第15讲 概率（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

第四章 统计与概率 第15讲 概率（2分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点 概率的计算方法（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点 概率的计算方法 ►题型01列举法求概率 ►题型02 画树状图法/列表法求概率 ►题型03由频率估计概率 ►题型04 用频率估计概率的综合应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 0 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 概率的计算方法 · 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率. · 知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率. 5年5考 概率问题在中考数学中的考察难度在中档以下，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为2分左右，预计2025年北京中考还将出现. 该专题考题的类型也比较的固定，单独考察时，通常作为选择或者填空题，考概率的基本定义和简单计算;综合考察时会和统计图表类问题结合，作为最后一问，考察概率的树状图或者列表分析. 因为整体难度较小，属于中考数学中必拿分点，审题时要多加注意即可. 航 考点 概率的计算方法（高频考点） 公式法 P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数． 列举法 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 【注意事项】 1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏. 2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等. 3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示. 画树状图法 当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法. 画树状图法求概率的步骤： 1) 明确试验由几个步骤组成； 2) 画树状图分步列举出试验的所有等可能结果； 3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解. 列表法 当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 列表法求概率的步骤： 1）列表，并将所有可能结果有规律地填人表格； 2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值； 3）利用概率公式，计算出事件的概率． 用频率估计概率的方法 通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率. 适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 1. 当一次试验要涉及两个因素或一个因素做两次试验并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常可以采用列表法，也可以用树状图法. 当试验包含三步或三步以上时，不能用列表法，用画树状图法比较方便. 2. 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，且随实验次数的增多，值越来越精确. 命题点 概率的计算方法 ►题型01列举法求概率 1．一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（　　） A． B． C． D． 2．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为（    ） A． B． C． D． 3．在化学课上，张萍老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象制成外表完全相同的卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是物理变化的概率是 ． ►题型02 画树状图法/列表法求概率 1．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（　） A． B． C． D． 2．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（    ） A． B． C． D． 3．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 4．如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． ►题型03由频率估计概率 1．小卢在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（    ） A．掷一个正六面体的骰子，出现点的概率 B．在“剪刀石头布”的游戏中，小李随机出“石头”的概率 C．从这个整数中随机抽取一个整数，它能被整除的概率 D．任意买一张电影票，座位号是偶数的概率 2．林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据： 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 ． ►题型04 用频率估计概率的综合应用 1．在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在左右，则袋子里白球可能是 个． 2．如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为 cm2． 3．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时 公交车用时的频数线路 合计 A 59 151 166 124 500 B 50 50 122 278 500 C 45 265 167 23 500 早高峰期间，乘坐 （填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大． 基础巩固 1．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（    ） A． B． C． D． 2．不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（    ） A． B． C． D． 3．掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 C．一定不是 D．随着m的增大，越来越接近 4．连续抛掷两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”的概率是（　　） A． B． C． D．1 5．不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外四个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，不放回并摇匀，再从剩下的三个球中随机摸出一个小球，那么两次摸到的小球颜色不相同的概率是（    ） A． B． C． D． 6．某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“文明交通”“垃圾分类”两个宣传队，若小明和小亮每人随机选择参加其中一个宣传队，则他们恰好选到同一个宣传队的概率是（    ） A． B． C． D． 7．不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的球都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 8．有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数记为，则的概率是（    ） A． B． C． D． 9．如图1，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．小凯转动转盘做频率估计概率的实验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为实验转出的数字．图2，是小凯记录下的实验结果情况，那么小凯记录的实验是（    ） A．转动转盘后，出现偶数 B．转动转盘后，出现能被3整除的数 C．转动转盘后，出现比6大的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 10．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是 ． 11．某种兰花种子的发芽率与浸泡时间有关：浸泡时间不足4小时，发芽率约为；浸泡时间4到8小时，发芽率会逐渐上升到；浸泡时间8到12小时，发芽率会逐渐上升到．农科院记录了同一批次该种兰花种子的发芽情况，结果如下表： 种子数量n 100 200 500 800 1000 2000 发芽数量m 88 174 436 692 864 1728 发芽率 0.88 0.87 0.872 0.865 0.864 0.864 据此推测，这批兰花种子的浸泡时间是 (填“不足4小时”，“4到8小时”或“8到12小时”)． 12．某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据： 抽取的产品数 合格的产品数 合格的产品频率 估计这批产品合格的产品的概率为 (精确到)． 能力提升 1．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①② D．①③ 2．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则最符合这一结果的试验是（　　） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中随机抽取一张牌的花色是红桃 C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 D．不透明的袋子中有红球和黄球各一个，它们除颜色外无其它差别，从中随机摸出一球是黄球 3．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果，下面有三个推断： ①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是（    ）    A．① B．② C．①② D．①③ 4．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得． 现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（     ）    A． B． C． D． 5．如图，圆是大正方形的内切圆，同时又是小正方形的外接圆，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部阴影区域的概率为（  ） A． B． C． D． 6．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（    ） A． B． C． D． 7．学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设备加工三件工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下： ①每台设备同一时间只能加工一件工艺品； ②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工； ③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：）如下表所示：    （1） 若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20，请写出一种满足条件的加工方案 （按顺序写出工艺品的编号）； （2） A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要 ． 8．微信拼手气红包是由发红包者自行设置红包总金额和红包个数，系统会随机分配红包金额并发送给其他用户．小李在家庭群里（群成员为爸爸、妈妈、小李，共三人）发了一个如图所示的新年拼手气红包，将三个随机红包记为，分别代表钱数最多，钱数居中，钱数最少，三个红包均被抢走．    (1)爸爸抢到红包的概率为_________； (2)请你利用画树状图求妈妈抢到红包，同时小李抢到红包的概率． $$第四章 统计与概率 第15讲 概率（2分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点 概率的计算方法（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点 概率的计算方法 ►题型01列举法求概率 ►题型02 画树状图法/列表法求概率 ►题型03由频率估计概率 ►题型04 用频率估计概率的综合应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 0 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 概率的计算方法 · 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率. · 知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率. 5年5考 概率问题在中考数学中的考察难度在中档以下，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为2分左右，预计2025年北京中考还将出现. 该专题考题的类型也比较的固定，单独考察时，通常作为选择或者填空题，考概率的基本定义和简单计算;综合考察时会和统计图表类问题结合，作为最后一问，考察概率的树状图或者列表分析. 因为整体难度较小，属于中考数学中必拿分点，审题时要多加注意即可. 航 考点 概率的计算方法（高频考点） 公式法 P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数． 列举法 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 【注意事项】 1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏. 2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等. 3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示. 画树状图法 当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法. 画树状图法求概率的步骤： 1) 明确试验由几个步骤组成； 2) 画树状图分步列举出试验的所有等可能结果； 3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解. 列表法 当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 列表法求概率的步骤： 1）列表，并将所有可能结果有规律地填人表格； 2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值； 3）利用概率公式，计算出事件的概率． 用频率估计概率的方法 通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率. 适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 1. 当一次试验要涉及两个因素或一个因素做两次试验并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常可以采用列表法，也可以用树状图法. 当试验包含三步或三步以上时，不能用列表法，用画树状图法比较方便. 2. 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，且随实验次数的增多，值越来越精确. 命题点 概率的计算方法 ►题型01列举法求概率 1．一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用红球的个数除以球的总数即可得到答案． 【详解】解：∵一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，共15个，且每个球被摸到的概率相同， ∴现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为， 故选B． 2．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：∵1，2，3，4，5中大于2的有3、4、5，共3个， ∴从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为． 故选C． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中． 3．在化学课上，张萍老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象制成外表完全相同的卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是物理变化的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查概率公式，用物理变化的张数除以总张数即可．解题的关键是掌握：随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 【详解】解：从中随机抽取一张卡片共有种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有种结果， ∴从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为：． 故答案为：． ►题型02 画树状图法/列表法求概率 1．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， 两次都取到白色小球的概率为． 故选：D． 2．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理． 【详解】    如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为. 故选：A 【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键． 3．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得：    ∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键． 4．如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机闭合开关中的两个的所有等可能的结果，再找出灯泡发光的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，随机闭合开关中的两个共有6种等可能的结果，其中，灯泡发光的结果有4种， 则灯泡发光的概率为， 故选：B． ►题型03由频率估计概率 1．小卢在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（    ） A．掷一个正六面体的骰子，出现点的概率 B．在“剪刀石头布”的游戏中，小李随机出“石头”的概率 C．从这个整数中随机抽取一个整数，它能被整除的概率 D．任意买一张电影票，座位号是偶数的概率 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率，根据统计图可得，实验结果在附近波动，故概率，计算四个选项的概率即可得出答案，解题的关键是掌握概率公式及正确理解频率估计概率． 【详解】由统计图可得，实验结果在附近波动，即概率， 、掷一个正六面体的骰子，出现点的概率； 、在“剪刀石头布”的游戏中，小李随机出“石头”的概率； 、从这个整数中随机抽取一个整数，它能被整除的概率； 、任意买一张电影票，座位号是偶数的概率； 故选：． 2．林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据： 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 ． 【答案】0.880 【详解】试题分析：=（0.865+0.904+0.888+0.875+0.882+0.878+0.879+0.881）÷8=0.880，∴这种幼树移植成活率的概率约为0.880．故答案为0.880． 考点：利用频率估计概率． ►题型04 用频率估计概率的综合应用 1．在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在左右，则袋子里白球可能是 个． 【答案】9 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸出白球的概率为，再根据摸出白球的概率白球的个数球的总数进行求解即可． 【详解】解：∵小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在左右， ∴摸出白球的概率为， ∴袋子里白球可能是个， 故答案为：9． 2．如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为 cm2． 【答案】2.8 【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，计算即可． 【详解】∵正方形二维码的边长为2cm， ∴正方形二维码的面积为4cm2， ∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%， ∴黑色部分的面积约为：4×70%＝2.8， 故答案为：2.8． 【点睛】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，计算即可． 3．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时 公交车用时的频数线路 合计 A 59 151 166 124 500 B 50 50 122 278 500 C 45 265 167 23 500 早高峰期间，乘坐 （填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大． 【答案】C 【分析】样本容量相同，观察统计表，可以看出C线路上的公交车用时超过分钟的频数最小，即可得出结论. 【详解】解：样本容量相同，C线路上的公交车用时超过分钟的频数最小，所以其频率也最小， ∴乘坐C线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大． 故答案为：C. 【点睛】考查用频率估计概率，读懂统计表是解题的关键. 基础巩固 1．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项． 【详解】解：由题意得： ∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是； 故选C． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键． 2．不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 所以共4种情况：其中满足题意的有两种， 所以两次记录的数字之和为3的概率是 故选C． 【点睛】本题考查的是画树状图求解概率，掌握画树状图求概率是解题的关键． 3．掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 C．一定不是 D．随着m的增大，越来越接近 【答案】B 【分析】利用频率估计概率求解即可． 【详解】解：掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性， 故选：B． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率. 4．连续抛掷两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”的概率是（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等可能事件的概率．先求出连续抛掷两枚质地均匀的硬币的结果有4种，其中两枚正面朝上共有1种结果，再利用概率公式即可得出答案． 【详解】解：连续抛掷两枚质地均匀的硬币，共有4种结果：正正，正负，负正，负负， ∴“两枚正面朝上”的概率是． 故答案为：A． 5．不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外四个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，不放回并摇匀，再从剩下的三个球中随机摸出一个小球，那么两次摸到的小球颜色不相同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题关键． 先画树状图，从而可得两次摸球的所有等可能的结果，再找出两次摸到的小球颜色不相同的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画树状图如下：    由图可知，两次摸球的所有等可能的结果共有12种，其中，两次摸到的小球颜色不相同的结果有8种， 则两次摸到的小球颜色不相同的概率是， 故选：B． 6．某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“文明交通”“垃圾分类”两个宣传队，若小明和小亮每人随机选择参加其中一个宣传队，则他们恰好选到同一个宣传队的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中出现种可能，那么事件的概率． 画树状图列出等可能得结果，从中找到符合条件的结果数，再根据公式求出结果． 【详解】解：用甲表示“文明交通”宣传队，用乙表示“垃圾分类”宣传队，根据题意得，画树状图如下：    共有4种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选到同一个宣传队的有2种，则小明和小亮恰好选到同一个宣传队的概率是． 故选C． 7．不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的球都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到红球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 黄 黄 红 红红 黄红 黄红 黄 红黄 黄黄 黄黄 黄 红黄 黄黄 黄黄 共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种， ∴两次都摸到红球的概率为． 故选：A． 8．有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数记为，则的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中的情况有4，5，6共3种情况，根据概率公式计算可得． 【详解】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中的情况有4，5，6共3种情况， 所以的概率是． 故选：． 【点睛】本题主要考查概率公式，掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数是解题的关键． 9．如图1，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．小凯转动转盘做频率估计概率的实验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为实验转出的数字．图2，是小凯记录下的实验结果情况，那么小凯记录的实验是（    ） A．转动转盘后，出现偶数 B．转动转盘后，出现能被3整除的数 C．转动转盘后，出现比6大的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 【答案】B 【分析】根据图2可知，试验的概率为，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图2可知，当转动次数为600次时，频率为，故该事件的概率约为． A、转动转盘后，出现偶数的概率为，不符合题意； B、转动转盘后，出现能被3整除的数，转盘中共有10个数字，其中能被整除的数字为，共3个，概率为，符合题意； C、转动转盘后，出现比6大的数，转盘中共有10个数字，其中比6大的数字为共4个，概率为，不符合题意； D、转动转盘后，出现能被5整除的数，转盘中共有10个数字，其中能被整除的数字为，共2个，概率为，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．熟练掌握利用频率估计概率的方法，是解题的关键． 10．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵两个同心圆被等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积占了其中的四等份， ∴P（飞镖落在白色区域）= 故答案为：． 11．某种兰花种子的发芽率与浸泡时间有关：浸泡时间不足4小时，发芽率约为；浸泡时间4到8小时，发芽率会逐渐上升到；浸泡时间8到12小时，发芽率会逐渐上升到．农科院记录了同一批次该种兰花种子的发芽情况，结果如下表： 种子数量n 100 200 500 800 1000 2000 发芽数量m 88 174 436 692 864 1728 发芽率 0.88 0.87 0.872 0.865 0.864 0.864 据此推测，这批兰花种子的浸泡时间是 (填“不足4小时”，“4到8小时”或“8到12小时”)． 【答案】8到12小时 【分析】本题考查了频率估计概率，利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．理解题意是解题的关键．根据频率估计概率，结合题意即可求解． 【详解】根据表格可知，这批兰花种子的发芽率接近， 浸泡时间4到8小时，发芽率会逐渐上升到；浸泡时间8到12小时，发芽率会逐渐上升到． 这批兰花种子的浸泡时间是8到12小时． 故答案为：8到12小时． 12．某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据： 抽取的产品数 合格的产品数 合格的产品频率 估计这批产品合格的产品的概率为 (精确到)． 【答案】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可． 【详解】解：由表可知合格的产品频率都在左右浮动，所以可估计这批产品合格的产品的概率为， 故答案为：． 能力提升 1．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①② D．①③ 【答案】B 【详解】①当频数增大时，频率逐渐稳定的值即为概率，500次的实验次数偏低，而频率稳定在了0.618，错误；②由图可知频数稳定在了0.618，所以估计频率为0.618，正确；③.这个实验是一个随机试验，当投掷次数为1000时，钉尖向上”的概率不一定是0.620.错误, 故选B. 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键. 2．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则最符合这一结果的试验是（　　） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中随机抽取一张牌的花色是红桃 C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 D．不透明的袋子中有红球和黄球各一个，它们除颜色外无其它差别，从中随机摸出一球是黄球 【答案】A 【分析】本题考查了事件的概率和频数图，根据信息进行对比是解题的关键． 求出各选项的概率后跟频率进行对比即可． 【详解】解：∵A的概率为，B的概率为，C的概率为，D的概率为，且图象的频率在左右， ∴A最接近， 故选：A． 3．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果，下面有三个推断： ①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是（    ）    A．① B．② C．①② D．①③ 【答案】B 【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可． 【详解】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，实验次数过少，不能得到“正面向上”的概率是0.47，故错误； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 4．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得． 现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由小球进入每个小洞的可能性大小相同，总的情况为5×5=25种，先发出“商”音，再发出“羽”音的只有一种，代入概率公式即可． 【详解】解：由题意，得 总的情况为5×5=25种，先发出“商”音，再发出“羽”音的只有一种， ∴先发出“商”音，再发出“羽”音的概率为． 故选：A． 【点睛】本题考查等可能事件的概率问题，熟练掌握概率问题都是解决问题的关键． 5．如图，圆是大正方形的内切圆，同时又是小正方形的外接圆，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部阴影区域的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分别求出小正方形与大正方形的面积，再求出小正方形面积与大正方形面积的比即为小球落在小正方形内部区域阴影部分的概率． 【详解】解：设小正方形的边长为，则其面积为． 圆的直径正好是大正方形边长， 根据勾股定理，其小正方形对角线为，即圆的直径为， 大正方形的边长为， 则大正方形的面积为，则小球停在小正方形内部阴影区域的概率为； 故选：D． 【点睛】此题考查了几何概率的求法，正方形多边形与圆，解答此题除了熟悉几何概率的定义外，还要熟悉圆内接正方形和圆外切正方形的关系． 6．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先作出正六边形的外接圆，根据正多边形的性质，得出阴影部分是正六边形，即将问题转化为阴影部分的面积与大正六边形的面积比，再表示出阴影部分面积和大正六边形的面积，一比即可求得概率． 【详解】作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为O，如图， 设正六边形ABCDEF的边长为2，AC与BF,BD的交点为H,N, 过点O作OM⊥AB于点M，则 , 则为等边三角形， ∴S正六边形ABCDEF=6, ∴, ∴, , ∴S正六边形ABCD=6, 由题可知阴影部分为正六边形，所以 , ∴, ∴ 为等腰三角形， ∴, ∴, 同理可得为等腰三角形， ∴, , ∴ 为等边三角形， ∴ ∴ , 在Rt△AMH中， , , 解得, ∴, ∴S, ∴S阴影= =, ∴S阴影：S正六边形ABCDEF= , 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形与圆，垂径定理，同弧所对圆周角等于圆心角的一半，等边三角形的判定与性质，三角函数，概率，解题关键在于熟练相关知识点． 7．学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设备加工三件工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下： ①每台设备同一时间只能加工一件工艺品； ②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工； ③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：）如下表所示：    （1） 若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20，请写出一种满足条件的加工方案 （按顺序写出工艺品的编号）； （2） A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要 ． 【答案】 答案不唯一，如BCA 15 【分析】本题考查了有理数的加法，概率的分析应用是解题的关键． （1）罗列出6种情况，选择符合题意的即可； （2）罗列出6种情况，进行比较大小即可． 【详解】按照顺序加工，需要， 按照顺序加工，需要， 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要． （1）总时长不超过20，可以按照顺序加工； （2）通过比较发现，最短时间为15． 8．微信拼手气红包是由发红包者自行设置红包总金额和红包个数，系统会随机分配红包金额并发送给其他用户．小李在家庭群里（群成员为爸爸、妈妈、小李，共三人）发了一个如图所示的新年拼手气红包，将三个随机红包记为，分别代表钱数最多，钱数居中，钱数最少，三个红包均被抢走．    (1)爸爸抢到红包的概率为_________； (2)请你利用画树状图求妈妈抢到红包，同时小李抢到红包的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查随机事件的概率，列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率的计算公式即可求解； （2）列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：共有3种等可能结果，A是其中一种， ∴抢到A的概率为； （2）解：运用列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，    共有6种等可能结果，妈妈抢到红包B，同时小李抢到红包C的结果有1种， ∴妈妈抢到红包B，同时小李抢到红包C的概率为． $$