精品解析：湖北省宜昌市夷陵区实验初中教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

夷陵区实验初中教育集团2024年秋期中质量监测 九年级数学试题 满分：120分考试用时：120分钟 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效．考试结束，只交答题卡． 一、单选题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，一块含角的直角三角板绕点顺时针旋转到，当在一条直线上时，三角板的旋转角度为（ ） A. B. C. D. 4. 关于二次函数．下列说法错误的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 时，的值随值的增大而增大 D. 当时，函数有最小值为5 5. 若是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 6. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝120°，则∠CDB等于（　　） A. 25° B. 30° C. 45° D. 60° 7. 要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（　　） A. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 8. 如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，设修建的路宽应x米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 4 10. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______． 12. 武汉军运会结束后，部分运动员赛后相互赠送了共132件纪念品，若设这部分运动员有x人，可列方程为_____． 13. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 14. 已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__________． 15. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程有两个互异的实根，其中正确的结论________． 三、解答题 16. 解一元二次方程： （1） （2） 17. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，求证：． 18. 关于x的方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若，是方程的两根，且，求a的值． 19. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），求的长． 20. 如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程的解为_____，_____； （2）当时，直接写出的取值范围为______； （3）方程有实数根，的取值范围是_____； （4）当时，直接写出的取值范围是_____； （5）若不等式无解，则n的取值范围是______． 21. 如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，连接，，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 红布李（李子的一种）含有丰富的营养成分，并且具有养生和美颜的功效，所以自古就被冠以“五果之首”，深受人们的喜爱，我市属亚热带半湿润季风气候区，四季分明、光照充足、热量丰富，比较适合红布李生长，光明村种植有大片的红布李，某“乡村振兴”电商平台为光明村农户销售红布李，运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克．市场调查发现，每周的红布李销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系如图所示： （1）请直接写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围； （2）求当红布李的售价为多少元时，光明村农户一周的收入最大？最大收入是多少元？ （3）今年七月下旬我市天晴少雨，气温持续在37℃上下，红布李成熟非常快，根据光明村这一时期红布李的产量，一周的销售量不少于6000千克，求本周光明村农户获得的最大收入和红布李售价分别为多少元？ （4）该平台制定新政策：每销售一千克红布李便向村福利院捐款a元．实施新政策后发现，农户每周的收入依然随售价的增大而增大，请直接写出a的最小值是______元． 23. 在中，，将绕点逆时针旋转得． （1）如图，将绕点逆时针旋转得，求的大小； （2）如图，交于点，求证：点是中点； （3）在绕点旋转一周的过程中，线段长度的最大值为______． 24. 抛物线与轴交于A，B两点，点在点的右边，与轴交于点，且过点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接、，点是线段上的动点（不含端点A，B），过点E作交于点，连接．求面积的最大值． （3）如图2，是定直线上一动点，连接、，直线交抛物线于点．直线交抛物线于点，连接，直线是否会经过定点，若经过定点，请求出这个定点．若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 夷陵区实验初中教育集团2024年秋期中质量监测 九年级数学试题 满分：120分考试用时：120分钟 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效．考试结束，只交答题卡． 一、单选题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程”进行求解即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，故符合题意； B、不是一元二次方程，故不符合题意； C、不是一元二次方程，故不符合题意； D、不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：A． 2. 下列图形是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 3. 如图，一块含角的直角三角板绕点顺时针旋转到，当在一条直线上时，三角板的旋转角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解答的关键是掌握对应点与旋转中心的连线所成的夹角就是旋转角．根据对应点与旋转中心的连线所成的夹角就是旋转角即可解答． 【详解】点与点为对应点， 为旋转角度， 且， 三角板的旋转角度为， 故选：A． 4. 关于二次函数．下列说法错误的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 时，的值随值的增大而增大 D. 当时，函数有最小值为5 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次函数的图像与性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，，即图像与轴的交点坐标为，则此项正确，不符合题意； B、二次函数的对称轴为直线，则图像的对称轴在轴的右侧，此项正确，不符合题意； C、∵二次函数的对称轴为直线， ∴当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大， 则此项错误，符合题意； D、∵二次函数的对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，函数有最小值为5，则此项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． 5. 若是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根与系数的关系即可得到x1+x2的值． 【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+3x-5=0的两根， ∴x1+x2=-3． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 6. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝120°，则∠CDB等于（　　） A. 25° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】由题意解得∠BOC＝60°，再根据圆周角定理∠BOC=2∠CDB解题即可． 【详解】解：∠AOC＝120° ∠BOC＝60° ∠BOC=2∠CDB ∠CDB=30° 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 7. 要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（　　） A. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【解析】 【分析】先求出原抛物线顶点坐标为，平移后抛物线顶点坐标为，然后由此确定平移规律． 【详解】∵， ∴该抛物线的顶点坐标是， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴平移的方法可以是：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法是解本题的关键． 8. 如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，设修建的路宽应x米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键．假设出修建的路宽应x米，利用图形的平移法，将种植地平移拼接为长方形，即可列出方程，进一步求出x的值即可． 【详解】解：设修建的路宽应x米，根据题意可列方程为， 故选：C． 9. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】连接，旋转得到，三线合一得到垂直平分，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 设，则：，， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，中垂线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用勾股定理构造方程进行求解，是解题的关键． 10. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【详解】①当时， ∵正方形的边长为， ∴； ②当时， ， 所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合， 故选A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键． 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点关于原点对称点的坐标是 故答案为： 12. 武汉军运会结束后，部分运动员赛后相互赠送了共132件纪念品，若设这部分运动员有x人，可列方程为_____． 【答案】x（x﹣1）＝132． 【解析】 【分析】设这部分运动员有x人，则每人送（x﹣1）个纪念品，根据送出纪念品的总数＝人数×每人送出纪念品数，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】若设这部分运动员有x人，则每名运动员所赠的纪念品为：（x﹣1）件， 那么x名运动员共赠：x（x﹣1）件， 所以，x（x﹣1）＝132． 故答案为x（x﹣1）＝132． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即可列出一元二次方程． 13. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【解析】 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 14. 已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__________． 【答案】y2˂ y1˂y3（y3>y1>y2 也可） 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小． 【详解】二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图像开口方向向上，对称轴是x=-2， A(-4，y1) 距对称轴的距离是2，B(-1，y2)距对称轴的距离是1， C(2，y3) 距对称轴的距离是4 所以y2˂ y1˂y3 故答案为：y2˂ y1˂y3 【点睛】此题考查的是二次函数的图像与性质，求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键． 15. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程有两个互异的实根，其中正确的结论________． 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质和一元二次方程根的判别式：利用对称轴及图象判断①和②；根据交点坐标及对称轴得另一个交点坐标的范围，当时，代入可判断③；根据顶点坐标公式可判断④，利用一元二次方程根的判别式可判断⑤；掌握一元二次方程根的判别式及二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：由图象得：，， 顶点坐标为， 对称轴为：，即：，则， ，故①正确； ，故②错误； 抛物线的一个交点在点和之间，对称轴为， 抛物线的另一个交点在点和之间， 当时，，故③错误； 顶点坐标为， ，，故④正确； 原方程移项，得：， ，故⑤正确， 则正确的结论为：①④⑤， 故答案为：①④⑤． 三、解答题 16. 解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是本题的解题关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 则或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 则或， 解得：． 17. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，求证：． 【答案】 证明：是等边三角形， ，． 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，． ． ． 在和中， ， ． ． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．根据旋转前后对应边相等可得，再证，即可证明． 【详解】略 18. 关于x的方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若，是方程的两根，且，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：①正确掌握一元二次方程根的判别式，②正确掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据“有两个不相等的实数根”，结合一元二次方程根的判别式，得到关于a的一元一次不等式，解之即可， （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，结合，再进一步解答即可． 【小问1详解】 解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 整理得：， 解得：， 即a的取值范围为：； 【小问2详解】 解：根据题意得： ，， ∵， ∴， ∴， 整理，得． 解得，． ∵当时，结合（1）可得： 故a的值是． 19. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设长为，则的长为，再根据长方形的面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设长为，则的长为， 根据题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， 答：长为． 20. 如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程的解为_____，_____； （2）当时，直接写出的取值范围为______； （3）方程有实数根，的取值范围是_____； （4）当时，直接写出的取值范围是_____； （5）若不等式无解，则n的取值范围是______． 【答案】（1）；1 （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标，注重数形结合的思想是解题的关键． （1）利用因式分解法，即可求解； （2）根据二次函数图象在x轴上方部分所对自变量的取值范围解答即可； （3）根据二次函数图象即可求解； （4）把解析式转化成顶点式，可得时，y的最小值为，再把代入得，，即可求解； （5）将不等式无解转化为转化为函数图象在轴上或轴上方时，求的取值范围，则，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴，， 故答案为：，1； 【小问2详解】 解：∵的根为，1， ∴二次函数的图象与x轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵方程有实数根， ∴方程有实数根， ∴， 即：； 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵， ∴时，y的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：； 【小问5详解】 解： ， ∴， 令， ∴不等式无解，即无解， ∴问题转化为函数图象在轴上或轴上方时，求的取值范围， ∴， 解得：， 故答案为：． 21. 如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，连接，，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明:连接， 为的直径，为弦，于点， ，，， ， ， ，， ， ， . （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理，和等量代换的思想，正确应用定理是解题的关键． （1）连接，利用垂径定理及其推论，圆周角定理，等量代换思想即可证明； （2）根据题意，得，结合为的直径，得到，继而得到，利用三角函数计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解:根据题意，得， ， ， ， 为的直径， ， ， 在中，， ， 解得:， ． 22. 红布李（李子的一种）含有丰富的营养成分，并且具有养生和美颜的功效，所以自古就被冠以“五果之首”，深受人们的喜爱，我市属亚热带半湿润季风气候区，四季分明、光照充足、热量丰富，比较适合红布李生长，光明村种植有大片的红布李，某“乡村振兴”电商平台为光明村农户销售红布李，运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克．市场调查发现，每周的红布李销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系如图所示： （1）请直接写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围； （2）求当红布李的售价为多少元时，光明村农户一周的收入最大？最大收入是多少元？ （3）今年七月下旬我市天晴少雨，气温持续在37℃上下，红布李成熟非常快，根据光明村这一时期红布李的产量，一周的销售量不少于6000千克，求本周光明村农户获得的最大收入和红布李售价分别为多少元？ （4）该平台制定新政策：每销售一千克红布李便向村福利院捐款a元．实施新政策后发现，农户每周的收入依然随售价的增大而增大，请直接写出a的最小值是______元． 【答案】（1）， （2）最大收入和红布李售价分别为元和元 （3）最大收入和红布李售价分别为54000元和12元 （4）3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法以及二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再根据题意求出x的取值范围即可； （2）设本周光明村农户获得的收入为w元，根据题意列出w关于x的二次函数解析式，然后利用二次函数的性质解答； （3）设本周光明村农户获得的收入为w元，根据题意列出w关于x的二次函数解析式，然后利用二次函数的性质解答； （4）设实施新政策后发现，农户的收入为Q元，根据题意列出Q关于x的二次函数解析式，然后利用二次函数的性质解答． 【小问1详解】 解：设， 代入，；，得：， 解得：， ∴， ∵平台的运营成本为每千克3元，农户的保底收入为每千克3元，且售价不超过15元/千克， ∴； 【小问2详解】 设一周光明村农户获得的收入为w元， 由题意得：， ∴当时，w有最大值，最大值为元， 【小问3详解】 设本周光明村农户获得的收入为w元， 由题意得：， ，即， ， ， ，对称轴为， ∴当时，w有最大值，最大值为元， ∴本周光明村农户获得的最大收入和红布李售价分别为54000元和12元； 【小问4详解】 设实施新政策后发现，农户的收入为Q元， 由题意得：， ∵农户每周的收入依然随售价的增大而增大， ， 解得：， a的最小值为3元， 故答案为：3． 23. 在中，，将绕点逆时针旋转得． （1）如图，将绕点逆时针旋转得，求的大小； （2）如图，交于点，求证：点是中点； （3）在绕点旋转一周的过程中，线段长度的最大值为______． 【答案】（1） （2） 证明：过点作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是中点； （3） 【解析】 【分析】（）由旋转的性质可得，，，，进而根据等边对等角即可求解； （）过点作交的延长线于点，证明得到即可求证； （）由直角三角形的性质可得，取的中点，连接，根据直角三角形的性质和三角形中位线的性质可得，，再根据三角形三边关系可得（仅当点三点共线时相等），即得，据此即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 由旋转得，，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，，， ∴， ∴， 取的中点，连接， 在中，， ∴， ∵为中点，为中点， ∴， ∵（仅当点三点共线时相等）， ∴， ∴线段长度的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判断和性质，三角形三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 24. 抛物线与轴交于A，B两点，点在点的右边，与轴交于点，且过点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接、，点是线段上的动点（不含端点A，B），过点E作交于点，连接．求面积的最大值． （3）如图2，是定直线上一动点，连接、，直线交抛物线于点．直线交抛物线于点，连接，直线是否会经过定点，若经过定点，请求出这个定点．若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 过定点，理由如下： 设点，， 设直线的解析式为：，代入，， 有，解得：， 即直线的解析式为：， 同理：直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ∵直线，的交点在直线上运动， ∴， 解①得：，解②得， 即：，整理得：， 即：直线的解析式为：， 当时，， 即：直线经过定点． 【解析】 【分析】（1）由抛物线过点，对称轴为直线，利用待定系数法即可求解； （2）求得，，，得直线的解析式为，直线的解析式为，设点，求得直线的解析式为，进而求得，根据结合二次函数的性质即可求解； （3）设点，，求得直线的解析式为，同理：直线的解析式为，直线的解析式为，直线，的交点在直线上运动，求得，可知，整理得，结合直线的解析式，当时，，进而可知直线经过定点． 【小问1详解】 解：由题意可得：对称轴为直线， ∴， ∵抛物线过点， ∴，可得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 当时，，解得：，， 即：，， 当时，，即：， 设直线的解析式为：，可得，解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得直线的解析式为：， 设点， ∵， ∴设直线的解析式为：， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立得，解得：， ∴， 则 ， ∴当时，有最大值； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，面积问题，抛物线与直线的交点问题等，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关函数的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $