精品解析：江西省景德镇市乐平市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

江西省景德镇市乐平市2024-2025学年九年级上学期期中考试 数学 试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中错误的是（ ） A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 四条边相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线垂直的矩形是正方形 4. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 5. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，动点P从菱形 的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在矩形 中，对角线与交于点 ，请添加一个条件：______使得矩形 是正方形．（只写一个） 8. 若，则______． 9. 如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，同时闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为_________． 10. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 11. 如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则______． 12. 在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=8，点E在BC上，CE=4，若点P是菱形ABCD四条边上异于点E的一点，CE=CP，则DP的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，，若，，求的长． 14. 如图，为菱形 的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 15. 在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀． （1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________； （2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率． 16. 若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 17. 如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4． （1）求CE的长； （2）求AB的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 19. 如图，在菱形 中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点． （1）证明：； （2）证明：． 20. 已知关于x的一元二次方程的根为． （1）若，求及m的值； （2）若一个等腰三角形的一边长为5，另两边恰好是此方程的两个实数根，求m的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米． （1）求大楼的高度为多少米（垂直地面）？ （2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，标杆应该向大楼方向移动多少米？ 22. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、． 备用图 （1）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）四边形能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，在矩形 中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形 是正方形，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省景德镇市乐平市2024-2025学年九年级上学期期中考试 数学 试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：D． 2. 如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的只有1种结果， 所以松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率为， 故选：A． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为:概率所求情况数与总情况数之比． 3. 下列说法中错误的是（ ） A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 四条边相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线垂直的矩形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形和正方形的性质和判定进行分析即可. 【详解】A、四个角相等的四边形则每个角为90°，所以是矩形，该说法正确，不符合题意； B、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，该说法错误，符合题意； C、对角线相等的菱形是正方形，该说法正确，不符合题意； D、对角线垂直的矩形是正方形，该说法正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了正方形和矩形的判定，理解相关判定定理是关键. 4. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 5. 如图所示，在矩形中，点 的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点 作轴的垂线交于点 ，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点 作轴的垂线交于点 ，连接． 点 的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 6. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到 中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到 中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到 中点时，的长为， 故选C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在矩形中，对角线 与 交于点，请添加一个条件：______使得矩形是正方形．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定，解题的关键是掌握：有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形．据此解答即可． 【详解】解：． 理由：∵四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 8. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的基本性质，由题意得到，再利用比例的基本性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 9. 如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，同时闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得随机闭合两个开关有六种情况，其中能使小灯泡发光的有2种，由此问题可求解． 【详解】解：由题意得：随机闭合两个开关有六种情况，其中能使小灯泡发光的有2种， ∴小灯泡发光的概率为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键． 10. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 【答案】2028 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 11. 如图，在中，延长 至点 ，使，过点 作，且，连接交 于点．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点 作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 12. 在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=8，点E在BC上，CE=4，若点P是菱形ABCD四条边上异于点E的一点，CE=CP，则DP的长为______． 【答案】8-4或4或4 【解析】 【分析】分点P位于边CD上、位于边AD上、位于边AB上三种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：当点P位于边CD上时，如图所示： ∵菱形ABCD中，AB=8，CE=4， ∴CD=8，CP=4， ∴DP=CD-CP=8-4； 当点P位于边AD上时，如图2所示： ∵菱形ABCD中，∠B=60°，AB=8， ∴△ACD是等边三角形， 过点C作CH⊥AD于点H， ∴AH=HD=4， 由勾股定理得CH=4， ∵CE=4， ∴点P与点H重合， ∴DP=4； 当点P位于边AB上时，过点P作PF⊥BC． ∵PC=CE=4，BC=8，∠B=60°， 同理PC⊥AB， ∴∠BCP=30°， ∴∠PCD=∠BCD-∠BCP=90°， 由勾股定理得DP=4． 综上，DP的长为8-4或4或4． 故答案为：8-4或4或4． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，，若，，求 的长． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和相似三角形的性质． （1）利用配方法求解即可； （2）利用相似三角形的性质列比例式，计算即可求解． 【详解】解：（1）， 配方得，即， ∴或， ∴，； （2）∵， ∴，即， ∴（负值舍去）． 14. 如图， 为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图 ，过点作 的垂线； （2）如图 ，点 为线段 的中点，过点作 的平行线． 【答案】（1） 即为 所求； （2） 即为所求． 【解析】 【分析】（ ）作直线 ，由菱形的性质可得，即 为 的垂线； （ ）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线 ，因为点 为线段 的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 15. 在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀． （1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________； （2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲获胜的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有3支签，写有“石头”的签有1支，且每支签被抽到的概率相同， ∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设分别用A、B、C表示“石头”、“剪子”、“布”，列表如下： 甲 乙 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲获胜的结果数有，，，共3种， ∴甲获胜的概率为． 16. 若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】第四轮传染后共有7056人患流感 【解析】 【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有144人患了流感，可求出x，进而求出第四轮过后，又被感染的人数． 本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：， 故， ∴或， ∴，（不合题意，舍去）， （人）． 答：第四轮传染后共有7056人患流感． 17. 如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4． （1）求CE的长； （2）求AB的长． 【答案】（1）CE＝；（2）AB＝． 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出AC即可解决问题； （2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，然后代入数据计算即可． 【详解】解：（1）∵FE∥CD， ∴＝，即＝， 解得，AC＝， 则CE＝AC﹣AE＝﹣4＝； （2）∵DE∥BC， ∴＝，即＝， 解得，AB＝． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据图形即可求解； （2）求解方程即可． 【小问1详解】 由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为 故答案为：， 【小问2详解】 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴剪去的正方形边长为 19. 如图，在菱形中，，对角线 与 相交于点 ，点为 的中点，连接 与 相交于点 ，连接并延长交 于点 ． （1）证明：； （2）证明：． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点为 的中点， ∴， ∴ ∵， ∴． （2） 证明：∵是等边三角形，，， ∴， ∴ ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定、三角形全等的判定等知识，熟练掌握菱形的性质和相似三角形的判定是解题关键． （1）先根据菱形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据定理即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知关于x的一元二次方程的根为． （1）若，求及m的值； （2）若一个等腰三角形的一边长为5，另两边恰好是此方程的两个实数根，求m的值． 【答案】（1） （2）m的值为5或7 【解析】 【分析】（1）先把代入原方程得，解得，此时方程化为，然后利用因式分解法解方程得到的值； （2）利用因式分解法解方程得到，讨论：当时，此时等腰三角形三边长为3、3、5，符合三角形三边的关系；当时，此时等腰三角形三边长为5、5、3，符合三角形三边的关系，从而得到满足条件的m的值． 【小问1详解】 把代入方程得， 解得， 方程化为， ， 或， 所以； 【小问2详解】 ， ， 或， 所以， 当时，解得，此时等腰三角形三边长为3、3、5，符合三角形三边的关系； 当时，解得，此时等腰三角形三边长为5、5、3，符合三角形三边的关系； 综上所述，m的值为5或7． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了等腰三角形的性质． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米． （1）求大楼的高度 为多少米（ 垂直地面 ）？ （2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼 上点G的高度米，标杆 应该向大楼方向移动多少米？ 【答案】（1）（米） （2）0.5米 【解析】 【分析】本题考查测高，涉及矩形判定与性质、三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握测高的题型及解法，灵活运用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键 （1）过点 作于点 ，交 于点，如图所示，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案； （2）过点 作于点交 于点 ，如图所示，设米，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点 作于点 ，交 于点，如图所示： 则四边形，四边形都是矩形， ∴米，米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 解：过点 作于点交 于点 ，如图所示： 设米， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴标杆AB应该向教学楼方向移动0.5米． 22. 如图，在 中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿 方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接 、． 备用图 （1）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）四边形能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）能， （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得中，即可知，然后问题可求证； （2）由（1）知且，即四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于 的方程，求解即可知； （3）四边形不为正方形，若该四边形是正方形即，即，此时，根据求得 的值，继而可得，可得答案． 【小问1详解】 四边形能够成为菱形，理由如下： ∵ 中，，， ． 在中，，， ， ，， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 即，解得：， 即当时，四边形是菱形； 【小问2详解】 四边形不能为正方形，理由如下： 当时，． ， ， ， ， 时， 但， 四边形不可能为正方形． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形、菱形、正方形的判定是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，在矩形中，点 为 边上不与端点重合的一动点，点是对角线 上一点，连接 ， 交于点 ，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求 的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 【答案】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证； （2）延长 交 于点 ，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出 的长； （3）设正方形的边长为，延长 交 于点 ，证明，得到，进而得到，勾股定理求出，进而求出 的长，即可得出结果． 【详解】解：（1）略 （2）延长 交 于点 ， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设正方形的边长为，则：， 延长 交 于点 ， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $