精品解析：山西省晋中市介休市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

介休市2024—2025学年第一学期期末质量评估试题（卷） 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，为射线延长线上一点，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入算二个方程消去得，从而求解，这种解法体现的数学思想是（　　） A. 转化思想 B. 分类讨论思想 C. 数形结合思想 D. 公理化思想 5. 如图1，用五个边长均为1的小正方形拼成了一个“T”字型图形，然后将这个“T”字图形剪拼成一个如图2所示的大正方形，那么这个大正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 6. 七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具，可以阐明若干重要几何关系，其原理便是古算术中的“出入相补原理”．它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图，是由七巧板拼成的正方形，若点G的坐标为，点P的坐标为，则点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 某校评选先进班集体， 从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为100，所占比例如下表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 八（1）班这四项得分依次为80，90，86，70，则该班四项综合得分（满分100）为（ ） A. 81.5 B. 83 C. 84.5 D. 85 8. 如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至米．如图，是秋千摆动过程示意图，其中为秋千的绳索固定点，为部分地面平台，绳索，，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 莴笋是一种营养价值极高的蔬菜．实践小组观察记录了莴笋的成长过程，下图表示莴笋苗的成长高度y（）与观察时间x（天）的函数图象，则莴笋成长的最大高度是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：__________．（填写“”，“”或“”） 12. 如图所示的扇形统计图描述了某校在一次卫生评比中，对八（1）班的卫生的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为___________分． 13. 抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知，， ，则的度数为______ ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度． 15. 如图，在长方形中，，，把将长方形沿直线折叠，使点B落在点E处，交于点F，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算下列各题： （1） （2） 17. 解下列方程组： （1） （2） 18. 为了方便市民绿色出行和锻炼身体，环保人士倡导大家使用共享单车，图1是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中，，，．若，求的度数． 19. 综合与实践 课题 如何确定斜挎包最佳挎带长度？ 素材1 如图，是一款斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使挎带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计） 素材2 对该斜挎包的挎带长度进行测量，设单层的部分长度是，双层部分的长度是，得到如下数据： 单层部分长度 … 4 6 8 10 … 150 双层部分长度 … 73 72 71 m … n 根据上述的素材，解决以下问题： （1）根据表中数据的规律可得： ， ； （2）请你利用待定系数法，求出y与x的函数表达式； 20. 门头沟区深挖区域绿水青山教育资源，以区域山水和历史人文资源为素材，开展跨学科实践活动．某校为调研学生的学习成效．举办“跨学科综合实践活动”成果作品比赛．十名评委对每组同学的参赛作品进行现场打分．对参加比赛的甲，乙，丙三组同学参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲．乙两组同学参赛作品得分的折线图： b．丙组同学参赛作品得分： 9　　4　　9　　9　　10　　9　　10　　8　　8　　10 c．甲，乙，丙三组同学参赛作品得分的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 甲组 8.6 9 9 乙组 8.6 8.5 丙组 8.6 9 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中_____，______； （2）在参加比赛的小组中，如果某组同学参赛作品得分的个数据的方差越小，则认为评委对该组同学参赛作品的评价越一致．据此推断：在甲，乙两组同学中，评委对______组同学的参赛作品评价更一致（填“甲”或“乙”） （3）如果每组同学的最后得分为去掉十名评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该组同学的参赛作品越优秀．据此推断：在甲，乙，丙三组同学中，参赛作品最优秀的是______组同学（填“甲”或“乙”或“丙”）． 21. 如图，直线与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线相交于点A． （1）求出点A的坐标； （2）求的面积； 22. 根据以下素材，探索完成任务： 如何设计购买方案？ 素材1 某校30名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和2张B场馆门票共需130元，购买3张A场馆门票和1张B场馆门票共需190元．C场馆门票为每张15元． 素材2 由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 在出发前，某同学初步统计了大家的参观意向，其中有12位同学想参观A场馆，9位同学想参观C场馆，其余同学想参观B场馆，求在大家初步意向下所需花费的最少门票总额． 任务3 拟定购买方案 到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最终参观C场馆的同学人数多于参观A场馆的同学人数，且最终购买三种门票共花费了750元，请你写出符合条件的所有购买方案． 23. 在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点G放置在直线上，旋转三角板． （1）如图1，在边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作，若，求的度数 （2）如图2，过点E作，若平分，平分，求的度数； （3）将三角板绕顶点G转动，过点E作，并保持点E在直线的上方．在旋转过程中，探索与之间的数量关系（请直接写出你探索的结论）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 介休市2024—2025学年第一学期期末质量评估试题（卷） 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：的算术平方根是； 故选B． 2. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，为射线延长线上一点，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得出，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 故选： B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，求一个数的立方根，根据二次根式的性质，立方根的定义，二次根式的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、；原式运算错误，不符合题意； B、，原式运算错误，不符合题意； C、，原式运算错误，不符合题意； D、，原式运算正确，符合题意； 故选D． 4. 我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入算二个方程消去得，从而求解，这种解法体现的数学思想是（　　） A. 转化思想 B. 分类讨论思想 C. 数形结合思想 D. 公理化思想 【答案】A 【解析】 【分析】根据解二元一次方程组的方法即可求解． 【详解】解：将第一个方程代入算二个方程消去得，是代入消元法解二元一次方程组，体现了转化思想， 故选：． 【点睛】本题主要考查对解二元一次方程组解法的理解，掌握转化思想解决数学问题是解题的关键． 5. 如图1，用五个边长均为1的小正方形拼成了一个“T”字型图形，然后将这个“T”字图形剪拼成一个如图2所示的大正方形，那么这个大正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的实际运用，根据题意得到五个小正方形面积，进而可得到大正方形的面积、边长，即可解题． 【详解】解： “T”字型图形由五个边长均为1的小正方形组成， “T”字型图形面积为5， 大正方形的面积是5， 大正方形的连长是， 故选A． 6. 七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具，可以阐明若干重要几何关系，其原理便是古算术中的“出入相补原理”．它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图，是由七巧板拼成的正方形，若点G的坐标为，点P的坐标为，则点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键． 直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案． 【详解】解：确定平面直角坐标系如图所示： ， ∴点Q的坐标为， 故选：B． 7. 某校评选先进班集体， 从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为100，所占比例如下表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 八（1）班这四项得分依次为80，90，86，70，则该班四项综合得分（满分100）为（ ） A. 81.5 B. 83 C. 84.5 D. 85 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，根据题意和加权平均数的计算方法，可以计算出八（1）班四项综合得分（满分100），本题得以解决． 【详解】解：（分）， 即八（1）班四项综合得分（满分100）为83分， 故选：B． 8. 如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用两个一次函数的交点坐标解二元一次方程组，解题的关键在于能够准确求出P点的坐标． 首先利用一次函数的解析式求出b的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∵直线与直线相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选C． 9. 如图，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至米．如图，是秋千摆动过程示意图，其中为秋千的绳索固定点，为部分地面平台，绳索，，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由，则，设米，则米，然后由勾股定理即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴， 解得：， 故选：． 10. 莴笋是一种营养价值极高的蔬菜．实践小组观察记录了莴笋的成长过程，下图表示莴笋苗的成长高度y（）与观察时间x（天）的函数图象，则莴笋成长的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用，一次函数解析式．由题意知，，，待定系数法求线段的解析式为，将代入，计算求解即可．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意知，，， 设线段的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴线段的解析式为， 将代入， ∴， ∴莴笋高度最高为， 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：__________．（填写“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较实数的大小，利用估算法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∴； 故答案为： 12. 如图所示的扇形统计图描述了某校在一次卫生评比中，对八（1）班的卫生的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为___________分． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义及扇形统计图，熟练掌握出现次数最多的数为众数是解题的关键．根据扇形统计图结合众数的定义求解即可． 【详解】解：∵分占，人数最多， ∴众数为分， 故答案为：． 13. 抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知，， ，则的度数为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，延长交于点，由，得，然后根据三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，当时，，求出点的坐标，进而求出的解析式，联立与，求出点的坐标即可得到答案．解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， 由题意知点的坐标为， 设， 将代入得， ∴， ∴， ∴线段对应的函数表达式为：， 由题意可知，则， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， ∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度，为， 故答案为：15． 15. 如图，在长方形中，，，把将长方形沿直线折叠，使点B落在点E处，交于点F，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求得，由折叠的性质，得，，，证得，可得，设，则，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 在中，， 由折叠的性质，得，，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 故的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的性质、解一元二次方程，证明得出是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算下列各题： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先化简各式，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘方和乘法运算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用代入消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可； 【小问1详解】 解： 将①代入②得： 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：原方程组可化为： 得：③ 得， 解得：， 把代入①得， 解得：， ∴原方程组的解是． 18. 为了方便市民绿色出行和锻炼身体，环保人士倡导大家使用共享单车，图1是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中，，，．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．由，，可得，进而得到，再根据三角形的内角和定理求出，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ． 19. 综合与实践 课题 如何确定斜挎包最佳挎带长度？ 素材1 如图，是一款斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使挎带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计） 素材2 对该斜挎包的挎带长度进行测量，设单层的部分长度是，双层部分的长度是，得到如下数据： 单层部分长度 … 4 6 8 10 … 150 双层部分长度 … 73 72 71 m … n 根据上述的素材，解决以下问题： （1）根据表中数据的规律可得： ， ； （2）请你利用待定系数法，求出y与x的函数表达式； 【答案】（1）70；0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，表格表示函数关系式，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法 （1）由表格可知，单层部分的长度增加，双层部分的长度就减少，进而得出答案； （2）由表格数据可知，y与x成一次函数关系，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，单层部分的长度增加，双层部分的长度就减少， 则， ． 【小问2详解】 解：由表格数据可知，单层部分的长度每增加，双层部分的长度就减少，因此y与x成一次函数关系，设，把时，，把6时，代入得： ，解得： ∴y与x的函数表达式为． 20. 门头沟区深挖区域绿水青山教育资源，以区域山水和历史人文资源为素材，开展跨学科实践活动．某校为调研学生的学习成效．举办“跨学科综合实践活动”成果作品比赛．十名评委对每组同学的参赛作品进行现场打分．对参加比赛的甲，乙，丙三组同学参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲．乙两组同学参赛作品得分的折线图： b．丙组同学参赛作品得分： 9　　4　　9　　9　　10　　9　　10　　8　　8　　10 c．甲，乙，丙三组同学参赛作品得分的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 甲组 8.6 9 9 乙组 8.6 8.5 丙组 8.6 9 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中_____，______； （2）在参加比赛的小组中，如果某组同学参赛作品得分的个数据的方差越小，则认为评委对该组同学参赛作品的评价越一致．据此推断：在甲，乙两组同学中，评委对______组同学的参赛作品评价更一致（填“甲”或“乙”） （3）如果每组同学的最后得分为去掉十名评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该组同学的参赛作品越优秀．据此推断：在甲，乙，丙三组同学中，参赛作品最优秀的是______组同学（填“甲”或“乙”或“丙”）． 【答案】（1）8，9 （2）乙 （3）丙 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义，即可求解； （2）分别计算甲、乙两组的方差，即可求解； （3）根据题意，分别求出甲、乙、丙三组的最后得分，即可得出结论． 【小问1详解】 解：乙组的成绩中8分出现的次数最多，出现了5次， 故乙组的众数为8分，即， 丙组的得分从小到大排列为： 4　　8　　8　　9　　9　　9　　9　　10　　10　　10 第5个与第6个得分都为9分， 故丙组得分的中位数为：， 故答案为：8，9； 【小问2详解】 解：甲组得分的方差为： ， 乙组得分的方差为： ， ， 评委对乙组同学的参赛作品评价更一致， 故答案为：乙； 【小问3详解】 解：甲组最后得分为：， 乙组最后得分为：， 丙组最后得分为：， ， 参赛作品最优秀的是丙组同学， 故答案为：丙． 【点睛】本题考查了折线统计图，加权平均数，众数，中位数，方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． 21. 如图，直线与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线相交于点A． （1）求出点A的坐标； （2）求的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出点的坐标，是解题的关键： （1）联立两条直线解析式，进行求解即可； （2）求出点坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：联立， 解得：， ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 过点A作轴， ∵点A的坐标为， ， 当时，， ， ∴点C的坐标为， ， ． 22. 根据以下素材，探索完成任务： 如何设计购买方案？ 素材1 某校30名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和2张B场馆门票共需130元，购买3张A场馆门票和1张B场馆门票共需190元．C场馆门票为每张15元． 素材2 由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 在出发前，某同学初步统计了大家的参观意向，其中有12位同学想参观A场馆，9位同学想参观C场馆，其余同学想参观B场馆，求在大家初步意向下所需花费的最少门票总额． 任务3 拟定购买方案 到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最终参观C场馆的同学人数多于参观A场馆的同学人数，且最终购买三种门票共花费了750元，请你写出符合条件的所有购买方案． 【答案】任务1：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价40元； 任务2：在大家初步意向下所需花费的最少门票总额960元； 任务3：共有2种购买方案，方案1：购买10张A场馆门票，4张B场馆门票，6张C场馆门票；方案2：购买5张A场馆门票，8张B场馆门票，12张C场馆门票． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数混合运算的应用、二元一次方程的应用等知识点，正确建立方程组和代数式是解题关键． 任务1：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，根据两种购买方案所需金额列出方程组求解即可； 任务2：直接根据意义列式，然后根据有理数的四则混合运算计算即可； 任务3：设购买A场馆门票m张，B场馆门票n张，则购买C场馆门票，根据预算可得，最后根据n为正整数进行列举分析即可解答． 【详解】解：任务1：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元， ，解得：． 答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价40元． 任务2： 任务3：设购买A场馆门票m张，B场馆门票n张，则购买C场馆门票， 依题意得： ， ∴． 又∵m，n均为正整数， ∴或． ∴共有2种购买方案， 方案1：购买10张A场馆门票，4张B场馆门票，6张C场馆门票； 方案2：购买5张A场馆门票，8张B场馆门票，12张C场馆门票． 23. 在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点G放置在直线上，旋转三角板． （1）如图1，在边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作，若，求的度数 （2）如图2，过点E作，若平分，平分，求的度数； （3）将三角板绕顶点G转动，过点E作，并保持点E在直线的上方．在旋转过程中，探索与之间的数量关系（请直接写出你探索的结论）． 【答案】（1） （2） （3）①当点F在直线的上方时，；②当点F在直线与直线之间时，；③当点F在直线的下方时，． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义： （1）根据平行线的性质可知，结合平角的定义及，可求出的度数； （2）过点F作，得到，通过平行线的性质把和转化到得到，再由角平分线的定义得到，则； （3）分三种情形：①当点F在直线的上方时，②当点F在直线与直线之间时,③当点F在直线的下方时，分别利用平行线的性质解决问题即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， 同理可得； 【小问3详解】 解：①如图，当点F在直线的上方时，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； ②当点F在直线与直线之间时，过点F作，如下图： 由（2）可知：； ③当点F在直线的下方时，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 综上所述，①当点F在直线的上方时，； ②当点F在直线与直线之间时，； ③当点F在直线的下方时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $