专题8.3 立方根（4大知识点4大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题8.3 立方根（4大知识点4大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【要点提示】一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 【知识点2】立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【要点提示】任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【知识点3】立方根的性质 ； ； . 【要点提示】第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【知识点4】立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【考点与题型目录】 【考点一】概念的理解与辨析 【题型1】立方根概念理解....................................................2 【考点二】立方根性质特征的巩固 【题型2】求一个数的立方根..................................................3 【题型3】已知—个数的立方根,求这个数.......................................4 【考点三】立方根的应用 【题型4】立方根的实际应用..................................................5 【题型5】算术平方根和立方根的综合应用......................................6 【题型6】与立方根有关的规律探索............................................8 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型7】中考链接.........................................................10 【题型8】拓展延伸.........................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念的理解与辨析 【题型1】立方根概念理解 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）若与互为相反数，求的值． 【答案】 解：本题考查了立方根的性质以及相反数的定义．由立方根的性质及相反数的定义可得，据此即可求解； 解：∵与互为相反数， ∴， 解得． 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·期末）立方根等于本身的数有（     ） A．1 B．1和0 C．和0 D．0和 【答案】D 【分析】此题主要考查了立方根的运用，熟练掌握一些特殊的数字的特殊性质，如：，0．牢记这些数的特性可以快捷的解决这类问题． 利用立方根的特殊性质即可求解． 解：立方根都等于它本身的数是0，1，． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，根据立方根的定义解方程，即可求解． 解： ∴， 解得：， 故答案为：． 【考点二】立方根性质特征的巩固 【题型2】求一个数的立方根 【例2】（23-24八年级上·福建漳州·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，知道正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 分析题目根据正数的两个平方根互为相反数可得，接下来解方程可得x的值，然后根据立方根的定义可得答案． 解：解∶由题意，有， 解得． 的立方根是 ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）的立方根是（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查求算术平方根，求一个数的立方根，根据算术平方根的定义求出算术平方根，再求立方根即可． 解：，的立方根是， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）若满足，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质以及求一个数的立方根，解题关键是利用了：几个非负数的和为0，那么其中每一个都为0．首先根据非负数的性质，求得a、b的值，即可求出的立方根． 解：， 的立方根是， 故答案为：． 【题型3】已知—个数的立方根,求这个数 【例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的算术平方根是的立方根是2，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键． 根据已知得出，，求出，，求出的值，最后求出的平方根即可． 解：因为的算术平方根是的立方根是2， 所以， 所以， 所以， 即的平方根是． 【变式1】（20-21七年级下·湖北武汉·期中）已知4m+15的算术平方根是3，2-6n的立方根是-2，则=（    ） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【答案】C 【分析】利用算术平方根，立方根定义求出m与n的值，代入原式计算即可求出值． 解：由题意可得：4m+15=9，2-6n=-8，解得：， ∴ 故选：C． 【点拨】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，其中的正数叫做a的算术平方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值是 ． 【答案】0或2/2或0 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出x的值，然后代入代数式求值即可． 解：∵， ∴或， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的值是0或2， 故答案为：0或2． 【考点三】立方根的应用 【题型4】立方根的实际应用 【例4】（24-25九年级上·江苏淮安·期中）求的值 （1）； （2）． 【答案】（1）或；（2） 【分析】本题主要考查平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答本题的关键． （1）先计算，方程两边再开方，得两个一元一次方程，最后解一元一次方程，可得解； （2）方程移项后除以8，得，再移项后开立方即可得到方程的解． 解：（1）解：， ， 解得，或； （2）解：， ， ， ， ， 解得，． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式计算即可，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 解：一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·陕西安康·期中）如图，这个正方体的体积是： 且相对面上的算式相同，则这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了立方根的应用、算术平方根的应用、有理数的混合运算，求出正方体的边长为，计算出，，，得到这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面共有个，由此即可得解． 解：这个正方体的体积是， 这个正方体的边长为， ，，， 这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面共有个， 这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是， 故答案为：36． 【题型5】算术平方根和立方根的综合应用 【例5】（23-24七年级下·天津·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分． （1）求的值； （2）若是的小数部分，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平方根，立方根概念， （1）根据平方根，立方根的定义，估算求出的，，的值，代入计算即可得出答案； （2）先得出的值，即可得出结果； 解：（1）∵的算术平方根是2， ∴，解得： ∵的立方根是2 ∴，解得： ∵是的整数部分，而， ∴， ∴； （2）由（1）可知，的整数部分是， ∵是的小数部分， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【变式1】（21-22八年级上·江苏盐城·期末）下列说法正确的是（    ） A．4的算术平方根是2 B．0.16的平方根是0.4 C．0没有立方根 D．1的立方根是±1 【答案】A 【分析】根据平方根和立方根的定义判断即可． 解：∵4的算术平方根是2， ∴A正确，符合题意； ∵0.16的平方根是±0.4， ∴B错误，不符合题意； ∵0的立方根是0， ∴C错误，不符合题意； ∵1的立方根是1， ∴D错误，不符合题意； 故选A． 【点拨】本题考查了平方根即如果一个数的平方等于a，称这个数为a的平方根，立方根如果一个数的立方等于a，称这个数为a的立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期中）已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根与平方根，先根据平方根求出的值，再根据立方根求出的值，然后代入求值即可求出答案． 解：由题意可知：， 解得：， ， 解得， ， ， 的算术平方根为． 故答案为：12． 【题型6】与立方根有关的规律探索 【例6】（2024八年级上·全国·专题练习）（1）填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2）根据上表，你发现了什么规律？用语言叙述这个规律； （3）若，求的值[利用（2）的规律计算，计算结果用表示]． 【答案】（1）0.01，0.1，1，10，100；（2）一个数的小数点每向右（或向左）移动三位，这个数的立方根的小数点就向右（或向左）移动一位；（3）． 【分析】此题考查立方根的知识，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键. （1）由立方根与立方互为逆运算，可从立方入手计算； （2）规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位，由此解决问题； （3）根据（2）的规律计算即可得到结果. 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴填表如下： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 0.1 1 10 100 故答案为：0.01   0.1   1   10   100 （2）由上表可得，被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位. （3）∵ ∴即 即， 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律： 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A．0.235 B．0.0235 C．2.35 D．0.00235 【答案】A 【分析】本题考查立方根的规律运算，先根据表格发现规律：一个数的小数点向右移动3位，则它的立方根的小数点向右移动1位，据此求解即可． 解：∵， ∴， 故选：A． 【变式2】（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；……根据所给的式子找出规律，并写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数） ． 【答案】 【分析】根据前个等式找出分子和分母的规律求解即可． 解：∵第一个等式：，即； 第二个等式：，即； 第三个等式：，即； …… ∴第n个等式：． 故答案为：． 【点拨】本题考查数字规律探索，根据所给等式找出规律是解题关键． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】中考链接 【例1】（2023·四川内江·中考真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ． 【答案】 【分析】利用相反数，立方根的性质求出及c的值，代入原式计算即可得到结果． 解：根据题意得：， ， 故答案为： 【点拨】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【例2】（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（    ） A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是 C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大 【答案】C 【分析】根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案． 解：A. ，16的4次方根是，故不符合题意； B.，，32的5次方根是2，故不符合题意； C.设 则 且 当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意； D.由的判断可得：错误，故不符合题意． 故选． 【点拨】本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键． 【题型8】拓展延伸 【例1】（21-22七年级下·贵州遵义·期中）下面给出的结论中，①立方根等于算术平方根的是0；②在同一个平面内，经过一点可以画一条直线和已知直线平行；③；④若，则；⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角；⑥经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直；⑦若ab，，那么；⑧是的平方根，其中不正确的说法有（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】根据立方根与平方根的定义可以判断①③④⑧，根据平行线的性质与垂线的性质可以判断②⑥，根据邻补角与角平分线的定义可以判断⑤，根据平行线的性质可以判断⑦，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做 a的立方根． 解：①立方根等于算术平方根的是0和1，故①不正确， ②在同一个平面内，经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，故②错误； ③，故③不正确， ④若，则，故④不正确， ⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角，故⑤正确； ⑥同一平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直，⑥不正确， ⑦若ab，，那么，⑦正确 ⑧是的平方根，⑧不正确 有6个不正确， 故选C 【点拨】本题考查了立方根与平方根的定义，平行线的性质与垂线的性质，邻补角与角平分线的定义，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【例2】（22-23七年级下·安徽淮北·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． （1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； （2）81的四次方根为______；的五次方根为______； （3）若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； （4）求的值：． 【答案】（1）若，则叫的五次方根；（2）；（3），为任意实数；（4）或 【分析】（1）根据题意，进行作答即可； （2）进行开方运算即可； （3）根据定义，进行计算即可； （4）利用四次方根解方程即可． 解：（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方， ∴为任意实数． 故答案为：，为任意实数； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【点拨】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.3 立方根（4大知识点4大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【要点提示】一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 【知识点2】立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【要点提示】任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【知识点3】立方根的性质 ； ； . 【要点提示】第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【知识点4】立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【考点与题型目录】 【考点一】概念的理解与辨析 【题型1】立方根概念理解....................................................2 【考点二】立方根性质特征的巩固 【题型2】求一个数的立方根..................................................2 【题型3】已知—个数的立方根,求这个数.......................................2 【考点三】立方根的应用 【题型4】立方根的实际应用..................................................2 【题型5】算术平方根和立方根的综合应用......................................3 【题型6】与立方根有关的规律探索............................................3 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型7】中考链接..........................................................4 【题型8】拓展延伸..........................................................4 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念的理解与辨析 【题型1】立方根概念理解 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）若与互为相反数，求的值． 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·期末）立方根等于本身的数有（     ） A．1 B．1和0 C．和0 D．0和 【变式2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则 【考点二】立方根性质特征的巩固 【题型2】求一个数的立方根 【例2】（23-24八年级上·福建漳州·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，求的立方根． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）的立方根是（   ） A． B．4 C． D．2 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）若满足，则的立方根为 ． 【题型3】已知—个数的立方根,求这个数 【例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的算术平方根是的立方根是2，求的平方根． 【变式1】（20-21七年级下·湖北武汉·期中）已知4m+15的算术平方根是3，2-6n的立方根是-2，则=（    ） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值是 ． 【考点三】立方根的应用 【题型4】立方根的实际应用 【例4】（24-25九年级上·江苏淮安·期中）求的值 （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 【变式2】（23-24七年级下·陕西安康·期中）如图，这个正方体的体积是： 且相对面上的算式相同，则这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是 ． 【题型5】算术平方根和立方根的综合应用 【例5】（23-24七年级下·天津·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分． （1）求的值； （2）若是的小数部分，求的平方根． 【变式1】（21-22八年级上·江苏盐城·期末）下列说法正确的是（    ） A．4的算术平方根是2 B．0.16的平方根是0.4 C．0没有立方根 D．1的立方根是±1 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期中）已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【题型6】与立方根有关的规律探索 【例6】（2024八年级上·全国·专题练习）（1）填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2）根据上表，你发现了什么规律？用语言叙述这个规律； （3）若，求的值[利用（2）的规律计算，计算结果用表示]． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律： 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A．0.235 B．0.0235 C．2.35 D．0.00235 【变式2】（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；……根据所给的式子找出规律，并写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数） ． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】中考链接 【例1】（2023·四川内江·中考真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ． 【例2】（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（    ） A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是 C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大 【题型8】拓展延伸 【例1】（21-22七年级下·贵州遵义·期中）下面给出的结论中，①立方根等于算术平方根的是0；②在同一个平面内，经过一点可以画一条直线和已知直线平行；③；④若，则；⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角；⑥经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直；⑦若ab，，那么；⑧是的平方根，其中不正确的说法有（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【例2】（22-23七年级下·安徽淮北·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． （1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； （2）81的四次方根为______；的五次方根为______； （3）若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； （4）求的值：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$