解， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查直解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cos∠α＝，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）    【答案】①②④ 【分析】①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；②由BD＝6，则DC＝10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；④依据相似三角形对应边成比例即可求得． 【详解】解：①∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 又∵∠ADE＝∠B， ∴∠ADE＝∠C， ∴△ADE∽△ACD，故①正确； ②作AG⊥BC于G，    ∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝， ∴BG＝ABcosB， ∴BC＝2BG＝2ABcosB＝2×10×＝16， ∵BD＝6， ∴DC＝10， ∴AB＝DC， 在△ABD与△DCE中， ∴△ABD≌△DCE（ASA），故②正确； ③当∠AED＝90°时，由①可知：△ADE∽△ACD， ∴∠ADC＝∠AED， ∵∠AED＝90°， ∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， ∴∠ADE＝∠B＝α且cosα＝，AB＝10，BD＝8， 当∠CDE＝90°时，易△CDE∽△BAD， ∵∠CDE＝90°， ∴∠BAD＝90°， ∵∠B＝α且cosα＝，AB＝10， ∴cosB＝＝， ∴BD＝，故③错误； ④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC＝16， 设BD＝y，CE＝x， ∴， ∴， 整理得：y2−16y＋64＝64−10x， 即（y−8）2＝64−10x， ∴0＜x≤6.4，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形与全等三角形的判定和性质是解题的关键． 28．如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点（C始终在第一象限），且tan∠BAC=．则当点A从A0（0，10）滑动到O（0，0），B从O（0，0）滑动到B0（10，0）的过程中，点C运动的路径长为 ． 【答案】20﹣6． 【分析】由∠AOB是直角,D为AB的中点,可得DO=5，由∠ACB=,AB=10,可得tan∠BAC=，可得tan∠AOC=tan∠ABC=2.可得点C在与y轴夹角为∠AOC的射线上运动，在计算出C运动的路径长即可. 【详解】解析:如图①, 连接OD∠AOB是直角,D为AB的中点,DO=5. 原点O始终在OD上,∠ACB=,AB=10,tan∠BAC=.BC=,AC=. 连接OC,则∠AOC=∠ABC, tan∠AOC=tan∠ABC=2. 点C在与y轴夹角为∠AOC的射线上运动. 如图②,    . 如图③,. 总路径长为+=20-, 故答案：20-. 【点睛】本题主要考查三角函数及圆的综合知识，难度较大，求出点C在与y轴夹角为∠AOC的射线上运动是解题的关键. 三、解答题 29．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值． 【答案】． 【分析】根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 所以， 答：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的关键． 30．如图，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC．（结果保留根号） 【答案】(4+2) m. 【分析】过A作AE⊥BC于E，设树高BC=x(m)，则BE=（x-2）m，在Rt△ABE中，由cot∠BAE=求得AE，在Rt△AE B′中，AE= B′E，根据题意构建方程求解. 【详解】解：设树高BC=x(m)，过A作AE⊥BC于E， 在Rt△ABE中，BE=x－2,∠BAE=30°,cot∠BAE=, ∴AE=BE·cot∠BAE=(x－2)·= (x－2). ∵∠B′AE=45°,AE⊥BC. ∴B′E=AE= (x－2). 又∵B′E=B′C+EC=BC+AD=x+2, ∴ (x－2)=x+2.∴x=(4+2)(m). 答：树高BC为(4+2) m. 故答案为(4+2)m. 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，解题的关键是做辅助线构造直角三角形. 31．计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）1；（2）2，；（3）． 【分析】（1）直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （3）把被开方数化为完全平方的性质，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】（1）； （2） （3） 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键． 32．求图中避雷针的长度（结果精确到）． 【答案】 【分析】分别在和中，用表示出，从而求出． 【详解】解：在中， ∴ 同理可得： 答：避雷针的长度约为 【点睛】本题考查了三角函数定义的应用，结合图形，搞清楚直角三角形的边角关系是解题的关键． 33．计算：﹣sin45°•tan45° 【答案】 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】﹣sin45°•tan45° ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及分母有理化、二次根式的化简，牢记特殊角的三角函数值，是解决本题的关键． 34．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.5米．当起重臂AC长度为8米，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度．（结果保留小数点后一位）【参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53】 【答案】操作平台C离地面的高度为7.3m 【分析】作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.5m，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=28°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF即可． 【详解】解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图2， 易得四边形AHEF为矩形， ∴EF=AH=3.5m，∠HAF=90°， ∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°， 在Rt△ACF中，∵sin∠CAF=， ∴CF=8sin28°=8×0.47=3.76， ∴CE=CF+EF=3.76+3.5≈7.3（m）， 答：操作平台C离地面的高度为7.3m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行计算． 35．在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即．利用上述结论可以求解如下题目．如： 在中，若，，，求． 解：在中， 问题解决： 如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，且乙船从处按北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里． (1)判断的形状，并给出证明． (2)乙船每小时航行多少海里？ 【答案】(1)是等边三角形． (2)海里 【分析】（1）根据图形和已知可得，，及 ，可证得是等边三角形； （2）由图可求，然后可求 ， ，由，再根据正弦定理可求解，然后根据乙船行驶的时间求出速度即可． 【详解】（1）解： 是等边三角形．理由如下： 根据题意得：， ， ， 又， 是等边三角形． （2）解：是等边三角形， ， 根据题意得：， ． ， 在中，由正弦定理得： ∴乙船的速度的大小为（海里/小时）． 答：乙船每小时航行海里． 36．如图，水坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为，背水坡的坡度为，坝顶宽米，坝高5米． 求： (1)坝底宽的长（结果保留根号）； (2)在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶加宽米，背水坡的坡度改为，求横截面增加的面积（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)5平方米 【分析】（1）根据迎水坡的坡角为计算出，背水坡的坡度为计算出求和即可； （2）求出新梯形的下底，新增的部分是一个梯形，计算面积；或分别计算原梯形与新梯形的面积，求差即可． 【详解】（1）如下图所示，过点作，垂足为点， 坝高，， ，由勾股定理可得：， ，， ， 又， ， （米） （2）如下图所示：坡面坡度为：， ，过作,垂足为 ， ，即，， ， 新增梯形面积（平方米） 【点睛】本题考查了解直角三角形中关于坡度与坡角等知识，关键要理解坡度是等于坡角所在直角三角形中的对直角边与邻直角边的商． 37．如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点． (1)【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由． (2)【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值． (3)【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求证； （2）根据题意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根据△ABE∽△DEH，可得或，即可求解； （3）根据题意可得EG=nBE，然后分两种情况：当FH=BH时，当FH=BF=nBE时，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°， ∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°， ∴∠DEH=∠ABE， ∴△ABE∽△DEH； （2）解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB， ∴AD=4DH， 设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x， ∴DE=4x-a， ∵△ABE∽△DEH， ∴， ∴，解得：或， ∴或， ∴或； （3）解：∵矩形矩形，， ∴EG=nBE， 如图，当FH=BH时， ∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG， ∴Rt△BEH≌Rt△FGH， ∴EH=GH=， ∴， ∵△ABE∽△DEH， ∴，即， ∴， ∴； 如图，当FH=BF=nBE时， ， ∴， ∵△ABE∽△DEH， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键． 38．为了建设绿色郑州，改善城市生态环境，郑州市绿化部门计划在一块梯形空地上种植草皮，梯形空地如图所示，已知，，，，．如果这种草皮每平方米造价元，则购买这种草皮需多少钱？（参考数据：） 【答案】购买这种草皮需约元． 【分析】过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形．设，在中，．在中，．，可得关于的方程，求得的值，再根据梯形的面积公式得到的值，再乘以每平方米造价即可求解． 【详解】解：如图， 过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形． 设，在中，． 在中，． ∵， ∴， ∴． ∴． （元）． 故购买这种草皮需约元． 【点睛】考查了解直角三角形的应用，解答有关梯形的问题，往往通过作高，把梯形问题转化为直角三角形和特殊四边形的问题来解决，然后用三角函数知识和方程的知识进行求解，这是中考常见的题型． 39． 如图，AB和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°, 求楼CD的高． 【答案】楼CD的高是（36+12）米 【分析】在题中两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可． 【详解】延长过点A的水平线交CD于点E 则有AE⊥CD，四边形ABDE是矩形，AE=BD=36 ∵∠CAE=45°∴△AEC是等腰直角三角形∴CE=AE=36 在Rt△AED中，tan∠EAD= ∴ED=36×tan30°=12 ∴CD=CE+ED=36+12 答：楼CD的高是（36+12）米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键． 40．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB． （1）求AC的长和点D的坐标； （2）说明△AEF与△DCE相似； （3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标． 【答案】（1）20，D（12，0）（2）证明见解析（3）E的坐标为（8，0）或（，0） 【分析】（1）利用矩形的性质，在Rt△ABC中，利用三角函数求出AC、BC的长度，从而得到A点坐标；由点D与点A关于y轴对称，进而得到D点的坐标． （2）欲证△AEF与△DCE相似，只需要证明两个对应角相等即可，在△AEF与△DCE中，易知∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，从而问题解决． （3）当△EFC为等腰三角形时，需要分CE=EF，EF=FC，CE=CF三种情况讨论． 【详解】解：（1）∵四边形ABCO为矩形， ∴∠B=90°． 在Rt△ABC中，BC=AB÷tan∠ACB=16÷=12，AC=． 则AO=BC=12． ∴ A（-12，0）． ∵点D与点A关于轴对称， ∴D（12，0）． （2）∵点D与点A关于y轴对称，∴∠CDE=∠CAO． ∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，∴∠CDE=∠CEF． 又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性质）， ∴∠AEF=∠DCE． 则在△AEF与△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE， ∴△AEF∽△DCE． （3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当CE=EF时，∵△AEF∽△DCE， ∴△AEF≌△DCE． ∴AE=CD=20． ∴OE=AE－OA=20－12=8． ∴E（8，0）． ②当EF=FC时，如图所示，过点F作FM⊥CE于M， 则点M为CE中点． ∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=EF． ∵点D与点A关于y轴对称， ∴CD=AC=20． ∵△AEF∽△DCE， ∴ ，即 ，解得． ∴OE=AE－OA=， ∴E（ ，0）． ③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF， ∵∠CEF=∠ACB=∠CAO， ∴∠CFE=∠CAO． 即此时F点与A点重合，这与已知条件矛盾． 综上所述，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标为（8，0）或（，0）. 学科网（北京）股份有限公司 $$