第10讲 正切函数的性质与图像（3个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

第10讲 正切函数的性质与图象 课程标准 学习目标 1．能画出正切函数的图像 2．会利用y＝tan x的性质确定与正切函数有关的函数性质． 3．会利用正切函数的单调性比较函数值大小． 4．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线． 1．通过正切函数图像与性质的学习，培养学生直观想象核心素养． 2．借助正切函数图像与性质的应用，提升学生直观想象和数学运算核心素养. 知识点01 正切函数的定义 对于任意一个角x，只要，就有 唯一确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数． 【即学即练1】（24-25高一上·浙江宁波·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案. 【详解】因为，所以. 则函数的定义域为 故选：A. 知识点02 正切函数的性质 定义域、 值域 定义域为， 值域为 R 奇偶性 奇函数 周期 π 单调性 单调增区间(k∈Z) 零点 kπ，k∈Z 【解读】(1)正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凸凹性． (2)正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．这一系列直线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交． (3)正切曲线是中心对称图形，其对称中心为，k∈Z. (4)正切曲线没有对称轴，但有无数条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z. 【即学即练2】（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】根据正切函数的单调递增区间利用整体代换解不等式可得结果. 【详解】易知正切函数的单调递增区间为， 所以令，解得； 即该函数的单调递增区间为. 故答案为：. 知识点03 正切函数的图像 (1)正切函数的图像 y＝tan x的图像如图． (2)正切函数的图像叫做正切曲线． (3)正切函数的图像特征 正切曲线是由通过点且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成． 【即学即练3】（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）与函数的图象不相交的一条直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，然后对整数赋值可得结果. 【详解】由，得，令，得， 令，得，令，得，令，得， 令，得，结合选项得函数的图象的一条渐近线为直线， 即直线与函数的图象不相交． 故选：C． 题型01 正切函数的定义域 【典例1】（24-25高一上·江苏镇江·期末）函数的定义域是 . 【答案】C 【分析】根据函数的解析式列出函数有意义时需满足的不等式，即可求得答案. 【详解】由题意可知需满足, 即，故函数的定义域为. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数有意义可得，再结合正切函数及性质求解即得. 【详解】函数有意义，则，于是， 即，因此， 所以原函数的定义域为. 故选：A 【变式2】（24-25高一上·广东·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由正切函数的定义得出定义域. 【详解】由，即， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由题意，，解不等式得出结论. 【详解】由题意，，所以，， 所以，， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式4】（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据正切函数的定义域，列式求解. 【详解】由题意可知，，， 所以. 故答案为： 题型02 正切函数的值域与最值 【典例2】（23-24高一下·江西·阶段练习）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的范围，再由正切函数的性质求出范围，再乘以3即可. 【详解】 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小值为 . 【答案】2 【分析】配方，结合即可求解. 【详解】因为，由于，所以当时，函数取最小值2. 故答案为：2 【变式2】函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据区间的定义以及的有界性确定的范围，然后再利用正切函数的单调性得到的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出即可. 【详解】，，， 根据函数在的最大值为7,最小值为3， 所以，即，根据正切函数在为单调增函数， 则，在上单调减函数， ，， 则，，，， ， 故选：B. 【变式3】已知在区间上的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据解方程即可. 【详解】因为，即， 又，所以，所以， 所以，． 故选：A． 【变式4】当时,函数的最小值是 A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】分子与分母同除以，得利用二次函数求最值即可解答 【详解】分子与分母同除以，得， 时，的最大值为 综上，的最小值为4 故选D 题型03 正切函数的周期性 【典例3】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数性质，求函数最小正周期. 【详解】由正切型函数的性质，知的最小正周期. 故选：C 【变式1】（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的最小正周期为（    ） A．16 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数的周期公式求解. 【详解】的最小正周期为． 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·吉林四平·期末）“的最小正周期为是”“的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数的最小正周期求得，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当的最小正周期为时，有，即充分性不成立； 当时，的最小正周期为，即必要性成立； 所以“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件. 故选：A 【变式3】（24-25高一上·重庆·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ． 【答案】/0.5 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，又因为，解得. 故答案为：. 【变式4】（24-25高一上·北京·期末）若函数的最小正周期为，则的值是 . 【答案】 【分析】先根据正切函数的最小正周期求出，再计算即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得， 故，所以， 故答案为：. 题型04 正切函数的奇偶性 【典例4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数 【答案】D 【分析】利用正切型函数的周期公式及奇偶性定义判断即可. 【详解】函数中，，则， 其最小正周期为，且，为奇函数. 故选：D 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【分析】先判断的定义域是否对称，再利用函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】的定义域为，定义域对称， 因为， 所以是偶函数. 故选：B. 【变式2】函数的奇偶性是 ． 【答案】奇函数 【分析】解正切不等式，求得函数定义域；再结合奇偶性的定义，即可判断. 【详解】由，得或， ∴函数定义域为∪，关于原点对称． 又， ∴，∴是奇函数． 故答案为：奇函数. 【变式3】（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则 . 【答案】 【分析】结合奇函数的性质求解即可. 【详解】由，， 设函数，， 则， 即函数为奇函数，则， 所以， 则，即. 故答案为：. 【变式4】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据正切函数的奇偶性列式运算得解. 【详解】因为的图象关于原点中心对称， 所以，又，故的最小值为． 故答案为：. 题型05 正切函数的对称性 【典例5】（24-25高一上·湖南株洲·期末）若函数的图像的两个对称中心的最短距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两个对称中心的最短距离为半个周期求得周期，然后得到的值，然后求得的值. 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知，可得，， 则， 故选：A. 【变式1】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数图象的对称中心是 C．函数的零点为 D．函数在上单调递增 【答案】C 【分析】A选项，先求出定义域，进而得到，故A正确；B选项，令，解得，得到对称中心；C选项，令，求出零点；D选项，整体法得到函数的单调递增区间，得到答案. 【详解】A选项，，解得， 故的定义域为， ，故为奇函数，A正确； B选项，令，解得， 故图象的对称中心是，B正确； C选项，令，解得， 故函数的零点为，C错误； D选项，令，解得， 当时，， 故在上单调递增，D正确. 故选：C 【变式2】（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整体法求出函数的对称中心为，一一检验得到答案. 【详解】令，解得， 故函数的对称中心为， 故AB错误； 当时，，故对称中心为，D正确， 经检验，C不满足要求. 故选：D 【变式3】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）“函数的图象关于对称”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用正切函数的性质结合集合间的基本关系判定充分、必要条件即可. 【详解】当函数的图象关于对称时， 有，，得，， 易知，， 所以“函数的图象关于对称”是“，”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式4】（24-25高一上·天津河东·期末）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称中心结合正切函数性质可得，进而可求最小正周期. 【详解】因为函数的图象的一个对称中心为， 则，解得， 且，所以函数的最小正周期为， 对于选项A：若，此时，不合题意，故A错误； 对于选项B：若，此时，不合题意，故B错误； 对于选项C：若，解得，故C正确； 对于选项D：若，此时，不合题意，故D错误； 故选：C. 题型06 正切函数的单调性 【典例6】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】根据正切函数的单调区间求解即可. 【详解】根据正切函数的单调区间可得 ， . 故答案为： 【变式1】（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ． 【答案】． 【分析】根据正切函数的单调性，整体代入法求解即可. 【详解】令，， 解得， 故函数的单调递减区间是:． 故答案为:． 【变式2】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）若函数的图象经过点，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．的单调增区间为 D．在区间上的值域为 【答案】ABD 【分析】先根据图象过点计算解析式，再结合正切函数的图象与性质一一判定选项即可. 【详解】将代入得， 所以， 对于A，函数的最小正周期，故A正确； 对于B，，所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，令， 即函数的单调递增区间为：，故C错误； 对于D，当时，则，则，故D正确. 故选：ABD 【变式3】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，即可得到答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，，， . 故选：B. 【变式4】（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体法求解单调增区间，即可与题中单调区间比较求解. 【详解】令，解得， 故且，解得， 故选：C 题型07 正切不等式的求解 【典例7】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】求解不等式即可. 【详解】由题意，得， 所以，，得，， 故所求函数的定义城为，， 故选：C. 【变式1】（23-24高一下·广西钦州·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的单调性解不等式即得. 【详解】依题意，得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 【变式2】函数的定义域为（    ） A．， B．， C． ， D．， 【答案】C 【分析】由对数函数的性质得，利用正切函数的性质以及余弦函数的性质即可分类求解. 【详解】的定义域满足， 当时，则等价于或， 此时解得,或 当时，也符合要求，此时, 综上可知：满足的的取值范围为， 故选：C 【变式3】（24-25高一上·天津河西·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数的定义，得不等式，结合正切函数的性质进行求解即可. 【详解】由，得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式4】（23-24高一下·北京·期中）已知角A是的一个内角，若，则角A的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据角的大小范围与角的正切值取值范围对应关系,结合正切函数图象即可求解. 【详解】因为角A是的一个内角， 所以，又， 所以由正切函数图象可得. 故答案为：. 题型08 利用单调性比较大小 【典例8】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角函数的性质得到，进而得到，再利用对数函数的单调性与换底公式即可得解. 【详解】因为，所以， 即， 所以，，即， 所以， 即，则， 因为，， ， 所以. 故选：C. 【变式1】（23-24高一下·北京延庆·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断，然后根据三角函数的定义和单调性判断即可得出答案. 【详解】因为是钝角，所以，，， 因为，在上是减函数， 所以， 而在上是增函数，可得， 所以，所以， 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·甘肃白银·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由换底公式化简，并判断，由对数函数的性质判断，根据正切函数的单调性可判断，得解. 【详解】由题意得，． 因为函数在上单调递增，所以， 即．故． 故选：D. 【变式3】（23-24高一下·北京门头沟·期中）比较、、的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式得，然后由正切函数的单调性可得. 【详解】， 因为函数在上单调递增，且， 所以，即. 故选：D 【变式4】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可得，又由从而得出的大小关系，得出答案. 【详解】因为，即，所以 又， ，所以 所以 故选：C 题型09 正切函数的图像及应用 【典例9】（24-25高一上·陕西·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义，结合函数图象交点个数得解. 【详解】由，得， 在同一坐标系内作出，，的图象， 由图知，两函数的图象的交点有4个， 所以当时，函数的零点个数为4. 故选：A 【变式1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的性质，代入求值即可. 【详解】函数的图象与直线没有交点． 若函数的图象与直线没有交点， 则，， 则的最小值为． 故选：B. 【变式2】（2024高二下·浙江·学业考试）已知函数，则函数在区间内零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】将函数零点转化为函数与图象交点个数问题，分别对和进行讨论可得结论. 【详解】令，可得 当时，则有， 数形结合画出与在上的图象如下图所示： 可得在内两图象有三个交点； 当时，在内解得，不是方程的解，不合题意. 故选：C 【变式3】（23-24高一上·广东·期末）若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质，代入求值. 【详解】函数的图象与直线没有交点． 若函数的图象与直线没有交点， 则，，,， 则的最小值为． 故选：C 【变式4】函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为，结合图象所过的点求参数，即可得解析式，进而求函数值. 【详解】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得， 设函数的最小正周期为，则， 由题意得，解得，故，得，即， 的图象过点，即， ∵，则，    ∴，解得． ∴ ∴. 故选：A 题型10 正切函数图像的变换 【典例10】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好为奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意求得的最小正周期为，得到，结合三角函数的图象变换，得到，由为奇函数，求得，进而求得的值. 【详解】因为函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为， 可得函数的最小正周期为，所以，所以， 将函数的图象向左平移个单位长度，得到， 又因为为奇函数，可得，即， 因为，当时，可得；当时，可得， 所以的值为或. 故选：D. 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）若将函数的图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的，则所得到的图象对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移伸缩变换，可得答案. 【详解】函数的图象向左平移个单位，得，再将所有点的横坐标缩短到原来的，得. 故选：B. 【变式2】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（   ） A．图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．最小正周期为 D．图象关于点对称 【答案】D 【分析】求出函数的解析式，再逐项判断即可. 【详解】依题意，，由，得， 即函数的定义域为， 对于A，，即函数是奇函数， 不是偶函数，其图象关于直线不对称，A错误； 对于B，0不在函数的定义域内，则函数在上不单调，B错误； 对于C，函数的最小正周期为，C错误； 对于D，，的图象关于点对称，D正确. 故选：D 【变式3】要得到y＝tan x的图象，只需把y＝tan的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【解析】化简即得解. 【详解】， 所以要得到y＝tan x的图象，只需把y＝tan的图象向右平移个单位. 故选：D 【变式4】（24-25高一下·陕西榆林·期中）若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】求出平移后的函数解析式，再利用正切函数的性质列式求解作答. 【详解】函数的图象向右平移个单位得， 依题意，，，解得，而，有，， 所以的最小值为2． 故选：C 一、单选题 1．（24-25高一下·北京·期中）函数是（    ） A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数 【答案】B 【分析】根据正切函数的性质判断的最小正周期、奇偶性，即可得答案. 【详解】由正切函数性质知：的最小正周期为， 定义域关于原点对称且，即为奇函数. 所以是周期为的奇函数. 故选：B 2．（23-24高一下·广西桂林·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直接求解即可. 【详解】为使函数有意义，只需，即， 所以函数定义域为：. 故选：C. 3．（24-25高一上·湖南永州·期末）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用诱导公式及余弦函数的性质判断C，利用诱导公式及正切函数的性质判断D. 【详解】对于A：因为在定义域上单调递减，所以，故A错误； 对于B：因为在定义域上单调递增，所以，故B错误； 对于C：，， 又在上单调递减，所以，即，故C错误； 对于D：，， 又在上单调递增，所以，所以，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高一下·山东济宁·期中）函数（且）的值域为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：且，且， 由于正切函数的图象及单调性，得： 或， 即 故选B． 考点：正切函数的图象． 5．（23-24高一上·河北保定·期末）“”是“函数的图象关于原点中心对称”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据正切函数的性质可判断充分性成立，必要性不成立，即可. 【详解】当时，， 则其图象关于原点对称，故充分性成立， 当函数的图象关于原点中心对称时， 则，不一定成立， 则必要性不成立， 则“”是“函数的图象关于原点中心对称”的充分不必要条件， 故选：B. 6．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．图象关于点成中心对称 B．图象关于直线成轴对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【答案】A 【分析】根据正切函数的对称性、定义域、单调性逐项分析即可. 【详解】当时，， 所以是函数的对称中心，故A正确，B错误； 当时，， 则当时，函数无意义故C错误； 当时，， 则当时，函数无意义故D错误， 故选：A. 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，即可得到答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，，， . 故选：B. 8．（23-24高一上·甘肃·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数是奇函数 【答案】C 【分析】根据给定的函数，结合正切函数的图象、性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由于，，因此，A错误； 对于B，当时，，则函数在区间上是减函数，B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于直线对称，C正确； 对于D，由于，因此函数是偶函数，不是奇函数，D错误. 故选：C 二、多选题 9．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）与函数的图象不相交的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据正切函数的定义域有且，即可判断不相交直线. 【详解】由正切函数性质知：且，则且， 当，；当，；当，； 所以，只有A、D符合，B、C不符合. 故选：AD 10．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．的图象关于点对称 D．将的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为 【答案】BCD 【分析】利用正切函数的周期公式求出周期判断A；求出定义域判断B；验证判断对称性判断C；利用平移变换求出解析式判断D. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A错误； 对于B，由，得，的定义域为，B正确； 对于C，当时，函数无意义，则的图象关于点对称，C正确； 对于D，将的图象向左平移个单位，得，D正确. 故选：BCD 11．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 D．的单调递增区间为 【答案】BCD 【分析】由题设知周期，得的值，求出函数的解析式，由正切函数的图象性质逐项判断即可. 【详解】对于A、B，因为函数的图象相邻两个对称中心之间的距离为， 则该函数的最小正周期为，所以，，故A错误，B正确； 对于C，，的图象向左平移个单位长度后得到 函数的图象，故C正确； 对于D，由，可得， 所以的单调递增区间为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高一上·云南大理·期末）已知函数，若的周期为，则 . 【答案】 【分析】利用周期求出可得的解析式，再求即可. 【详解】因为周期为，所以，， 则. 故答案为：. 13．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）函数的定义域是 ． （2）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】（1）由被开方数非负建立不等式，再结合正切函数图象可解； （2）令，换元法转化为求二次函数值域即可. 【详解】（1）要使有意义， 则，解得， 解得. 故函数的定义域是； （2）设，则， 当时，. 所以的值域是． 故答案为：；. 14．（24-25高一上·湖南常德·期末）若将函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题可知是该函数周期的整数倍，结合计算即可求解. 【详解】由题可知是该函数周期的整数倍， 即，解得. 又，故其最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用诱导公式化简再应用正切函数的单调性求解； （2）先求函数值再结合函数的单调性比较大小. 【详解】（1）， 由，得． 因为在上单调递增， 所以在上单调递减． 故原函数的单调递减区间为． （2）， ， 因为，且在上单调递增， 所以，所以． 16．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 的图象关于点 对称. (1)求的单调递增区间; (2)求不等式 的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意首先根据对称中心求得函数表达式，然后令，解不等式组即可得解. （2）由，得,解不等式组即可得解. 【详解】（1）由题意知，的图象关于点对称， ， 即． ， 故． 令， 得， 即． 函数的单调递增区间为． （2）由（1）知，． 由， 得， 即． 不等式的解集为. 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 【答案】(1)定义域是，最小正周期，单调增区间是（）. (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）由整体代换即可求出正切函数的定义域，由周期公式可得最小正周期，由单调性解不等式可得单调增区间. （2）由（1）中的单调性解不等式，可得其解集. （3）利用五点作图法即可得一个周期内的简图. 【详解】（1）由， 得（）， ∴的定义域是, ∵， ∴最小正周期， 由（），得（）. ∴函数的单调增区间是（）. 所以函数定义域是，最小正周期，单调增区间是（）. （2）由，得（）. 解得（）. ∴不等式的解集是. （3）令，则； 令，则； 令，则. ∴函数的图像与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是，. 从而得函数在一个周期内的简图如下： 18．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)若，求函数的定义域及最小正周期； (2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把代入，利用正切函数定义域及周期公式列式求解. （2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得. 【详解】（1）当时，，则函数的最小正周期； 由，解得， 所以函数的定义域为． （2）由，得， 由函数在区间内单调递增，得，解得，又， 所以的取值范围为． 19．（24-25高一·全国·课后作业）已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 【答案】(1)， ； (2)； (3)． 【分析】（1）根据正切函数的图象和性质即得； （2）由题可得，进而即得； （3）根据正切函数的图象和性质可得b－a的最小值，然后结合条件可得，进而即得. 【详解】（1）由题可得， 所以函数的最小正周期为 ， 由，可得， 所以函数的图像的对称中心 ； （2）因为在上是严格增函数， 所以， 所以，又， 所以； （3）因为， 所以，，至少存在2022个根， 所以可得b－a至少包含2021个周期，即， 所以b－a的最小值为，又b－a的最小值不小于2022， 所以， 所以． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 正切函数的性质与图象 课程标准 学习目标 1．能画出正切函数的图像 2．会利用y＝tan x的性质确定与正切函数有关的函数性质． 3．会利用正切函数的单调性比较函数值大小． 4．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线． 1．通过正切函数图像与性质的学习，培养学生直观想象核心素养． 2．借助正切函数图像与性质的应用，提升学生直观想象和数学运算核心素养. 知识点01 正切函数的定义 对于任意一个角x，只要，就有 唯一确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数． 【即学即练1】（24-25高一上·浙江宁波·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 知识点02 正切函数的性质 定义域、 值域 定义域为， 值域为 R 奇偶性 奇函数 周期 π 单调性 单调增区间(k∈Z) 零点 kπ，k∈Z 【解读】(1)正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凸凹性． (2)正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．这一系列直线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交． (3)正切曲线是中心对称图形，其对称中心为，k∈Z. (4)正切曲线没有对称轴，但有无数条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z. 【即学即练2】（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数的单调递增区间为 . 知识点03 正切函数的图像 (1)正切函数的图像 y＝tan x的图像如图． (2)正切函数的图像叫做正切曲线． (3)正切函数的图像特征 正切曲线是由通过点且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成． 【即学即练3】（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）与函数的图象不相交的一条直线是（    ） A． B． C． D． 题型01 正切函数的定义域 【典例1】（24-25高一上·江苏镇江·期末）函数的定义域是 . 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·广东·期末）函数的定义域为 . 【变式3】（24-25高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为 . 【变式4】（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 题型02 正切函数的值域与最值 【典例2】（23-24高一下·江西·阶段练习）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小值为 . 【变式2】函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知在区间上的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】当时,函数的最小值是 A． B． C． D．4 题型03 正切函数的周期性 【典例3】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的最小正周期为（    ） A．16 B．8 C． D． 【变式2】（24-25高一上·吉林四平·期末）“的最小正周期为是”“的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（24-25高一上·重庆·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ． 【变式4】（24-25高一上·北京·期末）若函数的最小正周期为，则的值是 . 题型04 正切函数的奇偶性 【典例4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【变式2】函数的奇偶性是 ． 【变式3】（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则 . 【变式4】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ． 题型05 正切函数的对称性 【典例5】（24-25高一上·湖南株洲·期末）若函数的图像的两个对称中心的最短距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数图象的对称中心是 C．函数的零点为 D．函数在上单调递增 【变式2】（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）“函数的图象关于对称”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】（24-25高一上·天津河东·期末）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（   ） A． B． C． D． 题型06 正切函数的单调性 【典例6】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是 ． 【变式1】（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ． 【变式2】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）若函数的图象经过点，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．的单调增区间为 D．在区间上的值域为 【变式3】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 题型07 正切不等式的求解 【典例7】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（23-24高一下·广西钦州·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的定义域为（    ） A．， B．， C． ， D．， 【变式3】（24-25高一上·天津河西·期末）函数的定义域为 ． 【变式4】（23-24高一下·北京·期中）已知角A是的一个内角，若，则角A的取值范围是 ． 题型08 利用单调性比较大小 【典例8】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·北京延庆·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·甘肃白银·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·北京门头沟·期中）比较、、的大小关系（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型09 正切函数的图像及应用 【典例9】（24-25高一上·陕西·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024高二下·浙江·学业考试）已知函数，则函数在区间内零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式3】（23-24高一上·广东·期末）若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式4】函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 题型10 正切函数图像的变换 【典例10】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好为奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）若将函数的图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的，则所得到的图象对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（   ） A．图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．最小正周期为 D．图象关于点对称 【变式3】要得到y＝tan x的图象，只需把y＝tan的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【变式4】（24-25高一下·陕西榆林·期中）若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 一、单选题 1．（24-25高一下·北京·期中）函数是（    ） A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数 2．（23-24高一下·广西桂林·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖南永州·期末）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东济宁·期中）函数（且）的值域为 A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河北保定·期末）“”是“函数的图象关于原点中心对称”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．图象关于点成中心对称 B．图象关于直线成轴对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·甘肃·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数是奇函数 二、多选题 9．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）与函数的图象不相交的直线是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．的图象关于点对称 D．将的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为 11．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 D．的单调递增区间为 三、填空题 12．（24-25高一上·云南大理·期末）已知函数，若的周期为，则 . 13．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）函数的定义域是 ． （2）函数的值域为 ． 14．（24-25高一上·湖南常德·期末）若将函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则的最小值为 . 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)试比较与的大小． 16．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 的图象关于点 对称. (1)求的单调递增区间; (2)求不等式 的解集. 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 18．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)若，求函数的定义域及最小正周期； (2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围． 19．（24-25高一·全国·课后作业）已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$