2025届高高三第一次模拟考试数学猜题卷02

2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考卷）02·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A B C C B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC AB ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．（答案不唯一） 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【思路引导】（1）根据题意，求导可得，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，构造函数，其中，转化为最值问题，即可求解. 【详解】（1）当时，的定义域为， ， 令，则，解得， 令，则，解得. 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令，则. 令，其中， 则. 令，解得，令，解得. 的单调递减区间为，单调递增区间为， . 又，函数在上有两个零点， 的取值范围是. 16．（15分）【答案】(1)20 (2)分布列见解析， 【知识点】求离散型随机变量的均值、卡方的计算、写出简单离散型随机变量分布列、独立性检验解决实际问题 【思路引导】（1）由已知数据完成列联表，根据独立性检验的结论列不等式求出的值，可得女生人数； （2）由分层抽样确定两组人数，根据的取值计算相应的概率，得分布列，计算数学期望. 【详解】（1）根据题意，完成列联表如下： 认真完成 不认真完成 总计 男生 女生 总计 60 20 80 由题意可得， 得. 易知为5的倍数，且，所以， 所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）. （2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为， 所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有（人）， 所以的所有可能取值为， ，，， ，. 的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 17．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面角的向量求法、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法、证明线面垂直 【思路引导】（1）先根据直角三角形的性质和平行线的性质得到，再根据面面垂直和线面垂直的性质定理结合平面平面得到，最后根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，设，利用已知条件和线面角的坐标公式求出，再利用面面角的坐标公式求解即可. 【详解】（1）在中，为线段的中点，且，所以， 所以，为直角三角形，且， 所以， 因为底面为平行四边形，，所以， 又因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面. （2）因为平面平面，所以， 由（1）知平面，又平面，所以， 所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 在中，，所以， 设，则， 所以， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则，解得， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 易知平面的一个法向量为， 则， 易知二面角是锐角，故二面角的余弦值为. 18．（17分） 【答案】(1) (2)1 【知识点】根据韦达定理求参数、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程 【思路引导】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，表示出直线的方程，联立与椭圆的方程，结合韦达定理代入计算，然后代入弦长公式，即可得到结果. 【详解】（1）由椭圆的定义得，所以. 又为椭圆上一点，所以， 将代入，得， 所以椭圆的标准方程为. （2） 因为为关于原点的对称点，所以，直线的方程为. 设，则直线的方程为， 联立得，可得， 由点在椭圆内，易知， 不妨令，则，， 所以. 又， 所以为常数， 则需满足为常数，（此式为与无关的常数，所以分子与分母对应成比例） 即，解得. 将代入，可得，得， 所以为的中点， 所以. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题，以及椭圆中三角形面积问题，难度较大，解答本题的关键在于结合弦长公式以及将面积比转化为边长比. 19．（17分） 【答案】(1)或 (2)或 (3)不能，理由见解析 【知识点】求等差数列前n项和、数列新定义、求等比数列前n项和 【思路引导】（1）结合曼德拉数列的定义，分公比是否为1进行讨论即可求解； （2）结合曼德拉数列的定义，首先得,然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解； （3）记中非负项和为，负项和为，则，进一步，结合前面的结论以及曼德拉数列的定义得出矛盾即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为. 若，则由①得，得， 由②得或. 若，由①得，，得，不可能. 综上所述，. 或. （2）设等差数列的公差为， ， ， 即， 当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾， 当时，据“曼德拉数列”的条件①②得， ， ，即， 由得，即， . 当时，同理可得， 即. 由得，即， . 综上所述，当时，，当时，. （3）记中非负项和为，负项和为，则， 得，，，即. 若存在，使，由前面的证明过程知： ，，，，，，，，且. 若数列为阶“曼德拉数列”， 记数列的前项和为，则. ， 又，， . 又， ，，，， ， 又与不能同时成立， 数列不为阶“曼德拉数列”. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到，，，，，，，，且，由此即可顺利得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考一、二卷）02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在建筑中很多圆顶建筑的顶部会使用抛物线形状，例如飞机库、穹顶体育场和博物馆采用了抛物线形状的圆顶，因为这种形状可以提供良好的结构稳定性，并能使空间更加开阔.图1为某机场的一个飞船库，它的一个纵截面呈抛物线形，将其置于平面直角坐标系中，如图2.已知该飞船库的底面宽度约为，高度约为，则此纵截面所在抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．纸箱内有除颜色外完全相同的4个白球、3个绿球，纸箱内有除颜色外完全相同的3个白球、3个绿球，先从纸箱中随机摸出一个球放入纸箱中，然后从纸箱中随机摸出一个球.事件“从纸箱中随机摸出一个绿球”记为，事件“从纸箱中随机摸出一个绿球”记为，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知是圆柱下底面圆的圆心，为圆柱的一条母线，为圆柱下底面圆周上一点，，，为等腰直角三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 7．已知函数在上是减函数，且满足，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的交点，平面，，则四棱锥的内切球的体积为（    ）    A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的单调递减区间为 B．当时，方程在上恰有两个实数根，则实数的取值范围为 C．当时，点是图象的一个对称中心 D．当时，函数的最大值为，最小值为 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则函数的单调递减区间为 B．若，则函数在区间上的最大值为0 C．若，则 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式式中含的项为 . 13．写出一个同时满足下列三个性质的函数： . ①的图象在轴的右侧； ②若，则； ③当时，（为函数的导函数）. 14．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，过分别作倾斜角为的直线，分别交双曲线的左、右两支于点（均在轴上方），过与的交点作倾斜角为的直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）设函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数） 16．（15分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下： 书体 楷书 行书 草书 隶书 篆书 人数 24 16 10 20 10 (1)该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中. 认真完成 不认真完成 总计 男生 女生 总计 60 若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生的人数. (2)现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式及数据：. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17．（15分） 如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面平面为线段的中点，且. (1)求证：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 18．（17分） 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且到，的距离之和为8. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为关于原点的对称点，斜率为的直线与线段（不含端点）相交于点，与椭圆相交于点，若为常数，求与面积的比值. 19．（17分） 设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”： ①；②. (1)若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（，用表示）； (2)若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用表示）； (3)记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考一、二卷）02·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求对数型复合函数的定义域、交集的概念及运算 【思路引导】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数代数形式的乘法运算 【思路引导】本题首先可根据复数的乘法运算得出，然后根据复数在复平面内对应的点为即可得出结果. 【详解】， 即， 则复数在复平面内对应的点为，在第四象限， 故选：D. 3．在建筑中很多圆顶建筑的顶部会使用抛物线形状，例如飞机库、穹顶体育场和博物馆采用了抛物线形状的圆顶，因为这种形状可以提供良好的结构稳定性，并能使空间更加开阔.图1为某机场的一个飞船库，它的一个纵截面呈抛物线形，将其置于平面直角坐标系中，如图2.已知该飞船库的底面宽度约为，高度约为，则此纵截面所在抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程 【思路引导】根据题意，设出抛物线的标准方程，将点的坐标代入，即可得到结果. 【详解】由题意可设抛物线方程为， 由题意知点在该抛物线上，将代入抛物线方程， 得，解得， 则抛物线的方程为， 故选：A. 4．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【思路引导】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】， 当且仅当且，即时等号成立， 故选：B. 5．纸箱内有除颜色外完全相同的4个白球、3个绿球，纸箱内有除颜色外完全相同的3个白球、3个绿球，先从纸箱中随机摸出一个球放入纸箱中，然后从纸箱中随机摸出一个球.事件“从纸箱中随机摸出一个绿球”记为，事件“从纸箱中随机摸出一个绿球”记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【思路引导】根据题意，由条件概率的计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为纸箱内有4个白球、3个绿球，所以. 若从纸箱中摸出的绿球放入纸箱中，此时纸箱中有3个白球、4个绿球， 因此. 所以， 故选：C. 6．如图，已知是圆柱下底面圆的圆心，为圆柱的一条母线，为圆柱下底面圆周上一点，，，为等腰直角三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线夹角的向量求法、求异面直线所成的角 【思路引导】方法一（定义法）：过点作交圆柱的上底面于点，连接，则或其补角即异面直线与所成的角，再通过解三角形即可求出结果；方法二（坐标法）：建立空间直角坐标系，求出坐标，再利用向量的夹角公式，即可求出结果；方法三（向量法）：根据条件求得，及，再利用向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】方法一 如图，过点作交圆柱的上底面于点，连接， 则由圆柱的性质易证四边形为矩形，所以，所以或其补角即异面直线与所成的角， 在中，，所以， 因为为等腰直角三角形，且，所以， 所以，又， 所以，（另解：在中，，所以） 即异面直线与所成角的余弦值为， 故选：C.    解法二  由圆柱的性质知可以为坐标原点，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，因为， 所以，所以， 因为为等腰直角三角形，且，所以， 则， 所以，故异面直线与所成角的余弦值为， 故选：C.    解法三  在中，，所以， 因为为等腰直角三角形，且，所以， 易知，所以， 所以， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为， 故选：C. 7．已知函数在上是减函数，且满足，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【思路引导】根据对数运算性质和对数函数单调性可得，根据指数函数单调性可知；利用为减函数可知，结合为奇函数可得大小关系. 【详解】， 即： 又是定义在上的减函数 又为奇函数 ，即：. 故选：B. 【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数单调性，结合奇偶性比较函数值的大小关系，关键是能够通过函数的单调性，利用临界值的方式得到自变量之间的大小关系. 8．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的交点，平面，，则四棱锥的内切球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的体积的有关计算、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【思路引导】求出四棱锥的高和侧棱长，再利用四棱锥的体积与其内切球半径之间的关系求四棱锥的内切球半径即可得解. 【详解】因为四边形为菱形，，所以是正三角形， 则. 因为平面平面，所以. 设，则，. 在中，由， 可得，解得， 所以. 因为为的中点，，所以.又，， 所以，同理可证，， 所以. 设四棱锥的内切球的半径为，则， 所以， 所以四棱锥的内切球的体积， 故选：C. 【点睛】方法点睛：有关几何体外接球、内切球问题的常用结论 （1）棱长为的正四面体的斜高为，高为，外接球的半径为，内切球的半径为. （2）如果三棱锥的三条侧棱互相垂直，那么可以将其补形为长方体或正方体（三棱锥的三条侧棱相等时为正方体，不相等时为长方体），则长方体或正方体的外接球的球心即三棱锥的外接球球心，长方体或正方体的体对角线即三棱锥外接球的直径. （3）一个棱锥的内切球半径可以根据内切球球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积公式求得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、垂直关系的向量表示 【思路引导】根据题意，由平面向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】选项：因为，所以， 所以与不垂直，故A错误. 选项B：因为，， 所以，故B正确. 选项C：由题意知，，若， 则，解得，故C正确. 选项D：由题意知，则， 解得或，故D错误. 故选：BC 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的单调递减区间为 B．当时，方程在上恰有两个实数根，则实数的取值范围为 C．当时，点是图象的一个对称中心 D．当时，函数的最大值为，最小值为 【答案】AB 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值、根据函数零点的个数求参数范围 【思路引导】把代入，利用正弦函数的图象、性质，结合零点问题求解判断AB；把代入，取值计算、换元结合二次函数性质求出最值判断CD. 【详解】对于A，当时，，由，得， 因此的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，方程，即， 令，当时，，，其图象如图， 方程在区间上恰有两个实数根等价于函数在区间上的图象 与直线有两个交点，观察图象知，实数的取值范围为，B正确； 对于C，当时，，，， 则点不是图象的一个对称中心，C错误； 对于D：当时，， 则，即是以为周期的函数，只需考虑在区间上的最值即可， 当时，， 令，， 显然函数在区间上单调递减，此时，； 当时，， 令，， 则在区间上单调递增，此时，， 所以函数的最大值为，最小值为，D错误. 故选：AB 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则函数的单调递减区间为 B．若，则函数在区间上的最大值为0 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【思路引导】当时，先求函数及，再求函数的单调区间即可判断A，先求，再研究函数的单调性，进而得函数的最大值，即可判断B，先求，利用特例法排除的情况，再研究时函数的单调性、最值，即可得解从而判断C，结合选项与三角函数、函数与导数的知识即可证明判断D 【详解】选项A：当时，，则. 由，得，所以函数的单调递减区间为，故A正确. 选项B：， 由，得. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 当时，，所以函数在区间上单调递减， 此时； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上的最大值为，故B错误. 选项C：由题知，，其定义域为. 若，则，不满足题意； 若，由知， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得最大值，因为，所以当且仅当时，. 综上所述，，所以C正确. 选项D：当时，由选项C知，的最大值为， 当时，，即， 故只需证当时，恒成立.令， 则.因为， 所以，，， 所以，， 所以在上单调递增，又当时，， 所以当时，，从而， 即，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性问题以及利用导数证明不等式问题，难度较大，解答本题的关键在于合理构造函数，即可求解. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式式中含的项为 . 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【思路引导】利用二项展开的通项公式求解即可. 【详解】的展开式中通项公式为， 令时，展开式中含的项为. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数. 13．写出一个同时满足下列三个性质的函数： . ①的图象在轴的右侧； ②若，则； ③当时，（为函数的导函数）. 【答案】（答案不唯一） 【知识点】对数的运算性质的应用、导数的运算法则 【思路引导】依题意不妨设，满足条件①③，再结合②求出，最后再确定的值即可. 【详解】结合①③不妨设，其定义域为， 其图象在轴的右侧，且，所以满足条件①③； 若，则， 令，则， 所以，令，可得（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一） 14．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，过分别作倾斜角为的直线，分别交双曲线的左、右两支于点（均在轴上方），过与的交点作倾斜角为的直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【思路引导】作出图形，利用双曲线的定义求与与之间的关系，利用余弦定理求，根据直线平行得线段间的比例关系，进而得，建立等量关系式，化简得双曲线的离心率. 【详解】如图，设，由双曲线的定义，得. 在中，， 由余弦定理得， 解得，即. 在中，， 由余弦定理得， 解得，即. 因为，所以，， 则，所以， 即，解得. 因为，所以. 又，所以. 由，得，整理得，又，所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率的常见方法有两种：①求出，代入公式求解；②根据已知条件得到关于的齐次式，进而转化为关于的齐次式，然后转化为关于离心率的方程，解方程，即可得的值. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）设函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数） 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【思路引导】（1）根据题意，求导可得，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，构造函数，其中，转化为最值问题，即可求解. 【详解】（1）当时，的定义域为， ， 令，则，解得， 令，则，解得. 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令，则. 令，其中， 则. 令，解得，令，解得. 的单调递减区间为，单调递增区间为， . 又，函数在上有两个零点， 的取值范围是. 16．（15分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下： 书体 楷书 行书 草书 隶书 篆书 人数 24 16 10 20 10 (1)该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中. 认真完成 不认真完成 总计 男生 女生 总计 60 若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生的人数. (2)现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式及数据：. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)20 (2)分布列见解析， 【知识点】求离散型随机变量的均值、卡方的计算、写出简单离散型随机变量分布列、独立性检验解决实际问题 【思路引导】（1）由已知数据完成列联表，根据独立性检验的结论列不等式求出的值，可得女生人数； （2）由分层抽样确定两组人数，根据的取值计算相应的概率，得分布列，计算数学期望. 【详解】（1）根据题意，完成列联表如下： 认真完成 不认真完成 总计 男生 女生 总计 60 20 80 由题意可得， 得. 易知为5的倍数，且，所以， 所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）. （2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为， 所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有（人）， 所以的所有可能取值为， ，，， ，. 的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 17．（15分）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面平面为线段的中点，且. (1)求证：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面角的向量求法、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法、证明线面垂直 【思路引导】（1）先根据直角三角形的性质和平行线的性质得到，再根据面面垂直和线面垂直的性质定理结合平面平面得到，最后根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，设，利用已知条件和线面角的坐标公式求出，再利用面面角的坐标公式求解即可. 【详解】（1）在中，为线段的中点，且，所以， 所以，为直角三角形，且， 所以， 因为底面为平行四边形，，所以， 又因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面. （2）因为平面平面，所以， 由（1）知平面，又平面，所以， 所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 在中，，所以， 设，则， 所以， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则，解得， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 易知平面的一个法向量为， 则， 易知二面角是锐角，故二面角的余弦值为. 18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且到，的距离之和为8. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为关于原点的对称点，斜率为的直线与线段（不含端点）相交于点，与椭圆相交于点，若为常数，求与面积的比值. 【答案】(1) (2)1 【知识点】根据韦达定理求参数、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程 【思路引导】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，表示出直线的方程，联立与椭圆的方程，结合韦达定理代入计算，然后代入弦长公式，即可得到结果. 【详解】（1）由椭圆的定义得，所以. 又为椭圆上一点，所以， 将代入，得， 所以椭圆的标准方程为. （2） 因为为关于原点的对称点，所以，直线的方程为. 设，则直线的方程为， 联立得，可得， 由点在椭圆内，易知， 不妨令，则，， 所以. 又， 所以为常数， 则需满足为常数，（此式为与无关的常数，所以分子与分母对应成比例） 即，解得. 将代入，可得，得， 所以为的中点， 所以. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题，以及椭圆中三角形面积问题，难度较大，解答本题的关键在于结合弦长公式以及将面积比转化为边长比. 19．（17分）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”： ①；②. (1)若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（，用表示）； (2)若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用表示）； (3)记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 【答案】(1)或 (2)或 (3)不能，理由见解析 【知识点】求等差数列前n项和、数列新定义、求等比数列前n项和 【思路引导】（1）结合曼德拉数列的定义，分公比是否为1进行讨论即可求解； （2）结合曼德拉数列的定义，首先得,然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解； （3）记中非负项和为，负项和为，则，进一步，结合前面的结论以及曼德拉数列的定义得出矛盾即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为. 若，则由①得，得， 由②得或. 若，由①得，，得，不可能. 综上所述，. 或. （2）设等差数列的公差为， ， ， 即， 当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾， 当时，据“曼德拉数列”的条件①②得， ， ，即， 由得，即， . 当时，同理可得， 即. 由得，即， . 综上所述，当时，，当时，. （3）记中非负项和为，负项和为，则， 得，，，即. 若存在，使，由前面的证明过程知： ，，，，，，，，且. 若数列为阶“曼德拉数列”， 记数列的前项和为，则. ， 又，， . 又， ，，，， ， 又与不能同时成立， 数列不为阶“曼德拉数列”. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到，，，，，，，，且，由此即可顺利得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高考第一次模拟考试 高三数学(新高考一、二卷)02 (考试时间:120分钟 试卷满分:150分) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共58分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2.已知复数满足,则复数在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在建筑中很多圆顶建筑的顶部会使用抛物线形状,例如飞机库、穹顶体育场和博物馆采用了抛物线形状的圆顶,因为这种形状可以提供良好的结构稳定性,并能使空间更加开阔.图1为某机场的一个飞船库,它的一个纵截面呈抛物线形,将其置于平面直角坐标系中,如图2.已知该飞船库的底面宽度约为,高度约为,则此纵截面所在抛物线的方程为( ) A. B. C. D. 4.若,则的最小值为( ) A. B. C. D. 5.纸箱内有除颜色外完全相同的4个白球、3个绿球,纸箱内有除颜色外完全相同的3个白球、3个绿球,先从纸箱中随机摸出一个球放入纸箱中,然后从纸箱中随机摸出一个球.事件“从纸箱中随机摸出一个绿球”记为,事件“从纸箱中随机摸出一个绿球”记为,则( ) A. B. C. D. 6.如图,已知是圆柱下底面圆的圆心,为圆柱的一条母线,为圆柱下底面圆周上一点,,,为等腰直角三角形,则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 7.已知函数在上是减函数,且满足,若,,,则,,的大小关系为( ) A. B. C. D. 8.如图,已知四棱锥的底面是边长为2的菱形,为的交点,平面,,则四棱锥的内切球的体积为( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知平面向量,则下列结论正确的是( ) A. B. C.若,则 D.若,则 10.已知函数,则下列说法正确的是( ) A.当时,的单调递减区间为 B.当时,方程在上恰有两个实数根,则实数的取值范围为 C.当时,点是图象的一个对称中心 D.当时,函数的最大值为,最小值为 11.已知函数,则下列说法正确的是( ) A.若,则函数的单调递减区间为 B.若,则函数在区间上的最大值为0 C.若,则 D.若,则 第二部分(非选择题 共92分) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.若的展开式式中含的项为 . 13.写出一个同时满足下列三个性质的函数: . ①的图象在轴的右侧; ②若,则; ③当时,(为函数的导函数). 14.在平面直角坐标系中,已知双曲线的左、右焦点分别为,过分别作倾斜角为的直线,分别交双曲线的左、右两支于点(均在轴上方),过与的交点作倾斜角为的直线与轴交于点,若,则双曲线的离心率为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.(13分)设函数. (1)若,求函数的单调区间; (2)设函数在上有两个零点,求实数的取值范围.(其中是自然对数的底数) 16.(15分)软笔书法又称中国书法,是我国的国粹之一,琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为我国的独有艺术,软笔书法不仅能够陶冶情操,培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力,拓展孩子的思维与手的灵活性,对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数(每人只学习一种书体),得到相关数据统计表如下: 书体 楷书 行书 草书 隶书 篆书 人数 24 16 10 20 10 (1)该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况,得到下表,其中. 认真完成 不认真完成 总计 男生 女生 总计 60 若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关,求该培训机构学习软笔书法的女生的人数. (2)现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人,再从这10人中随机抽取4人,记4人中学习行书的人数为,求的分布列及数学期望. 参考公式及数据:. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17.(15分) 如图,已知四棱柱的底面为平行四边形,四边形为矩形,平面平面为线段的中点,且. (1)求证:平面; (2)若,直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值. 18.(17分) 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点,且到,的距离之和为8. (1)求椭圆的标准方程; (2)设为关于原点的对称点,斜率为的直线与线段(不含端点)相交于点,与椭圆相交于点,若为常数,求与面积的比值. 19.(17分) 设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”: ①;②. (1)若某阶“曼德拉数列”是等比数列,求该数列的通项(,用表示); (2)若某阶“曼德拉数列”是等差数列,求该数列的通项(,用表示); (3)记阶“曼德拉数列”的前项和为,若存在,使,试问:数列能否为阶“曼德拉数列”?若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 2 / 6 学科网(北京)股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考一、二卷）02·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$