浙江省杭州市部分重点中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

高二年级数学学科 考生须知： 1.本卷满分 150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线 的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.已知直线l的方向向量 平面α的法向量 若直线l与平面α平行，则实数x的值为( ) A.7 B.-7 C.2 D.-2 3.已知直线l₁: mx-y-3=0与直线l₂:2x+(m+3)y+1=0垂直，则实数m的值为( ) A.3 B.-3 C.2 D.1 4.已知双曲线 的焦距为2 ，则m的值为( ) A. 4 B.2 C.1 5. 圆 与圆 的公共弦长为( ) B. 6. 已知等差数列{an}, m,n,p∈N*,则“2n=m+p” 是 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.在直三棱柱 中, ∠BAC=90°, AB=AC=AA₁=4, P是棱B₁C₁的中点, 则C到平面ABP的距离为( ) 试卷第 1 页，共4页 8.已知F为抛物线(C: 的焦点，其中O为坐标原点，直线l交抛物线C于A、B两点，且 点F 关于直线l的对称点为H，则直线OH 的斜率的最大值为( ) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.给出下列命题，其中正确的有 ( ) A.空间中任意两个向量一定共面 B.若空间向量 则a与b的夹角为钝角 C. 若 是空间的一个基底，则a,b,c中任意两个向量不共线 D. 若 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底 10.已知等差数列{{an},{bn}的前n项和分别为 Sn, Tn, 则下列结论正确的有 ( ) A. 若 则{an}为常数列 B. 若 则{bₙ}为常数列 C. 若 则 D. 若 则 }是递增数列 11.在平面直角坐标系中，圆锥曲线可以用方程来表示，图形的几何性质被方程的系数所确定.曲线的方程是依赖于坐标系的，而方程所表示的曲线的几何性质是不依赖于坐标系的，所以表示这些几何性质的量，如圆锥曲线的离心率，焦距等，不会由于直角坐标系的位置变化而变化.已知某圆锥曲线的方程为 P(m,n)是曲线上任意一点，则( ) A.该曲线关于坐标原点O对称 的取值范围是 C.该曲线是双曲线，离心率为 D.该曲线是椭圆，离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知公比不为±1的等比数列{an}满足 则正整数m的值为 . 试卷第 2 页，共4页 13. 已知圆( 其中O为坐标原点，直线 与圆O交于点A、B ,则△AOB 的面积的最大值为 . 14.在正方体. 中，点P 是线段. 上的一点，则直线DP与平面. 所成角的正弦值的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知数列{an}的前n项和为 (1) 求 的通项公式； (2) 设 求数列 的前n项和 Tn. 16. (15分) 在平面直角坐标系中，曲线 与坐标轴的交点都在圆C上. (1)求圆C的方程； (2)设P是直线l：y=2x-2上的一点，过P向圆C引两条切线，切点为A、B，使得△PAB 为正三角形，求点 P 的坐标. 17. (15分) 如图,在四棱锥P--ABCD中, E是PD的中点. (1) 证明: CE∥平面PAB; (2)若 求平面EBC 与平面PAB夹角的余弦值. 试卷第 3 页，共4页 18.(17分) 已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为4. (1)求椭圆C的方程； (2) 过点T(t,0)(t<0)的直线l₁交圆. 于点M 、N ,直线l₂:y= kx垂直MN,且交C于点P、Q, 交MN于点A. 记△PAN , △QAM 的面积分别为S₁, S₂. (i)若 求t的取值范围； (ii)是否存在常数t，使得 为定值?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 19.(17分) 已知数列{an}, {bₙ}, 定义{an}和{bₙ}的“生成数列{cn}”为: : 其中 表示 cn-1和 两个数中较小的数；定义{an}和{bn}的“生成点列 Pn”为： (1) 若 求c₂的值及线段P₁P₂的长； (2) 若 求c₂的所有可能值； (3)若{P₁,P₂,P₃,P₄,P₅}={(12,10),(6,1),(20,12),(12,12),(2,7)},求c₅的最大值，并求出此时所有可能的数列{an}与{bₙ}. 试卷第 4 页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$高二年级数学学科 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟： 2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号： 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效： 4考试结束后，只需上交答题卷。 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 需 1.直线√3x-y+2025=0的倾斜角为() 最 A.30° B.60 C.120 D.150° 铷 2.已知直线1的方向向量u=(1,5,4),平面a的法向量n=(3,5,x),若直线1与平面a平行，则 敏 实数x的值为() 长 A.7 B.-7 C.2 D.-2 3.已知直线l:mx-y-3=0与直线l2:2x+(m+3)y+1=0垂直，则实数m的值为() 8 A.3 B.-3 C.2 D.1 郑 4.已知双曲线 x2 =1的焦距为2√3，则m的值为() 多 和 A.4 B.2 c.1 D.2 期 5.圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-2x+2y-6=0的公共弦长为（) A.2W3 B.5 C.V14 D.14 2 蕾 6.已知等差数列{an},m,m,p∈N,则“2n=m+p”是“2an=an+a。”的() A,充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.在直三棱柱ABC-A,B,C中，∠BAC=90°，AB=AC=A4=4,P是棱B,C的中点，则 C到平面ABP的距离为() 茶 A.2V5 B.25 c.6V5 D 85 试卷第1页，共4页 8.己知F为抛物线C:y2=x的焦点，其中O为坐标原点，直线I交抛物线C于A、B两点， 且01.0i=- 点F关于直线1的对称点为H,则直线OH的斜率的最大值为《) 2 .2W2 A. B.- 25 D. 3 3 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.给出下列命题，其中正确的有() A.空间中任意两个向量一定共面 B.若空间向量a=(2,2,-3),b=(（1,1,1),则a与b的夹角为钝角 C.若{a,b,c是空间的一个基底，则a,b,c中任意两个向量不共线 D.若{a,b,c是空间的一个基底，则{a,b,c-a码也是空间的一个基底 10.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,T,则下列结论正确的有() A若多=，1，则{a,}为常数列 T2n-1 B.若=1，则{，}为常数列 T2n-1 C.若S=n+1 受则爱等 D.若=n+1 72n一'则{ab.}是递增数列 11.在平面直角坐标系中，圆锥曲线可以用方程来表示，图形的几何性质被方程的系数所确定曲 线的方程是依赖于坐标系的，而方程所表示的曲线的几何性质是不依赖于坐标系的，所以表示这 些几何性质的量，如圆锥曲线的离心率，焦距等，不会由于直角坐标系的位置变化而变化.已知某 圆锥曲线的方程为x2+xy+y2=1,P(m,n)是曲线上任意一点，则() A.该曲线关于坐标原点O对称 B.m2+n2的取值范围是 C.该曲线是双曲线，离心率为√2 √6 D.该曲线是椭圆，离心率为 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知公比不为±1的等比数列{an}满足a12413=a2am,则正整数m的值为一 试卷第2页，共4页 13.已知圆0：x2+y2=5,其中O为坐标原点，直线1：x+my-1=0(m∈R)与圆O交于点A、 B,则△AOB的面积的最大值为 14.在正方体ABCD-AB,C,D中，点P是线段BC上的一点，则直线DP与平面ACD所成 角的正弦值的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 己知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=n2 (1)求{an}的通项公式： （2)设九，=，求数列伍，}的前n项和工 a an+l 16.(15分) 在平面直角坐标系中，曲线y=x2-4x+3与坐标轴的交点都在圆C上. (1)求圆C的方程： (2)设P是直线：y=2x-2上的一点，过P向圆C引两条切线，切点为A、B,使得 △PAB为正三角形，求点P的坐标. 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PD=V2,AB=BC=号AD=1, BAD=LABC=分E是PD的中点 (1)证明：CE∥平面PAB; (2)若PC=√2，求平面EBC与平面PAB夹角的余弦值. 试卷第3页，共4页 18.(17分) 已知椭圆c:+节=1(a之b>0)的离心率为，长轴长为4， (1)求椭圆C的方程； (2)过点T(t,0)t<0)的直线l交圆x2+y2=b2于点M、N,直线L2:y=x垂直MN, 且交C于点P、Q,交MN于点A.记△PAN,△OAM的面积分别为S,S2· (1)若三=号，求t的取值范围： S23 (ⅱ)是否存在常数t,使得S+S,为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 圜 却 19.(17分) 已知数列{an},{b},定义{a}和{b}的“生成数列{c}”为：9=a+b, 长 Cn=bn+min{c,a1+a2++an}(n≥2，n∈N),其中min{cn-wa+a2++a.}表 招 示cn-和a+a++an两个数中较小的数；定义{a}和{b}的“生成点列Pn”为： P(a,b)(neN） 郝 (1)若4=2,42=3，=4，b2=1,求c2的值及线段PB的长； 期 (2)若{B,P}={12,10),(2,7)},求c,的所有可能值： (3)若{，，，P,}={12,10),(6,1),(20,12),2,12,(2,7)},求c,的最大值，并求 出此时所有可能的数列{an}与{色} 试卷第4页，共4页