第11讲 已知三角函数值求角（2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

第11讲 已知三角函数值求角 课程标准 学习目标 1．理解反正弦、反余弦、反正切的概念，明确其表示角的范围； 2．掌握已知的三角函数值求角，培养学生数学运算的数学核心素养． 1．掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号、、表示角； 2．熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间上对应的角. 知识点01 已知三角函数值求角相关概念 1、已知正弦值求角 对于正弦函数，在区间内，满足的只有一个，这个记作，即. 2、已知余弦值求角 对于余弦函数，在区间内，满足的只有一个，这个记作，即. 3、已知正切值求角 对于正切函数，在区间内，满足的只有一个，这个记作，即. 【即学即练1】（23-24高一·上海·课堂例题）求分别满足下列条件的角： (1)，； (2)，； (3)，． 知识点02 已知三角函数值求角或角的范围的方法 1、利用三角函数线求角 在单位圆中，是正弦线，是余弦线，是正切线，作出三角函数线，即可求得角的大小。 2、利用三角函数图象求角或角的范围 用三角函数图象解(或)的方法 （1）作出直线，(或)的图像； （2）确定(或)的的值； （3）选取一个合适的周期写出(或)的解集，要尽量使解集为一个连续区间。 【即学即练2】（24-25高一·河南南阳·期末）若0<α<2π，且sinα<，cosα>，则角α的取值范围是（    ） A． B． C． D．∪ 题型01 已知正弦值求角 【典例1】（24-25高一下·上海·课后作业）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·上海·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式3】（2025高一·课时训练）下列等式成立的是（    ） A．， B． C． D． 题型02 已知余弦值求角 【典例2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则以下四个式子表示，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）设，则的值可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则（ ） A． B． C． D． 题型03 已知正切值求角 【典例3】（24-25高一·上海浦东新·期末）（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）若，，则x可以用反正切表示为 ． 【变式1】若，且，则x的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·北京海淀·期中）若（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，且，则可表示成（ ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一上·北京·期末）若函数的最小正周期为，则的值是 . 题型04 三角方程的求解 【典例4】方程在上的解的个数为______. 【变式1】在方程的所有解中，最小正解是 A． B． C． D． 【变式2】若，则在区间上解的个数为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）方程，的解集为 ． 【变式4】若cos x＝cos ，求x的值． 题型05 三角函数线的应用 【典例5】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）在（0，2π）内，使sinx＞|cosx|的x的取值范围是（　　） A．（，） B．（，]∪（，] C．（，） D．（，） 【变式1】（23-24高一下·上海·假期作业）（1）已知，求：满足条件的角的取值范围； （2）已知，求：满足条件的角的取值范围； 【变式2】（24-25高一·全国·随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角α的集合． (1)； (2)． 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合： (1)且； (2)． 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在中，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）下列叙述错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 4．（23-24高一下·上海·课后作业）下列各式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·上海浦东新·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．计算：等于（    ） A． B． C． D． 7．已知，那么以下四个式子： ①； ②； ③； ④中， 可以表示x的式子是 A．①② B．③④ C．②④ D．①④ 8．（23-24高一下·上海黄浦·期中）李善兰是中国近代著名数学家，辅助角公式是他提出来的一种三角公式，其主要作用是将多个三角函数化成单个三角函数.辅助角公式的正弦型为： 下列判断错误的是（    ） A．当时，辅助角 B．当时，辅助角 C．当时，辅助角 D．当时，辅助角 二、多选题 9．已知，且，则关于表述正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·全国·课后作业）方程在区间上的解为（    ） A．0 B． C． D．π 11．下列对等式的描述正确的是（    ） A．对任意的角都成立 B．时成立 C．只对有限个的值成立 D．对于任何角都不成立 E．有无限个的值使等式成立 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·课后作业）计算： . 13．（23-24高一下·上海松江·期末）若是方程的解，其中，则 ． 14．三个角的大小关系是 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2). 16．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求角x： (1)，且x是第三象限的角； (2)，； (3)； (4)． 17．（23-24高一·上海·课堂例题）分别求满足下列条件的角x的集合： (1)，； (2)； (3)． 18．已知是方程的两根，且，求的值 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求角x的解集； （2）已知，求满足条件的角x的集合． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 已知三角函数值求角 课程标准 学习目标 1．理解反正弦、反余弦、反正切的概念，明确其表示角的范围； 2．掌握已知的三角函数值求角，培养学生数学运算的数学核心素养． 1．掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号、、表示角； 2．熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间上对应的角. 知识点01 已知三角函数值求角相关概念 1、已知正弦值求角 对于正弦函数，在区间内，满足的只有一个，这个记作，即. 2、已知余弦值求角 对于余弦函数，在区间内，满足的只有一个，这个记作，即. 3、已知正切值求角 对于正切函数，在区间内，满足的只有一个，这个记作，即. 【即学即练1】（23-24高一·上海·课堂例题）求分别满足下列条件的角： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】利用三角函数的值求解角的大小即可． 【详解】（1），,； 可得，或． （2），,； 可得或 （3），． 可得． 知识点02 已知三角函数值求角或角的范围的方法 1、利用三角函数线求角 在单位圆中，是正弦线，是余弦线，是正切线，作出三角函数线，即可求得角的大小。 2、利用三角函数图象求角或角的范围 用三角函数图象解(或)的方法 （1）作出直线，(或)的图像； （2）确定(或)的的值； （3）选取一个合适的周期写出(或)的解集，要尽量使解集为一个连续区间。 【即学即练2】（24-25高一·河南南阳·期末）若0<α<2π，且sinα<，cosα>，则角α的取值范围是（    ） A． B． C． D．∪ 【答案】D 【分析】根据题意，画出三角函数线，找出角度范围，即可表示. 【详解】角α的取值范围为图中阴影部分如下所示吧：    即∪ 故选：. 题型01 已知正弦值求角 【典例1】（24-25高一下·上海·课后作业）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，利用，得，即可得出结论． 【详解】解：， ，，， ，， 故选：． 【变式1】（23-24高一下·上海·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 借助反三角函数的性质计算即可得. 【详解】由，故，故. 故选：B. 【变式2】设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】根据反三角函数的定义可以判断出．因为反正弦函数的值域为，说明题中的必要条件成立，而不具有充分性，故可得正确答案． 【详解】若成立，可得或，， 说明是其中的一个角，不一定刚好，充分性不成立， 反之如果成立，则成立，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式3】（2025高一·课时训练）下列等式成立的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，由反正弦函数的值域判断即可，对于B，C，由反正弦函数的定义域判断即可，对于D，由反正弦函数的定义域判断即可 【详解】解：对于A，因为反正弦函数的值域为，则可得，所以A错误； 对于B，C，因为反正弦函数的定义域为，而，所以B，C错误； 对于D，因为，所以，所以D正确， 故选：D 题型02 已知余弦值求角 【典例2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反三角函数进行求解. 【详解】由题意得：. 故选：D 【变式1】已知，则以下四个式子表示，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反函数的定义可知，，再由对称性可知，由，可知，，则可知，由此即可选出答案. 【详解】因为， 由反函数的定义可知，其中， 由于， 所以，故B正确， 由与关于对称， 所以，故A正确，C错误， 由于， 所以，， 所以，故D正确. 故选：C. 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）设，则的值可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，再利用诱导公式计算可得； 【详解】解：∵，且， ∴. 故选：C 【变式3】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据角的范围，以及该角的余弦值，可得结果. 【详解】 ∵且， ∴. 故选：B 题型03 已知正切值求角 【典例3】（24-25高一·上海浦东新·期末）（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）若，，则x可以用反正切表示为 ． 【答案】/ 【分析】根据反三角函数的定义及的取值范围，即可得出答案． 【详解】， ，， 又， ， 故答案为：． 【变式1】若，且，则x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得到，根据得到，从而得到的值. 【详解】因为， 所以. 又， 所以. 所以. 故选：C. 【变式2】（24-25高一下·北京海淀·期中）若（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反正切函数的值域及特殊角的三角函数值判断即可. 【详解】因为，，，， 又反正切函数的值域为， 所以. 故选：B 【变式3】已知，且，则可表示成（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，所以，故选：C. 【变式4】（24-25高一上·北京·期末）若函数的最小正周期为，则的值是 . 【答案】 【分析】先根据正切函数的最小正周期求出，再计算即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得， 故，所以， 故答案为：. 题型04 三角方程的求解 【典例4】方程在上的解的个数为______. 【答案】3 【分析】 先求出解的一般形式，再根据范围可求解的个数. 【详解】 因为，故， 故，令，故， 故答案为：3. 【变式1】在方程的所有解中，最小正解是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由正切值为1，可得，化简即可得解. 【详解】 由得：， 解得：， 取，得最小正解. 故选：C. 【变式2】若，则在区间上解的个数为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】 根据，可得，再根据，求得x的值，即可得出答案. 【详解】 解：因为， 所以，解得， 又因为，所以， 所以在区间上解的个数为4个. 故选：B. 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）方程，的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由方程可得或，再由反三角函数的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则或， 又，则或，或， 所以解集为. 故答案为： 【变式4】若cos x＝cos ，求x的值． 【分析】先求出一个周期内的角，然后利用周期性找出所有的角． 【解答】在同一个周期[－π，π]内，满足cos x＝cos 的角有两个：和－. 又y＝cos x的周期为2π，所以满足cos x＝cos 的x为2kπ±(k∈Z) 题型05 三角函数线的应用 【典例5】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）在（0，2π）内，使sinx＞|cosx|的x的取值范围是（　　） A．（，） B．（，]∪（，] C．（，） D．（，） 【答案】A 【分析】 由题意可得，讨论当时，当时，当时，运用同角三角函数的商数关系，结合正切函数的图象，即可得到所求范围． 【详解】 解：由， 可得， 再由，可得， 当时，显然成立； 当时，由，即，可得； 当时，，即有， 则，解得， 综上可得． 故选：A． 【变式1】（23-24高一下·上海·假期作业）（1）已知，求：满足条件的角的取值范围； （2）已知，求：满足条件的角的取值范围； 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）画出画出单位圆中三角函数线，结合图象可得.     （2）画出画出单位圆中三角函数线，结合图象可得或. 【详解】（1）由可知，角x对应的正弦线方向朝上，而且长度为， 作示意图，如图所示，    可知角的终边可能是，也可能是， 又因为，所以或， 再由图可知，如果的终边在中，则一定有， 因此，满足条件的角的取值范围. （2）画出单位圆中三角函数线，如图． 由图可知角的范围是： 或. 【变式2】（24-25高一·全国·随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角α的集合． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出单位圆与直线，求出交点坐标，根据三角函数的定义得出内满足的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案； （2）作出单位圆与直线，求出交点坐标，根据三角函数的定义结合图象得出内满足的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案. 【详解】（1）      如图1，为直线与单位圆的两个交点，可知，. 设的终边落在射线上，的终边落在射线上，， 根据三角函数的定义可知，，，， 所以，，. 又当的终边落在射线或上时，有， 所以，满足条件的的集合为. （2）    如图2，为直线与单位圆的两个交点，可知，. 设的终边落在射线上，的终边落在射线上，， 根据三角函数的定义可知，，，， 所以，，. 根据图2可知，当，且时，有. 所以，当时，由可得，. 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合： (1)且； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据且作出正弦线为和余弦线为的图象，取其交集即可求得结果； （2）根据正切线定义作出图象，即可得出解集. 【详解】（1）分别作出三角函数线图象如下所示：    由图（1）知当且时， 角满足的集合. （2）由图（2）知：当时， 角满足的集合， 即； 所以的解集为. 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在中，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】在中，由解出的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项. 【详解】在中，，若，则或， 所以，“”“”且“”“”. 因此，在中，“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式，结合角的范围可得. 【详解】由， 解得. 故选：C. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）下列叙述错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】C 【分析】令，则，利用正切函数的单调性求解判断A；根据定义：任意给定的一个，当且时，记作，判断B；由特值法判断C；令，则，求出的范围判断D. 【详解】令，则， ∵，而为增函数， ∴，即，故A正确； 根据定义：任意给定的一个，当且时，记作，可知B正确； 当时，而，故C错误； 令，，则， ∵，∴，，即，故D正确. 故选：C. 4．（23-24高一下·上海·课后作业）下列各式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反三角函数的基本关系式进行计算并判断. 【详解】A．，故正确； B．，故正确； C．，故错误； D．，故正确； 故选：C. 5．（23-24高一下·上海浦东新·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据反三角函数的性质得出结果. 【详解】，， 因为，所以， 则， 故选：C. 6．计算：等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的二倍角公式和反三角函数公式，即可求出结果. 【详解】 . 故选：B. 7．已知，那么以下四个式子： ①； ②； ③； ④中， 可以表示x的式子是 A．①② B．③④ C．②④ D．①④ 【答案】B 【分析】通过x的取值范围，利用反三角函数可直接表示x. 【详解】解：因为， 则当时，，故③正确； 又由可得， 则，故④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查利用反三角表示角，是基础题. 8．（23-24高一下·上海黄浦·期中）李善兰是中国近代著名数学家，辅助角公式是他提出来的一种三角公式，其主要作用是将多个三角函数化成单个三角函数.辅助角公式的正弦型为： 下列判断错误的是（    ） A．当时，辅助角 B．当时，辅助角 C．当时，辅助角 D．当时，辅助角 【答案】D 【分析】根据的正负确定的正负，进而结合确定的范围，再结合反三角函数的定义即可求解. 【详解】， 其中， 当时，，则，所以，故A正确； 当时，，则，所以，故B正确； 当时，，则，所以，故C正确； 当时，，则，所以，故D错误. 故选：D. 二、多选题 9．已知，且，则关于表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据，且，由同角三角函数的基本关系式求解. 【详解】解：因为，且， 所以， 则，，， 故选：AD 10．（24-25高一上·全国·课后作业）方程在区间上的解为（    ） A．0 B． C． D．π 【答案】ACD 【分析】求出相位的范围，再由给定值求出角即可得解. 【详解】当时，， 由，得或或， 解得或或， 所以方程在区间上的解为. 故选：ACD 11．下列对等式的描述正确的是（    ） A．对任意的角都成立 B．时成立 C．只对有限个的值成立 D．对于任何角都不成立 E．有无限个的值使等式成立 【答案】BE 【解析】由题对且可使等式成立，再通过分析得解. 【详解】因为， 所以且可使等式成立，所以， 因为，所以有无限多个，包含，故B，E成立． 故选：BE 【点睛】本题主要考查和角的正弦公式的应用，考查余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识理解掌握水平. 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·课后作业）计算： . 【答案】 【分析】根据反三角函数的定义直接可得解. 【详解】由的定义域为，值域为，且单调递减， 所以， 故答案为：. 13．（23-24高一下·上海松江·期末）若是方程的解，其中，则 ． 【答案】/ 【分析】将代入方程，化简结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得：，即， 所以或， 所以或，， 又，则. 故答案为：. 14．三个角的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据反三角函数的定义求出这三个角即可比较大小. 【详解】∵在上，，∴， ∵在上，，∴， ∵在上，，∴， ∴. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反三角函数定义可得解； （2）设，，根据反三角函数定义及公式化简可得解. 【详解】（1）由函数的定义域为，值域为，且函数单调递增， 所以. （2）设，， 则， 所以，，且，， 所以，， 所以， 所以， 即. 16．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求角x： (1)，且x是第三象限的角； (2)，； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）已知正切特殊值求对应角，由x是第三象限的角，直接求出角即可； （2）已知余弦特殊值求对应角，由，直接求出角即可； （3）已知正弦特殊值求对应角，在全体实数范围内，写出满足条件的所有角即可； （4）由，可得，则由余弦特殊值求对应角，可得或，解出，即可求得. 【详解】（1）因为，且x是第三象限的角，所以. （2）因为，，所以或. （3）因为，所以或. （4）因为，所以， 所以或， 所以或. 17．（23-24高一·上海·课堂例题）分别求满足下列条件的角x的集合： (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】（1）利用三角函数的特殊值对应的特殊角，得到x，再由，即可得到角的取值集合； （2）利用三角函数的特殊值对应的特殊角即可得到角的取值集合； （3）利用三角函数的特殊值对应的特殊角即可得到角的取值集合； 【详解】（1）由题意得，或，， ∴或． ∵，∴ （2）由题意得或，， ∴或． （3）由题意得，， . 18．已知是方程的两根，且，求的值 【答案】 【分析】根据韦达定理可得，再利用和角正切公式求得，即可求得. 【详解】因为是方程的两根， 所以. 又 所以 故答案为： 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求角x的解集； （2）已知，求满足条件的角x的集合． 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】（1）将看成整体角，结合正弦函数的图象和函数值，即可求得的范围； （2）将方程变形后，把看成整体角，结合余弦函数的图象和函数值，即可求得的范围. 【详解】（1）由题意得， 结合正弦函数在上的图象可得，或， 再利用正弦函数的周期性，可得：或，， 解得或， 故满足条件的角x的集合为或 （2）由变形得，， 结合余弦函数在上的图象可得，或， 再利用余弦函数的周期性，可得：或，， 解得或 故满足条件的角x的集合为或. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$