专题2.6 平行线的性质（3大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.6 平行线的性质（3大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳考点目录】 【知识点归纳】 【知识点】平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【要点提示】 （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． （2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 【考点与题型目录】 【考点一】平行线的性质 【题型1】两直线平行，同位角相等............................................1 【题型2】两直线平行，内错角相等............................................3 【题型3】两直线平行，同旁内角互补..........................................6 【题型4】利用平行线的性质求角的度数........................................8 【题型5】利用平行线的性质探究角的关系.....................................11 【考点二】平行线的性质与判定综合 【题型6】利用平行线的性质与判定求角度.....................................14 【题型7】利用平行线的性质与判定进行证明...................................17 【考点三】中考链接与拓展延伸 【题型8】中考链接.........................................................19 【题型9】拓展延伸.........................................................21 第二部分【题型展示与方法解析】 【考点一】平行线的性质 【题型1】两直线平行，同位角相等 【例1】（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，，试求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 根据得出，再根据，即可得出，即可解答． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，直线分别交、于点、，，将一个含有角的直角三角尺如图放置（角的顶点与H重合），则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．依据，可得，再根据，即可得到结论． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2】（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查了平行线的性质以及角的计算，通过角的计算可得出的度数，再根据平行线的性质即可得出，此题得解． 解：给图中角标上序号，如图所示． ，，， ． 直尺的上、下两边平行， ． 故答案为：． 【题型2】两直线平行，内错角相等 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）证明：如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记性质并分情况作出图形是解题的关键． 分三种情况分别作出图形，然后根据两直线平行、同位角相等或两直线平行、同旁内角互补证明即可． 解：已知与，， 求证：或． 证明：①如图1，延长交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·广西玉林·期末）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行内错角相等可得结论． 解：∵， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，，连接，E是线段上一动点，、分别平分，，若，则的度数用含α的式子表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．通过作辅助线，得到，同理可得，结合角平分线，得到结果． 解：过E点作，过F点作， ， ． ， ． ， ． 同理，，． ． 、分别平分，， ，． ． ． 故答案为：． 【题型3】两直线平行，同旁内角互补 【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，平分，平分． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题考查了平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，据此求解即可证明； （2）设，则，根据平分线的性质结合角平分线的定义得到，据此计算即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即； （2）解：设，则， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，根据垂线的定义得到，进而求出，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（2018·河南·一模）如图，，，，则的值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过点作，过点作，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，然后根据即可得出答案． 解：如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ， 故答案为：． 【题型4】利用平行线的性质求角的度数 【例4】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，，与交于点P． （1）若，求的度数； （2）若，，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质得出，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据平行线的性质得出，即可证明结论． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴．    【变式1】（24-25七年级上·山西临汾·期末）如图，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的性质，解题关键是根据平行线的性质得出，再求出的度数，即可求出的度数． 解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图是某市的三个旅游景点，景点B在景点A的南偏东方向，景点B在景点C的南偏东方向，景点A在景点C的南偏西方向，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查了方位角、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见分析），先根据方位角可得，，，，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差求解即可得． 解：如图，由题意得：，，，， ∴，， ∴， 故答案为：35． 【题型5】利用平行线的性质探究角的关系 【例5】（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，友情提示：，，． （1）①若，则的度数为________． ②若，则的度数为________． （2）由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． （3）若且点在直线的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）． 【答案】（1）①；②；（2）．理由见分析；（3）可能为或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质． （1）①根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； ②根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据以及，进行计算即可得出结论； （3）分2种情况进行讨论：当时，当时，分别求得角度即可． 解：（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②因为，， 所以， 所以， 故答案为：； （2）解：猜想：．理由如下： 因为，， 所以， 即； （3）解：可能为或． 当时， 所以， 因为， 所以； 当时， ． 【变式1】（22-23七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，，与相交于点C，且，，若，则n的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．过C点作，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得，，依此即可求解． 解：如图，过C点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握其性质的运用是解题的关键． 根据平行线的性质得，，再由，即可解答． 解：， ，， ， ， ， ． 【考点二】平行线的性质与判定综合 【题型6】利用平行线的性质与判定求角度 【例6】（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，已知，点，分别是射线，上的点，，，分别平分和． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此可得； （2）先证明，得到，则，再证明，得到，则，可得． 解：（1）解：∵， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过作，过作，由，可得，由，可得，，由可得，，最后根据求解即可． 解：如图，过作，过作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是某射箭运动员射箭的一个瞬间．已知，，，，，则运动员两腿之间的夹角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，过点B作，先由平行线的性质推出，，再由平行线的性质推出，，再由可得答案． 解：如图，过点B作． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【题型7】利用平行线的性质与判定进行证明 【例7】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，已知，． 求证：． 证明：∵ （ 已知  ）， ∴ （ ） ∴（ ） 又∵（已知 ）， ∴ （ ）   ∴（ ） ∴（ ） 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等式的性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】先根据证明，利用平行线的性质，结合已知证明即可得证． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 解：证明：∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知 ）， ∴（等式的性质）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等式的性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【变式1】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 【变式2】（20-21七年级下·全国·课后作业）在下面的括号内，填上推理的根据． 如图，，求证． 证明：∵， ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 【分析】根据平行线的性质定理和判定定理，填写即可． 解：∵∠A+∠B=180°， ∵AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠C+∠D=180（两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质和平行线的判定，做题的关键是熟练掌握平行线的性质定理和平行线的判定定理． 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型8】中考链接 【例1】（2023·内蒙古通辽·中考真题）将一副三角尺如图所示放置，其中，则 度．    【答案】105 【分析】根据平行线的性质可得，根据平角的定义即可求得． 解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：105． 【点拨】本题考查了三角板中角度计算，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【例2】（2021·湖南娄底·中考真题）如图，，点在边上，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的交点为点，过点作平行于的线，利用两直线平行的性质，找到角之间的关系，通过等量代换即可求解． 解：取的交点为点，过点作平行于的线，如下图： 根据题意：， ， ， ， ， ， 相交于点， ， ， 故选：C． 【点拨】本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等，解题的关键是：添加辅助线，利用两直线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解． 【题型9】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，把一块三角放角的顶点放在长方形的边上，保持点的位置不动，在转动三角板时，若与长方形的边平行，则的度数为 ． 【答案】或． 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．结合长方形的性质，根据平行线的性质分情况求解即可． 解：在长方形中，，，， 如图1，时， ， ， ； 如图2，时， ， ； 如图3，，的延长线交于点时， ， ， ， ， ； 如图4，，的延长线交于点时， ， ， ， ， ， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线，是一条折线段，平分． （1）如图①，若，探究和的数量关系； （2）平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）①．理由见分析；②或或 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，综合较强，正确分情况讨论，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，再过点作，过点作，则，根据平行线的性质可得，，，，从而可得，然后根据求解即可得； ②分四种情况：（Ⅰ）当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，（Ⅱ）当点在直线之间，且和均为钝角时，（Ⅲ）当点在直线之间，且和均为锐角时，（Ⅳ）当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，参照（2）①的方法，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可得． 解：（1）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴， ∴，， ，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴． ②∵平分，平分， ∴，． （Ⅰ）如图1，当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅱ）如图2，当点在直线之间，且和均为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅲ）如图3，当点在直线之间，且和均为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅳ）如图4，当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 综上，的度数为或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 平行线的性质（3大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳考点目录】 【知识点归纳】 【知识点】平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【要点提示】 （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． （2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 【考点与题型目录】 【考点一】平行线的性质 【题型1】两直线平行，同位角相等............................................1 【题型2】两直线平行，内错角相等............................................2 【题型3】两直线平行，同旁内角互补..........................................3 【题型4】利用平行线的性质求角的度数........................................3 【题型5】利用平行线的性质探究角的关系......................................4 【考点二】平行线的性质与判定综合 【题型6】利用平行线的性质与判定求角度......................................5 【题型7】利用平行线的性质与判定进行证明....................................6 【考点三】中考链接与拓展延伸 【题型8】中考链接..........................................................7 【题型9】拓展延伸..........................................................8 第二部分【题型展示与方法解析】 【考点一】平行线的性质 【题型1】两直线平行，同位角相等 【例1】（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，，试求的度数．    【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，直线分别交、于点、，，将一个含有角的直角三角尺如图放置（角的顶点与H重合），则等于（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为 ． 【题型2】两直线平行，内错角相等 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）证明：如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补． 【变式1】（24-25九年级上·广西玉林·期末）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，，连接，E是线段上一动点，、分别平分，，若，则的度数用含α的式子表示为 ． 【题型3】两直线平行，同旁内角互补 【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，平分，平分． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2018·河南·一模）如图，，，，则的值为 . 【题型4】利用平行线的性质求角的度数 【例4】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，，与交于点P． （1）若，求的度数； （2）若，，求证：． 【变式1】（24-25七年级上·山西临汾·期末）如图，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图是某市的三个旅游景点，景点B在景点A的南偏东方向，景点B在景点C的南偏东方向，景点A在景点C的南偏西方向，则 ． 【题型5】利用平行线的性质探究角的关系 【例5】（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，友情提示：，，． （1）①若，则的度数为________． ②若，则的度数为________． （2）由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． （3）若且点在直线的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）． 【变式1】（22-23七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，，与相交于点C，且，，若，则n的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 【考点二】平行线的性质与判定综合 【题型6】利用平行线的性质与判定求角度 【例6】（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，已知，点，分别是射线，上的点，，，分别平分和． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是某射箭运动员射箭的一个瞬间．已知，，，，，则运动员两腿之间的夹角的度数为 ． 【题型7】利用平行线的性质与判定进行证明 【例7】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，已知，． 求证：． 证明：∵ （ 已知  ）， ∴ （ ） ∴（ ） 又∵（已知 ）， ∴ （ ）   ∴（ ） ∴（ ） 【变式1】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21七年级下·全国·课后作业）在下面的括号内，填上推理的根据． 如图，，求证． 证明：∵， ∴（ ）． ∴（ ）． 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型8】中考链接 【例1】（2023·内蒙古通辽·中考真题）将一副三角尺如图所示放置，其中，则 度．    【例2】（2021·湖南娄底·中考真题）如图，，点在边上，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型9】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，把一块三角放角的顶点放在长方形的边上，保持点的位置不动，在转动三角板时，若与长方形的边平行，则的度数为 ． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线，是一条折线段，平分． （1）如图①，若，探究和的数量关系； （2）平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$