专题01 导数的概念及意义（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第二册）

专题01 导数的概念及意义 目录 【题型一 切线平行（垂直）问题】 2 【题型二 根据切线条数求参数】 3 【题型三 两条曲线公切线问题】 3 【题型四 与切线有关的距离问题】 4 【题型五 与切线有关的新定义问题】 4 一、导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即. 二、曲线的切线问题 （1）在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. （2）过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. （3）切线条数 已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解． （4）公切线 已知和存在（）条公切线问题 第一步：求公切线的斜率，设的切点，设的切点； 第二步：求公切线的斜率与； 第三步：写出并整理切线 （1）整理得： （2）整理得： 第四步：联立已知条件． 【题型一 切线平行（垂直）问题】 1．（23-24高二下·安徽池州·期中）已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南·模拟预测）已知函数的图象经过两点，且的图象在处的切线互相垂直，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海黄浦·三模）已知函数的图像在处的切线与在处的切线相互垂直，那么的最小值是 . 4．（23-24高二下·上海杨浦）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数 . 5．（23-24高二下·山东青岛）过点可以作函数两条互相垂直的切线，则实数的取值范围是 ． 【题型二 根据切线条数求参数】 1．（24-25高三上·上海·开学考试）经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 2．（23-24高二下·安徽安庆）若过点可以作曲线的三条切线，则（） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数的单调减区间是，过点存在与曲线相切的3条切线，则实数的取值范围为 4．（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知函数，则过点与曲线相切的直线有 条. 5．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则的取值范围是 ． 6．（24-25高三上·广西·期中）已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 . 7．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若过点作曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围是 ． 【题型三 两条曲线公切线问题】 1．（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 3．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为 . 4．（23-24高三上·江苏常州·开学考试）在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为 ． 5．（23-24高二下·江西·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【题型四 与切线有关的距离问题】 1．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）已知，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．8 2．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 . 4．（24-25高三上·河南南阳）不等式对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是 . 5．（23-24高二下·江西宜春）若实数a，b，c，d满足，则的最小值为 ． 【题型五 与切线有关的新定义问题】 1．（23-24高二下·江西景德镇·期末）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的用“作切线”来近似求函数零点的一种方法，已知函数，在图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列，称为“牛顿数列”.现取，则可知与的大小关系是 ，其中 . 2．（23-24高二上·全国·期末）如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：y=(其中是自然对数的底数)，O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为β，则 . 3．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）“以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的数学思想方法.在切点附近，用曲线在该点处的切线近似代替曲线就是这一思想的典型应用.曲线在处的切线方程为 ，已知，利用上述“切线近似代替曲线”的思想计算所得的结果为 .（结果用分数表示） 4．（24-25高三上·上海·期中）若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为，已知曲线. (1)判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由； (2)若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由； (3)对于任意的正实数，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由. 5．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； (1)若，求； (2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (3)若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏苏州）设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都）已知实数满足其中是自然对数的底数 , 则的最小值为（        ） A．8 B．10 C．12 D．18 3．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 二、填空题 5．（2025·河南郑州·模拟预测）已知直线l与函数均相切，则l的方程为 . 6．（2024·湖北·二模）已知定义在上的函数，，设曲线与在公共点处的切线相同，则实数 ． 7．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点是，则的值为 ． 8．（2024·浙江·模拟预测）若曲线有三条经过点的切线，则的范围为 ． 9．（23-24高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为为坐标原点，则的取小值为 . 10．（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）若函数与函数有两个公切线，则实数取值范围是 . 11．（23-24高三上·陕西西安·期中）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是 . 三、解答题 12．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）牛顿利用迭代思想给出了一种求高次代数方程近似解的方法，具体步骤如下： 初始步：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值； 第一步：作在点处的切线与x轴交点的横坐标为，称为r的1次近似值； 第二步：作在点处的切线与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值； …… 第n步：如上操作，得到，称为r的n次近似值； 终止步：在精确度的要求下，就可取为方程的近似解． 用牛顿法求函数的大于零的零点r的近似值，取． (1)求r的2次近似值； (2)证明：①；②． 13．（24-25高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数，. （1）若，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值； （2）若，试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在，研究值的个数，若不存在，请说明理由. 14．（24-25高三上·贵州黔西·阶段练习）已知函数． （1）函数在处的切线方程为，求的值； （2）当时，若曲线上存在三条斜率为的切线，求实数的取值范围． 15．（23-24高二上·海南海口·期末）已知函数是曲线和的一条公切线． (1)求实数的值； (2)过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 导数的概念及意义 目录 【题型一 切线平行（垂直）问题】 2 【题型二 根据切线条数求参数】 6 【题型三 两条曲线公切线问题】 13 【题型四 与切线有关的距离问题】 16 【题型五 与切线有关的新定义问题】 20 一、导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即. 二、曲线的切线问题 （1）在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. （2）过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. （3）切线条数 已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解． （4）公切线 已知和存在（）条公切线问题 第一步：求公切线的斜率，设的切点，设的切点； 第二步：求公切线的斜率与； 第三步：写出并整理切线 （1）整理得： （2）整理得： 第四步：联立已知条件． 【题型一 切线平行（垂直）问题】 1．（23-24高二下·安徽池州·期中）已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求导，得到，变形为，令，求导得到函数单调性，得到有两个不同的解，故，得到答案. 【详解】， 令，得， 设，则， 时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，当， 由题意，有两个不同的解， 即与的图像有两个不同的交点， ，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 2．（2024·河南·模拟预测）已知函数的图象经过两点，且的图象在处的切线互相垂直，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】构建，利用导数判断原函数单调性和值域，结合题意分析可知，运算求解即可. 【详解】因为，则， 构建，则， 当时，；当时，； 可知在上单调递增，在上单调递减， 且，当趋近于时，趋近于， 可知的值域为， 由题意可知：存在，使得， 则，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：求的值域为，根据导数的几何意义分析可知存在，使得，结合值域分析求解即可. 3．（2024·上海黄浦·三模）已知函数的图像在处的切线与在处的切线相互垂直，那么的最小值是 . 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】求出，根据导数的几何意义得到，根据余弦函数的最值可得且，或且，分两种情况求出，然后求出其最小值即可. 【详解】因为， 所以， 依题意可得， 所以, 所以且， 或且， 当且时， ，，，， 所以，，， 所以，，， 所以当或时，取得最小值. 当且时， ，，，， 所以，，， 所以，，， 所以当或时，取得最小值. 综上所述：的最小值是. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海杨浦）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】由可得， 则线在点处的切线的斜率为：， 故. 故答案为： 5．（23-24高二下·山东青岛）过点可以作函数两条互相垂直的切线，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本不等式求积的最大值 【分析】先把函数转化为分段函数，由切线相互垂直转化为斜率之积为，得到两切点的范围，，且，根据在两切线上可用表示出，结合的范围可求的取值范围. 【详解】当时， ，， 当时， ，，且， 设两切点横坐标分别为，，且， 因切线相互垂直，故，故， 故两切点分别为，， 切线方程分别为：，， 即，， 由题意为两切线的交点， 故，， 所以， 得 由得，即， 故 因，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是设出切点横坐标为，再写出切线方程，再解出切线方程的交点横坐标，根据切线斜率乘积为得，化简得，再利用基本不等式即可得到的范围. 【题型二 根据切线条数求参数】 1．（24-25高三上·上海·开学考试）经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】D 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求过一点的切线方程 【分析】设切点为，则切线的斜率为，又切线过点，可得，设，由导数的单调性和零点的存在性可得与轴有3个交点，则有3条切线. 【详解】设切点为，， 则切线的斜率为， 又切线过点， 所以， 则，设， 则，令， 解得或， 当和时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 又，， ，， 所以存在,；；， 所以与轴有3个交点， 则经过有3条切线. 故选：D. 2．（23-24高二下·安徽安庆）若过点可以作曲线的三条切线，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究函数图象及性质、用导数判断或证明已知函数的单调性、求过一点的切线方程、函数图象的应用 【分析】设切点为，利用导数的几何意义及条件可得关于的方程有三个不同的解，构造函数，利用导数研究函数的性质利用数形结合即得. 【详解】由题可得， 设切点，则，整理得， 由题意知关于的方程有三个不同的解， 设，， 由，得或，又， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，单调递增， 当时， 当时，，且，， 函数的大致图像如图所示， 因为的图像与直线有三个交点， 所以，即. 故选：D. 【点睛】利用导数研究零点问题： （1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像； （2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题； （3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究. 3．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数的单调减区间是，过点存在与曲线相切的3条切线，则实数的取值范围为 【答案】 【知识点】根据极值求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据题意，求得，设切点，得到切线方程为，将点代入得，设，结合题意，转化为有3个零点，利用导数求得函数的单调性与极值，列出不等式组，即可求解. 【详解】设函数，可得， 根据题意，可得的解集为， 可得且，解得，即 设点是过点的直线与曲线的切点， 则点处的切线方程为，即， 因为切线过点，可得， 又因为存在三条切线，所以方程有三个实根， 设，只需函数有3个零点， 又由，令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 要使得函数有3个零点，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知函数，则过点与曲线相切的直线有 条. 【答案】2 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、求过一点的切线方程 【分析】先判断不在曲线上，求函数的导数，设切点为，根据导数的几何意义得出切线的斜率，由点斜式写出切线方程，将点代入切线方程求出进而可以求出切线方程，得出结论． 【详解】曲线方程为，点不在曲线上， 设切点为，则点的坐标满足， 由，得， 由导数的几何意义知，在处的切线的斜率为， 故切线的方程为， 因为点在切线上，所以 联立得，解得或， 故所求切线方程为或， 则过点与曲线相切的直线有2条. 故答案为：2. 5．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究方程的根、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义得到，然后将经过且与曲线相切的直线有三条转化为与的图象有三个交点，求导，利用函数单调性画出大致图象，然后列不等式求解. 【详解】，设切点坐标为，切线斜率为， 当时，明显只有一条切线，故 ， 则，整理得， 经过且与曲线相切的直线有三条，即方程有三个解，即与的图象有三个交点， ，当或时，，所以在，上单调递增，当时，，所以在上单调递减， 因为，所以，又，，所以的大致图象如下： 所以，解得. 故答案为：. 6．（24-25高三上·广西·期中）已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根 【分析】求出切线方程为，代入点的坐标化简可得，设，依题意，直线与的图象有两个交点，利用导数研究函数的性质，进而作出草图，结合图象即可得解． 【详解】，设切点为， 则切线方程为， 将点代入切线方程得，，化简得， 设，则， 令，解得，令，解得或， 在，上单调递减，在上单调递增，且， 作出函数的大致图象如下图所示， 由图象可知，要使直线与的图象有两个交点，则， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形结合求解即可． 7．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若过点作曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究函数图象及性质、利用导数研究方程的根、求过一点的切线方程 【分析】由题意，设切点，利用相切性质得到关于的关系式，将切线条数问题转化为关于的方程解的个数问题求解，再分离参数转化为函数的图象与直线的交点个数问题，构造函数研究函数的单调性与最值，数形结合求的范围即可. 【详解】设切点为，， 故切线方程为， 将代入切线方程得， ， 过点作曲线的切线有且仅有两条, 则关于的方程有两解， 可转化为直线与函数的图象有两个交点. 令，则 ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 故的单调减区间，增区间是. 当时，，当时，， 且， 当与有且仅有两个交点时，， 故答案为：. 【题型三 两条曲线公切线问题】 1．（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、已知点到直线距离求参数 【分析】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，在根据导数的几何意义算. 【详解】依题意得，设直线的方程为， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， 设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得， 即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位， 和仍会保持相切状态，即时，， 综上所述，或. 故选：A 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【详解】设公共点为，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程. 【分析】设公共点为，则，即， 所以，所以， 由，，所以，， 又在公共点处有相同的切线，所以，即， 所以，则，所以， 所以公共点坐标为. 故答案为：. 3．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为 . 【答案】1 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式 【分析】利用导数求切点处的切线方程，可得，通过指数式对数式的运算，求出的值. 【详解】由，，有，， 在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为， 则有，得， 所以，可得. 故答案为：1. 4．（23-24高三上·江苏常州·开学考试）在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】设点的坐标为， 显然这两条曲线的公切线存在斜率，设为， 因此切线方程为， 设曲线的切点为，即， 由，所以过该切点的切线的斜率为， 则有， 设的切点为，即， 由，所以过该切点的切线的斜率为， 则有， 由题意可知：，于是有： ，得，或， 当时，则有， 当时，则有， 由可解，. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数的几何意义求出公切线的方程. 5．（23-24高二下·江西·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】（1）根据导数的几何意义，先求导数得到切线的斜率，利用点斜式可得方程； （2）先求两个函数的导数，利用公切线建立等量关系，求解方程可得答案. 【详解】（1）当时，，，. 曲线在处的切线方程为，即. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，. 曲线在点A处的切线为， 与曲线相切于点， 则且（*）， 由，则， 代入（*）得， 解得或. 当时，直线.当时，，直线. 故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或. 【题型四 与切线有关的距离问题】 1．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）已知，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】C 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求平行线间的距离 【分析】把求最小距离问题转化为曲线上的点与直线上的点两点间的距离的平方的最小值问题,转化为曲线的切线到直线的距离问题，借助平行线间的距离公式求得最小距离. 【详解】由题意，点在曲线上，点在直线上， 的几何意义就是曲线上的点与直线上的点两点间的距离的平方. 当点为曲线平行于直线的切线的切点， 且直线垂直于直线时，两点间的距离才可能最小. 又，令，解得或（舍去）， 所以切点为.切点到直线的距离 就是所要求的曲线上的点与直线上的点之间的最小距离， 故的最小值为. 故选：C. 2．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、求点到直线的距离 【分析】首先求平行于直线与曲线相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 3．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、反函数的性质应用、求点到直线的距离 【分析】依题意求出的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果. 【详解】由函数可得，即, 所以的反函数为, 由点在曲线上可知点在其反函数上， 所以相当于上的点到曲线上点的距离， 即， 利用反函数性质可得与关于对称， 所以可得当与垂直时，取得最小值为2， 因此两点到的距离都为1， 过点的切线平行于直线，斜率为1，即， 可得，即， 点到的距离，解得， 当时，与相交，不合题意； 因此， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”问题转化为两函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值. 4．（24-25高三上·河南南阳）不等式对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、解不含参数的一元二次不等式、函数不等式恒成立问题、求点到直线的距离 【分析】设，则可得，而分别在曲线和直线上，将直线平移恰好与曲线相切时，可求出的最小值，从而可解关于的不等式可得答案. 【详解】由题意设，则，所以， 因为分别在曲线和直线上， 所以将直线平移恰好与曲线相切时，切点到直线的距离最小，此时最小， 设切线为，切点为，则，得， 所以，得，则， 所以的最小值为点到直线的距离，， 即的最小值为， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为，，进一步转化为曲线上的点和直线的点的距离最小问题，考查数学转化思想，属于较难题. 5．（23-24高二下·江西宜春）若实数a，b，c，d满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】由题意可知点在曲线上.点在曲线上.由的最小值的几何意义就是曲线到曲线上点的距离的最小值.设出切点由斜率为，即可求出切点，利用点到直线的距离即可求出最值. 【详解】因为 所以. 所以点在曲线上. 点在曲线上. 的最小值的几何意义就是曲线到曲线上点的距离的最小值. 等价于曲线平行于的切线到曲线的距离. 设切点为,, 则或（舍） 所以，切点. 该点到直线的距离为：. 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用导数求曲线上的点到直线的距离的最值.考查了转化与化归思想.属于难题.其中的几何意义为点到点的距离是解本题的关键. 【题型五 与切线有关的新定义问题】 1．（23-24高二下·江西景德镇·期末）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的用“作切线”来近似求函数零点的一种方法，已知函数，在图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列，称为“牛顿数列”.现取，则可知与的大小关系是 ，其中 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、判断数列的增减性 【分析】根据题意求出函数在处的切线与轴交点的横坐标，因为，，根据迭代公式求出并判断出，利用作差法比较与的大小关系即可. 【详解】由题意知，函数在处的切线方程为， 切线与轴交点的横坐标为， 因为，，所以， 所以， 令，则在单调递减， 所以， 所以，即. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：函数在处的切线为，切线与轴交点的横坐标为，这是本题牛顿迭代法的迭代关系式，利用迭代关系求出并判断出，再利用作差法比较与的大小关系. 2．（23-24高二上·全国·期末）如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：y=(其中是自然对数的底数)，O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为β，则 . 【答案】0 【知识点】求过一点的切线方程、导数新定义 【分析】利用导数的几何意义，求出时，过原点且与相切的切线斜率，以及过原点且与相切的切线斜率，进而可得两切线互相垂直，则可求. 【详解】当时，过原点作的切线， 设切点，， ， 则切线方程为， 又切线过点所以， 所以. 设，则为增函数，且，所以， 当时，过原点作的切线， 设切点B， ， 则切线为，又切线过点 所以，又，， 因为，所以两切线垂直,所以. 故答案为：0. 3．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）“以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的数学思想方法.在切点附近，用曲线在该点处的切线近似代替曲线就是这一思想的典型应用.曲线在处的切线方程为 ，已知，利用上述“切线近似代替曲线”的思想计算所得的结果为 .（结果用分数表示） 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据导数的几何意义可求出切线方程，再由题意可得在附近，，则，从而求出结果. 【详解】由，得，所以曲线在点处的切线斜率，所以切线方程为. 由题意知在附近，，所以， 所以，即. 故答案为：， 4．（24-25高三上·上海·期中）若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为，已知曲线. (1)判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由； (2)若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由； (3)对于任意的正实数，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由. 【答案】(1)存在，理由见解析； (2)是，； (3)答案见解析. 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】（1）由定义结合三角函数图像得到“双夹线”； （2）利用导函数等于斜率，求出的切点坐标，验证切点个数，在用作差法得出函数图像在两直线之间，由定义得出； （3）由（2）的思路可知令即可找到切线方程及切点坐标，再由作差法验证函数在这两条直线之间，由定义得出及其范围. 【详解】（1）曲线：，由正弦函数的图像可知：和为曲线的一对“双夹线”，故曲线是存在“双夹线”. （2）曲线：， ，令，即， 时，，点是曲线与的一个切点； 时，，点是曲线与的一个切点； ∴直线与曲线至少存在两个切点， 同理可得时，，点是曲线与的一个切点； 时，，点是曲线与的一个切点； ∴直线与曲线至少存在两个切点， 令，， 则，， ∴和是函数的一对“双夹线”， . （3），则， ∵，当时，，则过点的切线方程为：， 当时，，过点的切线方程也为：， ∴直线与至少存在两个切点； 同理可得，直线与相切于点和， ∴直线与至少存在两个切点； 令，， 则， ， ∴在两条直线之间， 故对于任意的正实数，函数都存在“双夹线”， ， 的所有取值构成的集合. 【点睛】方法点睛：本题出现的一个新的定义，根据定义先通过导函数与直线斜率相等找到至少两个切点坐标，再由作差法判定曲线一点在两条直线之间. 5．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； (1)若，求； (2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (3)若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析， (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、函数新定义 【分析】（1）假设存在，求出导函数，利用导数的几何意义推出矛盾即可判断； （2）设“特征点”是在和处的切线的交点，求出切线方程，即可求出交点坐标，由切线互相垂直求出，即可得解； （3）依题意不存在图象上的点，使得该点是“特征点”，先利用反证法证明：对任意的实数，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点，假设，，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，即可得方程对无解，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）假设存在“特征点”，则存在两条互相垂直的切线， 设为和处的切线， 因为，所以， 所以不存在“特征点”，所以. （2）设“特征点”是在和处的切线的交点， 因为，所以， 所以在和处的切线方程为，， 联立解得，即， 因为两条切线相互垂直，所以， 所以，所以的所有“特征点”在一条定直线上. （3）因为，所以由题意可知不存在图象上的点，使得该点是“特征点”， 先证明：对任意的实数，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点， 反证法：假设该点不是切点，则存在切线， 它与函数图象交于点，所以， 化简得，因为，所以， 同理可得，所以，两条切线重合，矛盾，所以该点本身一定是切点； 假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点， 则由前文可知，所以，， 因为， 所以，即， 设， 则有， 由题意可知图象上的点都不是“特征点”，即不存在这样的点， 所以方程对无解， 设，其对称轴为， 所以当时取最小值， 要使得无解，只需，解得. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是理解定义，利用导数、反证法相关知识进行解答，以达到转化的目的. 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏苏州）设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求指数函数在区间内的值域、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围. 【详解】由，则的切线斜率为， 由，则的切线斜率为， 而两曲线上总存在切线、有，即， 而，即，故， 所以，解得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：由导数的几何意义及指数函数、正弦函数的性质确定切线斜率的范围，根据恒存在确定包含关系求参数范围. 2．（2025·四川成都）已知实数满足其中是自然对数的底数 , 则的最小值为（        ） A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】A 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】由题意，故的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方，再根据最小值满足切线与平行，求导分析即可 【详解】∵实数满足，所以，点在曲线上，点在曲线上， 的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方． 考查曲线上和直线平行的切线，，求出上和直线平行的切线方程， 则，解得切点为，该切点到直线的距离就是所要求的两曲线间的最小距离， 故的最小值为． 故选：A． 3．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、已知切线（斜率）求参数 【分析】利用导数的几何意义求出在P,Q两点处的切线斜率，即可得出是的两根，利用韦达定理即可得出的取值范围. 【详解】根据题意可知的定义域为，所以， 易得， 由导数的几何意义可得切点为时，切线斜率为, 同理可得，点处切线斜率为； 又因为两条切线与直线平行，可得，即 所以是关于方程的两根， 所以，即，又 可得； 所以，由可得 即，所以的取值范围是. 故选：B 4．（2024·全国·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求过一点的切线方程、奇偶函数对称性的应用 【分析】由解析式得为偶函数，故过原点作的两条切线一定关于y轴对称，再由导数几何意义求上的切线，结合偶函数对称性写出另一条切线. 【详解】由，得为偶函数， 故过原点作的两条切线一定关于y轴对称． 当时，，则， 设切点为，故，解得或（舍）， 所以切线斜率为1，从而切线方程为． 由对称性知：另一条切线方程为． 故选：A 二、填空题 5．（2025·河南郑州·模拟预测）已知直线l与函数均相切，则l的方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】由导数的意义求出公切线的斜率，再根据斜率定义求出斜率值，然后由点斜式得到直线方程. 【详解】， 由题意可得切线的斜率存在，设为， 由导数的意义可得，即，又，所以切点， ，即，又，所以切点为， 又由斜率定义可得， 所以切点为，所以，即l的方程为. 故答案为：. 6．（2024·湖北·二模）已知定义在上的函数，，设曲线与在公共点处的切线相同，则实数 ． 【答案】5 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】由于两曲线与在公共点处的切线相同，设公共点，则，列方程组可求出的值 【详解】解：依题意设曲线与在公共点处的切线相同. ∵， ∴， ∴，即，即 ∵，∴， 故答案为： 7．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点是，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线相同列出等式即可得解. 【详解】设直线与曲线相切于，又，所以直线的斜率为， 则处的切线方程为，即； 直线与曲线相切于，， 可得切线方程为， 即， 因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同， 则且， 则，即 可得，解得， 故答案为：. 8．（2024·浙江·模拟预测）若曲线有三条经过点的切线，则的范围为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】求导后对导函数求导分析函数的凹凸性，再数形结合分析相切的临界条件，从而可得. 【详解】由题意， 令，则， 令可得或. 故当和时，单调递增，图象往下凸； 当时，单调递减，图象往上凸.    又经过的切线方程为，即， 令可得，又经过的切线方程为，故当时有三条经过点的切线. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求导分析函数切线的问题，需要根据题意求导，并求导数形结合分析切线斜率的单调性，进而可得函数的凹凸性，从而分析切线可能的情况，属于难题. 9．（23-24高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为为坐标原点，则的取小值为 . 【答案】/ 【知识点】已知切线（斜率）求参数、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】通过转化可得的最小值为到距离平方的最小值，利用导数求出切线即可得出. 【详解】由题可设，，则 则 即， 即的最小值为到距离平方的最小值， 其中点在曲线上，在直线上， 的最小值为在曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离， 设切点为，因为曲线导数，则，解得，所以切点为， 所以，所以. 故答案为：. 10．（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）若函数与函数有两个公切线，则实数取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】先设出切点坐标，利用导数表示出切线斜率，转化为有两个不同的正根. 构造函数，利用导数研究函数的图像，求出实数的取值范围. 【详解】设公切线在若函数与函数的切点为 则由, 得 ，化简得有两个不同的正根. 令，则. 令,解得：. 当时，；当 时，， 所以在时，单调递减；在 时，单调递增. 所以当，； 当时，；当时，； 所以要使有两个不同的正根，只需，解得： . 故答案为：. 【点睛】高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度： ①已知切点求切线方程；②已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；③已知曲线求切线倾斜角的取值范围． 11．（23-24高三上·陕西西安·期中）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】设切点，求导得切线方程，进而根据过点，将问题转化为方程有两个不相等实根，求得的范围. 【详解】设切点， 则切线方程为， 又切线过，则， 有两个不相等实根， 其中 或. 故答案为：或 三、解答题 12．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）牛顿利用迭代思想给出了一种求高次代数方程近似解的方法，具体步骤如下： 初始步：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值； 第一步：作在点处的切线与x轴交点的横坐标为，称为r的1次近似值； 第二步：作在点处的切线与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值； …… 第n步：如上操作，得到，称为r的n次近似值； 终止步：在精确度的要求下，就可取为方程的近似解． 用牛顿法求函数的大于零的零点r的近似值，取． (1)求r的2次近似值； (2)证明：①；②． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求过一点的切线方程、由基本不等式证明不等关系 【分析】(1) 根据题干中r的2次近似值的定义即可求解 (2) 求出直线的方程， 直接求横截距即可，借助第（2）问第一小问的结论，根据几何意义得到，后面再根据此不等式进行放缩得到，从而得到，从而得证. 【详解】（1）根据题意得，所以则在切线方程为令解之得， 则在切线方程为， 令解之可得 （2）①，在的切线方程为， 令，可得， 所以证明①得证， ②由①知，所以， 则，有几何意义知， 所以， 即，两边同时减3得， ， 又因，所以， 则， 证明②得证 13．（24-25高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数，. （1）若，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值； （2）若，试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在，研究值的个数，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）见解析． 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）当时，，得到，依题意，即可求解的值；（2）假设的图象在其公共点处存在公切线，分别求出导数，令，得，讨论，分别，，令，研究方程解的个数，可构造函数，运用都是求出单调区间，讨论函数的零点个数即可判断. 【详解】（1）当时，，， 依题意得，∴. （2）假设函数与的图象在其公共点处存在公切线， ∵，∴，∴，， 由得，即， ∴，故. ∵函数的定义域为， 当时，，∴函数与的图象在其公共点处不存在公切线； 当时，令， ∵，， ∴，即. 下面研究满足此等式的的值的个数： 设，则，且，方程化为， 构造，定义域 则，令，解得 在上单调递增，在上单调递减， 且，时，；时，， 即函数图象有且只有两个零点， ∴方程有且只有两个根. 综上，当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线；当时，函数与的图象在其公共点处存在公切线，且符合题意的的值有且仅有两个. 14．（24-25高三上·贵州黔西·阶段练习）已知函数． （1）函数在处的切线方程为，求的值； （2）当时，若曲线上存在三条斜率为的切线，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由切点在曲线上，可求得的值，对函数求导，利用导数的几何意义，求出的值 ，从而求得的值； （2）曲线上存在三条斜率为的切线，等价于其导数等于有三个解，结合函数图象的走向，从而确定出其范围应该介于极小值和极大值之间即可． 【详解】（1），，,得， ， ，求得，∴． （2）， 令，依题知存在使有三个不同的实数根，， 令，求得，， 由知，则在，上单调递增，在上单调递减． 当时，，当时，， ∴的极大值为，的极小值为， 所以此时． 15．（23-24高二上·海南海口·期末）已知函数是曲线和的一条公切线． (1)求实数的值； (2)过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)或或 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可 【详解】（1）设直线与曲线的切点坐标为， ，， 又直线的斜率为，， 且点同时在直线和曲线上， 满足，联立以上两式可得， 故直线的方程为， 联立，可得， 又直线与曲线相切， ，解得． （2）由（1）得，， 设切点为， 则曲线在点的切线方程为， 又切线过点， ， 即方程有两个不相等的实数根，且， ， 解得或或， 所以实数的取值范围为或或． 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式进行求解. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$