5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第1课时）周期性与奇偶性课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性 1、理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期； 2、会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性。 学习目标 复习回顾 正余弦函数的图象 复习回顾 新知探究 思考：以往对函数性质的研究是怎样研究的，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质? 定义域、值域、单调性、奇偶性、最大（小）值,对称性 世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质. (1)定义域： 新知探究 正弦函数y=sinx的定义域是实数集R 正弦函数的值域是[－1,1]. (2)值域： 正弦曲线分布在两条平行线y=1和y=－1之间 y=1 y=-1 余弦函数的值域是[－1,1] 余弦函数y=cosx的定义域也是实数集R 新知探究 (1)定义域： (2)值域： 新知探究 思考：由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2π个单位重复出现， 这一规律的理论依据是什么？ 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x+T∈D 且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 由定义知：函数f(x)=sinx为周期函数，2kπ为这个函数的周期. 新课讲授 函数的周期性 2π,4π,……,－2π,－4π，……2kπ (k∈Z且k≠0)都是正弦函数的周期 思考1：周期函数的周期是否惟一？正、余弦函数的周期有哪些？ 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 思考2：正弦函数的最小正周期是多少？余弦函数呢？ 正、余弦函数的最小正周期都是2π 非零常数T f(x＋T)＝f(x) 最小正数 ×　 √ × 2．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，则函数f(x)的一个周期为________． 解析：由题得f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数的周期为6. 3．设函数f(x)(x∈R)是以2为最小正周期的周期函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝(x－1)2，则f(3)＝________． 解析：因为函数f(x)的周期为2，故f(3)＝f(1)＝(1－1)2＝0. 6 0 函数周期性的理解 (1)定义式f(x＋T)＝f(x)中“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立． (2)周期函数的周期不唯一．若T是函数f(x)的最小正周期，则kT(k∈Z，k≠0)也是函数f(x)的周期． (3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期．如f(x)＝C(C为常数，x∈R)是周期函数，但没有最小正周期．　 2π　 2π π 是奇函数 是偶函数 新课讲授 函数的奇偶性 奇　 偶 利用定义判断三角函数奇偶性的三个步骤 【变式探究】 1．(条件变式)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？ 关于周期性、奇偶性的求值问题 (1)利用周期性可以将绝对值较大的角变为较小的角，其作用类似于诱导公式一，不同点在于周期性适用于所有的函数，诱导公式一只适用于三角函数． (2)奇偶性在求值中的作用在于自变量正负值的转化，即f(x)与f(－x)之间的转化求值．　 (2)若g(x)是奇函数，求φ的值． √ 课堂巩固 自测 √ √ √ 1．已学习：周期函数的概念；三角函数的周期；三角函数的奇偶性；三角函数的周期性与奇偶性的综合应用． 2．须贯通：求三角函数周期的三种方法；三角函数的奇偶性仍坚持“定义域优先”的原则，一般先根据诱导公式把函数式化简后再判断． 3．应注意：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正弦曲线与余弦曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形．　 eq \a\vs4\al(一　函数的周期性) 1．周期函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个eq \o(□,\s\up1(1))____________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且eq \o(□,\s\up1(2))____________，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个eq \o(□,\s\up1(3))____________就叫做f(x)的最小正周期． 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)因为sin(eq \f(π,3)＋eq \f(π,3))＝sineq \f(π,3)，所以eq \f(π,3)是正弦函数y＝sin x的一个周期．(　　) (2)若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为3的周期函数．(　　) (3)函数f(x)＝1是周期函数，最小正周期是1.(　　) eq \a\vs4\al(二　正弦、余弦函数的周期性) 函数 y＝sin x y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 eq \o(□,\s\up1(1))________ eq \o(□,\s\up1(2))________ 　(对接教材例2)求下列三角函数的最小正周期T. (1)f(x)＝sin(x＋eq \f(π,3))； 【解】　令z＝x＋eq \f(π,3)，因为sin(2π＋z)＝sin z，所以f(2π＋z)＝f(z) ，则f((x＋2π)＋eq \f(π,3))＝f(x＋eq \f(π,3))，所以函数f(x)＝sin(x＋eq \f(π,3)) 的最小正周期T＝2π. 　(对接教材例2)求下列三角函数的最小正周期T. (2)f(x)＝eq \f(1,2)cos(2x＋eq \f(π,3))； 【解】　方法一(定义法)：因为f(x)＝eq \f(1,2)cos(2x＋eq \f(π,3))＝eq \f(1,2)cos(2x＋eq \f(π,3)＋2π) ＝eq \f(1,2)cos[2(x＋π)＋eq \f(π,3)]＝f(x＋π) ， 即f(x＋π)＝f(x) ， 所以函数f(x)＝eq \f(1,2)cos(2x＋eq \f(π,3)) 的最小正周期T＝π. 方法二(公式法)：因为f(x)＝eq \f(1,2)cos(2x＋eq \f(π,3))，所以ω＝2. 又最小正周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2)＝π ， 所以函数f(x)＝eq \f(1,2)cos(2x＋eq \f(π,3)) 的最小正周期T＝π. 　(对接教材例2)求下列三角函数的最小正周期T. (3)f(x)＝|sin x|. 【解】　方法一：因为f(x)＝|sin x| ， 所以f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)， 故f(x)的最小正周期为π. 方法二：画出函数 y＝|sin x|的图象，如图所示，   由图象可知 f(x)的最小正周期T＝π. 求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq \f(2π,|ω|). (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可．　 解析：由题意，函数y＝2cos(eq \f(π,3)－ωx) 的最小正周期为4π， 可得eq \f(2π,|－ω|)＝4π ，解得|ω|＝eq \f(1,2)， 所以ω＝±eq \f(1,2). [跟踪训练1] (1)函数y＝2cos(eq \f(π,3)－ωx)的最小正周期为4π，则ω＝________． ±eq \f(1,2) (2)函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos（x＋\f(π,3)）))的最小正周期为________．　 解析：函数y＝|cos(x＋eq \f(π,3))|的图象如图， 由图知y＝|cos(x＋eq \f(π,3))|的最小正周期为π. eq \a\vs4\al(三　正弦、余弦函数的奇偶性) 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 R 奇偶性 eq \o(□,\s\up1(1))______函数 eq \o(□,\s\up1(2))______函数 对称轴 x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (eq \f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z) 　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin(－eq \f(1,2)x＋eq \f(π,2))； 【解】　f(x)的定义域为R，f(x)＝cos(eq \f(1,2)x)，因为f(－x)＝cos(－eq \f(1,2)x)＝cos(eq \f(1,2)x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数． 　判断下列函数的奇偶性： (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； 【解】　由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－sin x>0，,1＋sin x>0))得－1<sin x<1， 解得函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}，关于原点对称， 又f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x) ＝－[lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)]＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． 　判断下列函数的奇偶性： (3)f(x)＝eq \f(1＋sin x－cos2 x,1＋sin x). 【解】　由1＋sin x≠0，即sin x≠－1，解得x≠－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，定义域不关于原点对称， 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数． [跟踪训练2] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝cos(eq \f(3,2)π＋2x)＋x2sin x； 解：f(x)＝sin 2x＋x2sin x，f(x)的定义域为R， 又f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－(sin 2x＋x2sin x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． [跟踪训练2] 判断下列函数的奇偶性： (2)f(x)＝eq \r(1－2cos x)＋eq \r(2cos x－1). 解：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2cos x≥0，,2cos x－1≥0))解得cos x＝eq \f(1,2)， 所以f(x)＝0，x＝2kπ±eq \f(π,3)，k∈Z，易知，f(x)的图象既关于原点对称，又关于y轴对称，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． 四　三角函数的奇偶性与周期性的应用 角度1　利用奇偶性与周期性求值 　定义在R上的偶函数f(x)，其最小正周期是π，且当 x∈[0，eq \f(π,2)]时，f(x)＝cos x，则f(eq \f(5π,3))的值为________． 【解析】　因为f(x)的最小正周期是π，所以f(eq \f(5π,3))＝f(2π－eq \f(π,3))＝f(－eq \f(π,3))， 又因为f(x)是偶函数，所以f(eq \f(5π,3))＝f(－eq \f(π,3))＝f(eq \f(π,3))＝coseq \f(π,3)＝eq \f(1,2). 解：f (eq \f(5π,3))＝f(2π－eq \f(π,3))＝f(－eq \f(π,3))＝－f(eq \f(π,3))＝－coseq \f(π,3)＝－eq \f(1,2). 2．(条件变式)若将本例条件改为“定义在R上的偶函数f(x)，f (x＋eq \f(π,2)) ＝－f(x)，且f(eq \f(π,3))＝1”，试求f(eq \f(5π,3))的值． 解：因为f(x＋eq \f(π,2))＝－f(x)， 所以f(x＋π)＝－f(x＋eq \f(π,2))＝f(x)， 所以函数y＝f(x)的周期T＝π. 又f(x)是偶函数， 因此f(eq \f(5π,3))＝f(2π－eq \f(π,3))＝f(－eq \f(π,3))＝f(eq \f(π,3))＝1. 角度2　利用奇偶性与周期性求参数 已知函数f(x)＝sin(ωx＋eq \f(π,3))(ω>0)的最小正周期为π，g(x)＝f(x＋φ)(|φ|<eq \f(π,4))． (1)求ω的值； 【解】　因为函数f(x)的最小正周期为T＝π，且ω>0，所以由T＝eq \f(2π,ω)＝π， 得ω＝2. 【解】　由(1)知f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,3))，因为g(x)＝f(x＋φ)，所以g(x)＝sin[2(x＋φ)＋eq \f(π,3)]，即g(x)＝sin(2x＋2φ＋eq \f(π,3))， 又因为g(x)是奇函数，所以2φ＋eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z，即φ＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,6)，k∈Z， 又因为|φ|<eq \f(π,4)， 所以k＝0，即φ＝－eq \f(π,6). 关于周期性、奇偶性的参数问题 (1)求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0)的形式，再利用公式T＝eq \f(2π,|ω|)求解． (2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(A≠0)或y＝Acos ωx(A≠0)．　 [跟踪训练3] (1)已知f(x)＝2sin(ωx＋φ)，φ∈(0，π)是定义在R上的偶函数，且最小正周期T＝4π，则f(eq \f(π,3))＝(　　) A.eq \r(3) B．－eq \r(3) C．1 D．－1 解析：因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期T＝4π，所以eq \f(2π,|ω|)＝4π，解得ω＝±eq \f(1,2)，因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)是定义在R上的偶函数，所以φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，因为φ∈(0，π)，所以φ＝eq \f(π,2) ，所以f(x)＝2sin(±eq \f(1,2)x＋eq \f(π,2))＝2cos(±eq \f(1,2)x)，所以f(eq \f(π,3))＝2cos(±eq \f(1,2)×eq \f(π,3))＝2cos(±eq \f(π,6))＝eq \r(3).故选A. eq \f(5π,6) (2)若函数f(x)＝cos(2x＋φ－eq \f(π,3))(φ>0)是奇函数，则φ的最小值为________． 解析：因为函数f(x)＝cos(2x＋φ－eq \f(π,3))(φ>0)是奇函数，所以φ－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得φ＝kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，所以φ的最小值为eq \f(5π,6). 1．若函数y＝sin(2ωx＋eq \f(π,3))最小正周期为π，则ω的值为(　　) A．2 B．±2 C．1 D．±1 解析：由周期公式可得T＝eq \f(2π,|2ω|)＝π，所以|2ω|＝eq \f(2π,π)＝2，所以ω＝±1.故选D. 2．(多选)若f(x)＝2cos[2(x＋eq \f(π,4))]，则下列结论正确的是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．最小正周期为π D．最小正周期为2π 解析：因为f(x)＝2cos(2x＋eq \f(π,2))＝－2sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π，又因为f(－x)＝－2sin(－2x)＝2sin 2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数； 可得f(x)是最小正周期为π的奇函数．故选AC. －eq \f(1,2) 3．(教材P203T4改编)设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈[0，eq \f(π,2))时，f(x)＝sin x；当x∈[eq \f(π,2)，π)时，f(x)＝cos x，则f(eq \f(11π,3))＝________． 解析：因为T＝π，所以f(eq \f(11π,3))＝f(3π＋eq \f(2π,3))＝f(eq \f(2π,3))，又当x∈[eq \f(π,2)，π)时，f(x)＝cos x，所以f(eq \f(11π,3))＝f(eq \f(2π,3))＝coseq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2). 4．(教材P203T3改编)判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝sin(eq \f(3,4)x＋eq \f(3π,2))； 解：f(x)的定义域是R，且f(x)＝sin(eq \f(3,4)x＋eq \f(3π,2))＝－coseq \f(3,4)x，所以f(－x)＝－cos(－eq \f(3,4)x)＝－cos eq \f(3,4)x＝f(x)，则f(x)是偶函数． 4．(教材P203T3改编)判断下列函数的奇偶性． (2)f(x)＝x cos x. 解：f(x)的定义域是R，又f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． $$