精品解析：河北省承德市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

承德市高中2024-2025学年第一学期高一年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章5.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C D. 3. 若幂函数的图象过点()，则是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 上的增函数 D. R上的增函数 4. 已知函数，且)的图象经过定点A，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. "”是“关于x的不等式有解”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则的大小关系是（ ） A B. C. D. 7. 如图，这是一块扇形菜地，是弧的中点，是该扇形菜地的弧所在圆的圆心，D为和的交点，若米，则该扇形菜地的面积是（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 25 B. 6 C. 10 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 为第四象限角 10. 已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 11. 已知函数则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则的值可以为 C. 存，使得在上单调递减 D. 若的值域为，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在世界级的比赛当中，参加滑雪大跳台项目的女子选手所进行的空中转体动作的旋转度数分为720度、900度、1080度、1260度、1440度5个维度，则1260度的弧度数为_______ 13. 已知函数，则函数的值域为_______ 14. 如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值：（为正数）. （2）若（且），求的值． 16. 已知 （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知函数 （1）证明：在内至少有一个零点． （2）讨论函数的零点个数. 18. 已知偶函数，，且在上单调递增． （1）比较与2的大小； （2）求不等式的解集； （3）若函数，且，且不等式在上恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数． （1）已知函数． ①求的解析式； ②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论． （2）讨论函数在定义域上的凹凸性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 承德市高中2024-2025学年第一学期高一年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章5.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次方程求得集合，利用交集运算，可得答案. 【详解】由，则． 故选：C. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数表达式有意义求函数的定义域. 【详解】由题意可得，解得或或． 所以函数的定义域为：. 故选：A 3. 若幂函数的图象过点()，则是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 上的增函数 D. R上的增函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数定义和待定系数法来求解幂函数，再结合幂函数的性质来进行判断即可. 【详解】设幂函数，则，解得， 所以， 由于该函数定义域为，故既不是奇函数也不是偶函数， 且是上的增函数，所以A、B、D都是错误的， 故选：C. 4. 已知函数，且)的图象经过定点A，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数恒过的定点来求解即可. 【详解】令，则， 所以过的定点的坐标为． 故选：B. 5. "”是“关于x的不等式有解”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出不等式有解的充要条件，再判断与的关系. 【详解】若关于的不等式有解，则，得． 由“”可以推出“”，由“”不能推出“”， 所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件． 故选：A 6. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性和0，1比较大小即可得解. 【详解】因为，所以． 故选：D. 7. 如图，这是一块扇形菜地，是弧的中点，是该扇形菜地的弧所在圆的圆心，D为和的交点，若米，则该扇形菜地的面积是（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】A 【解析】 【分析】先求得扇形的圆心角，然后求得米，再利用勾股定理和扇形面积公式求得正确答案. 【详解】如图，连接．因为是弧的中点，所以，米． 因为，所以，所以， 所以是等边三角形，则． 因米，所以米，米， 则该扇形菜地的面积是平方米． 故选：A. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 25 B. 6 C. 10 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求其最小值. 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为5． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 为第四象限角 【答案】AC 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义，结合象限角的定义，可得答案. 【详解】由题意得，AC正确，B错误． 易得为第二象限角，D错误． 故选：AC. 10. 已知函数定义域为，且为奇函数，当时，，则（ ） A. B. 图象关于点对称 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性结合“赋值法”可求，判断A的真假，根据奇函数的性质，可判断B的真假；根据函数满足的条件，递推可判断C的真假，再结合奇函数的性质，可判断D的真假. 【详解】对A：因为为奇函数，所以， 令，则，A正确． 对B：由，得，则，即的图象关于点对称，B错误． 对C：当时，，则，，，故C正确； 对D：根据C选项，递推可得：，因为，所以，则，得，故D正确． 故选：ACD 11. 已知函数则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则的值可以为 C. 存在，使得在上单调递减 D. 若的值域为，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据分段函数的解析式，代入值，可得答案； 对于BC，根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案； 对于D，根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值，可得答案. 【详解】由题意得，得，得，A正确； 若在上单调递增，则，得，B正确； 若在上单调递减，则，不等式组无解，C错误； 若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，在上单调递增，则，得，即． 当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得恒成立，即2． 综上，的取值范围为，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在世界级的比赛当中，参加滑雪大跳台项目的女子选手所进行的空中转体动作的旋转度数分为720度、900度、1080度、1260度、1440度5个维度，则1260度的弧度数为_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用角度与弧度的互化公式把角度化成弧度即可. 【详解】因为． 故答案为： 13. 已知函数，则函数的值域为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数单调性可得函数的值域，利用换元法整理函数，根据新函数的单调性可得答案. 【详解】易得是减函数，所以． 令，则，因为函数在上单调递增， 所以，即的值域为． 故答案为：. 14. 如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】设线段长，写出矩形的面积，由三角函数得到，然后写出的面积，从而表示出该风景区面积的表达式，由换元法将表达式化简为二次函数，由二次函数的对称轴求出最大值. 【详解】设，则，， 则， 则， 设该风景区面积为，则， 令，则， 即 函数对称轴， 即当时，面积取最大值，此时. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值：（为正数）. （2）若（且），求的值． 【答案】（1）8；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则进行计算. （2）根据换底公式先求出的值，再求的值. 【详解】解：（1）原式． （2）由题意得， 由，得，则，即． 故． 16. 已知 （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简函数式，进而求出，再利用诱导公式求得值. （2）由（1）的信息，利用齐次法求得值. 【小问1详解】 由， 得，所以. 【小问2详解】 . 17 已知函数 （1）证明：在内至少有一个零点． （2）讨论函数的零点个数. 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据零点存在性判断方法进行判断即可. （2）确定的解析式，利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间的零点个数问题，在数形结合，分类讨论函数零点的个数. 【小问1详解】 由题意得，， 因为的图象是一条连续不断的曲线，且， 所以在内至少有一个零点． 【小问2详解】 由题意得． 令，得． 令，函数， 则的零点个数等于的图象与直线的公共点个数． 的大致图象如图所示． 当时，的图象与直线的公共点个数为0，即函数的零点个数为0． 当或时，的图象与直线的公共点个数为1，即函数的零点个数为1． 当时，的图象与直线的公共点个数为2，即函数的零点个数为2． 18. 已知是偶函数，，且在上单调递增． （1）比较与2的大小； （2）求不等式的解集； （3）若函数，且，且不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用函数在上单调递减即可计算比较； （2）应用函数是偶函数结合函数的单调性解不等式即可； （3）分别应用函数在上单调递减，在上单调递增，结合对数不等式计算求解. 【小问1详解】 因为是偶函数，所以． 又在上单调递增，所以在上单调递减， 则，即． 【小问2详解】 由，得， 得，解得或， 即不等式的解集为． 【小问3详解】 当时，在上单调递减，在值域为，所以不等式不恒成立． 当时，在上单调递减，在上单调递增， 要使不等式在上恒成立，则，得，得，即． 综上，的取值范围为． 19. 已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数． （1）已知函数． ①求的解析式； ②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论． （2）讨论函数在定义域上的凹凸性. 【答案】（1）①；②是凹函数，证明见解析 （2）时，函数在定义域上为凸函数；时，函数在定义域上为凹函数 【解析】 【分析】（1）①利用配凑法，求函数解析式； ②采用作差法，比较与的大小，证明其为凹函数； （2）利用作差法，分和得其凸凹性. 【小问1详解】 ①根据题意，， 所以； ②是凹函数； ，且， 则 因为，所以， 所以，即， 故是凹函数. 【小问2详解】 ， 则 ， 因为， 所以， 所以当时，， 即，函数在定义域上为凸函数， 当时，， 即，函数在定义域上为凹函数. 【点睛】关键点点睛：利用作差法比较与的大小，从而得其凸凹性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$