精品解析：安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

高二数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知曲线的一条切线的方程为，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知是各项均为实数的等比数列，，则（ ） A. -1 B. 1 C. -1或1 D. 2 4. 设函数的导数为，且函数，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 5. 若为等差数列的前项和，是方程 的两根，则（ ） A. B. C. D. 6. 曲线在处的切线的倾斜角为，曲线 在处的切线的倾斜角为，则 （ ） A. B. C. D. 7. 某学校组织名学生进行大型舞蹈节目排练，这些学生总共站成四排，四排的人数恰好依次成等比数列.排练中又来了7名同学参加，这7名同学有1名站在第一排，3名站在第二排，3名站在第三排，此时四排学生人数恰好依次成等差数列，则m=（ ） A. 56 B. 65 C. 72 D. 84 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的图象上至少存在两个不同的点，，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”．已知函数是“垂切函数”，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知一个多边形的周长为155 cm，各边的长成等差数列，最短的边长为2 cm，公差为3 cm，则（ ） A. 该多边形的内角和为1440° B. 该多边形最长的边长为29 cm C. 该多边形有一条边长为16 cm D. 较长的五条边长度之和为115 cm 11. 宠物很可爱，但宠物身上会有很多细菌，小狗“旺财”的主人每月(30天)定期给“旺财”滴抹杀菌剂.刚开始使用的时候，细菌的数量还会继续增加，但随着时间的推移，细菌增加的幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少.若已知使用杀菌剂t小时后细菌的数量(万个)大致符合函数，为的导数，下列结论正确的是（ ） A. 滴抹杀菌剂可以杀死大量细菌，却无法杀死所有细菌 B. 表示当时，细菌数量以每小时的速度在减少 C. 若存在a，b，且，使，则 D. 细菌数量在时的瞬时变化率为0 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的最小值为____. 13. 已知数列{an}共有5项且都是正数.该数列的前3项成等比数列，后3项成等差数列，数列{an}的前n项和为Sn， 则 ____. 14. 已知数列是首项为，公差为的等差数列，集合，则集合的子集个数为____． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求a的值； （2）设 ，求函数的单调区间. 16. 已知数列的首项，且的前项和满足 . （1）求证:数列是等比数列. （2）求使 成立的最小正整数的值. 17. 已知两城市的距离是150 km，根据交通法规及省油原则，两城市之间的公路车速应限制在 ，假设油价是8元/L，以 km/h的速度行驶时，汽车的耗油率为L/h，其他费用是40元/h.当车速是多少时，才能使行车的总费用最少?(精确到1 km/h，参考数据：) 18. 已知等差数列为递减数列，且 ，. （1）求数列的通项公式; （2）若数列的前项和 ，求的最小值. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线的倾斜角； （2）判断函数在其定义域上的单调性； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】，即，所以， ，则，所以，即， 所以是的充要条件. 2. 已知曲线的一条切线的方程为，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因为，令，解得，则切点坐标为，可得. 3. 已知是各项均为实数的等比数列，，则（ ） A. -1 B. 1 C. -1或1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意， . 设的公比为q，则 ，所以. 4. 设函数的导数为，且函数，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 取，得，则， 所以 . 5. 若为等差数列的前项和，是方程 的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由是方程 的两根，可得，再结合等差数列前n项和公式及下标的性质可知计算出. 【详解】由是方程 的两根，可得，再由等差数列前n项和公式及下标的性质可知，. 6. 曲线在处的切线的倾斜角为，曲线在处的切线的倾斜角为，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出倾斜角，进而求出结果. 【详解】，所以曲线在处的切线的斜率为0，故倾斜角. ，所以曲线在处的切线的斜率 ， 可得切线倾斜角，所以. 7. 某学校组织名学生进行大型舞蹈节目排练，这些学生总共站成四排，四排的人数恰好依次成等比数列.排练中又来了7名同学参加，这7名同学有1名站在第一排，3名站在第二排，3名站在第三排，此时四排学生人数恰好依次成等差数列，则m=（ ） A. 56 B. 65 C. 72 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】分别假设等比数列为，公比为，等差数列为，公差为，根据题意列出， ， ，，求解. 【详解】设等比数列为，公比为，等差数列为，公差为， 由题意可得， ， ，， 从而 　①， 　②， ③， 由①②③可解得，，所以 . 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将的大小比较转化为比较，构造函数，即比较，求导分析函数的单调性可得结果. 【详解】依题意，，，， 令，，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为 ，所以，即，即. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的图象上至少存在两个不同的点，，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”．已知函数是“垂切函数”，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先求导，再根据导数的定义，及切线垂直的性质即可求解． 【详解】由，则，， 又该函数为“垂切函数”，则存在正实数，，使得 成立， 则当时，，且，即它们的乘积不可能为； 当时，能保证与一正一负，且使它们的乘积为， 综上，，故结合选项可得的值可以是或． 10. 已知一个多边形的周长为155 cm，各边的长成等差数列，最短的边长为2 cm，公差为3 cm，则（ ） A. 该多边形的内角和为1440° B. 该多边形最长的边长为29 cm C. 该多边形有一条边长为16 cm D. 较长的五条边长度之和为115 cm 【答案】ABD 【解析】 【详解】设该多边形为边形，最长的边长为，则，解得或 (舍去)， 所以该多边形为10边形，内角和为，A项正确； 最长的边长为29 cm， B项正确； 可知，令，解得，不符合题意，C项错误； 较长的五条边的长度之和为 ，D项正确. 11. 宠物很可爱，但宠物身上会有很多细菌，小狗“旺财”的主人每月(30天)定期给“旺财”滴抹杀菌剂.刚开始使用的时候，细菌的数量还会继续增加，但随着时间的推移，细菌增加的幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少.若已知使用杀菌剂t小时后细菌的数量(万个)大致符合函数，为的导数，下列结论正确的是（ ） A. 滴抹杀菌剂可以杀死大量细菌，却无法杀死所有细菌 B. 表示当时，细菌数量以每小时的速度在减少 C. 若存在a，b，且，使，则 D. 细菌数量在时的瞬时变化率为0 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题意，可得. 对于A项， ，所以杀菌剂不能杀死所有细菌，A正确； 对于B项，因为 ，所以当时，细菌数量以的速度在减少，B正确； 对于C项，若存在a，b，且，使，此时， 不妨设， 可知 ， 求导可得， 当时，，单调递减，此时 ，即， 当时，，单调递减，此时 ，即， 当时，，当，此时，， 所以，可得，即，C错误； 对于D项，因为 ，所以当时，瞬时变化率为0，D正确. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的最小值为____. 【答案】 【解析】 【分析】求函数的定义域，再利用导数判断其单调性，结合函数单调性求最值. 【详解】函数的定义域为，， 令，得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为. 13. 已知数列{an}共有5项且都是正数.该数列的前3项成等比数列，后3项成等差数列，数列{an}的前n项和为Sn， 则 ____. 【答案】8 【解析】 【详解】设后3项的公差为d，前3项的公比为q，由 可得， 所以，即， 解得或. 所以或. 当时， ， 当时， . 所以 . 14. 已知数列是首项为，公差为的等差数列，集合，则集合的子集个数为____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等差数列的公式得到的通项，再结合正弦型函数的周期，及集合元素的互异性得到集合，进而得到集合的子集个数． 【详解】由题意得， 则，所以其周期， 又， ， ， ， ， ，…… 结合集合元素的互异性，得， 即集合有个元素，故集合的子集个数为． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求a的值； （2）设 ，求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）求导，利用已知可得，求解即可； （2）结合（1）可得，求导，利用和，解不等式可求得单调区间. 【小问1详解】 由，得， 又因为，所以，解得； 【小问2详解】 由（1）得，所以， 所以，求导得 ， 令，解得，令，解得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 16. 已知数列的首项，且的前项和满足 . （1）求证:数列是等比数列. （2）求使 成立的最小正整数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）3 【解析】 【小问1详解】 因为，， 所以， 当时，两式相减可得，即， 因为，即，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可知，， 故， ，即，解得， 所以使成立的最小正整数的值为. 17. 已知两城市的距离是150 km，根据交通法规及省油原则，两城市之间的公路车速应限制在 ，假设油价是8元/L，以 km/h的速度行驶时，汽车的耗油率为L/h，其他费用是40元/h.当车速是多少时，才能使行车的总费用最少?(精确到1 km/h，参考数据：) 【答案】53 【解析】 【分析】先根据题意列出总费用关于车速的函数，再通过导数找到函数的极小值，也就是最小值. 【详解】由题意可设总费用为且，则行车的时间为， 于是， 则，由，得， 当 时，，单调递减， 当 时，，单调递增， 故当 时，取得极小值，也是最小值. 18. 已知等差数列为递减数列，且 ，. （1）求数列的通项公式; （2）若数列的前项和 ，求的最小值. 【答案】（1）； （2）10 【解析】 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为， 联立解得或， ∵等差数列为递减数列，， ， . 【小问2详解】 由(1)知，故，可得 ， 化简整理得 ，解得或，又，所以的最小值为10. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线的倾斜角； （2）判断函数在其定义域上的单调性； （3）证明：. 【答案】（1） （2）在定义域上单调递增 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求，代入得到切线斜率，根据关系斜率等于倾斜角的正切值，结合倾斜角取值范围即可求解， （2）先确定的定义域，对的分子构造辅助函数，通过求导分析辅助函数的符号，根据的符号决定的单调性， 可得结论； （3）设，利用导数判断函数的单调性，分，两种情形证明结论. 【小问1详解】 因为，故， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 设切线的倾斜角为，则，且， 所以，故曲线在点处的切线的倾斜角为， 【小问2详解】 由已知函数的定义域为，， 设，则， 当时，，单调递增，故， 因此，在单调递增， 当时，，单调递减，故， 因此，在单调递增， 设，则， 令，则，故， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，所以， 所以当时， ，故 ， 当时， ，故 ， 综上所述，在定义域上单调递增， 【小问3详解】 设，则， 由（2）， 又，所以， 所以在上单调递增，， 当时，，故， 所以，故，即， 当时，，故， 所以，故，即， 综上可知，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $