2025届高三第一次模拟考试数学猜题卷03

2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考卷）03·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D B A A D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 765 ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．3 14．16 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、基本不等式求积的最大值 【思路引导】（1）正弦定理将代换，再结合商数关系求出角； （2）法一：余弦定理结合基本不等式求出面积最大值，即可确定高的最大值；法二：由正弦定理将面积表示为角的函数，结合三角恒等变换，求出函数最大值，即可确定高的最大值. 【详解】（1）由及，得， 又，，所以，得， 因为，所以． （2）解法一  由余弦定理得，则， 得，当且仅当时取等号， 所以， 得，故的最大值为． 解法二  由正弦定理得， 故，． 因为，所以，， 所以 ，当时等号成立, 故，得， 故的最大值为. 16．（15分） 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【思路引导】（1）首先确定，，，再代入独立重复概率公式，即可求解； （2）首先确定，再根据随机变量取值的意义，结合独立重复事件概率公式，即可求解分布列，再代入期望公式，即可求解. 【详解】（1）设“掷出1点”为事件，“掷出2点或3点”为事件，“掷出4点或5点或6点”为事件，则，，． 若，，依次成公差大于0的等差数列，则，，． 所以所求概率； （2）的所有可能取值为0，1，2，3． ，， , 所以的分布列为 0 1 2 3 故 17．（15分） 【答案】(1) (2) 【知识点】面面角的向量求法、求平面的法向量、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【思路引导】（1）利用等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理、性质定理即可求得的长; （2）建立空间直角坐标系，直接计算或者利用解三角形的知识得和的坐标，再求出两个面的法向量，即可得到二面角的余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，． ，，，． 又，，平面，平面， 又平面，． 又，，. （2）如图，以为坐标原点，，所在直线，过且与平面垂直的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图    则易得，，，，． 设，，由为的中点，可得，则， 由，，，可得，解得，,． ． 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得． 设平面的法向量为， 则，即， 则，可得． 则， 易知二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为． 18．（17分） 【答案】(1)为双曲线的一部分，解析式为 (2)或 【知识点】求平面轨迹方程、双曲线中的直线过定点问题、双曲线向量共线比例问题、根据韦达定理求参数 【思路引导】（1）设，根据光线经凸透镜至像点的总光程为定值建立等量关系，简、整理即可得解； （2）设出，的坐标，根据向量的坐标运算得到，的坐标，将点，的坐标代入的方程，得到两个方程，根据根与系数的关系及建立方程，解方程即可 【详解】（1）设上任意一点，，光线从点至点的光程为，光线穿过凸透镜后从点折射到点的光程为， 则，， 由题意得，得，化简得， ，．令，得， 为双曲线的一部分，解析式为． （2）由题意知． 设，，，， 则，，， ，，， 易知，，得，， 即，． 将点的坐标代入，得， 化简整理得． 同理可得， 与为方程的两个解， ． 由题知，，解得， 点的坐标可能为或.    【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与直线的位置关系， 关键是将向量坐标化，并将点代入曲线得到关于k的二次方程，结合韦达定理求解. 19．（17分） 【答案】(1)的零点个数为1 (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【思路引导】（1）首先讨论时，函数的零点个数，再讨论时，函数的零点个数，即可求解； （2）首先将不等式变形为，再根据不等式构造3个函数，，，，再分别证明，以及. 【详解】（1）当时，，，，没有零点． 当时，，则在区间上单调递增， ， 由零点存在定理及函数的单调性得在上存在唯一零点． 综上所述，的零点个数为1． （2）由题知，， 即． 设，，， 则只需证当时，， 易知， ，设，则单调递增，又， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，，当且仅当时取等号， 当时，， 只需证． 又，当且仅当时取等号， 在上单调递增． 又，，当时，，得证. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是由不等式的形式构造3个函数，从而转化为分别证明不等式成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考一、二卷）03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知圆台的体积为，上、下底面圆的半径分别为1，2，则圆台的高为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知点为的外接圆圆心，则“”是“为直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知坐标原点为，抛物线的焦点为．若第一象限内的抛物线上存在一点，使得的外接圆与抛物线的准线相切，则直线与外接圆的关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心 7．已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 8．如图，已知长方体中，，，为正方形的中心点，将长方体绕直线进行旋转．若平面满足直线与所成的角为，直线，则旋转的过程中，直线与夹角的正弦值的最小值为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．若是偶函数，则 C．在区间上的值域为 D．的图象关于直线对称 10．设，，，为集合的个不同子集，为了表示这些子集，作行列的数阵，规定第行第列的数为．则下列说法中正确的是（    ） A．数阵中第一列的数全是0，当且仅当 B．数阵中第列的数全是1，当且仅当 C．数阵中第行的数字和表明集合含有几个元素 D．数阵中所有的个数字之和不超过 11．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点（点位于点上方），且，延长，分别交椭圆于点，，连接交轴于点，若的面积是的面积的3倍，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为 C． D．直线的斜率是直线的斜率的倍 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 ． A．270 B． C．765 D． 13．已知数列满足，，，数列的前项和为，则 ． 14．表示两个实数，中的较小数．已知函数，且当时，，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知的内角，，所对的边分别为，，，，． (1)求角； (2)设是的高，求的最大值． 16．（15分）在某个掷骰子放球的游戏中，规定：若掷出1点，则向甲盒中放一球；若掷出2点或3点，则向乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，则向丙盒中放一球．前后共掷3次骰子，设，，分别表示甲、乙、丙3个盒中的球数． (1)求，，依次成公差大于0的等差数列的概率； (2)记，求随机变量的分布列和数学期望． 17．（15分）如图，在三棱柱中，，.    (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的余弦值． 18．（17分）费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）    (1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式． (2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标． 19．（17分）设函数． (1)讨论的零点个数； (2)若，求证：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考一、二卷）03·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】复数的坐标表示、判断复数对应的点所在的象限 【思路引导】化简，在复平面内对应的点为：，即得解 【详解】由题意： 在复平面内对应的点为：，在第三象限 故选：C 【点睛】本题考查了复数的除法运算和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【思路引导】根据同角三角函数关系以及正弦的二倍角公式，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】因为，所以. 故选：D. 3．已知圆台的体积为，上、下底面圆的半径分别为1，2，则圆台的高为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算 【思路引导】由圆台的体积公式直接求解. 【详解】由题意知，圆台的上、下底面的面积分别为，，设圆台的高为， 则，解得， 故选：B 4．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【思路引导】根据题意知有两个不相等的正实数根，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的范围. 【详解】由题意知，因为切线与直线垂直， 所以曲线在点处的切线斜率都是， 即关于的方程有两个不相等的正实数根， 化简得，有两个不相等的正实数根， 则，解得. 故选：A. 5．已知点为的外接圆圆心，则“”是“为直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、向量的线性运算的几何应用 【思路引导】根据三角形外接圆的性质，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若，则，，三点共线，如图，则，故是以为直角的直角三角形，故充分性成立． 当为直角三角形时，不一定是直角，故，，三点不一定共线，即不一定成立，故必要性不成立． 综上所述，“”是“为直角三角形”的充分不必要条件．    故选：A 6．已知坐标原点为，抛物线的焦点为．若第一象限内的抛物线上存在一点，使得的外接圆与抛物线的准线相切，则直线与外接圆的关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心 【答案】D 【知识点】判断直线与圆的位置关系、已知切线求参数、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【思路引导】根据给定条件，求出外接圆的半径及圆心坐标，再判断直线与圆的位置关系. 【详解】由，得抛物线的焦点，准线方程为， 显然的外接圆圆心在线段的垂直平分线上，则，半径为， 由的外接圆与抛物线的准线相切，得点在抛物线上，，即， 显然点到直线的距离，所以直线与的外接圆相交但不过圆心. 故选：D 7．已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 【答案】C 【知识点】判断证明抽象函数的周期性、抽象函数的奇偶性、由抽象函数的周期性求函数值 【思路引导】首先判断抽象函数的周期，再根据条件求函数值，再根据周期求函数值的和. 【详解】由可得， 故的一个周期为4， 由为奇函数可得，得， 对于，令，得，则， 令，得，又，所以， 则， 故 . 故选：C. 8．如图，已知长方体中，，，为正方形的中心点，将长方体绕直线进行旋转．若平面满足直线与所成的角为，直线，则旋转的过程中，直线与夹角的正弦值的最小值为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【思路引导】求出直线与的夹角，可得绕直线旋转的轨迹为圆锥，求直线与的夹角，结合图形可知，当与直线平行时，与的夹角最小，利用三角函数知识求解即可. 【详解】在长方体中，，则直线与的夹角等于直线与的夹角． 长方体中，，，为正方形的中心点， 则，又， 所以是等边三角形，故直线与的夹角为． 则绕直线旋转的轨迹为圆锥，如图所示，． 因为直线与所成的角为，，所以直线与的夹角为． 在平面中，作，，使得． 结合图形可知，当与直线平行时，与的夹角最小，为， 易知． 设直线与的夹角为，则，故当时最小， 而 ， 故直线与的夹角的正弦值的最小值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解题中在平面中，作，，使得，结合图形可知，当与直线平行时，与的夹角最小，为是关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．若是偶函数，则 C．在区间上的值域为 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【思路引导】代入验证法判断函数的图象的对称中心和对称轴，进而判断选项AD；求得t的值判断选项B；求得在区间上的值域判断选项C. 【详解】对于A：， 则的图象关于点对称，故A正确． 对于B：因为是偶函数， 所以，即，故B正确． 对于C：当时，， 所以， 即在区间上的值域为，故C错误． 对于D：当时，， 则的图象关于直线对称，故D正确． 故选：ABD 10．设，，，为集合的个不同子集，为了表示这些子集，作行列的数阵，规定第行第列的数为．则下列说法中正确的是（    ） A．数阵中第一列的数全是0，当且仅当 B．数阵中第列的数全是1，当且仅当 C．数阵中第行的数字和表明集合含有几个元素 D．数阵中所有的个数字之和不超过 【答案】ABD 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、集合新定义、求集合的子集（真子集）、求等差数列前n项和 【思路引导】由集合的子集的概念和规定第行与第列的数为，对选项一一判断即可． 【详解】选项A：数阵中第一列的数全是，当且仅当，，，，，故A正确． 选项B：数阵中第列的数全是1，当且仅当，，，，，故B正确． 选项C：数阵中第列的数字和表明集合含有几个元素，故C错误． 选项D：当，，，中一个为本身，其余个子集为互不相同的元子集时， 数阵中所有的个数字之和最大，且为，故D正确. 故选：ABD 11．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点（点位于点上方），且，延长，分别交椭圆于点，，连接交轴于点，若的面积是的面积的3倍，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为 C． D．直线的斜率是直线的斜率的倍 【答案】ACD 【知识点】椭圆中的定值问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中焦点三角形的周长问题 【思路引导】根据题意作图分析得，设，由余弦定理推得，即得为等腰直角三角形，求出椭圆的方程，继而易判断A，B项，对于C项，必须通过直线与椭圆联立，依次求得点的坐标，根据直线的方程求得点即可判断；对于D项，根据C项推出的直线和直线的方程易判断. 【详解】    如图，因的面积是的面积的3倍，则， 不妨设，则，， 在中，由余弦定理，， 解得或（舍去）故，，，， 则由，可得为等腰直角三角形， 则，，于是椭圆方程为. 对于A，由上知，椭圆的离心率为，故A正确； 对于B，的周长为，故B错误； 对于C，由题意，，则直线代入， 整理得，解得，代入，得， 又直线，即代入， 整理得，由解得， 代入，即得， 又直线，代入，整理得，解得， 代入，即得, 故直线，即， 令，解得，故，C正确； 对于D，由C已得，而, 故直线的斜率是直线的斜率的倍，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线相交的综合问题，属于难题.一般思路是结合图形，运用圆锥曲线的定义式，正余弦定理等知识，求出曲线方程，接着通过直线方程与圆锥曲线联立解决求点坐标，弦长，中点弦等问题即可. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 ． A．270 B． C．765 D． 【答案】765 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【思路引导】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由于 而的展开式的通项， 所以的展开式中的系数为， 13．已知数列满足，，，数列的前项和为，则 ． 【答案】3 【知识点】由递推关系式求通项公式、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和 【思路引导】根据数列的递推公式，求得数列通项公式，再分组求和求得，再求结果即可. 【详解】，，， 故数列的奇数项构成以1为首项、2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项、2为公比的等比数列， 则，， 故，故． 故答案为：. 14．表示两个实数，中的较小数．已知函数，且当时，，则的最小值为 ． 【答案】16 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、根据零点所在的区间求参数范围、分段函数的性质及应用、基本不等式求和的最小值 【思路引导】先分情况讨论得出，然后根据单调性得出若，，则，，最后根据基本不等式即得的最小值为16. 【详解】， 当，即时，， 而当，即时，， 即. 作出函数的大致图象如图所示，由于在上递增，在上递减， 从而若，，则，，即. 所以，当，时，等号成立，所以的最小值为． 故答案为：16. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知的内角，，所对的边分别为，，，，． (1)求角； (2)设是的高，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、基本不等式求积的最大值 【思路引导】（1）正弦定理将代换，再结合商数关系求出角； （2）法一：余弦定理结合基本不等式求出面积最大值，即可确定高的最大值；法二：由正弦定理将面积表示为角的函数，结合三角恒等变换，求出函数最大值，即可确定高的最大值. 【详解】（1）由及，得， 又，，所以，得， 因为，所以． （2）解法一  由余弦定理得，则， 得，当且仅当时取等号， 所以， 得，故的最大值为． 解法二  由正弦定理得， 故，． 因为，所以，， 所以 ，当时等号成立, 故，得， 故的最大值为. 16．（15分）在某个掷骰子放球的游戏中，规定：若掷出1点，则向甲盒中放一球；若掷出2点或3点，则向乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，则向丙盒中放一球．前后共掷3次骰子，设，，分别表示甲、乙、丙3个盒中的球数． (1)求，，依次成公差大于0的等差数列的概率； (2)记，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【思路引导】（1）首先确定，，，再代入独立重复概率公式，即可求解； （2）首先确定，再根据随机变量取值的意义，结合独立重复事件概率公式，即可求解分布列，再代入期望公式，即可求解. 【详解】（1）设“掷出1点”为事件，“掷出2点或3点”为事件，“掷出4点或5点或6点”为事件，则，，． 若，，依次成公差大于0的等差数列，则，，． 所以所求概率； （2）的所有可能取值为0，1，2，3． ，， , 所以的分布列为 0 1 2 3 故 17．（15分）如图，在三棱柱中，，.    (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】面面角的向量求法、求平面的法向量、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【思路引导】（1）利用等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理、性质定理即可求得的长; （2）建立空间直角坐标系，直接计算或者利用解三角形的知识得和的坐标，再求出两个面的法向量，即可得到二面角的余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，． ，，，． 又，，平面，平面， 又平面，． 又，，. （2）如图，以为坐标原点，，所在直线，过且与平面垂直的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图    则易得，，，，． 设，，由为的中点，可得，则， 由，，，可得，解得，,． ． 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得． 设平面的法向量为， 则，即， 则，可得． 则， 易知二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为． 18．（17分）费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）    (1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式． (2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标． 【答案】(1)为双曲线的一部分，解析式为 (2)或 【知识点】求平面轨迹方程、双曲线中的直线过定点问题、双曲线向量共线比例问题、根据韦达定理求参数 【思路引导】（1）设，根据光线经凸透镜至像点的总光程为定值建立等量关系，简、整理即可得解； （2）设出，的坐标，根据向量的坐标运算得到，的坐标，将点，的坐标代入的方程，得到两个方程，根据根与系数的关系及建立方程，解方程即可 【详解】（1）设上任意一点，，光线从点至点的光程为，光线穿过凸透镜后从点折射到点的光程为， 则，， 由题意得，得，化简得， ，．令，得， 为双曲线的一部分，解析式为． （2）由题意知． 设，，，， 则，，， ，，， 易知，，得，， 即，． 将点的坐标代入，得， 化简整理得． 同理可得， 与为方程的两个解， ． 由题知，，解得， 点的坐标可能为或.    【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与直线的位置关系， 关键是将向量坐标化，并将点代入曲线得到关于k的二次方程，结合韦达定理求解. 19．（17分）设函数． (1)讨论的零点个数； (2)若，求证：． 【答案】(1)的零点个数为1 (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【思路引导】（1）首先讨论时，函数的零点个数，再讨论时，函数的零点个数，即可求解； （2）首先将不等式变形为，再根据不等式构造3个函数，，，，再分别证明，以及. 【详解】（1）当时，，，，没有零点． 当时，，则在区间上单调递增， ， 由零点存在定理及函数的单调性得在上存在唯一零点． 综上所述，的零点个数为1． （2）由题知，， 即． 设，，， 则只需证当时，， 易知， ，设，则单调递增，又， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，，当且仅当时取等号， 当时，， 只需证． 又，当且仅当时取等号， 在上单调递增． 又，，当时，，得证. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是由不等式的形式构造3个函数，从而转化为分别证明不等式成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考一、二卷）03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知圆台的体积为，上、下底面圆的半径分别为1，2，则圆台的高为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知点为的外接圆圆心，则“”是“为直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知坐标原点为，抛物线的焦点为．若第一象限内的抛物线上存在一点，使得的外接圆与抛物线的准线相切，则直线与外接圆的关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心 7．已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 8．如图，已知长方体中，，，为正方形的中心点，将长方体绕直线进行旋转．若平面满足直线与所成的角为，直线，则旋转的过程中，直线与夹角的正弦值的最小值为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．若是偶函数，则 C．在区间上的值域为 D．的图象关于直线对称 10．设，，，为集合的个不同子集，为了表示这些子集，作行列的数阵，规定第行第列的数为．则下列说法中正确的是（    ） A．数阵中第一列的数全是0，当且仅当 B．数阵中第列的数全是1，当且仅当 C．数阵中第行的数字和表明集合含有几个元素 D．数阵中所有的个数字之和不超过 11．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点（点位于点上方），且，延长，分别交椭圆于点，，连接交轴于点，若的面积是的面积的3倍，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为 C． D．直线的斜率是直线的斜率的倍 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 ． A．270 B． C．765 D． 13．已知数列满足，，，数列的前项和为，则 ． 14．表示两个实数，中的较小数．已知函数，且当时，，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知的内角，，所对的边分别为，，，，． (1)求角； (2)设是的高，求的最大值． 16．（15分）在某个掷骰子放球的游戏中，规定：若掷出1点，则向甲盒中放一球；若掷出2点或3点，则向乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，则向丙盒中放一球．前后共掷3次骰子，设，，分别表示甲、乙、丙3个盒中的球数． (1)求，，依次成公差大于0的等差数列的概率； (2)记，求随机变量的分布列和数学期望． 17．（15分）如图，在三棱柱中，，.    (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的余弦值． 18．（17分）费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）    (1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式． (2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标． 19．（17分）设函数． (1)讨论的零点个数； (2)若，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考一、二卷）03·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$